CC BY
36
УДК 621.372.061
МОДИФ1КАЦ1Я 1ТЕРАЦ1ЙНОГО АЛГОРИТМУ ОБЧИСЛЕННЯ
ПРИРОЩЕНЬ ПОВЕРХНЕВИХ ПРОВ1ДНОСТЕЙ ПРИ РОЗВ'ЯЗАНН1 ЗВОРОТНО1 ЗАДАЧ1 ЕЛЕКТРО1МПЕДАНСНО1
ТОМОГРАФ11
Сушко I. О., астраптка
Нацгоналъний технгчний унгверситет Укршни «Кшвсъкий полтехнгчний
¡нститут» sushko@ros.kpi.ua
MODIFIKATION OF ITERATION ALGORITHM FOR COMPUTING THE SURFACE CONDUCTIVITIES INCREMENTS SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY
Sushko I., postgraduate student
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute»
Вступ
Розв'язання зад^ реконструкцп розподшення поверхневих провщнос-тей по вимiряним напругам по обводу контуру фантома (зворотно! задачi електроiмпедансноi томографп) пов'язане 3i значними труднощами, ви-кликаними великою розмiрнiстю систем рiвнянь як математично! моделi фантома при анаиз^ так i процедури реконструкцii [1-3] . Значною мiрою цi трудношд можна подолати використанням для анашзу методу модифжа-цiй [4-6] та методом зон провщностей [7-11]для синтезу (реконструкцп). Але при виршенш зворотно! задачi (методом зон провiдностi) слщ знахо-дити розв'язки систем рiвнянь невеликих (шостого тридцятого) порядкiв, як е погано зумовленими (так само, як е погано зумовленими системи рiв-нянь високого порядку при застосуванш класичного пiдходу). Так, при ви-користаннi класичного методу Ньютона-Рафсона для обчислення приро-щення на кожнш k-й iтерацii слiд розв'язати рiвняння
-[dzm /д^]• [Aar] = [Azm], (1)
рiшення якого мае вигляд
-[A°r ] = [&m / Г [Azm ] , (2)
де [dzm / даг ] — матриця похщних вiд передаточних опорiв (напруг по обводу контуру) по провщностям зон провiдностi порядку N = 6 - 30; [Aar] стовпець шуканих корегуючих прирощень поверхнево! провiдностi
зон порядку Nxl; [Azm]стовпець нев'язок передаточних опорiв (рiзниця
мiж вимiряними значеннями та значеннями, обчисленими на попереднш iтерацii) порядку N x l.
Внаслщок погано!' зумовленост матрицi [dzm / даг ] скористатися формулою (2) для зворотно! задачi електроiмпедансноi томографп неможливо. Тому використовують pi3Hi типи регуляризацп [12, 13] процесу розв'язання рiвняння виду (1). Так, рiвняння (1) можна переписати у ви-глядi
- [&m / f • [&m / ] • [ A^r ] = [&m / д^г f • [^m ] , (3)
де T — знак транспонування.
Розв'язок цього рiвняння мае вигляд
- [A^r ] = ([&m / d&r ]T • К / д^ • К / д*г ]T • [A^ ] , (4)
що дозволяе оперувати з бшьш гладкими функцiями i тим полшшити збiж-нiсть, але у випадку достатньо! для точного обернення матрищ
[dzm / dar ] • [dzm / dar ] ii зумовленостi.
На жаль, визначник матрищ [dzm / dar ] • [5zm / dar ] дорiвнюе квадрату
i так вже малого визначника матрицi \дгт / даг ]. Тому наступним кроком е
т
збшьшення визначника матрищ [dzm / дог ] • [dzm / дог ], але цiною вне-сення похибки, тобто рiвняння (3) приводять до вигляду
-([dzm / d^r ]T • [dzm / д^г ] + ^ • D([dzm / д^г ]T • [dzm / д^г ])) • [A^r ] = = [dzm / д^г ]T • [Azm ]
де D = D([дzm / дог ]T • [дzm / дог ]) — дiагональна матриця, дiагональ яко!
т
утворено дiагоналлю матрищ ^zm / дог ] • ^zm / дог ];
а — позитивне число, таке мале, що внесена елементом D матричного рi-вняння похибка суттево не впливае на результат
- [A^r ] = ([^m / д^г Г • [^m / д^г ] + а • D) • [^m / д^г f • [Azm ] > (5)
де m — номер iтерaцii.
Так, при а = 0 вираз (5) перетвориться до вигляду (4). На жаль, при використанш виразу (5) задовшьш результати реконстру-кцп можна отримати не завжди. Це пов'язане з необхщнютю пiдбирaти в процес обчислень значення а, з одного боку якомога меншим, щоб змен-шити похибку, а з шшого боку збiльшувaти це значення для забезпечення зумовленост системи рiвнянь. Так, досить успiшно реконструюються не-однорiдностi в центрi фантома [8,12], що може бути достатшм для щенти-фiкaцii нaявностi кавггацп [14] в трубi з рщиною, та по боках фантома (але
з деяким спотворенням форми неоднорщност [12]).
Тому бшьш прийнятним з точки зору точност обчислень е iтерацiйний метод регуляризацп для точного обчислення прирощення корегуючих про-вiдностей в рiвняннi (1). За основу знов приймемо рiвняння (3), але пере-пишемо його у виглядi
- [д2т / да, ]Т • / да, ] • [ Аа, ](и) - а • Б • [Аа, ]()) =
К /да,]Т • [Д^т]-«• Б•[Аа,]()-1). (6)
При достатньо великш кiлькостi iтерацiй прирощення провiдностей праворуч та лiворуч в (6) стануть рiвними. При цьому значення а (хоча б теоретично) не впливае на похибку, але впливае на процес обчислень (кь льюсть ггерацш, точнють остаточного результату, яка залежить вiд кшько-стi iтерацiй внаслщок накопичення операцiйних похибок). Так, для най-простiшого прикладу при погано зумовленш матрицi [дгт / даг ] 2-го порядку обчислення за виразом (6) при рiзних а вимагае вщ сотень тисяч до мшьйошв iтерацiй.
Тому важливим е розроблення алгоритмiв швидкого обчислення при-рощень [ Ааг ] за виразом (6).
Алгоритм прискорення iтерацiйних обчислень
Для пояснення запропонованого алгоритму перепишемо розв'язок рiв-няння (1) за допомогою виразу (6) в явному виглядi
-[Аа, ](
= (К /д°г]Т•[&,„ /да,] + а-б)- ■([&,„ /да,.]Т■[&„,]-а-Б [Аа,]("-1)).(7)
Позначимо ¥ = ([д2т / да, ]Т • [д2т / да, ] + а • Б) та розкриемо дужки
в (7).
Отримаемо
[Да,]()) = -¥-1 • [д2т /да, ]Г • [Д2т] + ¥-1 • а• Б\Ааг ]()-1) (7а)
т ' ^ ^ г _
Позначимо далi А = ¥ [дгт / даг]Т [Ат]; в = ¥-1 а Б. Тодi (7а) матиме вигляд
[Ааг]{п)=-А + В [Ааг](и-1). (8)
Запишемо вираз (8) по iтерацiям
[Ааг ](1 )=- А + В •[Аа ](0); [ А аг,2) = - А - В • А + В • [ Ааг,; (9)
___ ^=2 _ ^=3 __^=п—1 _ ^=п
[Ааг}п)=—А — В■ А — В ■ А — В ■ А —... — В ■ А + В [Ааг]'
1(") = ](П) =
(0)
Е + В + В2 + В3 + ...+ ВП 1
А + В [Ааг ]
(0)
При п = ( отримаемо теоретично точне значення прирощення [Астг].
=( =
При цьому матриця В = 0 стае матрицею, ус елементи яко! дорiвнюють нулю. Тому при достатньо великих п складовою В -[А^г](0) можна знех-
тувати i результат не залежить вiд нульового наближення [Ааг ](0). Оскшь-
ки кшькють iтерацiй в (9) достатньо велика, е сенс переписати процедуру тдсумувань право! частини цього виразу (в квадратних дужках) у виглядi
Р2 = Рх'Рх =
_ 1 0Т' ' 1 0Т"
Рх = — = —
_ А В /1 В _
1 0Т" 1 0Т" ' 1 0Т'
_/1 В В =2 /2 В _
Рп =Рп—1 Рп-1 =
1 01
/п—1 В
(10)
де Гп—1
Е + В + В2 + В3 +... + ВП 1
■ А
Тут / — стовпець поточних значень шуканого для (1) прирощення
провщностей зон розмiру N^1; 0Т — рядок нулiв розмiру 1х N.
Послiдовна реалiзацiя виразу (10) робить крок ггерацш логарифмiчним,
тобто, наприклад, за 10 множень отриманих матриць Рг саму на себе (коли
стетнь В кожен раз подвоюеться) переходимо вiд Р1 (1 iтерацiя в(9)) до Рш4 (1024 iтерацiя). Це дозволяе радикально шдвищити швидкодiю алго-
=п =
ритму (8). При цьому ггерацшний процес зупиниться, коли В = 0, а [Ааг] = /И_ г Останне можливе, якщо нескiнченна геометрична матрична
прогрешя (в квадратних дужках в (10)) е спадною. Це дозволяе суму члешв спадно! геометрично! матрично! прогресii записати у виглядi
= = =2 =3 =п—1/= =ч—1
Е + В + В + В +... + В +...=( В — Е) . (11)
Тодi [Ааг ] = (В — Е) 1 ■ А.
Покажемо деякi властивостi запропонованого алгоритму на прикладах,
обраних виходячи з мiркувань наочност i простоти перевiрки отриманих результатiв.
Приклад 1.
Нехай матриця похщних в (1) мае вигляд
Гд 1 0,02
[Агт ] =
а
[д^т / даг ] =
2,0001 -1 -1 0,5_ Тодi згiдно з (3)
-0,01
[&т / даг ]Т • [д^т / даг ] =
2,0001 -1 -1 0,5
2,0001 -1
1
0,5
5,00040001 -2,5001 -2,5001 1,25
Нехай а = 0,001. Тодi зпдно з (5)
[&т / даг ]Т • [д^т / даг ] + а • Б =
5,00540041001 -2,5001
-2,5001" 1,25125
Визначник цiеi матрищ А = 0,01251, а обернена матриця
([&т / даг ]Т [д^т / даг ]) =
100,04 199,9 199,9 400,2 -1
Добуток ([&т / даг ]Т • [дт / даг ]) • \д2т / даг ] =
а А в (8) А =
" 0,202 -0,096" -0,3959 0,208
0,004997 -0,009995
=-1
Матриця В = ¥ • а • Б =
0,50075 0,24987" 1,0005 0,50025
При обчисленнях за формулою (9) для того, щоб матриця В = 0 слщ зробити приблизно 262144 ггерацш, що видаеться занадто великою кшькь стю (враховуючи ще й те, що порядок матрищ похщних дорiвнюе 2), щоб будувати на базi таких обчислень ггерацшну процедуру навiть для невели-коi кiлькостi зон (14 - 30). Реалiзацiя виразу (10) потребуе 18 зведень мат-
риць для переходу вiд (51 до ^262144, що вже е прийнятним. Реаизуемо (за одне обернення матрищ) вираз (11). При цьому
(В - - )=
-0,49925 1,00054
0,2499 -0,49975
а ( В - Е ) =
1000,4 500,18 2002,88 999,4
Добуток [Ааг ]
г а=0,001
(В - Е) 1 • А
-3,6 • 10 0,02
-13
а
ка [Ааг ]
г Jа=0,001
в (1)дае т ]
а=0,001
0,0200000000000131 -0,0100000000000066
тдстанов-
що непогано
зб^аеться з наданим значенням [А^ ] =
0,02 —0,01
Для того ж прикладу оберемо а = 0,0001. Отримаемо прирощення
[Аа> ]
а=0,0001
Аналопчно,
—1,02 ■ 10 0,02
i К ]
при
а=0,0001
а = 1
[А*> ]
Л—7
а=1
—9 0,0199999979515887
—0,0099999999988113
1,4 40 _ 0,02
0,0199999470931882^ 0,0099999735534442 Перевiрка за (1) отриманих результат дозволяе обчислити похибку при рiзних а. Ця похибка[(Ат — а ) / ] = [За ] мае наступи значення
та[А2т ]а=1 =
а =0,001
И
Иа=, =
0,000000000000655 —0,00000000000066 0,00000264534059 " —0,00000264465558
И
а=0,0001
0,000000102420565 —0,000000102420565
Приклади обчислень зонного фантома
Для реконструкцп образу з проекцiй будемо використовувати круглий фантом, розбитий на 776 квадратних скшченних елементiв. Цей фантом розбито на 14 зон провщност (рис. 1).
Зпдно з алгоритмом [15] для зонного фантома отримано матрицю похь дних вщ вузлових напруг (в дужках на рис. 1) по провщностям зон (нуме-рацiю зон наведено римськими цифрами на рис. 1).
Для розв'язання зворотно! задачi в ггерацшнш процедурi методом Нью-тона-Рафсона необхщно обернути матрицю похiдних. Вузловi напруги, для яких обчислено похiднi мають номери 1 - 15, ^м 8 (рис. 1).
Пiдключення джерела струму було проведено для пар вузлiв 0...8 (по-зицiяl); 0.7 (2); 0.6 (3).
Велике значення при реалiзацi! алгоршшв (1) - (9) мае визначник матриц похiдних. Так для кожно!1 -! позицп було обчислено визначники
А1 = —1,4110—27 ; А2 =—4,5110—13; А3 = 3,1110—13.
Рис. 1. Фантом з 776 скшченних Рис. 2. Фантом з неоднорщшстю внизу
елеменпв, розбитий на 14 зон.
З наведених даних випливае, що для першо! позицп матриця похщних мае визначник,що дор1внюе нулю (внаслщок симетрп зон вщносно тдк-лючення джерела струму) або машинному нулю, тобто конкретне ненульо-ве значення Д е наслщком заокруглень за рахунок обмежено! розрядност операнд1в, 1 цю матрицю не можна використовувати для розв'язання зво-ротно! задача Погано зумовлену матрицю для першо! позицп можна обер-нути (з вщносно високою точшстю), але при цьому в матриц кожен стов-пець заповнений однаковими елементами, а !х значення дор1внюють числам порядку 1012 - 1014.
Останне свщчить про необхщшсть використовувати несиметричне тд-ключення джерела, що тдгверджуеться зростанням визначниюв Д2 та Д3 з1 зростанням асиметрп. Дляус1хтдключеньджерела1 - 3 проведено обчис-лення одше! ггераци загального 1теращйного процесу обчислення розподь лень поверхневих провщностей зон (рис. 1) для фантома з неоднорщшстю (рис. 2). Для цього фантома р1зниця м1ж обчисленими за виразами (3) -(11) значеннями прирощень [Даг ]та !х точними значеннями ощнювалась
вщносною р1зницею м1ж наданим значенням [Дгт ] та значенням, що отри-маш постановкою [Д&г ] в (1).
Так, для позицп 1 джерела струму отримуемо
[Даг ]|а) = [0,052; - 0,137; 0,03; - 0,113; 0,024; - 3,9; 37,62; 12,9]г [Даг = [1,79; 1,58; 1,76; 1,61; -1,74; - 5,64; 35,9; - 14,62]г [Даг ][г) = [0,76; 0,67; 0,141; 0,014; 0,014; 0,88; 3,99; 2,26]г
де [Д^г — обчислено за формулами (10);
[А°> ](
— за формулами (11);
[■Ааг ]( — за формулою (5).
Внаслiдок погано! зумовленосп, як матрицi похiдних, так i матрицi (В — Е) отримаш результати дуже вiдрiзняються мiж собою, а вщносш по-
хибки З/^ = (АZобч — А7над) / А7обч мають значення
3(а) = [—0,0005; — 0,0007; — 0,0006; — 0,0005; — 0,002; 0,0032; 0,0032; — 0,002]Т
= [—0,0063; — 0,0087; — 0,0095; — 0,0111; — 0,0117; — 0,0053; — 0,0051; — 0,0092]Т 3/ = [—0,0007; 0,0041; 0,006; — 0,0098; — 0,0049; 0,0033; 0,0033; 0,0002]Т
Тут АZобч — значення, обчислене подстановкою [А^г ](г) в вираз (1), а А^над — рiзниця мiж значенням передаточним опором фантома на попе-редньому крощ ггераци та вимiряним. Данi значення не е прийнятними для одержання коректних результат реконструкцп (вiзуалiзащ!) розподшення опорiв усерединi фантома. Значно кращi результати отримаемо при асиме-тричному тдключенш джерела струму. Наприклад, для позицп 3
[ Ао> ](а) = [—0,1404; 0,41; 0,1076; 0,1551; — 0,0836; — 0,078; 11,321; — 1,4907]Т [ Аа> ](Р) = [—0,1404; 0,41; 0,1076; 0,1551; — 0,0836; — 0,078; 11,321; — 1,4907]Т [Ааг ]/ = [0,007; 0,448; 0,0625; 0,051; 0,0284; 0,9813; 4,157; 1,8965]Т
;
33(а) = [7,3 ■10—17;—1,4 ■10—17;2,8 ■10—17; —5,6 ■10—17; —5,6 ■10—16;4,4 ■10—16; 2,7 ■10"16; —3,5 ■10" 16]Т
33(Р) = [9,4 ■10—17; —5,6 ■10—17; —8,3 ■10—17; —1,7 ■10—16; —7,2 ■10—16;2,9 ■10—16; 4,110"16;—1,89 ■10—16]Т
33(/) = [—4,47 ■ 10—5; —0,001; 0,0012; —0,002; —0,0036; 0,0017; 0,0011; 0,0013]Т
Як видно з наведених даних, маемо майже повне сшвпадшня результа-тiв розрахункiв за виразами (10) та (11) i значну похибку при використанш виразу (5). Таким чином, асиметричне тдключення джерела струму та ви-користання запропонованих в робоп алгоритмiв обчислення прирощень провiдностей дае змогу вщносно швидко (у порiвняннi до безпосереднього використання виразу (8)) знайти достатньо точш значення [ Астг ], яю задо-
вольняють рiвнянню (1).
Результати для друго! позицi! джерела струму аналопчш до результа-пв, отриманих для третьо! позицi!.
Як приклад, що шюструе властивост розв'язання зворотно! задачi методом зон провщност з використанням виразу (11), було розглянуто фан-томи з провщнютю фону (Т0 = 1 та з провщностями неоднорiдностей <т1 = 0,5. Були змодельоваш неоднорщност у формi даних зон та проведет розрахунки при наявност таких неоднорщностей окремо та при комбшу-ваннi !х одна з одною.
Yci результати обчислень (пiсля 40 ггерацш) дали спiвпадiння реконст-руйованих та наданих результат поверхнево! провщност з точнiстю до 11 -о! значущо! цифри.
Y випадку неоднорщностей, якi мають форму круга, квадрата i т.д., внаслiдок бiльшого «розшяння» лiнiй рiвноi напруги усерединi фантома в залежност вiд форми зон похибка буде бшьшою за рахунок «розповзання» неоднорiдностi по данiй зош та по сумiжним зонам.
Висновки
1. Недолiком ггерацшно! процедури е необхiднiсть навiть для матриць похiдних невеликих порядкiв (6 - 30) виконувати N = 2м, тобто тисячi -десятки мшьйошв ггерацш.
2. Запропонована iтерацiйна процедура «з логарифмiчним кроком» до-
зволяе отримати результат за м ггерацш замiсть 2м класичного алгоритму, що радикально шдвишуе швидкодiю процедури обчислення корегую-чих прирощень поверхневих провщностей.
3. Приведена безiтерацiйна процедура обчислення корегуючих прирощень дозволяе отримати результат оберненням матриц невеликого (6 - 30) порядку за один крок.
4. Розроблеш методи замши ггерацшно! процедури уточнених обчислень прирощень корегуючих значень провщностй зон легко програмують-ся i дають задовiльнi результати.
5. При виявленш змодельованих неоднорiдностей у формi зон фантому були отримаш результати з точнiстю до 11-1 значущо! цифри.
6. При виявленш неоднорщностей довшьно! форми характер та розта-шування неоднорiдностi зберiгаеться, але вiдбуваеться певне «розповзання» на сусщш зони.
Перел1к посилань
1. Brown B. H. Electrical Impedance Tomography/ B. H. Brown, D. C. Barber // Clinical Physics and Physiological Measurement. — 1992. — Vol. 13, Suppl. A. — 207p.
2. Электроимпедансная томография / Я. С. Пеккер, К. С. Бразовский, В. Ю. Усов, М. П. Плотников, О. С. Уманский. — Томск: ООО «Издательство научно-технической литературы», 2004. — 190 с.
3. Yorkey T. J. A comparison of impedance tomographic reconstruction algorithms / T. J. Yorkey, J. G. Webster // Clin. Phys. Physiol. Meas. — 1987. — Vol. 8, Suppl. A. — pp. 843—852.
4. Сушко I. О. Алгоритм розв'язання прямо! задачi iмпедансноi томографа методом
модифшацш / I. О. Сушко // Вюник НТУУ «КП1». Серiя Радiотехнiка. Радюапаратобу-дування. — 2011. — № 47. - С. 165—175.
5. Рыбин А. И. Численно-символьный анализ электрических цепей обобщенным методом модификации / А. И. Рыбин // Пращ 1нституту Електродинамши НАН Украь ни, 1ЕД НАНУ — 2002. — №1. — С. 28—30.
6. Сушко I. О. Потенцшна чутливють iмпедансноi томографа / I. О. Сушко, С. В. Гайдаенко, О. А. Якубенко // Вюник НТУУ «КШ». Серiя Радiотехнiка. Радюапа-ратобудування. — 2012. — № 50. — С. 92—104.
7. Рибша I. О. Метод промешв провщностей та моделювання фантома в iмпеданс-нiй томографii // Вiсник ЖДТУ. — 2010. — № 2(53). — С. 160—161.
8. Сушко И. А. Визуализация распределения поверхностных проводимостей томографического сечения методом зон проводимости / И. А. Сушко // Известия вузов. Радиоэлектроника. — 2013. — Том 56, № 7. — С. 60—68.
9. Сушко И. А. Сравнение классического метода решения обратной задачи импеда-нсной томографии с методом зон проводимости / И. А. Сушко, А. И. Рыбин // Вестник НТУУ «КПИ». Серия Радиотехника. Радиоаппаратостроение. — 2012. — № 49. — С. 166—177.
10. Sushko I. O. Features of solving the Electrical Impedance Tomography inverse problem by zones conductivities method / I. O. Sushko, A. I. Rybin // Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv. — 2012. — № 51. — С. 106—114.
11. Рибша I. О. Розв'язання зворотно'1' задачi iмпедансноi томографа методами зон провщностей та зворотно'1' проекцп / I. О. Рибша, О. I. Рибш, О. Б. Шарпан // Вюник НТУУ «КШ». Серiя Радютехшка. Радюапаратобудування. — 2011. — № 45. — С. 33— 45.
12. Сушко I. О. Особливосп використання методу регуляризацп при розв'язанш зворотно'1 задачi iмпедансноi томографа методом зон провщносп /I. О. Сушко, О. I. Рибш // Нау^ вют НТУУ «КШ». — 2013. — №5. — С. 14—22.
13. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Ар-сенин. —М. : Наука,1979. — 288 c/
14. Сушко И. А. Оценка уровня кавитации методами импедансной томографии / И. А. Сушко, Е. В. Гайдаенко, А. В. Мовчанюк, А. И. Рыбин // Вестник НТУУ «КПИ». Серия Радиотехника. Радиоаппаратостроение. — 2012. — № 48. — С. 168—178.
15. Рибша I. О. Обчислення похщних вщ передаточного опору по поверхневш провщносп кшцевих елемешив при розв'язанш зворотно! задачi iмпедансноi томографп методом зон провщносп. / I. О. Рибша, О. I. Рибш, О. Б. Шарпан // Вюник НТУУ «КШ». Серiя Радютехшка. Радюапаратобудування. — 2011. — № 44. — С. 16—28.
References
1. Brown B.H. and Barber D.C. (1992) Electrical Impedance Tomography. Clinical Physics and Physiological Measurement. Vol. 13, Suppl. A, 207p.
2. Pekker Ya.S., Brazovskii K.S., Usov V.Yu., Plotnikov M.P. and Umanskii O.S. (2004) Elektroimpedansnaya tomografiya [Electrical impedance tomography]. Tomsk, Izdatel'stvo nauchno-tekhnicheskoi literatury, 190 p.
3. Yorkey T.J. and Webster J.G. (1987) A comparison of impedance tomographic reconstruction algorithms. Clin. Phys. Physiol. Meas. Vol. 8, Suppl. A, pp. 843-852.
4. Sushko, I. O. (2011) Algorithm for solving the Electrical Impedance Tomography forward problem by the modification method. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., No. 47, pp. 165-175. (in Ukrainian)
5. Rybin A.I. (2002) Chislenno-simvol'nyi analiz elektricheskikh tsepei obobshchennym
metodom modifikatsii [Numerical and symbolic analysis of electric circuits by the generalized modification method]. Pratsi Instytutu Elektrodynamiky NAN Ukrainy, IED NANU, No 1, pp. 28-30.
6. Sushko I. O., Gaydayenko E. V. and Yakubenko A. A. (2012) Electrical Impedance Tomography potential sensitivity. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 50, pp. 92-104. (in Ukrainian)
7. Rybina I.O. (2010) Metod promeniv providnostei ta modeliuvannia fantoma v impedansnii tomohrafii [Rays conductivity method and simulation phantom in impedance tomography]. VisnykZhDTU, No 2(53), pp. 160-161.
8. Sushko I.A. (2013) Visualization of surface conductivity distributions of tomography cross-section using conductivity zones method. Radioelectronics and Communications Systems, Vol. 56, No 7, pp. 377-383.
9. Sushko I. O. and Rybin A. I. (2012) Comparison of classical and conductivity zones methods for solving EIT inverse problem. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 49, pp. 166-177. (in Russian)
10. Sushko I. O. and Rybin A. I. (2012) Features of solving the Electrical Impedance Tomography inverse problem by zones conductivities method. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 51, pp. 106-114.
11. Rybina I. O., Rybin A. I. and Sharpan O. B. (2011) Solving the Electrical Impedance Tomography (EIT) inverse problem by the conductivity and back projection methods. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 45, pp. 33-45. (in Ukrainian)
12. Sushko I.O., Rybin O.I. (2013) Osoblyvosti vykorystannia metodu reguliaryzatsii pry rozviazanni zvorotnoi zadachi impedansnoi tomographii metodom zon providnosti [Features of the regularization method in solving the inverse problem of impedance tomography by zones of conductivity]. Naukovi visti NTUU "KPI", No 5, pp. 14-22.
13. Tikhonov A.N. and Arsenin V.Ya. (1979) Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for solving incorrect problems]. Moskow, Nauka Publ., 288 p.
14. Sushko I. O., Gaydayenko E. V., Movchanyuk A. V. and Rybin A. I. (2012) Assessing the level of cavitation methods impedance tomography. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 48, pp. 168-178. (in Russian)
15. Rybina I. O., Rybin A. I. and Sharpan O. B. (2011) Determination of derivatives of transfer resistance on surface conductivity of finite elements by the conductivity method for solving the forward problem of Electrical Impedance Tomography. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 44, pp. 16-28. (in Ukrainian)
Сушко I. О. Модиф1кац1я Шерацтиого алгоритму обчислення прирощень по-верхневих пров1дностей прирозв'язант зворотног задач1 електро1мпедансног томографы. Запропоновано алгоритми замти терацтног процедури регуляризаци за А. Н. Тихоновим терацтною процедурою з логарифм1чним кроком та не терацтним обчисленням оберненоХ матрищ, яка складаеться на баз1 матриць пох1дних eid напруг (по обводу контуру) по поверхневим провiдностям зон. Запропонован алгоритми легко програмуються та забезпечують високу точтсть та хорошу збiжнiсть терацтног процедури реконструкци образу з проекцт. Крiм того, запропонован алгоритми знач-но скорочують кшьк1сть арифметичних операцт та час обчислень на ЕОМ. Отриман результати ыюструються прикладамирозрахуншв.
Ключов1 слова: електроiмпедансна томографiя, метод зон провiдностi, регуляри-защя, матриця похiдних, фантом, зворотна задача, точтсть, зумовлетсть матриць.
Сушко И. А. Модификация итерационного алгоритма вычисления приращений
поверхностных проводимостей при решении обратной задачи электроимпедансной томографии. Предложены алгоритмы замены итерационной процедуры регуляризации по А. Н. Тихонову итерационной процедурой с логарифмическим шагом и не итерационным вычислением обратной матрицы, составляемой на базе матриц производных от напряжений по обводу контура по поверхностным проводимостям зон. Предложенные алгоритмы легко программируются и обеспечивают высокую точность и хорошую сходимость итерационной процедуры реконструкции образа по проекциям. Кроме того, предложенные алгоритмы значительно сокращают количество арифметических операций и время вычислений на ЭВМ. Полученные результаты иллюстрируются примерами расчетов.
Ключевые слова: электроимпедансная, метод зон проводимости, регуляризация, матрица производных, фантом, обратная задача, точность, обусловленность матриц.
Sushko I. Modifikation of iteration algorithm for computing the surface conductivitie sincrements solving the inverse problem of electrical impedance tomography.
Introduction. Thereplacement algorithms of regularization iterative procedure by A. Tykhonov with iterative procedure with logarithmic step and not iterative calculation of inverse matrix are proposed. The matrix is based on matrices of derivatives from contour voltages on zones surface conductivities.
The results. The results are illustrated by examples of calculations. The inhomogeneities in the form of zones and with arbitrary shape were simulated. The computation results and results of reconstruction are identical with accuracy to the 11th significant digit for inhomogeneities in the form of zones. Defying the inhomogeneity with arbitrary shape its character and location are maintained and there is a certain "spread" in the neighboring area.
Conclusions. The proposed algorithms are easily programmed and provide high accuracy and good convergence of iterative procedure of image reconstruction from projections. Besides the algorithms significantly reduce number of arithmetic operations and computation time on PC.
Keywords: Electrical Impedance Tomography, conductivity zones method, regularization, derivative matrix, phantom, inverse problem, accuracy, matrix conditionality.
