Моделювання структури та функціональності технологічних проблем на основі обмежень Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.942 Р.Б. ВОВК

МОДЕЛЮВАННЯ СТРУКТУРИ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНОСТІ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОБЛЕМ НА ОСНОВІ ОБМЕЖЕНЬ______________________________________________________________

Анотація. Представлено формальне обгрунтування означень технологічної проблеми з ваговими, ймовірнісними, можливісними коефіцієнтами та введеною мірою необхідності, що дозволяє оперувати з характеристиками ступеня задоволення та відношень впорядкування по вагових коефіцієнтах для виділеної множини станів технологічної проблеми з накладеною ієрархією обмежень. Описано процедуру побудови утворення фактичного формулювання технологічної проблеми на множині її потенційно недообмежених або надобмежених підпроблем.

Ключові слова: технологічна проблема, обмеження, вагові коефіцієнти, ступінь задоволення, ймовірність, міра можливості.

Аннотация. Представлено формальное обоснование определений технологической проблемы с весовыми, вероятностными, возможностными коэффициентами и введенной мерой необходимости, что позволяет оперировать с характеристиками степени удовлетворения и отношений упорядочивания по весовым коэффициентам для выделенного множества состояний технологической проблемы с иерархией ограничений. Описана процедура построения фактической формулировки технологической проблемы на множестве ее потенциально недостаточно ограниченных или сверхограниченных подпроблем.

Ключевые слова: технологическая проблема, ограничения, весовые коэффициенты, степень удовлетворения, вероятность, мера возможности.

Abstract. Formal substantiation of definitions of a technological problem with weight, probability and possibility coefficients and introduced necessity measure is presented, which allows us to operate with satisfaction degree characteristics and ordering relations on weights for selected technological problem states with imposed constraints hierarchy. A procedure of actual formulation of a technological problem on the set of its potential under-constrained or over-constrained sub-problems is described.

Keywords: technological problem, constraints, weights, satisfaction degree, probability, possibility.

1. Вступ

Однією з актуальних проблем штучного інтелекту та інтелектуальних систем є проблема інформаційно-пошукових задач на основі обмежень [1-3]. В дослідженнях теорії та практики методів та засобів представлення й задоволення обмежень на сьогоднішній день розвинуто ряд ефективних методик і технік, найбільш важливими з яких є метод вагових коефіцієнтів; метод вартісних коефіцієнтів; методи на основі оптимізаційних технік. З точки зору базового формалізму задач CSP (constraints satisfaction problem), дані методики працюють шляхом звуження відповідних доменів, максимізації або мінімізації значень для кортежів присвоєнь у введених множинах, системах та ієрархіях обмежень. Також деякі методики дозволяють контролювати кількість задоволених та порушених обмежень. У даному випадку концепція рішення вводиться як інтерпретація виконуваного присвоєння з точки зору його достатності або оптимальності. В дослідженнях [4-6] інтерпретація рішення виконується через деякий клас присвоєнь на основі центрального елемента - помилок, що виникають у процесі рішення, тобто, такий спосіб реалізації дозволяє зв’язувати правила та обмеження. Основне завдання, яке вирішувалося при формальному обґрунтуванні побудованого розширення, полягає в дослідженні можливості реалізації інтелектуальних функцій системи, можливості реалізації системи на основі обмежень у вигляді інтелектуальної системи на основі правил. Тому отримане формальне представлення слід класифікувати як представлення гібридної інтелектуальної системи на основі обмежень та правил. Сильною стороною використання правил є можливість привнесення в систему

© Вовк Р.Б., 2011

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2011, № 2

класичних методів інтелектуалізації. Відповідно сильною стороною використання обмежень є можливість організації бази знань у формі представлень з природно-мовною інтерпретацією. Тому в досліджуваному випадку цікавим є також введення ступеня зв’язаності (послідовності) рішення технологічної проблеми (нештатні ситуації при бурінні нафти і газу) [7] у вигляді певного способу оцінювання простору оптимальних присвоєнь з накладеними обмеженнями. Для технологічних проблем на основі обмежень можна говорити про необхідність побудови деякої мінімаксної методики, що дозволяла б максимізувати кількість задоволених обмежень і відповідно мінімізувати кількість порушених обмежень, що дозволятиме формувати ефективні інтелектуальні стратегії автоматизованої системи.

Проте невирішеною задачею є дослідження структури та функціонування технологічних проблем на основі обмежень і побудови відповідних ймовірнісних та можливісних інтерпретацій.

2. Обґрунтування формальної структури обмежень та вагових коефіцієнтів для технологічних проблем

Метою даної статті є представлення формально-логічної структури технологічних проблем на основі обмежень з введеними ваговими коефіцієнтами.

Введення концепції ступеня задоволення ( sd - satisfaction degree ) для випадку технологічних проблем виконується з тією ж метою, що і у випадку класичних інформаційно-пошукових задач - забезпечення можливості порівняння та оцінки присвоєнь виділених класів. Аналіз технологічних проблем на рівні пошукових задач зводиться до виділення множини технологічних помилок, класифікації їх у вигляді систем та ієрархій і встановлення відповідних обмежень, множин, систем та ієрархій обмежень, порушення яких є джерелом виникнення нештатних технологічних ситуацій. Також у пропонованому підході розширена інтерпретація рішення для випадку технологічних проблем, оскільки завдання інтелектуальної системи полягає не стільки в пошуку рішення технологічної проблеми на основі методології обмежень та хибних рішень [8, 9], а в більшій мірі в забезпеченні контролю процесу формування рішення на основі виділення й аналізу помилок оператора.

Означення 1. Як релевантне обмеження з ваговим коефіцієнтом до стану технологічної проблеми TP.TS будемо розглядати кортеж (cr, weight(cr)), де creievant _ c^atisfied v cviolated задається в термінах базових означень для випадку статичних та динамічних технологічних проблем і weight(cr) є Wset задає ваговий коефіцієнт обмеження cr у вигляді елемента впорядкованої множини вагових значень Wset. Як правило, множина Wset представляється проміжком [0..1]. Відношення впорядкування J weight задає

такий спосіб впорядкування множини Wset, згідно з яким менші вагові коефіцієнти представляють значення менш важливих обмежень. Очевидно, що для досягнення ефективної функціональності інтелектуальної системи доцільним є виділення вагових коефіцієнтів обмежень, що задовольняються weight(cs), і вагових коефіцієнтів для обмежень, що порушуються weight(cv):

TPrTSk ® ConstrSetsat' ® Wa = {weight(CS)}^1,

TPj.TSk ® ConstrSetvio1' ® Wvio1' = {weight(CV)}^.

Означення 2. Станом технологічної проблеми на основі обмежень з ваговими коефіцієнтами TPj .TSweight будемо вважати формальну структуру, що складається з множини обмежень з ваговими коефіцієнтами, які задовольняються при вирішенні даного стану TPj.TSk ® ConstrSetTTpif Sl і не призводять до виникнення помилок та множини обмежень з

ваговими коефіцієнтами, які порушуються TPj.TSk ® Cons^Se^™1 і є причиною виникнення помилок з множини ErrTSPet.TS , що описує помилки, які виникли при вирішенні стану технологічної проблеми:

TPrTSrght = (ErrTS;tJSt,ErrTDpo”Ta'n,ConstrSetWWPjISk u CwstrSej ),

Domain

де ErrTP щ - домен можливих помилок, які можуть виникнути при вирішенні стану технологічної проблеми TPjTSk.

Елементи множини ErrTSPet.TS можуть бути теж впорядковані на основі відношення <weight , що дозволить ранжувати помилки їх важливості (значимості). Впорядкування множини помилок призведе до утворення системи помилок Errp!^ = (Err!ptTSt, <weighf ) .

Аналогічним чином (шляхом впорядкування по важливості на основі введення відношення з ваговими коефіцієнтами) може бути отримано систему обмежень, що задовольняються, та систему обмежень, що порушуються, для виділеного стану технологічної проблеми:

ConstrSystTwLTSk = (ConstrSetTWLTSt, <weight2),

ConstrSystWpi;!lSk = (ComtrSetWjSk,<weight3).

Означення З. Технологічною проблемою на основі обмежень з ваговими коефіцієнтами LPweight будемо вважати формальну структуру, утворену таким чином:

TPweight = (ErrHPrch ,ErrDPomain ,ConstrHrchTPi u ConstrHrchTPv!iol ),

J T Pj T Pj W W

де Егг^ = и - ієрархія помилок для технологічної проблеми ТР\, ктах- кіль-

к=1-ктах

кість станів технологічної проблеми; ЕггТР°таіп = И Егг-ТРт'" - домен можливих помилок

для технологічної проблеми ТР., що утворюється об’єднанням доменів можливих помилок для виділених станів технологічної проблеми; СотїгНгсИР = и - іє-

к=1..кт

max

рархія задоволених обмежень при вирішенні технологічної проблеми ТР., утворена шляхом об’єднання відповідних систем обмежень для виділених станів технологічної проблеми; СотіїНгсИГрІм = и С°пїїг8уїїТ^Р°Т5к - ієрархія порушених обмежень при вирішенні

к=1"ктах

технологічної проблеми ТР., утворена шляхом об’єднання відповідних систем обмежень

для виділених станів технологічної проблеми.

Означення 4. Розглянемо технологічну проблему на основі обмежень з ваговими

коефіцієнтами ТР™егіШ = (ЕггТргсИ ,ЕггТР°тагп СотїтНгсІЇр и СотїгНгсИТії.) . Ступенем задоволення sd для присвоєння ує¥ НгсИ будемо вважати різницю суми вагових коефіцієнтів

Егтр.

всіх обмежень, що задовольняються, і суми вагових коефіцієнтів всіх обмежень, що порушуються даним присвоєнням у, тобто,

"ує^Еггн^:5й(у)=Е

тр І!=1

КахЛ М ’П1’П1т Є М-

Е (н’еі8'і(Сі2)

^2-

і2 =1

‘Е

І1 1 1

Е (^е^щср )

і2 =1

Означення 5. Ступенем істинності 8оІпе(ТР™еі:гШ ) розв’язку технологічної пробле-

ми на основі обмежень з ваговими коефіцієнтами тР™ещШ (що формується у вигляді присвоєння у) будемо вважати суму вагових коефіцієнтів обмежень, які задовольняються (в термінах означення 4).

Означення 6. Ступенем хибності $>оҐаІІІЄ(ТР™ещН) розв’язку технологічної проблеми на основі обмежень з ваговими коефіцієнтами тР™ещШ (що формується у вигляді присвоєння у) будемо вважати суму вагових коефіцієнтів обмежень, які порушуються.

Застосування ймовірнісного підходу [10] для введеного формального представлення технологічних проблем на основі обмежень дає можливість кількісної оцінки релевантнос-ті виділених обмежень поточній технологічній проблемі. Такий підхід характеризуватиметься введенням невизначеності нового типу по відношенню до невизначеності, сформульованої в означеннях 1 - 6, яка описувалась формальним підходом на основі вагових коефіцієнтів, що дозволяє моделювати процес порушення та задоволення обмежень на рівні множин, систем та ієрархій.

Означення 7. Технологічною проблемою на основі обмежень і імовірністю ТР}Р:Ь'

будемо вважати розширення класичного означення технологічної проблеми з введеною інтерпретацією ймовірності обмеження як ступеня його релевантності технологічній проблемі. Якщо всі обмеження у введених множинах, системах та ієрархіях є гарантовано ре-левантними, то очевидно, що формулювання технологічної проблеми на основі обмежень з імовірністю не буде відрізнятися від формулювань означень, викладених вище. Розглянемо випадок, коли не всі обмеження є гарантовано релевантними, тобто існує хоча б одне не-релевантне обмеження. Тоді

ТР“ = (Еггтв;;'\ и ТРЗі,[Сстз*НіЛ-]Р:Ь.,[СоітгНл-]ггь,.),

к= 1 ■ ктах

де Е::ТР:аН' - ієрархія помилок до технологічної проблеми, ТР8к - к -тий стан технологічної проблеми, кпах - кількість станів технологічної проблеми,

[ Соті:НсК ]Р:Ь. = = И [ Соші:Ґ']ігь. = {С1 : :Ли5к,с\: :йЦ5к. ■ ■ с\ : :йт™к - ієрар-

к= 1. ■ к„

хія задоволених обмежень з введеними ймовірнісними коефіцієнтами релевантності для ] технологічної проблеми,

[Соті:*-'ГРгЬ= И [Сот*ГГРгь = {с2 :<* С ::^^^к ^ : ^ - ієрархія

к = 1 ■■ ктах

порушених обмежень з введеними ймовірнісними коефіцієнтами релевантності для ] -тої технологічної проблеми.

У загальному випадку ми можемо отримати три види фактичного формулювання технологічної проблеми з обмеженнями та ймовірністю:

1) ТРГ1 = (Е/т^ и ТРБ ^ ,С 1) - випадок, коли всі релевантні обмеження задок =1**ктах

вольняються;

к

тах

2) ГРГ 2 = (Егг*гсС • , и ТРБ к ,С2 ) - випадок, коли всі релевантні обмеження пору-

к =1..^тах

шуються;

3) ТРГ3 = (Кгг^ •, и ТРБ к ,С Іи2 ) - випадок, коли частина релевантних обмежень

к = ^"^тах

задовольняється, а частина порушується.

Тепер, відповідно, можна виконати обчислення ймовірнісних значень для деякого довільного виділеного обмеження є,,і О N:

1) РгЬ(еі є СГ1 ) = РгЬ(ег є [Сотії^ Р.) =

-РгЬ(сгт и :<*,... ,< : М^к ,1п^ );

2) РгЬ(сі є СГ2 ) = РгЬ(сі є [Сотії^]^) =

=РгЬ( сі т И {сі2 : гаТк ,...,сП2 : Г4Р*}к,п2,2 п2 є N ); к=1..кт„у

3) РгЬ(сг є СГ3 ) = РгЬ(сг є [Сотіг^.Р. и[Сотії^ ГРгК) =

= РгЬ(сгіп И {сі :<Р*к,..,с\ :^к} и{сі :Ы^к с^ : гіїЦк ^ ,^ ) •

' Пі ’ ' ІПі ^ І 1 ’ ' "'21 ’’’’ ’ П2 ' ' ~"2П2 ^к,Пі ,П2,1пі ,2П2 єN '

к=1"ктах

З точки зору практичної імплементації, інтерес представляють ймовірності, більші за нуль, що відповідає тому факту, що нерелевантні обмеження не включаються в представлення проблеми. З точки зору класичної теорії ймовірності, релевантність двох різних обмежень розглядається як дві незалежні ймовірнісні події, що дозволяє аналізувати процес посилення та послаблення обмежень для множин, які задовольняються, та множин, що порушуються незалежно від інших входжень даних множин. Оскільки фактичне формулювання технологічної проблеми з обмеженнями та ймовірністю може бути тільки одного з трьох видів, то, відповідно, для деяких двох обмежень с1 та с можна розглядати один з трьох видів ймовірнісної інтерпретації:

РгЬ((сг є С Г1 ) а (су є С Г1 )) = РгЬ( сі є С Г1 ) х РгЬ(с} є С Г1 ),

РгЬ((сг є СГ2 ) а (су є СГг )) = РгЬ(сг є СГ2 ) хРгЬ(с} є СГ2 ) ,

РгЬ((сг є С3№з ) а (су є СГ3 )) = РгЬ(сі є С3№з ) хРгЬ(с} є сГ3 ) •

Ймовірнісний підхід до технологічних проблем з накладеними обмеженнями дозво-

ляє отримати фактичне представлення структури процесу пошуку рішень у вигляді множин та систем гарантовано релевантних обмежень.

Розглянемо ймовірнісну технологічну проблему з накладеними обмеженнями ТР^ь. = (£ггТРгск', И ТР8к,[СотігНгск']ІгЬ,[Сотії^ск']гРгЬ ). Нехай задано також деяке

і

к =1..кт„х

фактичне формулювання ТФГ. = (Егг^', И ТР5к[Соизіг^ '^.[Соизіг^). Оче-

НгсЯ' т т гґґпс Г/-і х НгсЯ' *|5 Г л х НгсЯ.

' \_Constrj

к =1''ктах

-IV

видно, що

^ . НгсЯ'

ConstrJ

^ . НгсЯ'

ConstrJ

^ . НгсЯ'

ConstrJ

я

М[Сотії.гє' ]РгЬ И[Сотії.гє' ]РгЬ = [Сотії.гє' ]РгЬ, тобто гарантовано релевантні обмеження утворюють підмножину ймовірно релевантних обмежень, що може бути використа-

к = ктах

но як основа для введення послаблень технологічної проблеми у вигляді підпроблем та посилень у вигляді надпроблем.

Означення 8. Визначення технологічної проблеми ТРV як фактичної є мож-

ливим у випадку, коли всі обмеження в U [ConstrTp!sst' ]TPF є релевантними:

k = ^"^max

prb(TPj) = Prb(TP= TOF. ) =

kmax s

ПКП [tosTStJ } x

k=1

ХП{( 1 - rdl7l)\cl є ([ConstrTSPstJPrb} [ConstrTSPst]STpF)} k

max у

ПКє ^onstrp;^ }x

k=1

x If {(1 - rdp^n cl є ([Constrpk J ' [Constr^ Ip )}

u

де rdj1 - ймовірнісне значення релевантності обмеження cj , i1 ,i2 ,j1 ,j2 є N.

Згідно з класичним підходом, який застосовується в CSP [1] для технологічної проблеми TPj, можна виділити ряд підпроблем: [TPsub'] с TPj,i = 1..imax . Оскільки для технологічної проблеми ми ввели також множину станів, то введені стани теж можна розглядати як множину підпроблем TPj.TPk, k = 1..kmax , {TPSk}k=1 k < TPj. Множину підпроблем (станів) будемо розрізняти за ступенем послідовності.

Означення 9. Послідовну підпроблему TP.ub' для технологічної проблеми TPj будемо вважати максимально послідовною в TPj, якщо кожна її надпроблема TPover = [TP^b. ] u cm є ConstrHrchT:P буде непослідовною.

1 L. 1 -1 L P Jm=1,2...

Згідно з даним означенням, кожне рішення технологічної проблеми з накладеними обмеженнями Soll(TPj,ConstrHrchpP ) буде відповідно рішенням для всіх її підпроблем та

j

станів:

Sol' @ (J [Sol2];Sol' @ (J [Sol1 ];Sol2[TP;ub\,i = 1.^: Sol1 [TPSk\,k = 1..^,

i=1..imax k=1"kmax

де Solf - рішення для i -тої підпроблеми, Solk - рішення для k -го стану.

Якщо ConstrHrchpP буде послідовною ієрархією обмежень, то тоді фактичне фор. . ConstrHrchTp

мулювання технологічної проблеми з даною ієрархією обмежень TPF. буде макси-

мально послідовним. Проте, якщо ієрархія обмежень не є гарантовано послідовною, тоді ймовірність послідовності формулювання TPF. можна визначити за формулами:

Prb( TPfJ""' ) = £ {prb([TPsub ] | \_TPsub ]“)},

i=1 1 1

k

''•max

Prb( TPFj"M' ) = £ {prb(TPj .TPSk | TP1 .TPS“)}.

k=1

Формальна теорія Заде та концепції можливісної логіки [11] дозволяють розглядати введені нами формалізми технологічних проблем на основі обмежень з точки зору імплементації ступенів впевненості (преференцій) як можливісних міток для множин присвоєнь Ф Нгск . В нашому випадку такий підхід дозволить отримати кількісні характеристики мо-

ЕггТр.

жливості та необхідності на множині обмежень та присвоєнь. Важливою перевагою даного підходу є також оцінка можливісного задоволення обмежень у процесі виконання присвоєнь.

Означення 10. Для заданої множини ЕттТРтс' та множини можливих присвоєнь Ф нкь- можливісним розподілом будемо вважати функцію і ■'¥ РтсИ ® [ 0,1] .

ЕГГтр. Етттр.

Значення можливісного розподілу визначатиме можливий рівень задоволення технологічної проблеми Тр. .

Означення 11. Функцію і будемо вважати нормованою, якщо існує таке присво-

єння у, що шах1

і(у ) = 1. Відповідно ступінь субнормалізації для і визначимо як

величину 8ЫБ( і) = 1 - тах

і(у).

Нехай СотігРгсЩР*' - множина всіх можливих обмежень стосовно деякої техноло-

гічної проблеми ТР'.. Будемо виходити

припущення,

що

СотІтРтсИТрр*; = СотІгРгсЬїр. и СотІтРтсИр, де СотІтРтсИТр, - множина всіх релевант-них обмежень, СотІтРтсКр - множина нерелевантних обмежень до технологічної проблеми ТР..

Означення 12. Мірою можливості РМт для можливісного розподілу і будемо вважати функцію з СошІтРтсЩР*' в [0,1] , що визначається таким виразом:

РМі(с) =

тах

(УЄФИгН'сЬ )л(у^с,сєСотШгсі4р. )

(і(у),0)

V

тах

(УЄ ФИгН'сЬ >(*+ с,сє СотіїНгсТ. )

(і(у),0)

Означення 13. Мірою необхідності ММ т для можливісного розподілу і будемо

вважати функцію з СотґгНгсИТР*' в [0,1] , що визначається виразом:

ММ и(с):

тт

(уеФ Нгск)л(у\0с, се СотігНгскТр. )

(1 -і(у),1)

V

(УЄФ'еггНс" )Л

тт

)л (у\0с ,сєСотґгНгсЬТр. )

(1 -і(у),1)

На основі означень 12 і 13 можна зробити висновок, що міра необхідності обмеження виражатиме ступінь преференції задоволення або порушення обмежень (оскільки формули в означеннях є двоїстими: перший диз’юнкт визначає преференцію задоволення, другий - преференцію порушення). Наприклад, якщо для деяких двох обмежень

с1,с2 є СотІтРтскТР*' ми матимемо ИМт(с1) > ММц(с2), то це означатиме, що задоволення (порушення) обмеження с1 є більш преференційним, ніж задоволення обмеження

с.

з

Таким чином, з точки зору ефективності реалізації інтелектуальної системи, доцільним є використання обмежень зі ступенями преференції.

Означення 14. Для заданої множини обмежень ComtrHrchTP' обмеженням зі значенням необхідності будемо вважати пару (c, pd), де c О ConstrHrchpj^ або c ОConstrHrchyP є обмеженням, а pd е [0,1] є ступенем преференції.

З. Висновки

У даній статті виконано побудову формальної структури технологічної проблеми на основі обмежень з ваговими коефіцієнтами. Введені обмеження поділяються на множину обмежень з ваговими коефіцієнтами, які задовольняються при вирішенні поточного стану і не призводять до виникнення помилок, та на множину обмежень з ваговими коефіцієнтами, що порушуються і є причиною виникнення помилок. Застосування ймовірнісного підходу до отриманого формального представлення технологічних проблем на основі обмежень дає можливість кількісної оцінки релевантності виділених обмежень поточній технологічній проблемі, що дозволяє моделювати процес порушення та задоволення обмежень на рівні їх множин, систем та ієрархій. Інтерпретація ймовірності обмеження задається як ступінь його релевантності до технологічної проблеми. Формалізми технологічних проблем на основі обмежень, з точки зору імплементації ступенів впевненості преференцій як можливісних міток для множин присвоєнь, дозволяють отримати кількісні характеристики можливості та необхідності на множині обмежень і присвоєнь. Введення можливісного розподілу дає можливість визначати рівні задоволення технологічної проблеми.

Таким чином, міра необхідності обмеження виражатиме ступінь преференції задоволення або порушення обмежень. Тому, з точки зору ефективності реалізації інтелектуальної системи, доцільним є використання обмежень зі ступенями преференцій. Використання вагових коефіцієнтів дозволяє реалізацію формальної структури технологічних проблем у вигляді ієрархії помилок з використанням домену можливих помилок та ієрархії задоволених і порушених обмежень. З точки зору практичної цінності спроектованої системи, важливим є розгляд процесу задоволення обмежень на основі введеного ступеня, що обчислюється, як різниця суми вагових коефіцієнтів всіх обмежень, які задовольняються, та суми вагових коефіцієнтів всіх обмежень, що порушуються.

Подальші дослідження у даному напрямі будуть зосереджені на питаннях програмної реалізації отриманої формальної структури технологічних проблем, особливо з точки зору імплементації систем та ієрархій обмежень.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Tsang E. Foundations of Constraint Satisfaction / Tsang E. - London and San Diego: Academic Press, 1993. - 421 p.

2. Bartak R. Constraint Processing / R. Bartak, R. Dechter. - Morgan Kaufmann Publisher, 2003. - 210 p.

3. Випасняк Л.І. Графова інтерпретація інформаційних систем на основі баз даних та знань у рамках концепції задоволення обмежень та правил / Л.І. Випасняк, В.І. Шекета // Математичні машини та системи. - 2010. - № 4. - С. 82 - 88.

4. Вовк Р.Б. Формалізація сумарної моделі студента в інтелектуальній тьюторній системі на основі обмежень / Р.Б. Вовк, В.І. Шекета // Вісник Хмельницького національного університету. Технічні науки. - 2009. - Т. 2. - C. 242 - 248.

5. Вовк Р.Б. Модель навчальної системи на основі підходу задоволення обмежень / Р.Б. Вовк // Системний аналіз та інформаційні технології: матеріали XI міжнар. наук.-техн. конф., (Київ, 26-30 травня 2009). - К.: НТУУ “КПІ”, 2009. - C. 276.

6. Melnyk V.D. Frame Based Approach to Construction of Intelligent System for Student Knowledge Control/ V.D. Melnyk, R.B. Vovk, M.M. Demchyna // Proc. of the X International Conf. TCSET’2010. -Lviv-Slavske, Ukraine, 2010. - Р. 287.

7. Шавранський М.В. Система контролю для запобігання прихоплень бурильної колони в процесі буріння: дис. ... канд. техн. наук: 05.11.13 / Шавранський Михайло Васильович. - Івано-Франківськ, 2003. - 168 с.

8. Ohlsson S. Constraint-Based Knowledge Representation for Individualized Instruction / S. Ohlsson,

A. Mitrovic. - University of Illinois at Chicago, 1998. - 22 p.

9. Mitrovic A. Experiences in Implementing Constraint-Based Modeling in SQL-Tutor / А. Mitrovic //

Proc. of ITS'98. - Christchurch (New Zealand), 1998. - P. 414 - 423.

10. Fargier H. Uncertainty in constraint satisfaction problems: a probabilistic approach / H. Fargier, J. Lang // Symbolic and Quantitative Approaches to Reasoning and Uncertainty. European Conf. ECSQARU’93. - Granada, Spain, 1993. - Р. 97 - 104.

11. Dubois D. Possibilistic logic / D. Dubois, J. Lang, H. Prade // Toulouse Institute of Computer Science Research. - New York: Oxford University Press, 1992. - 76 p.

Стаття надійшла до редакції 21.02.2011