CC BY
14
ПЕРЕЛ1К ПО СИ ЛАНЬ
1. Дворянкин С. В. Обоснование критериев эффективности защиты речевой информации от утечки по техническим каналам / Дворянкин С. В., Макаров Ю. К., Хорев А. А. // Защита информации. INSIDE. - 2007. -№ 2. - С. 18-25.
2. Хорев А. А. Оценка эффективности защиты информации от утечки по техническим каналам / Хорев А. А. // Специальная техника. - 2007. - № 1. - С. 51-64.
3. НД T3i-P-001-2000. Засоби активного захисту мовноТ шформаци з акустичними та в1броакустичними дже-релами випромшювання. Класиф1кац1я та загальш техшчш вимоги. - [Чинний в1д 2000-04-12]. - КиТв : ДСTС3i СБ УкраТни, 2000. - 23 с.
4. Журавлев В. Н. Анализ метода расчета параметра эффективности маскирования речи в технических каналах утечки / Журавлев В. Н., Архипова Е. А. // Ра-дюелектрошка, ¡нформатика, управлшня. - 2007. -№ 15. - С. 57-64.
5. Архипова О. О. Метод розрахунку функцп ефектив-ност1 маскування мови / О. О. Архипова // Теоре-тичш i прикладш проблеми ф1зики, математики та ¡нформатики : VI Всеукр. наук.-практ. конф, 18 кв^ня 2008 р. : тези допов^ей. - К., 2008. - С. 76-77.
6. Цвикер Э. Ухо как приемник информации : пер. с нем. / Цвикер Э., Фельдкеллер Р. ; под редакцией Б. Г. Белкина. - М. : Связь, 1971. - 255 с.
7. Покровский Н. Б. Расчет и измерение разборчивости речи / Покровский Н. Б. - М. : Связьиздат, 1962. - 392 с.
8. Прокофьев М. И. Анализ результатов артикуляционных и сегментальных испытаний сигналов маскирования речи / Прокофьев М. И., Журавлев В. Н. // Пра-вове, нормативне та метролопчне забезпечення сис-теми захисту ¡нформаци в УкраУш. - 2006. - № 13. -С. 14-23.
9. Вемян Г. В. Передача речи по сетям электросвязи / Вемян Г. В. - М. : Радио и связь, 1985. - 272 с.
Надшшла 1.10.2008
В статье рассмотрен корреляционный метод оценки эффективности аддитивного маскирования речевого сигнала. Проведены экспериментальные исследования параметра эффективности маскирования методом корреляционной обработки спектральной плотности мощности маскирующего и тестового сигналов для украинского языка. Оценена адекватность метода обработки.
In the paper the correlation method of effectiveness estimation of verbal sig-nals addition masking is considered. The experimental researches of mask-ing effectiveness parameter by the method of correlation processing of spectral density of the masking and test signals power for the Ukrainian language is performed. The adequacy of processing method is estimated..
УДК 519.711
В. С. Бабков
М0ДИФ1КАЦ1Я 16РАРХ1ЧН0Г0 МЕТОДУ RBF ДЛЯ ОТРИМАННЯ 30-М0ДЕЛЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛАЗЕРНОГО СКАНУВАННЯ
У робот1 розглядаеться задача побудови поверхт у простор1 3В на основ1 даних тривим1рного лазерного сканування. Викладено суттсть модиф1кованого алгоритму, який базуеться на метод1 1ерарх1чноЧ ЯВЕ, але адаптований до тривим1рного простору г мае покра-щент часов1 характеристики. Ефективтсть методу тдтверджено експериментально.
ВСТУП
У наш час у багатьох галузях науки 1 техшки важ-ливу роль в1д1грае використання тривим1рних ком-п'ютерних моделей, побудованих за результатами досл1дження реальних об'ект1в складно! форми. По-д1бна задача виникае, наприклад, у таких випадках: пошук дефект1в у структур! об'екпв, вивчення внут-ршньо! структури об'екта без його руйнування, в1д-новлення об'екту за неповними даними, побудова тривим1рних моделей рухливих об'екив у реальному час1; оцшка, реконструкщя 1 проектування великих промислових об'екив 1 д1лянок м1сцевост1.
1снуе велика к1льк1сть методов одержання про-екц1йних даних для побудови тривим1рних моделей. Загальна риса цих методов - видача результатов сканування у вигляд! «хмари» точок, що описують по© Бабков В. С., 2009
66
верхню об'екта або системи взаемопов'язаних об'ек-TiB. Зокрема при одержанш проекцшних даних про досить велию об'екти складно'! форми (шженерш споруди, будинки, дiлянки мiсцевостi) застосовуеться метод лазерного сканування зовшшньо! поверхнi [1].
АНАЛ13 СТАНУ ПИТАНИЯ
За результатами аналiзу алгорштшв та методiв побудови тривимiрних поверхневих моделей реальних об'екпв за проекцiйними даними, який було зробле-но у [2], можна видiлити наступнi етапи обробки, яю здiйснюють найбiльший внесок у загальний час реконструкци:
- розрахунок функци RBF для всiх пар проекцшних точок;
- розв'язання системи лшшних рiвнянь велико! розмiрностi;
- обчислення поверхш за допомогою штерполянта.
На кожному з цих етатв обчислювальна склад-
нiсть та час виконання операцш визначаються зна-ченням N - кшьюстю проекцiйних точок.
Проаналiзувавши вiдомi методи побудови поверхневих моделей, можна зробити висновок, що змен-
ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння» № 1, 2009
В. С. Бабков: МОДИФ1КАЦ1Я 1еРАРХ1ЧНОГО МЕТОДУ ИБР ДЛЯ ОТРИМАННЯ 3Б-МОДЕЛЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛАЗЕРНОГО СКАНУВАННЯ
Рисунок 1 - Загальна схема паралельного метос побудови поверхневоЧ модел1
шення обчислювально! та просторово! складност1 досягаеться за рахунок зменшення к1лькост1 проек-цшних точок, що беруть участь у розрахунках (мето-ди штИБР С8ИВР, РММ), а також за рахунок де-композицп точок на групи [3].
Подальше зменшення часових витрат на р1зних етапах побудови тривим1рно! модел1 дощльно здш-снювати за рахунок розпаралелювання алгоритм1в та метод1в. Зг1дно з висновками, як1 були зроблеш у [4], в1дом1 алгоритми та структури даних не присто-соваш до паралельно! реал1зацп. Тому у робой ставиться задача запропонувати та досл1дити засоби тдвищення ефективност1 алгоритм1в, з точки зору зменшення часових витрат.
Для розв'язання поставлено! задач1 пропонуеться модиф1кувати в1дом1 методи, засноваш на декомпо-зици точок, для паралельно! реал1заци. Схема под1б-них метод1в наведена на рис. 1.
Як прототип даного методу використовуеться метод 1ерарх1чно! КБР-штерполяци, який було запропо-новано в [3] для побудови тривим1рних ландшафпв за контурними геодезичними даними.
Наведений метод для застосування у якост1 методу розрахунку поверхш за тривим1рними проекцшними даними мае таю недол1ки:
- метод передбачае використання двовим1рних до-мешв (площин);
- на етат декомпозицп використовуеться процедура впорядкування, яка при значнш юлькоси про-екцшних точок (106..Л09) [5] призводить до великих часових витрат;
- часов1 характеристики визначеш за експеримен-тальними даними [3], показують, що для проек-цшних даних 1з юльюстю точок и 105 час побудови поверхш складае у середньому 100...500 с, що не дозволяе виконувати реконструкщю поверхш у ре-
альному чаи, особливо для динам1чних об'екив та при значно бшьшш кшькосп проекцшних точок;
- структура под1лу простору на домени не е регулярною, тобто домени в1др1зняються один в1д одного 1 !х структура прив'язана до розташування точок у простор1.
У робот [6] була здшснена спроба адаптувати да-ний метод до використання у тривим1рному простор1, але при цьому до розташування центр1в штерполяцп висувалися жорстк1 вимоги. Декомпозищя на групи в1дбувалася за рахунок природного под1лу точок на групи, розташоваш у паралельних площинах (як це найчастше бувае при отриманш проекцшних даних методами неруйшвного сканування - томограф1я 1 т. п.). Таким чином 1ерарх1чний под1л на тддомени не використовувався, а глобальна функщя штерпо-ляци обчислювалася як лшшна комбшащя вс1х ло-кальних розв'язань з урахуванням в1дносного розташування паралельних площин одна в1д одно!.
ОПИС МОДИФ1КОВАНОГО МЕТОДУ
ПОБУДОВИ ПОВЕРХН1
ЗА ПРОЕКЦШНИМИ ДАНИМИ
Для використання 1ерарх1чного методу для ре-конструкци поверхш за проекцшними точками у три-вим1рному простор1 та для зменшення обчислювально! складност1 пропонуеться наступна модиф1кащя.
Розглянемо посл1довно етапи декомпозицп та ком-позицп. Пропонуеться для тривим1рного простору, у якому м1ститься множина проекцшних точок Р, така
що Р = |с{ = (хь уь г{)^сЯ3, здшснювати рекур-
сивну декомпозищю на р1вш частини, що не перехре-щуються. Тобто нехай задана множина точок Р, яка
poзтaшoвaнa y гaбapитнoмy oб'eктi (box) B , iз ^н-тpoм в точщ c0 тa cтopoнoю a0. ^и дeкoмпoзицiï na кoжнoмy piвнi дoмeн B1 poзбивaeтьcя нa вiciм piвниx
1+1 1+1
пiддoмeнiв b1 , ..., b8 , щo нe пepexpeщyютьcя, тоб-
тo ^ bi +1 = 0. Öe зaбeзпeчить peгyляpнicть CTpy^
i = 1
тypи дaниx, якa yтвopюeтьcя пpи дeкoмпoзицiï. Па-paмeтpи дoмeнiв oбчиcлюютьcя зa нacтyпними фop-мyлaми:
2
1+1 1 c8 = c I x-
1+1
- z —-
2 z 2
1+1 1+1 aa
2 ' z + 2
V' y+V' z + VI. (1)
Mнoжинa тoчoк P1 poзпoдiляeтьcя мiж пiддoмeнaми зa пpocтopoвoю пpинaлeжнicтю кoжнoмy з ниx, тoмy m кoжнoмy piвнi дeкoмпoзицiï oтpимyeтьcя вгам тд-мнoжин P11+1, ..., P8+1. Taким чинсм зникae Mo6-xiднicть y пoпepeдньoмy впopядкyвaнню цeнтpiв ш-тepпoляцiï y тажгому дoмeнi. Пpи тaкoмy мeтoдi poз-пoдiлy тoчoк мiж пiддoмeнaми мoжливa cитyaцiя, зa якoï пiддoмeн œ мicтитимe жoднoï тoчки. Taêi пiддo-мeни нe мoжyть бpaти yчacтi в oбчиcлeннi глoбaль-нoï функци iнтepпoляцiï i викoнyвaти для ниx пo-дaльшy дeкoмпoзицiю нe пoтpiбнo. Toмy нa кoжнoмy кpoцi фopмyeтьcя дoмeн нacтyпнoгo piвня 1 + 1, який являе coбoю мгожину пiддoмeнiв, дo якoï cлiд зacтo-coвyвaти пoдaльшy дeкoмпoзицiю:
1+1 1+ 1 1+1 B = {bl bk }, (2)
дe k = 1' 8; vbi+1 g B1 +1 ^ P¡+1 , i = 1, k.
У peзyльтaтi oтpимyeтьcя дepeвoвиднa cтpyктypa.
Для дoвiльнoï тoчки p глoбaльнe poзв'язaння пpo-пoнyeтьcя вiдшyкyвaти зa дoпoмoгoю пocлiдoвнoгo пoeднaння лoкaльниx poзв'язaнь, пoчинaючи з най-нижчoгo piвня дeкoмпoзицiï. Toбтo для тoчки p rao-бaльнe poзв'язaння нa piвнi 1 бyдe oбчиcлювaтиcя зa фopмyлoю
f ( p) = С (F1 +1( p )) ,
(З)
дe С - дeякa функщя, якa зaбeзпeчye бeзпepepвнicть
1+1
poзв язaння нa мeжax пiддoмeнiв; F - мнoжинa знaчeнь лoкaльниx poзв'язaнь y пiддoмeнax нижчoгo piвня.
F1 +1(p) = wp)f +1(p)[, i g B1 + 1
(4)
дe ai + 1(p ) - к^ф^ент впливу лoкaльнoгo poзв'язaн-
ня na глoбaльнe; f1 +1(p)
1+1 i
тepпoлянтy; B - мнoжинa пiддoмeнiв нижчoгo piв-ня, якi бepyть yчacть y poзpaxyнкy.
знaчeння лoкaльнoгo ш-
Вплив нa глoбaльнe poзв'язaння мoжe здiйcнювaти як лoкaльний iнтepпoлянт пiддoмeнy, y якoмy знaxo-дитьcя точм p, тaк i лoкaльнi iнтepпoлянти пiддo-мeнiв, щo e cyciднiми (тoбтo мaють тoгo ж дoмeнa пpeдкa i poзтaшoвaнi нa oднoмy piвнi з вкaзaним).
У зв'язку з цим, нa вiдмiннicть в^ вiдoмиx мe-тoдiв, y дaнoмy випaдкy ввoдитьcя двa вapiaнти функци вiдcтaнi ßint(p) тa ßext(p). Для зaбeзпeчeння yмo-ви ^ ai(p) = 1, кoeфiцieнти пoвиннi бути нopмo-
вaними, i oбчиcлювaтимyтьcя зa фopмyлoю
ai(p) =
ßint. ( p)
(5)
ßinti( p ) + X ß ext( p )
i g b1 + 1 - bi
У загальнoмy випaдкy функци вiдcтaнi пoвиннi зa-дoвoльняти нacтyпним yмoвaм:
|0, p лeжить на мeжi пiддoмeнy;
ßint(p) = . . (6)
[1, p лeжить y цeнтpi пiддoмeнy,
0, p лeжить y ^rnpi cyciдньoгo пiддoмeнy;
1, p лeжить на мeжi дaнoгo пiддoмeнy,
нaйбiльшe вiддaлeнa вiд cyciдньoгo пiддoмeнy.
(7)
ßext( p) =
Функщя бeзпepepвнocтi С пoвиннa зaбeзпeчyвaти бeзпepepвнicть poзв'язaння (тoбтo вiдcyтнicть тoчoк poзpивy пepшoгo poдy) на мeжax дoмeнiв. Для цьoгo y вiдoмиx aлгopитмax викopиcтoвyeтьcя, в зaлeжнocтi в^ мipнocтi пpocтopy, фyнкцiя згacaння [З, 5]. У мoдифiкoвaнoмy aлгopитмi пpoпoнyeтьcя пoeднyвaти чacтини лoкaльниx iнтepпoлянтiв за дoпoмoгoю нac-тyпнoï фyнкцiï:
1 + X f1 +1 ( p ) С (F 1 + 1( p)) = i G BB-+ + l|-. (8)
Загальний вид мoдифiкoвaниx aлгopитмiв дeкoмпo-зицiï та oбчиcлeння глoбaльнoгo iнтepпoлянтa мйжна зaпиcaти нacтyпним чинoм:
Дeкoмпoзицiя (P, B0)
I n = \P\
якщo n > M, то
I
poзpaxyнoк пapaмeтpiв a
1 +1
1 +1
визнaчeння пiдмнoжин P1
фopмyвaння мнсжини B1 + 1
l +1
для bi g B
1 +1 c1 ,
P +1 . , P8
l+1 c8
l+1
+1
l+ 1
a
c
= c I X -
В. С. Бабков: МОДИФ1КАЦ1Я 16РАРХ1ЧНОГО МЕТОДУ RBF ДЛЯ ОТРИМАННЯ 3Б-МОДЕЛЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛАЗЕРНОГО СКАНУВАННЯ
ДекомпозицГяр+\ bi)
}
1накше
Локальне розв'язання RBF-системи для множини P
}
Обчислення(р, Bl)
{ якщо p £ Bl, то повернути 0 якщо l - це лист дерева, то
повернути frbf{p )
1накше {
визначення pint(p), Pextl(p), ..., p)
и г.1 + 1
для bi е B {
визначення a (p)
fi +1(p) = аi *Обчислення (p, bi)
}
формування множини F повернути C (Fl +1)
i +1
}
Вх1дними даними алгоритму декомпозицГ' е множи-на точок P та поточний домен B, що мГстить дану множину. M - це максимальна кГлькГсть точок, яка може бути у довГльному доменГ пГсля декомпозицп. Даний параметр може визначатися розм1ром системи, яка може бути локально розв'язана при посл1довному або паралельному способ1 обчислення.
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВПЛИВУ ВИДУ ФУНКЦП' В1ДСТАН1 НА ПОХИБКУ МЕТОДУ
При розробцГ модифГкованого алгоритму виникае проблема вибору виду функци вГдстанГ р. Врахову-ючи умови (6), (7), схематично функцГю вГдстанГ можна зобразити так: див. рис. 2.
Як зрозумГло з умов, як1 висуваються до функци Pint, функцГя повинна характеризувати вплив локального Гнтерполянту на значення у точцГ p в залеж-ностГ в1д i'i' розташування у доменГ. Чим бГльше точка вГддалена в1д центру 1нтерполяц1i' (центру домену), тим меншим е вплив локального Гнтерполянта. Ме-жовими випадками е розташування точки p в центрГ ГнтерполяцГ' (центрГ домену) та розташування на межГ домену.
У першому випадку вплив максимальний Pint(p) = = 1, у другому - мГнГмальний Pint(p) = 0. АналогГчнГ доводи можна навести 1 для функци Pext. В1дм1нн1сть полягае у тому, що Гнтерполянт сусГднього домену найменше впливае у випадку, коли точка p най-бГльше вГддалена в1д його центру Гнтерполяци (центру домену), тобто знаходиться на протилежн1й меж1 поточного домену. НайбГльший вплив спостерГгаеться при розташуваннГ точки p у центрГ ГнтерполяцГ' су-с1днього домену (центр1 домену). У попередн1х твер-дженнях поняття «центр Гнтерполяци» та «центр домену» ототожнюються. У реальних випадках це не так, оск1льки кожен домен може м1стити к1лька цен-тр1в Гнтерполяци (не бГльше за Thresh) 1 ц1 центри можуть дов1льно скупчуватися у р1зних м1сцях домену. У запропонованому методГ вГдправну точку для обчислення функци вГдстанГ пропонуеться обирати як центр мас центрГв Гнтерполяци домену.
Розглянемо можливГ варГанти вибору функци вГдстанГ з точки зору зменшення похибки при визна-ченнГ глобального розв'язання на основГ локальних. У якостГ функцГ' вГдстанГ будемо розглядати наступнГ варГанти: див. рис. 3 (на приклад! функци Pint).
ЗалежностГ, вказанГ на рис. 3, математично мо-жуть бути вираженГ, наприклад, наступним чином:
4|p - с + |11 с + 1- р
f1(p) =
де с - центр домену; а - сторона домену.
(9)
Центр домену Межэ доменГ
Рисунок 2 - Схематичне зображення функцш eidcmani
}
а
f2(p) =
1
2 (i p - c-4-)
1 + e
f3(p) =
Vl + k2(p - c)2
(10)
(11)
дe k - кoeфiцieнт згладжування.
Слщ зазначити, щo фyнкцiя (9) - щ квaдpaтичнa фyнкцiя вiдcтaнi, зaпpoпoнoвaнa в [3]. Фyнкцiя (11) -щ iнвepcний мyльтиквaдpик (IMQ). ^и викopиcтaн-нi фyнкцiï (11) пapaмeтp k oбчиcлюeтьcя за фopмy-лoю
k = c - ce, (12)
дe c - ^rnp пoтoчнoгo дoмeнy; ce - ^rnp cyciдньoгo дoмeнy.
Taкий вибip кoeфiцieнтy згладжування зaбeзпeчye
yм0вy: p ^c ± a ^f3 (p)^0.
Poзглянeмo, як впливае вибip фyнкцiï вiдcтaнi на пoxибкy пpи poзpaxyнкy глoбaльнoгo iнтepпoлянтa. Для цьoгo poзглянeмo yзaгaльнeнy cитyaцiю, мли мнoжинa цeнтpiв iнтepпoляцiï poзбивaeтьcя на два дo-мeни: Di:ci' c2'...' cm та D2: cm + ь cm + 2'---' Cд, дe Д -загальна юлькшть цeнтpiв iнтepпoляцiï. Зaпишeмo глoбaльний iнтepпoлянт, який мoжнa oтpимaти пpя-мим мeтoдoм RBF (F1) та глoбaльний iнтepпoлянт, oтpимaний за дoпoмoгoю мoдифiкoвaнoгo aлгopитмy (F2):
Д
fi( p) = хх1ф( p' ci ) ;
i=1
F( (p) = F ' (p ) + F " (p ) H- 1,
(1З)
дe F'( p), F"( p) - лoкaльнi iнтepпoлянти з ypaxyвaн-ням вaгoвиx кoeфiцieнтiв. Зaпишeмo виpaзи для лo-кaльниx iнтepпoлянтiв:
F'(p) = al(p)f (p) = al(p)XXi' Ф(p' ci'),
i = 1
F"(p) = a2(p)f"(p) = a2(p) XX X"ф(p' c"). (14)
Bpаxoвyючи, щo пpи poзpaxyнкy глoбaльнoгo ш-тepпoлянтa F1(p) пopядoк, y ятаму впopядкoвaнi точки c, знaчeння нe мае, Hoœna вважати, щo вci цeн-тpи iнтepпoляцiï згpyпoвaнi y виглядi c1, ..., cm, cm +1, ., cД. Завдяки тaкiй впopядкoвaнocтi HoœEa cтвep-джувати, щo
Ф(P' ci') = Ф(P' ci), i g[ 1' m], ф(P' c") = ф(P' ci), i g [m + 1' д].
(15)
Bpaxoвyючи виpaзи (13-15), зaпишeмo знaчeння aбcoлютнoï пoxибки пpи oбчиcлeннi глoбaльнoгo iн-тepпoлянтa:
A F = F1 - F2 =
Д m Д
2 XXiф(P' Ci) - «l (P)XX'Ф(P' Ci) - a2(P) X X"Ф^' Ci) - 1
i = 1 i = 1 i = m + 1
O^^rn мeта вибopy функци вщсташ - змeншeн-ня пoxибки, тo AF ^ 0. Для цьoгo вepxня частина дpoбy пoвиннa cпpямoвyвaтиcя дo 0, а вiдпoвiднo, йoгo лiвa частина дo 1. Шляxoм пpocтиx пepeтвopeнь визнaчaeмo, щo для змeншeння пoxибки пoвиннa ви-кoнyвaтиcя yмoвa
X Ф(P' Ci)(2Xi - «i(p)Xi) +
i = 1
+ X Ф(P' Ci)(2Xi - a2(p)X")^ 1. (16)
Moжна бачити, щo лiвa чacтинa виpaзy - цe rao-бальний iнтepпoлянт, oтpимaний за пpямим мeтoдoм
m +1
i = m + 1
В. С. Бабков: МОДИФ1КАЦ1Я 1еРАРХ1ЧНОГО МЕТОДУ ИВЕ ДЛЯ ОТРИМАННЯ 3Б-МОДЕЛЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛАЗЕРНОГО СКАНУВАННЯ
ИВЕ, 1 умова (16) буде виконуватися у наступних випадках:
2Хг - а2(р= Хг, г е [т + 1, ^]; 2кг - а1(Р)к = К г е [ 1 т] .
(17)
Розглянемо на приклад! першо! умови. Виразимо к
а1 (р) = 7Т. З шшого боку, наприклад, для випадку
двох центр1в 1нтерполяц1! у двох доменах за формулою (5) можна записати:
а1(Р) =
Рш,( Р)
Рт1,( Р ) + Рех1,( Р )'
(18)
Права частина виразу (18) для випадку двох цент-р1в 1нтерполяц1! у двох доменах може бути визначена наступним чином. Хг - це коефщ1енти, що у даному випадку е розв'язанням системи р1внянь виду
(19)
Розв'язуючи систему (19) отримуемо: = к2 =
1 - ф(с, се) I-2
= -2-. Враховуючи, що ф(с, се) = ^ 1 + (с - се)
1 - Ф (с, се)
1 покладаючи с - се = й, отримаемо:
1 Ф(с, се) * \\ 1
ф(се, с) 1 >2 _1_
, _ , _ 41+72 - 1 = ^2 = -
й2
(20)
Розв'язуючи локально системи, отримуемо: к = = к2 = 1. В1дпов1дно, вираз (20) буде правою части-ною. Розглянемо, як буде визначатися похибка у визначенш виразу для а1(р) в залежност1 в1д виду функцп в1дсташ.
Для квадратично'! функцп' вираз (9) поставляемо у формулу (18) 1 зр1внюемо з виразом (20). У результат отримуемо:
Аа =
Р - с II с Р
У 1 + й2 - 1
2сР - 2Р2 - С2 + 0" + 2сеР - с2
й2
. (21)
Аналогично для експоненц1йно! функцп отримуемо:
2(1 Р - се\ - 4)
Аа =
1 + е
У1 + й 2 - 1
2 + е~2 (е2<| Р - се) + е21 Р - с|) 1 для функцп 1МО отримуемо:
7 1 + (Р - с е ) 2
й2
(22)
Аа =
+ (Р - се)2 + У 1 + (с - се)2(Р - с)
л/1 + й 2 - 1
й2
(23)
Проанал1зуемо вирази (21-23). У даних виразах: Р - поточна точка домену, с - центр штерполяцп поточного домену, се - центр 1нтерполяц1! сус1днього домену, а - сторона домену, й - в1дстань м1ж центрами штерполяцп (с - се).
Якщо домен мае сторону а, то точка Р може лежа-ти у межах [с...се], а параметр й може змшюватися у межах [0.2а]. Побудуемо графики залежност1 по-хибки визначення а в1д Р та й, заф1ксувавши с та а (див. рис. 4).
Проанал1зувавши рис. 4, можна зробити наступш висновки. При використанш квадратично! функци в1дсташ абсолютне значення похибки при Р е [ с, се] 1 й е [0, 2а] не перевищуе 0,08. Оск1льки максимальне значення а = 1, то це в1дпов1дае в1дносн1й похибщ
а) б) в)
Рисунок 4 - Залежностг абсолютног похибки Аа вгд розташування шуканог точки та вгдсташ мгж центрами
штерполяцп для функцп в1дстат: а - квадратично!, б - експоненцшно!, в - 1МО
8 %. Kpiм тoгo, для пeвниx тамб^ацт пapaмeтpiв p та d визнaчeння знaчeння фyнкцiï yнeмoжливлю-eтьcя, тому дoвoдитьcя викoнyвaти дiлeння на нуль. ^и викopиcтaннi eкcпoнeнцiйнoï функцп в^-cтaнi aбcoлютнe знaчeння пoxибки пpи p g [c, ce] i d g [0' 2a] œ пepeвищye 0,01, цe вiдпoвiдаe вiднocнiй пoxибцi 1 %. Пpи цьoмy нaйгipшим випaдкoм e crny-ащя, кoли d ^ 2 a i p ^ c. Пpи викopиcтaннi фyнкцiï вiдcтaнi IMQ aбcoлютнe знaчeння пoxибки пpи p g [C' ce] i d g [0' 2a] те пepeвищye 0,01, цe вiдпo-в^ае вiднocнiй пoxибцi 1 %. ^и цьoмy icнye два нaйгipшi випадки: мли d ^ 2a i p ^ c та d ^ 0 i p ^ ce. Taкими чинoм для мoдифiкoвaнoгo мeтoдy ви-кopиcтaння квaдpaтичнoï функцп вщсташ нeмoжливe. Якщo пopiвнювaти eкcпoнeнцiйнy та фyнкцiю IMQ, тo мoжнa cпocтepiгaти, щo дiaпaзoн знaчeнь p та d y cmya^ï, мли d ^ 2a i p ^ c, дае мeншi знaчeння пoмилки y фyнкцiï IMQ шж y eкcпoнeнцiйнoï (див. pиc. 4, б та 4, в). Пopiвняeмo мШмальте знaчeння
пoмилки, мaкcимaльнe та cepeднe для eкcпoнeнцiй-нoï функцп та IMQ (див. табл. 1). З табл. 1 виднo, з точки зopy мiнiмaльнoï пoxибки, бiльш пpидaт-нoю е функщя IMQ.
Taблuця 1 - Пopiвняння noxuбoк для екcnoненцiйнoÏ фyнкцiï ma IMQ
Eкcпoнeнцiйна, % IMQ, %
Aamin 0,00361 0
Aamax 0,98 0,98
Aaavg 0,31 0,09163
EKCПEPИMEHTAЛЬHE ДOCЛtДЖEHHЯ MOДИФtKOBAHOГO METOДУ
Для визнaчeння eфeктивнocтi мoдифiкoвaнoгo мe-тoдy був викoнaний oбчиcлювaльний eкcпepимeнт,
t, С 1™ 1Ю0 BED И» *ю 300
о з ю* i -ио* jj-ib* а m* : * IT пй* ч j in' 4 ir' fg
я)
б)
Pucynox 5 - PeçyAbmamu екcnеpuменmaльнux docAidœeub:
a - tdecomp - 4ac дв^м^а^и та пoбyдoви мaтpиць, б - tsoive - 4ac poзв'язaння cиcтeм, в - tevai - 4ac oбчиcлeння пoвepxнi
В. С. Бабков: МОДИФ1КАЦ1Я 16РАРХ1ЧНОГО МЕТОДУ RBF ДЛЯ ОТРИМАННЯ 3Б-МОДЕЛЕЙ ЗА РЕЗУЛЬТАТАМИ ЛАЗЕРНОГО СКАНУВАННЯ
у якому реконструкцГя одного й того ж об'екту (Stanford Bunny 7]) здГйснювалась для рГзно'' кГлькостГ проекцГйних точок трьома методами: прямий RBF з використанням компактних функцГй [8] (який мае кращГ часовГ характеристики серед послГдовних ме-тодГв, як показано у [2]), ГерархГчний RBF [3], мо-дифГкований алгоритм. Сл1д зазначити, що прямий RBF е послГдовним алгоритмом, що не передбачае розпаралелювання. МожливГсть паралельного розв'я-зання систем у методах, заснованих на декомпозицп, ГмГтувалась ''х послГдовним розв'язанням з наступним визначенням часу за формулою
^solve = max( tsolvei),
(24)
де i е [ 1 ...M]; tsolve. - час розв'язання i-i системи; M - кГлькГсть систем, що розв'язуеться одночасно.
В експериментГ порГвнювалися часовГ витрати на трьох етапах: побудова матрицГ (декомпозицГя), розв'язання систем, обчислення поверхнГ. Результати ек-сперименту наведено на рис. 5.
Як видно з рис. 5, на етапГ декомпозицп моди-фГкований метод показуе значний виграш у часГ у порГвняннГ з методами компактно'' та ГерархГчно'' RBF. Це можна пояснити вГдсутнГстю при декомпозицп процедури впорядкування точок. На рис. 5, б час розв'язання послГдовного методу компактно'' RBF ви-несено окремо, оскГльки послГдовний метод мае знач-но г1рш1 характеристики, у порГвняннГ з паралельним розв'язанням систем в Гнших методах. Як можна ба-чити, при приблизно однаковГй кГлькостГ точок у доменах ГерархГчний та модифГкований метод мають приблизно однаковГ характеристики. На етапГ обчислення поверхнГ (рис. 5, в) модифГкований метод мае меншГ часовГ витрати. Це можна пояснити регулярною структурою дерева, яке утворюеться при декомпозицп за модифГкованим методом.
ВИСНОВКИ
В результат проведених дослГджень розроблено модифГкований метод побудови поверхонь у тривимГрно-му просторГ, який може бути використаний для ство-рення тривимГрних моделей реальних об'ектГв на ос-новГ проекцГйних даних. ДослГдження показали, що модифГкований метод мае кращГ часовГ характеристики, н1ж метод-прототип завдяки вГдсутностГ процеду-ри впорядкування точок, регулярнГй структурГ дерева та паралельнГй реалГзацГ'. На практицГ запропонова-ний метод використано у програмнГй системГ для 3D-реконструкци у медичнГй практицГ [9].
Бачиться, що бГльшого ефекту, з точки зору змен-шення часових витрат, можна досягти при паралель-
нГй реалГзацГ' етапГв декомпозицп та обчислення поверхнГ, що е подальшим напрямком дослГдження.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Мельников С. Р. Лазерное сканирование: новый метод создания трехмерных моделей местности и инженерных объектов / С. Р. Мельников // Информационный бюллетень «ГИС-Ассоциации». - СПб. : Санкт-Петер-бург-ское общество геодезии и картографии, 2001. -№ 2(29)-3(30). - С. 35-37.
2. Башков Е. А. Исследование возможностей применения RBF-алгоритма и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике / Е. А. Башков, В. С. Бабков // Сборник трудов международной конференции «Моде-лирование-2008», 14-16 мая 2008 г. - Киев : Институт проблем моделирования в энергетике им. Г. Е. Пухова, 2008. - T. 1. - С. 166-171.
3. Pouderox J. Adaptive hierarchical RBF interpolation for creating smooth digital elevathion models / J. Pouderox [et al.] // Proc. 12-th ACM Int. Symp. Advances in Geographical information Systems 2004. - ACP Press, 2004. - P. 232-240.
4. Бабков В. С. Реконструкшя 3D-моделей реальних об'ек-^в методом RBF з використанням GPU / В. С. Бабков // Науковi прац Донецького нацюнального техшчно-го ушверситету : Серiя Информатика, юбернетика та обчислювальна техшка». - Донецьк : ДонНТУ, 2008. -Випуск 9 (132). - С. 132-136.
5. Tobor I. Multi-scale reconstruction of implict surfaces with attributes from large unrecognized point set / I. Tobor, P. Reuter, C. Schlick // Proc. Shape Modelling Int. 2004. - IEEE CS press, 2004. - P. 67-76.
6. Qiang W. Surface rendering for parallel slice of contours from medical imaging / [W. Qiang, Z. Pan, C. Chun, B. Jiajun] // Computing in science & engineering. -2007. - V. 9, № 1. - P. 32-37.
7. Level of Detail for 3D Graphics [Електронний ресурс] / Martin Reddy // 2008. - Режим доступу до ресурсу: http://lodbook.com/models/.
8. Kojekine N. Software Tools Using CSRBFs for Processing Scattered Data / N. Kojekine, I. Hagiwara, V. Sav-chenko // Computers & Graphics. - 2003. - V. 27, № 2. - P. 311-319.
9. Бабков В. С. Проектирование многофункциональной программной системы для реконструкции трехмерных объектов в медицинской практике / В. С. Баб-ков, Е. В. Ивашковец // Сборник трудов третьей международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Информатика и компьютерные технологии», 11-13 декабря 2007 г. - Донецк : Донецкий национальный технический университет, 2007. - С. 285-287.
НадГйшла 1.08.2008
В работе рассматривается задача построения поверхности в пространстве 3D на основе данных трехмерного лазерного сканирования. Изложена сущность модифицированного метода, который базируется на методе иерархической RBF, но адаптирован для трехмерного пространства и имеет улучшенные временные характеристики. Эффективность метода подтверждена экспериментально.
In the paper the problem of surface construction in 3D space on the basis of 3D laser scanning data is considered. The essence of the modified method, based on the method of hierarchy RBF, but adapted for 3D space and improved time characteristics, is presented. Method efficiency is experimentally proved.
