CC BY
26Модификации семантики Фреге
и семантики Данна
для сентенциональных логик
С.А. Павлов
abstract. We propose some modifications of Frege's and Dunn's semantics by eliminating the denotate falsehood from semantic contexts and using only truth and semantic and syntactical negations for the construction of semantics. A class of T-logics as well as two-, three- and four-valued interpretations determined by this approach, is formulated semantically with the only denotate truth.
В данной работе предлагаются модификации семантики Фреге и семантики Данна, состоящие в изменении семантического статуса денотата ложь и элиминации термина «ложь» из семантических контекстов.
Пусть имеется язык классической сентенциональной логики L с отрицанием и импликацией Сентенциальные переменные p, q. Правила построения формул стандарные. Пусть A, ~ A, B, ~ B есть предложения (формулы) этого языка.
Как известно, Фреге предложил рассматривать предложения и высказывания как имена, денотатами (bedeutimg, истинностными значениями) которых являются абстрактные предметы истина и ложь [3]. Согласно учению Фреге об истинности и ложности все истинные предложения обозначают истинностное значение истину, а все ложные предложения — истинностное значение ложь. Также принимается принцип бивалентности, согласно которому любые предложения языка классической логики либо истинны, либо ложны. Из этих положений следует ряд семантических утверждений.
В классическом случае имеют место следующие эквивалентности:
'A' обозначает истину е.т.е. A' не обозначает истину,
Модификации семантики Фреге и семян ти ки Данна
'А' обозначает истину е.т.е. А' обозначает ложь, А' обозначает истину е.т.е. 'А' не обозначает ложь. И также
Б' обозначает истину е.т.е. 'Б' не обозначает истину, Б обозначает истину е.т.е. Б' не обозначает ложь, Б' обозначает истину е.т.е. 'Б' обозначает ложь. Принцип бивалетттпости, в свою очередь, эквивалентен следующим дилеммам:
либо 'А' обозначает истину, либо 'А' обозначает ложь; либо 'А' обозначает истину, либо А' обозначает истину; либо 'А' обозначает истину, либо 'А' не обозначает истину.
Только некоторые из этих семантических утверждений используются в семантических правилах, а большая часть этих тривиальных утверждений обычно не рассматривается. Если посмотреть па них внимательно, то можно увидеть, что некоторые из них можно считать информационно избыточными. В частности, семантические утверждения, в которых встречается термин «ложь», можно заменить утверждениями, в которых этот термин не фигурирует, согласно следующим эквивалептостям:
А' обозначает ложь е.т.е. 'А' обозначает истину, 'Б' обозначат ложь е.т.е. Б' обозначает истину. Другая же пара эквивалептпостей: А' обозначает ложь е.т.е. А' не обозначает истину, ББ
наводит на идею, что тезис Фреге, приведенный выше, может быть модифицирован следующим образом: все истинные предложения обозначают истину, а все ложные (то есть не истинные) предложения не обозначают истину.
Говоря другими словами, пет необходимости в допущении существования такого абстрактного предмета, как ложь [1], поэтому далее будем исходить из того, что истина существует, а ложь не существует (в качестве денотата).
А
А
обозначает истину», все семантические утверждения можно при-
А
рицаттито подобных семантических утверждений, имеющих вид А
1 н
С.А. Павлов
В соответствии с предложенной модификацией все вышеприведенные семантические утверждения вытекают для классического случая из дилеммы: либо предложение А' обозначает истину, либо предложение А' обозначает истину, которую назовем дилеммой истины.
Следовательно, па онтологическом уровне имеем только один денотат истина, по па семантическом уровне имеем две оценки предложений, основанные па том, что эти предложения могут либо обозначать, либо не обозначать истину. То есть можно говорить о нарушении симметрии истинности pi ложности па онтологическом уровне.
Прежде чем перейти к другим интерпретациям, которых для классической логики имеется немало (среди них выделяют главную), желательно в дальнейшем различать семантические отношения «обозначать» (to denote) pi «принимать значение» (to have values), то есть различать семантику в обычном смысле pi абстрактные математические интерпретации, которые, подчеркнем, предложенная нефункциональная модификация семантики Фреге не затрагивает.
В теоррш имен Фреге рассматриваются как собственные (единичные) имена, так pi пустые имена. Следствием рассматриваемой модификации семантики Фреге является то, что истинные предложения остаются единичными именами, а ложные предложения рассматриваются как пустые имена. Это позволяет построить еще одну интерпретацию языка логики. Сопоставим истинным предложениям одноэлементные множества, единственным элементом которых будет денотат истина, а ложным предложениям (которые не обозначают истину) — пустое множество. Пррт этом конъюнкции двух предложений будет соответствовать множество, являющееся пересечением множеств, соответствующих этим предложениям, а дизъюнкции двух предложений будет соответствовать объединение. В результате получаем булеву алгебру.
Интерпретация языка септетщиопальной логики, основанная па идеях Даппа, coctopit в отождествлении подмножеств двухэлементного множества {истина, ложь}, которое он в [4] записывает как {1, 0} с истинностными значениями Т, F, Б, N:
Т = {1} F = {0} Б = {1, 0} N = {}.
Модификации семантики Фреге и семантики Данна
Для случая классической логики модифицируем семантику Дайна следующим образом. В качестве исходного множества, подмножества которого будут отождествляться с истинностными значениями, вместо двухэлементного возьмем одноэлементное множество {истина}. Тогда два традиционных истинностных значения, которые мы будем символизировать здесь как И,
Л, будут отождествляться с подмножествами множества {}
И = {истина}, Л = {}.
В этом случае содержательно смысл этих значений можно передать словами «истина» и «пустота» («пустое множество»). Отметим также, что содержательный смысл значений Е, N и Л различен, так как они фигурируют в разных семантических контекстах.
Перейдем к рассмотрению ттеклассического случая, для которого принцип бивалетттпости нарушается. Предложению 'А' поставим в соответствие упорядоченную пару предложений {А, ~ А), каждое из которых независимо одно от другого обозначает либо не обозначает истину. Отметим, что у нас есть два разных отрицания: одно (синтаксическое) принадлежит языку логики, другое (семантическое) метаязыку семантики. Тем самым для каждой пары предложений имеем четыре возможных варианта деттотации, выражаемых в тетралемме истины: (1) либо 'А' обозначает истину и неверно, что А' обозначает истину, (2) либо неверно, что 'А' обозначает истину, и А' обозначает истину, (3) либо 'А' обозначает истину и А' обозначает исти-
А
А' обозначает истину.
Четырем членам тетралеммы можно сопоставить четыре оценки: истинно и пеложпо, ложно и неистинно, истинно и ложно, пи истинно, ни ложно соответственно.
Различные ограничения, наложенные па эту тетралемму, или отсутствие этих ограничений ведут к различным сематттикам (которые будем Н £13 ЫВ с1Т Ъ Т-семантиками) для ряда ттекласси-ческих логик (которые будем называть Т-логиками), многие из которых рассмотрены в [2].
Примерами таких ограничений могут служить нижеследующие положения.
116
O.A. Павлов
Неверно, что 'А' обозначат истину и А' обозначает истину.
'А' обозначает истину или А' обозначает истину.
Либо 'А' обозначает истину, либо А' обозначает истину.
Этрт ограничения ведут к трех- pi двухвалентным интерпретациям. Отметим, что об одновалентных интерпретациях речрт пет. Таким образом, возможность построения различных семаптик, несмотря па наличие только одного денотата истина, имеется за счет наличия двух типов отрицания pi различных семантических ограничений.
Модификация идеи Даппа для пеклассического случая с использованием бргсептепцргопалыгой семантики приводит к следующим отождествлениям истинностных значений Т, F, B, N с парами подмножеств одноэлементного множества {истина}. Т = ({истина}, {}), F = ({}, {истина}), B = ({истина}, {истина}),
N = ({}, {}).
Этрт четыре значения подобны оценкам, соответствующим четырем членам тетралеммы.
В заключение отметим, что предложенная бргсептептцгопаль-пая семантика позволяет выделить класс Т-логик, а также математических интерпретаций, семантически основанных только па истине (единственном денотате истина), тем самым исходя PI3 утверждения Фреге, что «логика есть паука о наиболее об-пщх законах бытия истины». Прр1 этом необходимо использовать различные возможные зависимости или же Pix отсутствие между утверждениями о денотации для предложения 'А' и его отрицания, то есть А'. Полученные таким образом семанти-KPI с единственным денотатом истина могут быть согласованы с двух-, трех- pi четырехвалентными интерпретациями логик из вышеупомянутого класса Т-логик.
Литература
[1] Павлов С.А. Термины «истинность» и «ложность» в языке // IV Российский философский конгресс: Философия и будущее цивилизации. Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса. Том Т. М., 2005. С. 525.
[2] Павлов С.А. Логика с операторами истинности и ложности. М., 2001.
[3] Фреге Г. О смысле и значении // Логика и логическая семантика. М., 2000. С. 230-216.
[1] Dunn J.M. Partiality and its Dual // Studia Lógica. 2000. Vol. 65. P. 5-10.
