CC BY
0
УДК 621.317
doi: 10.21685/2072-3059-2024-1-8
Модификация метода Прони для информационно-измерительных систем
Н. В. Мясникова1, М. Г. Мясникова2, Б. В. Цыпин3, Л. А. Долгих4
1,2,3,4Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1genok123@mail.ru, 2mariagen@yandex.ru, 3cypin@ yandex.ru, 4ldlmldgh@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Предложено в задачах определения параметров сигналов сложной формы использовать модифицированный алгоритм Прони на основе векторной переопределенной модели. Проведено его сравнение с классическим методом Прони. Показано преимущество модифицированного алгоритма Прони для измерения параметров сигналов сложной формы. Целью исследования является повышение точности определения параметров сигналов сложной формы. Материалы и методы. Исследование проводилось в среде Matlab с использованием моделей сигналов сложной формы с известными параметрами, а также на реальных сигналах. Результаты. Подтверждено, что использование в алгоритме Прони переопределенной матрицы позволяет значительно уменьшить погрешность определения коэффициентов затухания по сравнению с применением его классического варианта. Выводы. Предложенные решения с использованием переопределенных моделей более пригодны для реализации в информационно-измерительных системах и виртуальных измерительных приборах.
Ключевые слова: сигнал сложной формы, параметрический анализ, метод Прони, векторная переопределенная модель
Для цитирования: Мясникова Н. В., Мясникова М. Г., Цыпин Б. В., Долгих Л. А. Модификация метода Прони для информационно-измерительных систем // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2024. № 1. С. 91100. doi: 10.21685/2072-3059-2024-1-8
Modification of the Prony method for information-measuring systems N.V. Myasnikova1, M.G. Myasnikova2, B.V. Tsypin3, L.A. Dolgikh4
1,2,3,4Penza State University, Penza, Russia 1genok123@mail.ru, 2mariagen@yandex.ru, 3cypin@ yandex.ru, 4ldlmldgh@mail.ru
Abstract. Background. It is proposed to use a modified Prony algorithm based on a vector overdetermined model in problems of determining the parameters of complex-shaped signals. It is compared with the classical Prony method. The advantage of the modified Prony algorithm for measuring the parameters of signals of complex shapes is shown. The purpose of the study is to increase the accuracy of determining the parameters of signals of complex shapes. Materials and methods. The research was carried out in the Matlab environment using models of complex-shaped signals with known parameters, as well as on real signals. Results. It has been confirmed that the use of an overdetermined matrix in the Prony algorithm can significantly reduce the error in determining the attenuation coefficients compared to the use of its classical version. Conclusions. The proposed solutions using redefined models are more suitable for implementation in information-measuring systems and virtual measuring instruments.
© Мясникова Н. В., Мясникова М. Г., Цыпин Б. В., Долгих Л. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Keywords: complex waveform, parametric analysis, Prony method, vector overdetermined model
For citation: Myasnikova N.V., Myasnikova M.G., Tsypin B.V., Dolgikh L.A. Modification of the Prony method for information-measuring systems. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2024;(1):91-100. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3059-20241-8
Введение
Информационно-измерительные системы (ИИС) решают разнообразные задачи, среди которых можно выделить задачу определения (измерения) параметров сигналов сложной формы - амплитуд, частот, коэффициентов затухания и фаз составляющих такого сигнала. Это востребовано, например, в следующих задачах: идентификация полных динамических характеристик; контроль, диагностика, мониторинг состояния объекта (если ИИС является частью системы соответствующего назначения). Для решения задачи определения параметров сигналов применяют сложные методы обработки, например метод Прони.
Классическое решение задачи
На протяжении многих лет авторы развивали направление, связанное с определением параметров сигналов сложной формы, в том числе для задач идентификации и измерения. Одним из наиболее часто применяемых методов был метод Прони. Результаты отражены, например, в публикациях [1-4]. При этом авторами использовался классический вариант указанного метода.
Модель, заложенная в методе Прони, представляет собой набор из
p экспоненциальных функций
p
у = 2 bmzm пРи Р -п <(N - ^
m=1
и л (a+j2nfm)At ln zm\ f .
где bm = Ame m , z m = e m , am ; fm = arctg
At
Im zm 1
Re zm 2nAt
Здесь у - аппроксимация сигнала; р - порядок модели: Ат, 0т, /т и ат - амплитуды, фазы, частоты и затухания составляющих сигнала сложной формы, М - шаг дискретизации сигнала.
Метод Прони включает оценивание коэффициентов авторегрессии щ,
р
/ = 1,...,р, модели порядка р уп атуп-т при р < п < N -1. Применяя
т=1
метод наименьших квадратов (МНК) для решения системы из ^ - р) уравнений с р неизвестными, можно найти коэффициенты авторегрессии ат,
т = 1,2,..., р, и решить характеристическое уравнение + а^г^ +... + ар = 0, корни которого используются для определения собственных частот /1 и коэффициентов затухания а{.
Затем при известных корнях находят амплитуды Ат и фазы 0т
(Атв^т ). Именно в таком «классическом» варианте авторы использовали этот метод.
Применение переопределенной системы
Анализ литературы показал, что для определения параметров гармонических компонент можно использовать векторную переопределенную модель [5-8].
Например, в работах [7, 8] учитывают старшие /-е отсчеты при (р + Р) >/ > р, где р - порядок модели, с глубиной переопределенности Р. Вектор = [¿1, ¿¡2, ..., Ир]Т коэффициентов переопределенной модели авторегрессии рассчитывается на основе переопределенной системы линейных уравнений вида ^-х, где X - {[^(р + Р — 1)] X р}-мерная матрица наблюдений моделируемого процесса; х - [Л^(р + Р — 1)]-мерный вектор-столбец его векторных отсчетов:
x p-1 x p-2 x0 x p
X p x p -1 x1 x p+1
x 2 p-2 x 2 p-3 x p-1 a x 2 p-1
x2 p-1 x 2 p-2 x p x2 p
x2p+P-2 x2p+P-3 ' ' x p+P-1 x 2 p+P -1
Для того чтобы найти решение такой переизбыточной системы [7, 8],
прямоугольная матрица X преобразуется в квадратную путем умножения
~ т
обеих частей уравнения на X (при работе с комплексными данными на
~ н
комплексно-сопряженную матрицу X ):
X т XX а ^-Х т ж.
Решение этой системы при применении такого подхода всегда будет решением по методу наименьших квадратов.
И хотя метод на основе переопределенной матрицы используется довольно давно, широкого распространения он не получил. Авторы также использовали классический вариант. Покажем явные преимущества метода при использовании переопределенной матрицы. Для этого приведем результаты анализа зашумленного 3-компонентного сигнала. Будем рассматривать сигнал вида
X = 2 Aj ' exp(-a j • tj) • cos(2n fj tj + ф j) + sj .
j=1
Зададим q = 3, A = [4 2 3], f = [20 10 4] Гц, а = [2nf1al1 2nf2al2 2nf^a^], где al = [0,01 0,01 0,05] - относительное затухание, a 5 - шум
с нормальным распределением.
При использовании «классического» метода Прони в шуме были выделены частоты fri = 4,0127 10,0565 20,0060 (Гц) и относительные затухания al = -0,0698 -0,0133 -0,0102.
На рис. 1 показаны сигнал и его аппроксимация по параметрам, оцененным методом Прони (его затухание более выражено). Был применен завышенный порядок модели p = 12, при этом шум был аппроксимирован широкополосными составляющими c малыми амплитудами и большими затуханиями.
6 4 2
01 -8
0 50 100 150 200 250 300
Рис. 1. Сигнал в размерных единицах и его аппроксимация (точками) по параметрам, оцененным «классическим» методом Прони, по оси ординат - номера отсчетов
Приведем результаты анализа 3-компонентного сигнала, смешанного с шумом, при использовании метода Прони с использованием перераспределенной матрицы: выделенные частоты fri = 4,0359 10,0252 20,01374 (Гц); относительные затухания al = -0,0529 -0,0108 -0,0103 (рис. 2).
Можно сделать выводы:
1) частоты выделяются верно обоими методами - классическим методом Прони и методом на основе переопределенной матрицы;
2) во втором случае (при использовании переопределенной матрицы) затухание составляющих сигнала менее выражено, близко к заданным в модели значениям, а в первом (при использовании классического алгоритма) только начальный участок правильно отражает свойства сигнала.
6
4
2
0
-8
0 50 100 150 200 250 300
Рис. 2. Сигнал в размерных единицах и аппроксимация по параметрам, оцененным с использованием перераспределенной матрицы, по оси ординат - номера отсчетов
То есть проблема, которую удалось решить авторам в работе [8], при работе с изображениями разрешилась и в нашем случае.
Теперь вернемся к давней проблеме оценивания погрешностей определения параметров. Затухания являются основой для измерения параметров электрических схем, например добротности, характеризующей затухание колебательного процесса в контуре.
На рис. 3 приведены значения относительного коэффициента затухания от длины реализации (для той же модели): знаком «*» показано его значение (0,05), более высоко лежащая кривая соответствует модифицированному методу Прони, который дает затухание, близкое к заданному в модели, а обычный метод Прони дает большее по модулю значение затухания.
Шаг дискретизации в эксперименте dt = 0,01 с.
На рис. 3 представлены три графика: «*» - заданное в модели значение; прямая линия - затухание, оцененное с использованием переопределенной матрицы; возрастающее по модулю затухание (нижний график) - при использовании классического алгоритма.
Как видно, удлинение интервала анализа ничего не дает в классическом варианте, так как там все равно параметры определяются по квадратной матрице p х p, при большой длине используется большое количество отсчетов с малыми значениями, что приводит к увеличению погрешности определения параметров.
А модифицированный метод в любом случае использует переопределенную систему, т.е. длина участка анализа с самого начала больше p. Как видно, этого достаточно, чтобы более точно определить параметры затухания при любой длине.
Рис. 3. Значения относительного коэффициента затухания низкочастотной составляющей, определенные по реализации разной длины
Мы (вслед за авторами статей [6-8]) использовали переопределенную матрицу при реализации метода Прони и убедились в его эффективности. Метод можно распространить и на другие параметрические методы. Например, метод Писаренко использует автокорреляционный метод (со смещением) оценки матрицы Яхх и дисперсии шума, т.е. переопределенная система может быть использована и во втором методе. Анализ литературы подтверждает это. В работах [9, 10] использована переопределенная система уравнений Юла - Уокера для оценки полюсов, которая решается на основе минимизации невязок. То есть в основу анализа данных может быть положена и автокорреляционная функция, а не только временной ряд зарегистрированных значений с последующим использованием метода наименьших квадратов.
Еще одно важное применение модифицированного метода Прони - это спектральный анализ. Известно, что на его основе можно определить два вида спектров: на основе использования коэффициентов авторегрессии (аь У = 1:р), получаемых на первых этапах алгоритма, и на основе использования параметров выделенных мод (частот Ю,, амплитуд Л,, затуханий а и фаз Ф, У = 1:р):
ч
Е
у (.7®)=—^-; (1)
1 + Е ак ■ е-^
к=1
Р ■ т У( 1 т) = X АУ*-2 2 . (2)
т=1 (ат + 1т) + тт
Вычисление коэффициентов авторегрессии - это первый этап алгоритма Прони, т.е. трудоемкость вычисления спектра по формуле (1) значительно ниже, чем при использовании формулы (2). Однако из-за опять же завышенных значений коэффициентов затухания, о чем мы уже говорили в этой статье, приходится применять формулу (2), так как она позволяет перед вычислением спектра «скорректировать» в сторону уменьшения коэффициенты затухания.
Покажем, что использование переопределенной системы уравнений позволит обойтись формулой (1). На рис. 4 приведен амплитудный спектр сигнала (в размерных единицах), вычисленный по формуле (1) с использованием классического алгоритма, а на рис. 5 - спектр, вычисленный по параметрам, определенным с использованием переопределенной системы уравнений. По осям х на обоих графиках - частота (Гц).
5 4.5
3.5
2.5
1.5
0.5
°0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Рис. 4. Спектр сигнала с сонара - «звук приближения»
Были использованы открытые источники - звуки сонара1. Задавался порядок модели p = 16 и переопределенность модели Pr = 100.
Таким образом, при использовании переопределенной матрицы выделены более узкополосные составляющие, что позволило четко «увидеть» еще одну составляющую, т.е. разделить близкие частоты.
Заключение
Применение переопределенной модели в сочетании с классическим методом Прони позволяет уменьшить погрешность определения параметров
1 URL: https://zvukogram.com/category/zvuki-sonara/
сигналов сложной формы, улучшить разрешение в частотной области, т.е. получить возможность разделять близкие составляющие.
14
12
10
8
6
4
2
О
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Рис. 5. Спектр сигнала с сонара - «звук приближения», использована переопределенная система
Список литературы
1. Мясникова М. Г., Цыпин Б. В., Михайлов П. Г. Преобразование Прони в задаче измерения параметров гармонических сигналов в шумах // Датчики и системы. 2007. № 4. С. 19-22.
2. Пирогова А. А., Купцов А. А. Применение параметрических методов для анализа сигналов с нелинейностью типа насыщение // Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : материалы Междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 2016. С. 100-102.
3. Мясникова М. Г., Мальков Д. А. Применение параметрических методов для анализа сигналов с нелинейностью типа нечувствительность // Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : материалы Междунар. науч.-техн. конф. Пенза, 2016. С. 100-102.
4. Мясникова Н. В., Мясникова М. Г. Модальный анализ: предварительная обработка сигналов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. 2016. Т 1. С. 76-78.
5. Баев А. Б., Кузнецов Ю. В. Использование метода Прони и его модификаций при оценке параметров резонансной модели // Будущее авиации и космонавтики. М. : МАИ, 1999. С. 47-49.
6. Паршин В. С., Багдагюлян А. А. Модифицированный метод наименьших квадратов Прони, использующий итерационный метод Штейглица - МакБрайда // Цифровая обработка сигналов и ее применение : доклады 9-ой МНТК труды РНТОРЭС им. А. С. Попова. М., 2007. Вып. 1Х-1. С. 77-80.
7. Андреев В. Г., Чан Н. Л. Синтез модифицированной переопределенной авторегрессионной модели по короткой выборке случайного процесса // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. 2015. № 54. С. 45-49.
8. Авраменко Д. В. Анализ спектра излучений от космического объекта модифицированным методом Прони // Методы и устройства формирования обработки сигналов в информационных системах : межвузовский сб. науч. тр. / под ред. Ю. Н. Паршина. Рязань : РГРТУ, 2018. С. 48-53.
9. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление / пер. с англ. А. Л. Левшина ; под ред. В. Ф. Писаренко. М. : Мир, 1974. Т. 1. 406 с. ; Т. 2. 200 с.
10. Pisarenko V. F. The retrieval of harmonics from a covariance function // Geophysics. J. Roy. Astron. Soc. 1973. Vol. 33. P. 347-366.
References
1. Myasnikova M.G., Tsypin B.V., Mikhaylov P.G. Prony transform in the problem of measuring the parameters of harmonic signals in noise. Datchiki i sistemy = Sensors and systems. 2007;(4):19-22. (In Russ.)
2. Pirogova A.A., Kuptsov A.A. Application of parametric methods for the analysis of signals with nonlinearity of the saturation type. Metody, sredstva i tekhnologii polu-cheniya i obrabotki izmeritel'noy informatsii: materialy Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. = Methods, means and technologies for obtaining and processing measurement information: proceedings of the International scientific and engineering sciences. Penza, 2016;100-102. (In Russ.)
3. Myasnikova M.G., Mal'kov D.A. Application of parametric methods for the analysis of signals with nonlinearity of the insensitivity type. Metody, sredstva i tekhnologii polu-cheniya i obrabotki izmeritel'noy informatsii: materialy Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. = Methods, means and technologies for obtaining and processing measurement information: proceedings of the International scientific and engineering sciences. Penza, 2016:100-102. (In Russ.)
4. Myasnikova N.V., Myasnikova M.G. Modal analysis: signal preprocessing. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo = Proceedings of the International Symposium Reliability and Quality. 2016;1:76-78. (In Russ.)
5. Baev A.B., Kuznetsov Yu.V. Using the Prony method and its modifications in estimating the parameters of the resonant model. Budushchee aviatsii i kosmonavtiki = The future of aviation and space exploration. Moscow: MAI, 1999:47-49. (In Russ.)
6. Parshin B.C., Bagdagyulyan A.A. Modified Prony least squares method using the Steglitz-McBride iterative method. Tsifrovaya obrabotka signalov i ee primenenie: 9-oy MNTK trudy RNTORES im. A.S. Popova Doklady = Digital signal processing and its applications: proceedings of the 9th International conference of the Russian Scientific and Technical Society of Radio Engineering, Electronics and Communications named after A.S. Popov. Moscow, 2007;(IX-1):77-80. (In Russ.)
7. Andreev V.G., Chan N.L. Synthesis of a modified overdetermined author-regressive model using a short sample of a random process. Vestnik Ryazanskogo gosudarstven-nogo radiotekhnicheskogo universiteta = Bulletin of Ryazan State Radio Engineering University. 2015;(54):45-49. (In Russ.)
8. Avramenko D.V. Analysis of the spectrum of radiation from a space object using the modified Prony method. Metody i ustroystva formirovaniya obrabotki signalov v infor-matsionnykh sistemakh: mezhvuzovskiy sb. nauchn. tr. = Methods and devices for generating signal processing in information systems: interuniversity collected articles. Ryazan': RGRTU, 2018:48-53. (In Russ.)
9. Box G., Jenkins G. Analiz vremennykh ryadov: prognoz i upravlenie = Time series analysis: forecast and management. Transl. from Eng. A.L. Levshin; ed. by V.F. Pisarenko. Moscow: Mir, 1974;1:406;2:200. (In Russ.)
10. Pisarenko V.F. The retrieval of harmonics from a covariance function. Geophysics. J. Roy. Astron. Soc. 1973;33:347-366.
Информация об авторах /
Нина Владимировна Мясникова доктор технических наук, профессор, профессор кафедры автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: genok123@mail.ru
Information about the authors
Nina V. Myasnikova
Doctor of engineering sciences, professor,
professor of the sub-department
of automation and remote control,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Мария Геннадьевна Мясникова
кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: mariagen@yandex.ru
Mariya G. Myasnikova Candidate of engineering sciences, associate professor of the sub-department of automation and remote control, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Борис Вульфович Цыпин
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры ракетно-космического и авиационного приборостроения, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: cypin@ yandex.ru
Людмила Анатольевна Долгих кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: ldlmldgh@mail.ru
Boris V. Tsypin
Doctor of engineering sciences, professor, professor of the sub-department of rocket, space and aviation instrument engineering, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Lyudmila A. Dolgikh
Candidate of engineering sciences, associate professor of the sub-department of automation and remote control, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 06.07.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 07.12.2023 Принята к публикации / Accepted 10.01.2024
