Модификация алгоритма выделения структурных особенностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.854.64 И. В. Олемской

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 2

МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА ВЫДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ *)

1. Введение. Структурный метод интегрирования систем т обыкновенных дифференциальных уравнений [1-7] самого общего вида

предполагает, что существует преобразование, приводящее систему (1) к виду

Группы уравнений (3), (4) структурно тождественны. Каждое уравнение одной из групп уравнений (3), (4) занимает определенное место в последовательности уравнений своей группы. Его правая часть не зависит от искомых функций, поведение которых описывается этим и всеми последующими уравнениями той же группы. Здесь 2) - представитель «общей» группы, в которую вошли все уравнения, не имеющие структурных особенностей указанного выше типа.

Следует отметить, что в рассматриваемой системе может отсутствовать как общая группа уравнений (2) (го = 0), так и группа уравнений (3) (1 — 0, пб^).

В качестве преобразования, приводящего систему (1) к виду (2)-(4), выбираем перестановку (переобозначение) уравнений системы (1). Задача состоит в том, чтобы указать такой порядок следования уравнений и нумерации переменных исходной системы (1), при котором для преобразованной системы

4 = <рк(х,ги...,хт), к = 1,... ,т,

(1)

Уо = /о(х,Уо,У1,...,Уп),

(2)

У г 2/0; • • • ; У і—1 ? У1+1) • ■ ■ ) Утг), І 1) ■ • ■ ; її

(3)

(4)

І Є {0} и ІУ, п Є {0} и IV, I ^ п, х Є [Ад, -Х^.] С Л,

п

/о:[Хо ,Хк]хЯг —

і

п

-кг1 = 7Г(/)(ж, ттг)

(5)

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-05-65318).

© И. В. Олемской, 2006

с выделенными особенностями (2)-(4) эффект от применения структурного подхода будет максимальным, т. е. максимально отношение X^^Lro+i w^(s)/ £"=i wn(s)-

Здесь и в дальнейшем nz = {znW, zn(2), ■ ■ - ,zn(m))T, тvip = (^(i), ^(2), • ■ ■, ^(ш))Т! 7Г = (7г(1),7г(2), ..., ...,7r(m)) - перестановка элементов множества 1т = {1,2,...,т}. определяющая порядок следования уравнений системы (1). Причем здесь (для наглядности изложения алгоритма и постановки задачи) равенство 7г(г) = j означает, что j-e уравнение системы (1) будет занимать г-е место в системе (5). С учетом этого можно установить связь между уравнениями'исходной системы (1) и системы (2)-(4):

У* ~ (Z7r(E;=Jr„+i)’z7r(E^rw+2)>---’zMEt=or-)) 5

f* = (V,7r(E;=i^+l)’^(E;-J^+2)>--4V37r(EUor*')) ’ s =

Далее, ws - весовые коэффициенты, либо задаваемые пользователем, либо рассчитываемые как относительные доли затрат (число арифметических операций, время) вычисления правой части ips от общего числа определений всех компонент вектор-функции <Р = (<Р1, <Р2, ..., <рт), s = 1,..., га. Обозначим через Р = {7г}— множество всех перестановок из га элементов Im = {1,2,... ,т}.

В [8] рассматривался частный случай решения этой задачи - алгоритм приведения к виду (2)-(4) в предположении выполнения равенств: w\ = w'2 = ... = wm. В [9 рассмотрено обобщение данного алгоритма на случай неравноправных правых частей Wt ф Wd,Vt,d G Im, t ф d. Предлагаемые здесь усовершенствования алгоритма и его формализация позволили повысить эффективность работы алгоритма, изложенного в [9], и дать компактное представление самой его трудоемкой переборной части в виде блок-схемы.

2. Основные понятия.

Определение 2.1. Матрицу А = {а^}^=1 будем называть структурной матрицей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и обозначать А(ф), если ее элементы

{О, если не зависит от Zj,

1, если ifii зависит от Zj.

Так, структурная матрица системы (2)-(4) имеет блочный вид

* * * * * * \

* On ХГ1 Ori ХГ) * * *

* * * От-j X Г( * * *

* * * * 0Г| + 1 ХГ1+1 0Г1 + 1 ХГ„

* * * * * * Огп Хгп /

Здесь и в дальнейшем OriXrj - нулевая матрица размерности г, х гj. Символом * обозначены блоки, которые могут быть и ненулевыми.

Определение 2.2. Множество, элементами которого являются номера компонент искомой вектор-функции г = {гг, гт}, от которых не зависит правая часть г-гс

\

уравнения СОДУ (1), будем называть i-м горизонтальным структурным множеством СОДУ (1) и обозначать Ei(ip), т.е.

E%(tp) — {j G Im ■ dij = 0, A((p) =

Определение 2.3. Множество, элементами которого являются номера уравнений СОДУ (1), с правыми частями, не зависящими от j-й компоненты вектор-функции г = {zi,..., zm}, будем называть j-м вертикальным структурным множеством СОДУ (1) и обозначать Hj(<p):

•^'(v3) — G Im : ciij — 0, }-

Пусть r = (ro,ri,... ,rn) G ({0} U iV) x iVn. Введем в рассмотрение

/с-1

S(r,k) — ^2rij <5(r, 0) = 0, 5(r, n + 1) = m.

i=0

Определение 2.4. Будем говорить, что СОДУ (1) имеет нуль-структуру с параметрами I € {0} U N, п Е N, I < п, г = (ro,ri,..., гп) € ({0} U iV) х iVn, и обозначать ее г], если для горизонтальных множеств справедливы включения

{<5(г, %) Ц-1,..., 5(V, I -(-1)} С (*/?); i 1? • ■ • > I ? ti > Z > 0,

{^(^j) + l,---,5(r,n + l)} СВ{у+(1ЙМ, t = Z + l,...,n, n > I ^ 0,

где /x(s) = l,...,rs; s = l,...,n.

Можно ввести это же понятие, используя определение структурной матрицы.

Определение 2.5. Будем говорить, что СОДУ (1) имеет нуль-структуру с параметрами I € {0} U N, п Е N, I < п, г = (го, 7*1,..., rn) Е ({0} U N) х Nn, и обозначать ее Z5^[Z,n,r], если для элементов структурной матрицы A(ip) СОДУ (1) справедливы равенства

где

£(«) =<У(г,в) + 1,...,5(г,в + 1);

/чГ 5(г, «) + 1,...,<5(г, I + 1), если 0</<ПИ5^/,

| ... ? п ц-1); если 0 ^ ! < п и s > I.

Так, СОДУ (2)-(4) имеет нуль-структуру ZS™[Z,ti,г].

Структурная матрица СОДУ (1) с нуль-структурой ZS™[0, п, г], п Е N имеет вид

(

А(ф) =

* * * ^

* Or і X Т\ 0П Хг„

* * * X Гп J

Определение 2.6. Будем говорить, что нуль-структура ZS™[l,n,r\ СОДУ (1) предельная, и обозначать ее ZSmlp[l, п, г], если справедливы невключения

{<*(г,1),...,5(г,/ + 1)} <£Ед(г,1){<р), 1 >0,

{5(r,I + 1),...,5(r,n + 1)} <jL Es[rit+1)(ip), 0.

Определение 2.7. Под объемом нуль-структуры ZS™[l,n, г] СОДУ (1) будем понимать величину '52™=r0+iWi' и обозначать ее \ZS™[l,n,r]\, где wu - весовые коэффициенты.

Можно показать, что |ZS'm7r¥,[7,п,г]\ > {ZS™^,п,г][р7г е Р.

Сформулируем с использованием введенных понятий две рассматриваемые здесь задачи.

Задача 1. Найти перестановку 7г* € Р такую, для которой справедливо неравенство \ZSmn*v[0,n,r}\ ^ \ZSmn(p[0,n,f]\, Vtt е Р.

Задача 2. Найти перестановку л* € Р такую, для которой справедливо неравенство |ZS"Vv[J,n,r]| ^ n,f]|, V7T € Р.

Определение 2.8. Множество Bv(ui, ш2, ■■■ ,u)d) С /т будем называть элементным нуль-структурным основанием СОДУ (1), если для Bv — (Js=i ы? П us = 0, s ф q, справедливы включения Us=j ^ Ekiv), VA: e ujj, j — 1,... ,d.

Определение 2.9. Для любого множества G С 1т величину Wi будем назы-

вать вессш множества G и обозначать V[G] :

V[G] = £>.

ieG

Пусть множество W С 1т. Перенумеруем его элементы с использованием чисел натурального ряда W = {ii,i2,... ,iq}. Здесь и в дальнейшем \W\ — q - мошцость множества W. Введем в рассмотрение

Hr,s) = '%2ri’ Mr,0)=0, h(r,d) = \W\, г = (n,r2,... ,rd) € Nd. j=i

Теорема 2.1. Для того чтобы множество В = {ii,i2,... ,iq} было элементным нуль-структурным основанием Bv(u\,... ,и>а), lws| — ts, s = 1,... ,d, СОДУ (1 .

необходимо и достаточно, чтобы

{ip, 'ip+l j ■ • • ; ih(r,d)+l—p} Eip (</?) Pi

^h(r,d) + 1-p (v>)> (6)

p = l,...,h{r,d) -

и

(v0> (7)

fc — 1,...,rs, s 1,... ,d.

Здесь [a] — целая часть числа a € R.

Теорема 2.2. Для того чтобы на множестве перестановок Р — {-7т} существовала такая 7Г* € Р, что СОДУ (5) имела бы нуль-структуру ZSft^O, п, г], необходимо и достаточно, чтобы существовало элементное нуль-структурное основание B^(uji,... ,ип), для которого о>0 = 1т\В^(и 1;... ,шп), а |we| = rs, s — 0,... ,п. Причем |ZS?„[0,n,r]|=V[Bj]. ,

Теорема 2.3. Для того чтобы на множестве перестановок Р = {-7г} существовала такая перестановка п* G Р, что СОДУ (5) имела бы нуль-структуру ZS™v[l, п, г], необходимо и достаточно, чтобы существовали два взаимно непере-секающиеся множества - элементные нуль-структурные основания ... ,uii)

И для которых ш0 = Im\ • • • ,ui) U B*(uji+1, ... ,w„)] , |ш,| =

rs, s = 0,... ,n. Причем \ZS™.v[l,n,r]\ = V [Blv] + V [B%\ .

Доказательство теорем 2.1-2.3 конструктивно [8]. На их базе и построен алгоритм выделения структурных особенностей и приведения произвольной системы к виду (2)-(4).

3. Алгоритм решения задач 1,2. По структурной матрице А(ф) формируем горизонтальные Е\(ф) и вертикальные Fj((p) структурные множества. Затем строим множество = {г € 1т : г G £,(</?)}. Если множество fit1,0) = 0, то Утг € Р,

ZSmnv[l, п, г]| =0. Это значит, что никакое изменение порядка следования уравнений исходной системы не может обеспечить выделения групп уравнений, имеющих структурные особенности. Представляет интерес случай, когда ф 0.

Причем алгоритм решения сформулированных выше задач состоит из трех последовательно выполняемых частей.

I. Результатом работы первой части алгоритма (рис. 2 - для задачи 1, рис. 1,2- для задачи 2) является построение упорядоченных множеств В1 и В2. Для определенности будем именовать их рекордными.

Замечание 3.1. Элементы любых упорядоченных множеств Вв = {гх, г2, • ■ -, ik}, s = 1,2, полученных в результате перебора по блок-схеме (рис. 1, 2), удовлетворяют условию (6) теоремы 2.1. Действительно, по построению справедливы следующие включения:

С ЕМ П НМ n rts'0) = D^’°\ n(.,i) =D^\{iuik},

{г2,й_i} С ЕМ П Hik_M П ее DM,

..................... (8)

{<*(.), й+1-tw) с Eit(M пя^^ппМ')-1) ЕЕ £<•■*«-1),

= д(м(.)-1)\{if(s),ifc+1_t(s)},

o(«,t(«)) = / при fc = 2£(s),

\ {*i(e)+i}, при fc = 2i(e) + 1.

II в силу того что С с .. . С справедливы включения

{ip, ip-fi,..., г^-(-1—р} С Е{р (ср) ПЛ*+1_», £(1) //, t( 2) р l,...,t(s). Что и

доказывает это утверждение.

Замечание 3.2. Для любого упорядоченного множества Bs = {й,г2,... ,й}, s =

1,2, построенного по блок-схеме (рис. 1, 2), можно провести разбиение на классы. Для этого полагаем, что i\ G wj. Элемент г2 будет принадлежать множеству ал., если ii е Ei2(<p). Если же ii & Ei3(ip), то ал = {*i} и г2 6 а;2.

Предположим, что С ал- Тогда если {гх,г2} С Eis(ip), то г3 € ал, иначе (если

{П,Ы Ei3(<p)) i3 е w2.

V[ В1] + V[B2y

sJ/fB1] + V[B

VJB1] + V[£2]

\= VinC1»0)!^

max

y^v\B1] +

+ У1ит=10<“(1т)’“2ТП)>] >

+ V[u;

VIB1] + V[B2]

VIB1] + V[B2]

m-fl u +1 :

Рис. 2.

Допустим, что уже произведено разбиение множества В3 — {й,^,... ,и} до элемента -А включительно, т. е.

{Й 5 *2, • • • , }> ^2 — {^и1+1, *2, • • ■ , }: ■ • • ? ^£ — 1 —

и установлено, что {гИ£_1+1,.. .,гщ_1+(1} С

Элемент ги(-,+<1+1 упорядоченного множества принадлежит этому же классу если справедливо включение {гщ_1+1,... С Еги л+1(ср).

После чего естественным образом переходим к рассмотрению следующего элемента ги(_1+с1+2 па принадлежность множеству и

В случае же, если {ги£_1+1,... ,г„£_1+(г} <£_ -Бг„£_1+й+1 (<£>), формирование класса закончено, и = {ги£_1+х,... ,г„£}, щ = «£_х + (1, ги£+1 € с*^+1. После этого прове-

ряем на принадлежность множеству и^+х элемент ги(+2-

И так до тех пор, пока не исчерпаем все элементы множества В8.

Для проведенного разбиения упорядоченного множества Вв на классы ,

. ..,шр(8) справедливо представление Вв — и^а причем шг С Ед(р), V*? € ид, й — 1,... ,р(в), Ш( П ш, = 0, £ ф д, которое обеспечивает выполнение условия (7) теоремы 2.1. А это значит, что все построенные упорядоченные множества 5* являются (с учетом замечания 3.1 и утверждения теоремы 2.1) элементными нуль-структурными основаниями 5® (ш\,ш2, • • ■,с^р(а)).

II. Руководствуясь правилом замечания 3.2, во второй части алгоритма проводим поочередно разбиение рекордных множеств на классы. Сначала делаем это для упорядоченного множества В2 = В2 (со 1,ш2, • • • ,^/), а затем для В1 = Б* (и>/+1,и>1+2,... ,и>п).

Замечание 3.3. Таким образом, в результате выполнения двух первых частей алгоритма построены два взаимно непересекающихся элементных нуль-структурных основания В1, В2 - пара, имеющая максимальный суммарный вес.

Замечание 3.4. Руководствуясь утверждениями теоремы 2.2 (для решения задачи 1) и теоремы 2.3 (для решения задачи 2), для любой пары .В* (и>/+х, ш;+2,... ,шп) и В2(и>1,и)2, ■ ■ • ,щ) элементных нуль-структурных оснований, полученной в результате перебора по блок-схеме (рис. 1, 2), и проведения разбиения на классы можно построить перестановку 7Г е Р, на которой СОДУ (5) имеет нуль-структуру ZS™v[l,n,r], I е N. Для этого необходимо перенумеровать элементы классов

{5<5(г,з) + 1 ) • • • ; 9б(г,з)+г, }; Гэ |, 5 1, . . . , 71,

элементных нуль-структурных оснований В2(и>1, и>2, ■ ■ ■, и){) и В2(и>1+1,и)1+2, ■ ■. ,и>п) и множества и>о — 1т\ {В1 и В2) = {дх,... ,3г0}, где го = |с^о|. После чего искомая перестановка представима в виде

{ 1 2 ... го г0 + 1 ... <5(г,/ + 1) 6(г, / + 1) +1 ... т

7Г — I

V 91 92 ■ • • 9г0 9б(г,1)+1 • • • 9б(г,1+1) 9б(г,1+1)+1 ■ ■ ■ 9б(г,п+1)

Причем нуль-структура Z5^,[/,п, г], I е N, на любой перестановке 7г, построенной по правилу, приведенному выше, является предельной.

III. В третьей части алгоритма, руководствуясь замечанием 3.4, на базе рекордных элементных нуль-структурных оснований В1, В2 строим искомую перестановку тг*, которая является решением задачи 1 или задачи 2.

Для использования алгоритма при решении задачи 1 необходимо считать постоянно В1 = 0 и В1 = 0. Начать работу алгоритма следует со второй части перебора (рис. 2)

Таблица 1. Структурная матрица исходнойА(^) и преобразованнойА(7г*,Р) систем

/0 1 0 0 0 0 0 1 \ (0 0 0 0 0 0 1 1 \

1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1 II * 1 1 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

V 1 0 1 1 1 1 0 0 / V і 1 1 1 1 1 0 0

Таблица 2. Схема работы алгоритма при решении задачи 2

N ц/и |5(р,м/1/)| Р Ы/аИ/г* ВР У[ВР] £2=1

1 /х — 0 П^1’0) = {1,2,4, 5Ч>°) ={(1,7),(6,2), 26 Д(°) =(1,7) 22 - 0

5,6, 7, 8} (3,2), (6, 7), (3,7),...} 0

2 ц -- 1 = {3,4, 5(1,1) = {(6,4),(5,4), 6 II 15 0

. 5,6} (6,3), (5,6), (6, 5), (4,3)}

3 /і = 2 П(1-2) = {3,5} 5(1.2) = 0 0 г* = 3 3 В1 — {1,6, 19 0

3,4,7}

4 і/ — 0 п(2’°) = {2,5,8} 5(2.0) ={(2і 8), (8,2), 3 а(°) = (2,8) 8 0

(2,5)} 0

5 V- 1 П(2>1) = 0 - 5(2.1) = 0 В2 = {2,8} 8 27

6 ц — 2 П(1.2)\/Г(1,2) = {5} 5(1-2) _ 0 0 і* =5 3 В1 = {1,6, 19 27

5,4,7}

7 V = 0 п(2'°) = {2,3,8} 5(2-°) = {(3,2), (3,8), 4 а(°) = (3,2) 11 27

(2,8), (8,2)}

8 V = 1 П<2,1) = {8} 5(2-і) =0 0 г* = 8 6 Б2 = {3,8,2} 11 30

и>1 = {1}, и>2 = {6,5}, = {4}, = {7} ^5 = {3}, = {8,2}, со о = 0 7Г* = (1,6,5,4,7,3,8,2).

СП

Со

и ограничиться только перебором по верхнему дереву, т. е. требование спуститься по дереву перебора на поиск нового упорядоченного множества В1 означает (при решении задачи 1) окончание перебора с переходом на разбиение на классы.

4. Пример применения алгоритма выделения структурных особенностей. Продемонстрируем работу алгоритма решения задачи 2 на примере выделения нуль-структуры ZS™F[l,n,r] максимального объема СОДУ:

У =F{x,y), y,FeR8. (9)

Структурная матрица исходной системы A(F) (табл. 1) с весовыми коэффициентами — W2 — 2, гоч = гок = 3, = 4, wq — wy = 5, и>8 = 6 имеет нуль-структуру

~ZS*F[l,2,r], г = (4,2,2). Ее объем |ZS8F[1,2,г]| = 19. ,

Перестановка (переобозначение) 7r*~^jg5473g2^ найдена за

восемь шагов алгоритма. Его работа схематично представлена в табл. 2. Структурная матрица преобразованной системы А(п* F) (см. табл. 1) имеет нуль-структуру Z58F[4,6,r], г = (0,1,2,1,1,1,2) с объемом |ZS8f[4, 6, r]| = 30. Эффективность применения структурного подхода при интегрировании исходной системы определяется отношением Х]"1Го+1 Ws/ ws — 19/30, а преобразованной -

Ss = r0 + 1 wn{s)/ £s=l wn{s) — 1-Summary

Olemskoy I. V. Updating of algorithm of allocation structural features.

The reduction algorithm of systems of the ordinary differential equations of a general view to the systems of the structurally divided ordinary differential equations is written out. The found change following the equations of the initial system provides the greatest possible effect in application of the structural integration method.

Литература

1. Олемской И. В. Четырехэталный метод пятого порядка точности численного интегрирования систем специального вида // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. Т. 42, № 8. С. 1179-1190.

2. Олемской И. В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов // Журн. вычисл. математики, и мат. физики. 2003. Т. 43, № 7. С. 961-974.

3. Олемской И. В. Методы типа Рунге-Кутты интегрирования систем и дифференциаль-

ных уравнений второго порядка специального вида // Вычислит, технологии. 2004. Т. 9, № 2. С. 67-81. '

4. Олемской И. В. Вложенные методы пятого порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 2. С. 82-93.

5. Олемской И. В. Конструирование явных методов типа Рунге-Кутта интегрирования систем специального вида// Изв. вузов. Математика. 2005. № 2 (513). С. 75-80.

6. Олемской И. В. Вложенный пятиэтапный метод пятого порядка типа Дормана-Принса // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 7. С. 1181-1191.

7. Олемской И. В. Метод пятого порядка типа Рунге-Кутты интегрирования систем структурно разделенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 39-48.

8. Олемской И. В. Алгоритм выделения структурных особенностей //Николай Ефимович Кирин: Сб. ст. СПб: АССПИН. 2003. С. 234-251.

9. Олемской И. В. Явный метод типа Рунге-Кутты пятого порядка / / Вычисл. технологии. 2005. Т. 10, № 2. С. 87-105.

Статья поступила в редакцию 11 декабря 2005 г.