Модификация матриц систематических помехозащищенных кодов в задаче обеспечения скрытности передачи информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК [517.938 + 519.713 / .718]: 621.398

А. В. Ушаков, Е. С. Яицкая

МОДИФИКАЦИЯ

МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ В ЗАДАЧЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СКРЫТНОСТИ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

С помощью невырожденных матричных мультипликативных компонентов формируются банки образующих и проверочных матриц систематических по-мехозащищенных кодов.

Ключевые слова: помехозащищенный код, образующая и проверочная матрицы, матричный мультипликативный компонент, скрытность.

Рассматривается задача обеспечения скрытности передачи информации с помощью двоичных кодов, преобразование которых в функциональной среде „кодер—канал— декодер—коррекция" осуществляется [1] в соответствии с векторно-матричными соотношениями

у = аО ; / = у ее,; Е = ^Н; | = ЕН+ ; у = / ее, где а, у, е , /, Е, е , У — вектор-строки соответственно информационного (к) кода, по-мехозащищенного (п,к) кода (ПЗК), кода помехи в канальной среде (КС), искаженного в КС ПЗК, кода синдрома искажения, кода коррекции, откорректированного принятого из КС кода; О — (к х п)-образующая и Н — (п х т)-проверочная матрицы ПЗК; п - к = т — число проверочных разрядов ПЗК.

Утверждение 1. Пара (О, Н) порождает ПЗК при необходимом условии

ОН=О . □ (1)

Доказательство утверждения строится на использовании системы соотношений

у = аО; / = у 0^; Е = /Н = ( у 0^) Н = ( аО ее) Н = аОН 0ен| е=0 =

= аОН|= О ^ ОН = О. ■

Утверждение 2. Умножение матриц О слева и Н справа соответственно на невырожденные произвольные (к х к) -матрицу О и (т х т) -матрицу Р порождают матрицы О = ОО и Н = НР . При этом

ОН = О . □ (2)

Доказательство строится на использовании условия (1) в цепочке равенств

ОН = ООНР = о ( ОН ) р = О (о) Р = о. ■

Невырожденность матриц О и Р обеспечивается выбором их в виде:

Модификация матриц систематических помехозащищенных кодов

81

1) матриц перестановок, при этом мощности получаемых множеств матриц составят величины [|Q}] = k!, [{P}] = m!;

2) Q = nQq , Iq = 0,Vq -1, и P = Nj? , /p = 0, vp -1, где (k x k)-матрица Nq и (m xm)-матрица Np имеют соответственно характеристическими многочленами неприводимые, принадлежащие максимальным показателям [2] Vq = max arg {nQq = i} = 2k -1 i

vP = max arg {nJp = i} = 2m -1, так что [{Q}] = 2k -1, [{P}] = 2m -1.

Процедура максимизации значений [{Q}] и [{P}] может быть осуществлена с помо щью данных приводимой ниже таблицы.

и

k (m) 1 2 3 4 5 7 11 15 26

k !(m!) 1 2 6 24 120 5040 3,99+7 1,31E+12 4,03E+26

2k -1(2m -1) 1 3 7 15 31 127 2047 3,28Е+4 6,71Е+7

Предложенные процедуры проиллюстрируем примером (п,к) = (7,4) — ПЗК с образующим многочленом g (х) = х + х +1. Код характеризуется [2] матрицами

1 0 0 0 1 0 1"

G =

0 10 0 111 0 0 10 110 0 0 0 1 0 1 1

H

1110 10 0 0 1110 10 110 10 0 1

Согласно данным таблицы матрицы < и Р строим соответственно в форме матрицы перестановок и процедуры:

"0 10 0"

Q

0 0 10 0 0 0 1 10 0 0

P = nP

/P =4

"0 1 0" 4 "1 1 1"

1 0 1 = 0 1 1

1 0 0 1 1 0

так что образующая 6 и проверочная Н матрицы получают представление

G = QG =

0 10 0 111 0 0 10 110 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1

H = HP

0 0 1110 1 0 10 0 111 10 0 1110

При этом (см. таблицу) [{((, Н}] = [{<<}] • [{Р}] = 7 • 24 = 168.

Основной результат. Полученные банки {((} и {Н} модифицированных образующих (( и проверочных Н матриц порождают мощность [{((, II}] = [{<}]• [{Р}] возможных реализаций помехозащитных преобразований кодов, что позволяет обеспечить частичную скрытность процесса передачи информации.

82

А. В. Ушаков, Е. С. Яицкая

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ушаков А. В., Яицкая Е. С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 3. С. 17—25.

2. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 600 с.

Анатолий Владимирович Ушаков

Елена Сергеевна Яицкая

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 07.10.11 г.