CC BY
23
Актуальные проблемы экономики и управления
И.Н. ДРОГОБЫЦКИЙ
Доктор экономических наук, профессор Профессор кафедры «Системный анализ в экономике», Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва
МОДЕЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АРСЕНАЛ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Появление настоящей статьи обусловил чрезвычайно лаконичный паспорт специальности 5.2.2 «Математические, статистические и инструментальные методы экономики», обнародованный в конце прошлого года в составе обновлённой номенклатуры научных специальностей, по которым присуждаются учёные степени. В ней преследуется цель раскрыть состав и содержание этого направления экономической науки за весь период её становления и развития, начиная с середины прошлого века, и обозначить перспективную тематику его научных исследований на ближайшую перспективу. В конечном итоге весь модельно-методологический и программно-инст-
рументальный арсенал отмеченной научной специальности разделён на два больших подмножества - «Экономико-математические методы» и «Модели и методы принятия решений», которые, в свою очередь, разбиты на пять контекстных групп по 5-9 позиций в каждой группе. В статье описано 34 метода, которые нашли признание научной общественности и самостоятельное практическое применение. Полагаем, что приведённая классификация окажет посильную помощь инициаторам формирования диссертационных советов по специальности 5.2.2 при определении их профиля.
Научная специальность, математические, статистические и инструментальные методы, классификация, содержание методов, профиль диссертационного совета. Тематический рубрикатор е-ЫЬгагу: 06.01.21.
Модельно-математический арсенал экономических исследований
Введение. Приказом Министерства науки и высшего образования №118 от 24 февраля 2021г. обновлена номенклатура научных специальностей, по которым присуждаются учёные степени. Общий обзор новой номенклатуры и выборочное изучение содержания паспортов отдельных научных специальностей позволяют констатировать, что взят курс на укрупнение научных специальностей, сокращение их числа и сближение с устоявшейся классификацией научных исследований в мировом научном сообществе. Лаконичность содержания новых паспортов научных специальностей предоставляет значительные возможности для их расширенного толкования при формировании и определении профилей диссертационных советов.
Анализируя новую номенклатуру в части группы научных специальностей по экономике, следует заметить, что при сохранении их числа состав и содержание последних претерпели кардинальные изменения. В частности, упразднена необъятная специальность «Экономика и управление народным хозяйством», а её теоретическое наследие разумно распределено между специальностями «Региональная и отраслевая экономика» (шифр 5.2.3) и «Менеджмент» (шифр 5.2.6). Имеются значительные изменения в содержании других научных специальностей этой группы, в т.ч. специальности «Математические,
статистические и инструментальные методы экономики» (шифр 5.2.2), которые настолько разительны, что заслуживают отдельного рассмотрения.
Современное развитие экономики и менеджмента предполагает надлежащее теоретико-методическое и информационно-технологическое обеспечение, которое постоянно обогащается, расширяется и совершенствуется. Если синтез новых теоретико-методологических знаний осуществляется, как правило, в рамках традиционных научных направлений - экономическая теория, финансы, международные экономические отношения и др., которые более-менее логично «упакованы» в соответствующие научные специальности новой номенклатуры [88], то обогащение информационно-технологической составляющей рассредоточено по различным (и большей частью негуманитарным) научным направлениям: кибернетика, алгебра логики, базы данных, программирование и др., которые фокусируются в специальность 5.2.2 «Математические, статистические и инструментальные методы экономики». К сожалению, содержание позиций нового паспорта отмеченной специальности очень фрагментарно, размыто и не систематизировано. С одной стороны, это затрудняет формирование целостной картины о текущем состоянии соответствующего направления экономической науки, а с другой - «развязывает руки» инициаторам формирования диссертационных советов при составлении профилей последних. Каждая научная школа,
учебное заведение или академическое учреждение, приступив к формированию соответствующего совета, может проявить свою творческую инициативу и составить профиль(-ли), существенно расширяющий^) содержание отмеченного паспорта и/или уточняющий(-е) его отдельные позиции.
При формировании профиля нового диссертационного совета необходимо понимать, что каждый метод данной научной специальности существует не сам по себе, а является составной частью целостной триады «модель - метод - инструментальное средство», привносящей свой вклад в дело обогащения информационно-технологического обеспечения хозяйствующего субъекта, региона, отрасли, национальной экономики или всего мирового хозяйства. Причём для каждого элемента отмеченной триады характерен свой уровень развития на текущий момент времени. В одних случаях ведущим элементом триады может быть модель, доведённая до статуса канонической (общепринятой), в других - метод решения, опирающийся на общепризнанную теорию, а в-третьих - инструментальная система, поддерживающая весь процесс поиска решения. Нередко все три составляющие триады очень хорошо развиты, как в классической задаче линейного программирования «каноническая модель, симплекс-метод и множество прикладных программ», а иногда все элементы триады находятся в зачаточном состоянии, как, например, в моделях переходных процессов.
Особенно «ущемлённой» в этой триаде является модель. Несмотря на большое разнообразие используемых моделей и огромнейший арсенал методов моделирования, эта составляющая триады остаётся недооценённой. Об этом своё время писал Анатолий Дородницын, отмечая отсутствие специального термина для обозначения модельной составляющей информационных технологий как в англоязычной (hardware - ? - software), так и в русскоязычной (техника - ? - программное обеспечение) литературе [26]. Учитывая исключительную важность моделирования и модельных представлений в современных экономических исследованиях, отмеченной недооценки необходимо избегать. В этой связи на содержании модельной составляющей остановимся подробнее.
Модель как универсальное средство восприятия реальности
Модели и модельные представления всегда занимали важное место в активной деятельности социума. Любому мало-мальски сложному творению рук человеческих (строительное сооружение, техническое изделие, организационное мероприятие), как правило, предшествует его модель (проект), описывающая состав, содержание и последовательность практического воплощения этого творения. Со временем мы начинаем понимать, что собственно через модельное представление (будь то на бумаге, макете или в нашем воображении) люди воспринимают всё своё окружение [42]. Другими словами, модель выступает универсальным средством восприятия и интерпретации объективной реальности. Чтобы обеспечить адекватность этого восприятия, необходимо позаботиться о выразительности и информационном наполнении соответствующих мо-
делей. И в первую очередь это касается моделей, на основании которых вырабатываются управленческие решения, призванные желательным образом повлиять на функционирование и развитие управляемых (исследуемых) систем.
Определение. Модель представляет собой описательное, макетное или воображаемое отражение исследуемой (управляемой) системы, которое заменяет последнюю в процессе анализа её текущего состояния и выработки управленческих решений, призванных удержать систему на желательной траектории развития в текущий момент и в обозримой перспективе.
В то же время с точки зрения ИТ-специалиста управленческую модель можно интерпретировать как информационный объект, в котором закодирована нужная для принятия решения информация. Из этого следует, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек может приобрести в процессе её исследования. Возникает вопрос: откуда взялись в модели эти знания?..
Закладка знания в модель осуществляется в процессе моделирования. Модельер(-ы) подсознательно фиксирует(-ют) в модели свои неформализованные знания, которые могут приумножаться в процессе проведения модельных экспериментов, а затем использоваться в процессе выработки и принятия управленческих решений. Отсюда напрашиваются два важных вывода, призванные обеспечить высокую знаниенаполняемость модели:
1) в процесс моделирования следует вовлекать как можно большее число участников;
2) выбранный язык моделирования должен обеспечивать надлежащее кодирование знаний всех участников процесса моделирования даже помимо их воли.
Таким образом, успешность и результативность модельного подхода к исследованию окружающего нас мира вообще и решению задач управления в частности зависит от расширения круга его участников, с одной стороны, и степени их владения языком моделирования - с другой. В настоящей статье преследуется цель показать, как выполняются эти требования в части информационно-технологического обеспечения задач организационного управления, и упорядочить тем самым модельно-методологический инструментарий научной специальности 5.2.2 «Математические, статистические и инструментальные методы экономики», достигнутый на текущий момент времени.
На рис. 1 приведён примерный состав первой половины отмеченной научной специальности, который можно было бы объединить под общим названием «Математико-инструментальная поддержка процессов выработки, принятия и реализации управленческих решений в экономических системах». Несложно заметить, что он представляет собой некоторую выборку из паспорта специальности 5.2.2, уточняющую одни позиции и расширяющую другие. В общей сложности он содержит 34 позиции, объединённые в две большие группы - «Экономико-математические методы» и «Модели и методы принятия решений». Каждая выделенная группа является открытой и может быть расширена за счёт новых или
незаслуженно забытых моделей, методов и инструментов. Поскольку они не поместились на рисунке, коротко остановимся на составе каждой выделенной группы и содержании её представителей.
Экономико-математические методы
Несложно предположить, что для того чтобы выработать надлежащую дефиницию для отмеченной группы моделей, достаточно включить фразу «... выполненное на языке математики...» в середину общего определения модели, приведённого ранее. Однако столь ловкое и естественно-логичное определение класса экономико-математических моделей никак не избавляет его от «первородного греха», заключающегося в отсутствии универсального математического языка для адекватного отражения всех нюансов экономических систем.
Исторически сложилось так, что основной сферой применения языка математики было описание физических явлений и процессов. Поэтому выразительные способности математического языка, и особенно его прикладных версий, ориентированы на адекватное отражение физических трансформаций в механике, теплотехнике, электронике и др. разделах физического знания, что заведомо не отвечает требованиям адекватного отражения экономических систем. И хотя адаптация математического аппарата многих разделов физики к особенностям экономики на протяжении многих лет идёт более-менее успешно, задача синтеза экономической математики остаётся актуальной. Необходимо разработать принципиально новый математический аппарат, в который органично заложить возможность отражения всех свойств, особенностей и нюансов экономических систем, начиная от исходных положений, фундаментальных категорий и базовых понятий и заканчивая перечнем задействованных измерительных шкал, множеством допустимых операций и используемой знаковой системой. Тогда операции над экономическими вели-
чинами смогли бы отразить внутреннюю логику экономических явлений и процессов.
Собственно, с необходимостью синтеза экономико-ориентированного математического языка следует увязывать и существование анализируемой научной специальности. Действительно, не имея собственного предмета исследования, эта специальность долгое время присутствует в номенклатуре научных специальностей и, к удивлению многих представителей научной общественности, сохраняется при каждом её пересмотре. Видимо, организаторы национальной науки надеются, что со временем такой язык удастся разработать. А поскольку сделать это под силу только математикам-экономистам, до тонкостей знающим математику и глубоко постигшим природу экономических явлений, специальность «Математические, статистические и инструментальные методы экономики», вокруг которой они интегрируются, будет существовать [29].
Далее под этим углом зрения дадим краткую содержательную характеристику отдельным составляющим отмеченной научной специальности, зафиксированным на рис. 1. Уже само попадание в приведённую схему является убедительным свидетельством того, что данная модель, метод и/или средство было выделено научной общественностью в ретро -спективе, имеет самостоятельное применение в настоящее время и обладает перспективой дальнейшего развития.
Группа упорядочивающих математических моделей включает:
• прикладные модели математического анализа;
• модели производственных функций;
• балансовые модели;
• распределительные модели;
• методы календарного планирования;
• логистические модели.
Математико-инструментальная поддержка процессов выработки, принятия и реализации управленческих решений
Модели критериального выбора
Экономико-статистические методы
Упорядочивающие математические модели
Методы математического программирования
Поведенческие модели
Рис. 1. Математическое обеспечение специальности 5.2.2 «Математические, статистические и инструментальные методы экономики»
Прикладные модели математического анализа не нашли широкого применения в экономических исследованиях в силу того, что они ориентированы на отражение систем с жёсткими (функциональными) межэлементными связями, каких там немного. Тем не менее в тех случаях, когда условия их применения соблюдаются, использование языка классической математики очень результативно. Достаточно вспомнить о большой наглядности и полезности алгебраических уравнений в «Капитале» Карла Маркса или об использовании методов дифференциального и интегрального исчисления при проведении экономического анализа или методов вариационного исчисления при определении структуры затрат на производство [3; 28; 32; 87].
Модели производственных функций связывают переменные величины затрат с объёмами выпуска. Понятия «затраты» и «выпуск» имеют отношение к процессу производства продукции как на уровне отдельно взятого хозяйствующего субъекта, так и на уровне национальной экономики [10; 41]. В последнем случае, естественно, речь идёт об агрегированных производственных функциях, в которых выпуском служит показатель совокупного общественного продукта [39; 73]. Частными моделями производственных функций являются модели выпуска, отражающие зависимость объёма производства от потребляемых ресурсов, модели издержек, отражающие зависимость объёма выпуска от издержек производства, и др.
Балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в национальной экономике. В их основе лежит балансовый метод, заключающийся в сопоставлении ресурсов (финансовых, материальных, трудовых, вычислительных), доступных моделируемой экономической системе, с одной стороны, и производственных потребностей в этих ресурсах - с другой [16; 25; 83]. Посему балансовая модель представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает соответствие «наличие - потребности» по каждому виду ресурса. В данном случае соответствие трактуется как равенство или достаточность ресурса для покрытия потребности. Как правило, система уравнений представляется в векторной форме, где левая часть уравнений принимает форму матрицы, элементы которой отражают нормативы затрат каждого вида ресурса на производство единицы продукции в натуральном выражении, умноженной на вектор объёма выпуска продукции, а правая - вектор совокупных затрат каждого вида ресурса на производственную программу [12; 13; 61]. При этом следует заметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения вариантов решений и не предусматривают взаимозаменяемости разных видов ресурсов, что значительно сужает сферу их практического применения. Тем не менее балансовые модели дают хорошие результаты при составлении техпромфинпланов, отраслевых и межотраслевых балансов.
Распределительные модели представляют собой математическое описание распределительных процессов, которые характерны для всех уровней
национальной экономики [1; 9; 17; 56]. Распределяют доходы, расходы, ресурсы, производственные задания, обязанности, полномочия, приоритеты, инвестиции и другие субстанции, связанные с материально-вещественной и производственно-технологической сторонами экономических систем. Для рентабельного функционирования любого хозяйствующего субъекта необходимо, чтобы наблюдался баланс между ресурсами, требуемыми для выполнения производственной программы, и ресурсами, доступными для производственного потребления. С целью поддержания стабильного режима производственной активности хозяйствующего субъекта составляется соответствующая распределительная модель, которая посредством допустимых упрощений сводится к линейному виду и решается методами линейного программирования. Однако в силу высокой динамики современной экономики производственные программы многих субъектов постоянно меняются, что приводит к нарушению отмеченного баланса. Это обстоятельство выдвигает дополнительные требования к решению распределительных задач, что обусловливает необходимость поиска новых методов.
Методы календарного планирования призваны поддерживать процессы решения задачи синхронизации производственного процесса управляемой экономической системы в пространстве (по структурным подразделениям, рабочим местам, должностным позициям) и во времени (в прошлом, настоящем и будущем). Это означает, что все операции производственного процесса управляемой системы необходимо закрепить за конкретными её элементами, согласовать длительность выполнения каждой операции и установить последовательность их реализации во времени.
Классическая постановка задачи составления календарного плана (расписания) формулируется следующим образом: требуется изготовить множество деталей X ={х;, ¿ = 1 , I], каждая из которых должна последовательно пройти обработку на нескольких (п) станках (п£5,5= (э^,] = 1 , /)). Для каждой детали х^ известно время обработки Су на станке . Требуется составить календарный план производственного процесса, минимизирующий общее время изготовления всех деталей. При этом в каждый текущий момент времени на любом станке может обрабатываться не более одной детали, и выполнение любой операции производственного процесса не должно прерываться до её полного завершения. Поскольку единственным методом точного решения задачи в такой постановке является метод простого перебора вариантов, что может быть очень длительным и затратным, то возникает естественное желание сократить их число без риска упустить оптимальный календарный план. Методологический инструментарий для решения такого рода задач как раз и предоставляет теория расписаний [48; 78; 81].
Логистические модели описывают процессы движения материальных, финансовых и информационных потоков от первичных источников до конечных потребителей, заключающиеся в доставке востребованных товаров/услуг заданного уровня
качества, в необходимом количестве, за определённое время, в нужное место с минимальными затратами [19; 74]. В силу большого разнообразия логистической деятельности (снабжение, производство, распределение, управление запасами, грузоперевозки, транспорт, управление финансовыми потоками и др.) в данной предметной области пока не выработан единый (общепризнанный) аппарат моделирования и для составления логистических моделей, как правило, заимствуется модельный инструментарий из смежных областей знаний. В частности, при исследовании динамики работы службы закупок хозяйствующего субъекта, интенсивности и мощности каналов товародвижения в распределительной сети, управления производственными и товарными запасами широко применяются ситуационные модели; для статистической оценки степени устойчивости, надёжности и адаптивности логистической системы на заданном временном отрезке используют и бихевиористические модели, для оценки уровня её функциональности прибегают к моделям систем массового обслуживания, а для анализа, планирования и проектирования цепей поставок используются так называемые скоринговые (от SCOR -Supply Chain Operations Reference) модели [84; 85].
Методы математического программирования образуют наиболее популярное подмножество экономико-математических моделей и методов. Сюда относят:
• модели и методы линейного программирования;
• модели и методы целочисленного программирования;
• модели и методы стохастического программирования;
• модели и методы параметрического программирования;
• модели и методы динамического программирования;
• нелинейные экономико-математические модели;
• «мягкие» экономико-математические модели. Термин «программирование» в данном контексте
следует интерпретировать как планирование, определение программы действий или распределение чего-то (ресурсов, финансов, заданий) по элементам известного множества.
Модель задачи математического программирования включает искомый план X, образованный совокупностью неизвестных значений Xj,j = 1 , J, влияющих на достижение цели управляемой экономической системы; целевую функцию f(X), в математической форме выражающую цель системы с точки зрения выбранного критерия оптимальности; систему ограничений (ресурсных, технических, технологических) на значения неизвестных Xj,j = 1,J, в совокупности очерчивающих область допустимых решений; и заключается в нахождении такого плана X = (х1,х2, —,Xj), которое доставляет экстремальное значение целевой функции f(X) при заданных ограничениях, т.е.:
f(X) ^ max (min); (1)
Ui(Xi, ■■■, Xj ..., Xj^ < bi
<
" Ui(Xi,X2, ■■■ ,Xj ... = bi ......... > . .
xfö > 0,j = 1,J.
(2)
(3)
План X, удовлетворяющий системе ограничений (2 — 3), называют допустимым, а допустимый план X*, доставляющий экстремальное значение функции [(X), называют оптимальным.
Модели математического программирования, в которых целевая функция (1) и ограничения (2) линейны относительно неизвестных х= 1,] называют задачами линейного программирования. Модели математического программирования, в которых целевая функция (1) или хотя бы одно из уравнений (2) нелинейны относительно х= 1,], называют задачами нелинейного программирования. Если, исходя из содержания предметной области моделирования, на все или некоторые переменные х= 1,] наложены условия целочисленности, то мы имеем дело с задачей целочисленного программирования. Если же коэффициенты в целевой функции (1) при неизвестных х^,] = 1,] или в ограничениях (2) являются случайными величинами, то мы имеем дело с задачей стохастического программирования. А если целевая функция (1) и/или ограничения (2) зависят от параметров, то получаем задачу параметрического моделирования. К методам математического программирования вплотную примыкают и рекуррентные соотношения динамического программирования. Последние применяются для формирования наилучшего плана выполнения многоэтапных действий, когда результат каждого последующего этапа зависит от предыдущего [11; 12; 13; 58; 59; 68; 82; 85]. Несложно догадаться, что для каждого выделенного класса задач математического программирования используются свои методы поиска решения. Более того, эти методы постоянно совершенствуются, а их спектр расширяется.
«Мягкие» экономико-математические модели используются для описания критических экономических процессов, балансирующих на грани допустимого. В них фиксируются очень тонкие реакции моделируемого фрагмента реального мира на измене -ние его внешних и внутренних условий. В отличие от «жёстких» моделей, описанных ранее, в которых любая связь между элементами моделируемой системы, зафиксированная при её составлении, не меняется на протяжении всего периода её использования, в «мягких» моделях некоторые межэлементные связи подвержены постоянным изменениям. При достижении критического порога такая связь может измениться коренным образом и обозначить тем самым переход моделируемой системы в новое качество. Последнее ассоциируется с невозможностью возврата системы к предшествующим состояниям и тенденциям развития [6; 49]. Наиболее адекватным математическим языком составления «мяг-
ких» моделей является аппарат дифференциального исчисления. Построенные с его помощью дифференциальные уравнения или системы дифференциальных уравнений в какой-то мере гарантируют, что, оптимизируя выбранную сторону исследуемой экономической системы, мы не приведём её к разрушению (катастрофе) или «сваливанию» в бифуркацию.
Модели и методы принятия решений
Традиционно под управленческим решением понимают результат обоснования и выбора определённого способа действий из множества возможных вариантов (альтернатив), призванных обеспечить достижение желаемого результата (цели) управляемой системы в обозримой перспективе [24; 53; 55; 57]. Из этой дефиниции следует, что принятию решений математики придают расширительную трактовку. Помимо собственно процедуры принятия решения, заключающейся в выборе варианта действий и придания ему юридической силы (легитимизации), они включают сюда и процедуру выработки возможных (допустимых) вариантов решения, на множестве которых и будет осуществляться выбор. Процедура реализации решения, завершающая триаду «выработка решения - принятие решения - реализация решения», ассоциируется с непосредственным воздействием на управляемую систему, которое осуществляется уже за пределами сферы деятельности математиков.
Самую малочисленную группу в рамках отмеченного класса модельно-методологического обеспечения организационного управления составляют модели критериального выбора. Сюда включают:
• нормативные (классические) модели критериального выбора;
• многокритериальные модели;
• модели сетевого планирования и управления;
• феноменологические модели;
• игровые модели.
Коротко остановимся на смысловом содержании представителей анализируемой модельно-методоло-гической группы.
Нормативные модели принятия решений основаны на классической концепции максимизации полезности. Данная концепция исходит из того, что лицу, принимающему решение, известны не только все альтернативы, но и все возможные последствия каждой альтернативы при различных состояниях (условиях) среды, которые могут сложиться на момент реализации решения. Рациональный (экономический) человек всегда стремится применять оптимальное (наилучшее) решение, исходя из функции полезности, которая может быть задана в форме некоторого аналитического выражения или «скрываться» внутри ЛПР и проявляться в форме его предпочтений. В первом случае мы приходим к постановке оптимизационной задачи однокритериального выбора, которая помимо целевой функции включает ограничения на область допустимых значений искомых переменных [5; 13; 57], а во втором - к поведенческому, как правило, иррациональному выбору, объяснение которому может дать поведенческая экономика [37; 79].
Многокритериальные модели возникают тогда, когда для сравнения допустимых альтернатив одного критерия оптимальности недостаточно и приходится использовать несколько критериев:
q1(x),q2(x),...,qi(x),...,qI(x),x Е X, где X - множество возможных альтернатив; I - число используемых критериев.
Необходимо определить альтернативу х* Е X, наилучшим образом удовлетворяющую все критерии qi(x), i = 1 , I, т.е.:
х* Е X: qt{x*) = q°UT(x), i = 1J.
Для решения такой задачи используются различные методы: метод свёртки критериев, метод условной оптимизации, метод уступок и др. [30; 86]. Однако их результативность сильно зависит от знаний и интуиции специалиста, осуществляющего её решение. Поэтому многокритериальные задачи предоставляют широкое поле для модифицирования известных и поиска новых методов решения.
Методы сетевого планирования и управления используются для визуализации, алгоритмизации, календаризации комплексов взаимосвязанных работ и организационного управления их практическим осуществлением. В основе отмеченных моделей лежит удачный симбиоз математического аппарата теории графов и методологического арсенала современной теории систем [18]. В совокупности они обеспечивают наглядное отображение управляемой системы (комплекса), предоставляют целый спектр инструментов для её глубокого анализа и выработки на этой основе хороших управленческих решений по мобилизации доступных ресурсов для достижения стратегической цели системы. В зависимости от смыслового содержания конструктивных элементов моделирования (типа вершин и характера связей между ними) различают диаграммы Ганта, модели критического пути (CPM - Critical Path Method), модели оценки и пересмотра планов (PERT - Program Evalutionand Review Techigue) и др. модификации сетевых моделей, нашедших широкое применение в задачах принятия решений [36; 63; 64].
Феноменологические модели, нашедшие успешное применение в естествознании и технике, со временем привлекли пристальное внимание экономистов и менеджеров. Последние стали использовать их в тех случаях, когда требуется принятие срочных решений в уникальных условиях, т.е. в условиях не встречавшихся ранее [23]. Составители феноменологических моделей исходят из того, что представление об окружающем мире сильно зависит от конкретных условий места и времени, в которых оно было получено конкретным индивидом [62]. Поэтому феноменологическая модель может быть использована для принятия управленческого решения здесь и сейчас и не может быть пролонгирована на перспективу. В новой текущей ситуации необходимо строить новую феноменологическую модель. Со временем серия частных феноменологических моделей может составить основу для формирования обобщённой модели, описывающей долгосрочные закономерности в данной предметной области, позволяющей генерировать штатные решения для текущей ситуации.
Игровые модели используются для выработки управленческих решений в конфликтных ситуациях. Конфликтной может быть любая ситуация, в которой затронуты интересы двух или более участников. Благодаря тому, что в рыночной экономике такие ситуации встречаются на каждом шагу, игровые модели и методы нашли широкое применение. Их методологическую основу составляет теория игр. Она занимается не анализом конкретных конфликтных ситуаций во всех их проявлениях, а теоретико-игровыми моделями, получающимися в результате математической «упаковки» конкретной ситуации в типовую, формализованную игру. Каждая формализованная игра характеризуется числом игроков, стратегией (способом действий) каждого из них, функцией исхода игры (выигрыша или проигрыша) и происходит в условиях неполной информации, неопределённости и риска. Цель любого игрока заключается в выборе такой стратегии игры, которая обеспечит ему как можно больший выигрыш или как можно меньший проигрыш. Однако достижение этой цели лишь частично зависит от игрока, поскольку другие участники игры влияют на общую ситуацию, преследуя свои собственные цели [15; 75]. Заметим, что каждый игрок может быть как реальным (человек, конкурентная компания, политическая партия), так и условным (природа, обстоятельства, складывающаяся конъюнктура рынка), а их соперничество может квалифицироваться как строгое (антагонистические игры) или нестрогое (коалиционные игры) [47; 85].
Последующие девять позиций рассматриваемого класса модельно-методологического обеспечения принятия решений можно объединить под эгидой «Экономико-статистические методы». Они описывают поиск оптимального недетерминированного поведения в условиях неполной информации. Если процесс характеризуется повторяющимися ситуациями, то его усреднённые характеристики испытывают тенденцию к стабилизации и появляется возможность либо замены случайного процесса детерминированным, либо использования методов исследования стационарных случайных процессов. К этой группе относят:
• байесовские модели;
• метод наибольшего правдоподобия;
• метод корреляционного анализа;
• метод регрессионного анализа;
• эконометрические модели;
• метод последовательного анализа;
• модели систем массового обслуживания;
• эволюционно-симулятивные модели;
• модели (цепи) Маркова.
Байесовские модели предполагают оригинальную интерпретацию понятия «вероятность». В них вероятность отражает степень уверенности в рациональности решения или уровень знания текущей ситуации. Степень уверенности может основываться на результатах предшествующих экспериментов или на личных убеждениях лица, принимающего решение. В основе байесовских моделей лежит одноимённая теорема, которая включает три составляю -щие: априорную вероятность, в которой выражено
убеждение до того, как доказательства будут приняты; сведения (данные), принимаемые во внимание в процессе поиска решения; уточнённая (апостериорная) вероятность предполагаемого решения, полученная в результате вычислений с учётом принятых доказательств [2; 54]. Таким образом, байесовские модели преследуют цель улучшения принимаемых решений на основании поступления новых сведений (данных).
Метод наибольшего правдоподобия используется для создания статистической модели проблемной ситуации с использованием эмпирических данных и обеспечения оценки неизвестных параметров этой модели. Он основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в модели, которую ещё называют функцией правдоподобия. В результате применения метода максимального правдоподобия лицо, принимающее решение, получает значения искомых параметров модели, которые делают эмпирические данные более близкими к реальным. Таким образом, данный метод даёт уникальный простой способ определить решение в случае известного распределения случайной величины. Метод наибольшего правдоподобия нашёл широкое применение при проведении факторного анализа и решении других задач статистического выбора.
Методы корреляционного анализа используются для исследования взаимосвязи между экономическими показателями на основе их наблюдаемых (выборочных) значений. Степень или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции, значения которого принадлежат интервалу [-1, 1]. Отсюда следует, что корреляционная связь может быть положительной (прямой) и отрицательной (обратной). Для вычисления коэффициента корреляции используется формула Пирсона (если связь между сравниваемыми переменными линейна) или корреляционное отношение Пирсона (если связь нелинейна). В том случае, когда сравниваемые переменные измеряются в порядковой (ранговой) шкале, то в качестве меры связи используют коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Если исследуется зависимость решения от некоторого набора факторов (теснота совместного влияния факторов на результат), то используют коэффициент множественной корреляции, величина которого зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции [20; 71; 72].
Методы регрессионного анализа включают статистические методы исследования влияния одной или нескольких независимых переменных х1,х2,... ,х1 на зависимую переменную У. Наиболее распространённый метод регрессивного анализа -линейная регрессия, когда находят линейную функцию У = Ъ1 + Ъ1х1 + Ъ2х2 + —+ Ъ1хь которая, согласно выбранным критериям, наиболее соответствует данным выборки х. Для построения функции регрессии, как правило, используется метод наименьших квадратов. Параметры = 1,1 в уравнении регрессии интерпретируются как доля дисперсии У, объяснённая хь, при закреплении влияния остальных независимых переменных, т.е. измеряет индивидуальный вклад XI в объяснение У. Проверка приме-
нимости полученного уравнения регрессии для выработки (принятия) управленческого решения сводится к установлению степени соответствия построенной модели (уравнения регрессии) экспериментальным данным и уяснению, достаточно ли включённых в уравнение независимых переменных для описания зависимой переменной. Если между исследуемыми явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций: степенных, показательных, экспоненциальных и др. [27; 70]. Наибольшее применение регрессионные методы нашли при реализации функции прогнозирования.
Эконометрические модели представляют собой эффективный инструмент анализа текущего состояния экономических систем, прогнозирования их дальнейшего развития и принятия решений по ходу последнего с целью придания ему желательной траектории. Их теоретико-методологическую основу составляют экономическая теория, теория вероятностей, экономическая статистика и классическая математика [7; 8; 43]. Эконометрические модели являются своеобразной цифровой поддержкой и продолжением модельных описаний массовых экономических процессов и явлений, которые экономическая теория исследует на качественном уровне. С точки зрения статистики они являются обобщением и дальнейшим развитием корреляционно-регрессионного анализа, а с позиции математики представляют прекрасный полигон для практического применения её классического языка и яркой демонстрации универсальных возможностей последнего.
Эконометрическая модель имеет следующий общий вид:
у = Г(Х) + £, где У - наблюдаемые значения объясняемой переменной; [(X) - объясняющая часть, зависящая от значений объясняющих переменных X = (х1,х2,... ,х1); е - возмущение (случайная составляющая).
В зависимости от характера и формы представления перечисленных составляющих различают целое множество разновидностей эконометрических моделей [8; 31].
Метод последовательного анализа основан на пошаговом принятии статистических решений. В отличие от классической постановки задачи поиска точечных и интервальных оценок выбираемой альтернативы, предполагающей фиксированный объём выборки, метод последовательного анализа не устанавливает заранее число испытаний, а определяет его в процессе исследования. Основная идея данного метода состоит в том, чтобы проводить последовательное оценивание неизвестного параметра принимаемого решения до тех пор, пока не станет возможным получить оценку с заданной степенью точности, не зависящей от неизвестного значения оцениваемого параметра. Чаще всего метод последовательного анализа используется в задачах контроля [66; 77].
Модели систем массового обслуживания описывают процессы оказания услуг в системах со стохастическим характером функционирования. Класс
последних очень обширный и включает предприятия торговли, бытового обслуживания, банки, заправочные станции, системы связи, больницы, склады, аудиторские компании, порты, компьютерные сети и множество других образований, объединённых общим названием системы массового обслуживания (СМО). Описание любой СМО обязательно должно отражать следующие моменты: входящий поток заявок, очередь, каналы обслуживания, выходящий поток обслуженных заявок [21; 85]. Модели СМО позволяют вычислять значения различных показателей (обычно средних) функционирования реальных систем и на их основе вырабатывать и принимать те или иные решения. Как правило, определению подлежат показатели эффективности СМО (абсолютная и относительная пропускная способность, продолжительность занятости её каналов, коэффициент занятости каналов), показатели качества обслуживания заявок (среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время её обработки, вероятность отказа клиенту в обслуживании, среднее число заявок в очереди) и др. Несложно догадаться, что оптимизация функционирования любой СМО предполагает решение задачи многокритериальной оптимизации [45; 86].
Эволюционно-симулятивная модель представляет собой некий симбиоз статистического и имитационного подходов к моделированию равновесных случайных процессов и выработки (принятия) управленческих решений в условиях неопределённости [51; 52]. Она индивидуальна (оригинальна) для каждого конкретного процесса, а её построение заключается в уточнении и адаптации общей модельной структуры к условиям исследуемого процесса. В результате такой адаптации получается индивидуализированная (прикладная) эволюционно-симулятивная модель конкретного процесса, отражающая влияние всех значимых факторов и позволяющая рассчитывать силу воздействия при его отклонениях от равновесного состояния как в сторону завышения, так и в сторону занижения. Соотношение «сила завышения/сила занижения» наряду со значениями «план» и «надёжность» этого плана являются обязательными параметрами эволюционно-симулятивной модели, которые в конечном итоге позволяют генерировать управляющие воздействия, призванные «удержать» управляемый процесс (систему) на равновесной траектории развития.
Модели(цепи) Маркова нашли широкое применение в прогнозировании финансовых рынков, социальной сферы и политических событий. Как известно, цепь Маркова описывается множеством состояний управляемой системы (Ь = 1,1) и вероятностями переходов Рц (I = 1,1,] = 1,]) из одного состояния в другое. Последние, как правило, задаются с помощью стохастической матрицы (сумма элементов каждой её строки равна 1) [34; 85]. При составлении марковской модели предполагают, что будущее состояние управляемой системы зависит только от текущего его состояния и не зависит от предыдущих. Последовательно выстраивая стохастическую матрицу в направлении будущего, можно предсказать состояние управляемой системы на несколько шагов
вперёд. При этом руководствуются очень простым правилом: если зафиксировать текущее состояние то в качестве будущего состояния управляемой системы выбирается такое состояние Б]*, вероятность перехода в которое Р^ максимальна. Таким образом структура модели (цепи) Маркова указывает направление развития управляемой системы.
Поведенческие модели. На рубеже тысячелетий появилась, а в последние годы заметно закрепилась концептуально новая экономическая теория - поведенческая экономика. Она существенно потеснила доминирующую ныне неоклассическую концепцию экономической теории и, возможно, заменит её на подиуме экономической науки уже в обозримой перспективе. Методы выработки, принятия и реализации управленческих решений в рамках поведенческой экономики находятся на стадии становления и адаптации к условиям её функционирования. В рассматриваемой модельно-методологической группе они замыкают список, включая:
• дескриптивные модели;
• инкрементальные модели Минцберга;
• сценарные модели;
• модели эвристических предпочтений;
• коалиационные модели;
• архитектурные модели Талера;
• модели коллективного (экспертного) выбора.
Дескриптивные модели носят описательный
характер и только отражают, а не предопределяют реальный процесс принятия управленческих решений. Они основываются на эмпирических наблюдениях, содержат, как правило, немного элементов и фиксируют взаимоотношения между ними в упрощённой форме [44; 67]. Поэтому принимаемые с их использованием решения являются не столько рациональными, сколько приемлемыми. Они больше базируются на опыте, проницательности и интуиции, чем на строгой логике и чётких умозаключениях лиц, принимающих решения. Поскольку приемлемым считается первое решение, удовлетворяющее условиям допустимости, то это значительно ускоряет процесс его выработки и принятия.
Инкрементальная модель, предложенная Г.Минц-бергом, как правило, используется для принятия нештатных решений. Её суть заключается в том, что она «расписывает» процесс принятия решения на серию мелких выборов, причём выбор на каждом последующем шаге зависит от выбора на предыдущих шагах [60; 76]. В такой модели процесс принятия решения проходит через несколько ключевых точек, в которых могут находиться барьеры (препятствия), прерывающие процесс решения. Прерывание означает, что лицо, принимающее решение, должно вернуться к предыдущим решениям (отступить на шаг, несколько шагов или даже вернуться к началу процесса) и повторить процесс, пытаясь сделать что-то новое. Такие петли, или циклы, повторяются до тех пор, пока не будет преодолён весь путь выработки решения от начала до конца.
Сценарная модель описывает вероятные направления развития управляемой системы за счёт мобилизации внутреннего потенциала в условиях склады-
вающейся динамики внешней среды. Традиционно в рамках одной модели рассматривают как минимум три варианта: оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный. При составлении сценарной модели широко используются как формализованные методы, так и методы экспертных оценок [33; 64]. В конечном итоге с их помощью должны быть обнаружены и зафиксированы в явном виде причинно-следственные зависимости, направляющие развитие исследуемой системы, значимые факторы, определяющие эти зависимости, условия, в которых развитие происходит и возможные последствия принимаемых решений.
Модели эвристических предпочтений отражают механизмы принятия решений в условиях неопределённости, выстраиваемые на закономерностях экономической психологии (поведенческой экономики), которые в корне отличаются от вариантов рационального выбора, сделанных на основании решения оптимизационных задач и/или стохастических вычислений. Оказывается, что целенаправленная экономическая деятельность людей менее разумна и менее эгоистична, чем это предполагает классическая экономическая наука. Согласно экономической психологии, нормальный человек не способен правильно оценивать будущие выгоды в абсолютном выражении, а оценивает их в сравнении с некоторыми общепринятыми стандартами, стремясь, прежде всего, избежать ухудшения. Большинство людей руководствуются не рациональными, а интуитивными соображениями, которые называют поведенческими эвристиками. В отличие от алгоритма эвристика не ведёт к точному описанию явления, а маршрутизирует умственный процесс по пути упрощений и отклонений от рациональности. В поведенческой экономике различают эвристику репрезентативности, эвристику доступности, якорную эвристику и эвристику подобия, придающие тонкое смысловое содержание поведенческим моделям, на основании которых генерируются управленческие решения [37; 38; 46].
Коалиционные (политические) модели описывают процессы выработки коллективных решений отдельными группами заинтересованных лиц и/или всех сотрудников управляемой системы. В моделях этого класса доминирует предположение, что управленческое решение является функцией распределения власти и зависит от эффективности политики, используемой различными участниками процесса управления. Управленческое решение, генерируемое с использованием коалиционной модели, отражает желание группы заинтересантов реализовать собственную властную политику [4; 22]. При этом сбор исходных данных, поиск допустимых альтернатив, выбор оценочных критериев и др. процедуры выработки и принятия решения имеют тенденционную окраску и используются как рычаги его конфигурирования в свою пользу. Для составления коалиционных моделей используется аппарат теории игр [47; 75; 85].
Архитектурные модели Талера представляют собой такую организацию контекста задачи принятия решения, которая канализирует выбор индивида и направляет его в «прокрустово ложе», ведущее к
улучшению ситуации в управляемой системе. Модельеров, составляющих такого рода модели, называют архитекторами выбора. В современных условиях многие реальные решения людей концентрируются вокруг вариантов, которые предусмотрел архитектор выбора ещё на стадии формирования допустимых альтернатив. К построению архитектурных моделей выбора прибегают органы управления предприятий и организаций, администрации муниципалитетов и регионов, аппараты министерств и ведомств, правительства государств и управленческие структуры всевозможных альянсов в тех случаях, когда предоставляется возможность подтолкнуть людей к желаемому выбору. При этом выбор не навязывается, действия индивидов не ограничиваются, а лица, принимающие решения, не ограждаются от неправильных решений. Если кто-то хочет поддаваться искушениям, сорить деньгами и не думать о будущем, архитекторы выбора не собираются ни переубеждать его, ни усложнять ему жизнь. Архитектурный выбор стоит ассоциировать с мягкой ненавязчивой функцией организационного управления, которая, тем не менее, предсказуемо влияет на управляемую систему [79; 80].
Методы экспертного выбора относят к приёмам коллективного поиска решений в сложных условиях. Их основная идея состоит в том, чтобы использовать опыт, интуицию и знания людей для поиска приемлемых вариантов решения слабоформализуемых задач. Поскольку эффективность интеллектуальной деятельности сильно зависит от многих факторов, то в методиках организации экспертиз особое место уделяется созданию благоприятных условий для работы экспертов [50; 69]. Последние должны быть освобождены от ответственности за последствия использования результатов экспертизы, необходимо убедиться в отсутствии личной заинтересованности экспертов в том или ином исходе экспертизы, надо также обеспечить абсолютную конфиденциальность выставляемых оценок, чтобы исключить взаимовлияние экспертов друг на друга, при формировании экспертных групп необходимо позаботиться о представительстве как можно более широкого спектра личностных и профессиональных качеств экспертов, а при обработке экспертных данных строго придерживаться установленных правил вычислительной математики, теории вероятностей и математической статистики [14; 35; 40].
Собственно говоря, экспертные методы выработки и принятия управленческих решений являются крайними в части математического обеспечения организационного управления. Более того, математика в них используется только для содержательной обработки результатов отдельных этапов экспертизы. Далее модельно-методологический арсенал организационного управления дополняют методы активизации знаний, опыта, интуиции и навыков лиц, принимающих решения. Но об этом в следующей статье.
Заключение. Приведённая классификация модельно-методологического арсенала научной специальности 5.2.2 «Математические, статистические и инструментальные методы экономики» призвана сориентировать научную общественность в её
предметной области и наметить направления развития на обозримую перспективу. В первую очередь, она будет полезна инициаторам формирования новых диссертационных советов по указанной специальности и руководителям образовательных и/или научных учреждений, в которых эти советы предполагается создавать. Содержащиеся в статье предположения помогут им более точно определить профиль будущего совета, сформировать его персональный состав и наметить план работы на обозримую перспективу.
Представляется также нелишним очередное напоминание научной общественности о целевом назначении данной научной специальности. Как отмечалось в статье, оно заключается в синтезе экономико-ориентированного математического аппарата для естественного модельного описания исследуемых экономических систем. Не исключено, что это сподвигнет отдельных учёных и/или целые научные коллективы на его создание.
Не следует сбрасывать со счетов и методико-образовательное значение статьи. Её положения позволят уточнить учебные программы многих профильных дисциплин для ИТ-направлений подготовки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Агийон Ф. Экономический рост, неравенство и глобализация: теория, история и политическая практика / Ф. Агийон, Дж. Уильямсон. - Москва : Издательский дом «Дело» РАНГиГС, 2015. - 288 с. - Текст : непосредственный.
2. Айвазян С.А. Байесовский подход в эконометри-ческом анализе / С.А. Айвазян. - Текст : непосредственный // Прикладная эконометрика. -2008. - № 1(9). - С. 93-108.
3. Алексеев Г.В. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация / Г.В. Алексеев. - Санкт-Петербург : Гиорд, 2014. - 272 с. - Текст : непосредственный.
4. Анахов И.В. Нематематические основания теории игр. Три стадии игры: игра, ритуал, рутина / И.В. Анахов. - Текст : непосредственный // Креативная экономика. - 2019. - Т. 13. - № 4. - С. 853-868.
5. Андрейчиков А.В. Системный анализ и синтез стратегических решений в инноватике: математические, эвристические и интеллектуальные методы системного анализа и синтеза инноваций / А.В. Андрейчиков, О.Н. Андрейчикова. - Москва : Ленанд, 2015. - 306 с. - Текст : непосредственный.
6. Арнольд В.И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели / В.И. Арнольд. - Москва : МЦНМО, 2011. - 27 с. - Текст : непосредственный.
7. Бабайцев В.А. Математические методы финансового анализа / В.А. Бабайцев, В.Б. Гисин. -Москва : Юрайт, 2019. - 215 с. - Текст : непосредственный.
8. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования / Л.О. Бабешко. - Москва : КомКнига, 2006. - 432 с. - Текст : непосредственный.
9. Балацкий Е.В. Распределительные модели рыночной экономики / Е.В. Балацкий, Н.А. Екимова. -
Текст: непосредственный // TERRA ECONOMICUS. - 2016. - Т. 14. - № 2. - С.48-69.
10. Баранов С.В. Эконометрические модели производственных функций: история и современность / С.В. Баранов. - Текст : непосредственный // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2014. - № 10-2. - С. 53-57.
11. Белман Р. Динамическое программирование / Р. Белман. - Москва : ЁЁ Медиа, 2017. - 919 с. -Текст : непосредственный.
12. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - Москва : Финансы и статистика, 2001. - 368 с. - Текст : непосредственный.
13. Бережная Е.В. Методы и модели принятия управленческих решений / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - Москва : Инфра-М, 2016. - 384 с. -Текст : непосредственный.
14. Бешелев С.Д. Экспертные оценки / С.Д. Бешелев, Ф.Г. Гурвич. - Москва : Наука, 2003. - 79 с. -Текст : непосредственный.
15. Бинмор К. Теория игр. Очень краткое введение / К. Бинмор. - Москва : ИД «Дело» РАНХиГС, 2019. - 256 с. - Текст : непосредственный.
16. Быстров А.И. Информационные системы в экономике (балансовые задачи) / А.И. Быстров. -Уфа: Изд-во Башкирского института социальных технологий (филиала Академии труда и социальных отношений), 2015. - 90 с. - Текст : непосредственный.
17. Васильева Л.Н. Моделирование микроэкономических процессов и систем / Л.Н. Васильева, Е.А. Деева. - Москва : КноРус, 2018. - 320 с. - Текст : непосредственный.
18. Власов М.П. Моделирование экономических систем и процессов / М.П. Власов, Д.П. Шимко. -Москва : Инфра-М, 2018. - 320 с. - Текст : непосредственный.
19. Гарнов А.П. Инструментарий логистики / А.П. Гарнов, Н.С. Киреева. - Москва : Инфра-М, 2018. - Текст : непосредственный.
20. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - Москва : Высшая школа, 2003. - 479 с. - Текст : непосредственный.
21. Гнеденко Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. -Москва : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 2018. - 336 с. - Текст : непосредственный.
22. Губко М.В. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников / М.В. Губко. - Москва : ИПУ РАН, 2003. -140 с. - Текст : непосредственный.
23. Гумеров М.Ф. Феноменологическое моделирование организационного управления социально -экономическими системами / М.Ф. Гумеров. -Москва : ООО «ЭКЦ Профессор», 2016. - 194 с. -Текст : непосредственный.
24. Дорогов В.Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. -
Москва : Форум, 2016. - 330 с. - Текст : непосредственный.
25. Дородницын А.А. Избранные научные труды : в 2 т. / А.А. Дородницын / отв. ред. Ю.Д. Шмыг-левский. - Москва : ВЦРАН, 1997. - Текст : непосредственный.
26. Дородницын А.А. Проблемы математического моделирования в описательных науках / А.А. Дородницын // Кибернетика. Становление информатики. - Москва: Наука, 1986. - С. 22-28. -Текст : непосредственный.
27. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия / Н. Днейпер, Г. Смит.
- Москва : Диалектика, 2007. - 912 с. - Текст : непосредственный.
28. Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в менеджменте / И.Н. Дрогобыцкий и др. - Москва : КноРус, 2022. - 651 с. - Текст : непосредственный.
29. Дрогобыцкий И.Н. Системная реструктуризация научных экономических специальностей / И.Н. Дрогобыцкий. - Текст : непосредственный // Экономическая наука современной России. -2018. - № 2(81). - С.143-154.
30. Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в экономике / И.Н. Дрогобыцкий. - Москва : Юнити, 2017. - 607 с. - Текст : непосредственный.
31. Елисеева И.Н. Эконометрика / И.Н. Елисеева. -Москва : Проспект, 2010. - 288 с. - Текст : непосредственный.
32. Звонарёв С.В. Основы математического моделирования / С.В. Звонарёв. - Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. - 122 с. - Текст : непосредственный.
33. Зинкин С.А. Алгебра сценариев для спецификации операционной семантики активных сетей хранения и обработки данных / С.А. Зинкин. - Текст : непосредственный // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2004. - № 2. -С. 96-107.
34. Зорин А.В. Введение в общие цепи Маркова / А.В. Зорин, В.А. Зорин, Е.В. Пройдакова, М.А. Федоткин. - Нижний Новгород: Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, 2013. - 51 с.
- Текст : непосредственный.
35. Зубарев Ю.М. Математические методы коллективного принятия решений / Ю.М. Зубарев. -Санкт-Петербург : Лань, 2015. - 256 с. - Текст : непосредственный.
36. Зуховицкий С.И. Математические методы сетевого планирования / С.И. Зуховицкий, И.А. Радчик. - Москва : Наука, 2017. - 296 с. - Текст : непосредственный.
37. Канеман Д. Думай медленно...решай быстро / Д. Канеман. - Москва : Изд-во АТС, 2016. - 653 с. -Текст : непосредственный.
38. Канеман Д. Принятие решений в неопределённости: правила и предубеждения / Д. Канеман, П. Словик, А. Тверски. - Харьков : Изд-во Института прикладной психологии «Гуманитарный центр», 2005. - 632 с. - Текст : непосредственный.
39. Кирилюк И.Л. Модели производственных функций для российской экономики / И.Л. Кирилюк. -
Текст : непосредственный // Компьютерные исследования и моделирование. - 2013. - Т. 5. -№ 2. - С. 293-312.
40. Китаев Н.Н. Групповые экспертные оценки / Н.Н. Китаев. - Москва : Знание, 2005. - 64 с. - Текст : непосредственный.
41. Клейнер Г.Б. Производственные функции / Г.Б. Клейнер. - Москва : Финансы и статистика, 1986.
- 239 с. - Текст : непосредственный.
42. Клейнер Г.Б. Экономика. Моделирование. Математика : избранные труды / Г.Б. Клейнер. -Москва : ЦЭМИ РАН, 2016. - 856 с. - Текст : непосредственный.
43. Ковалёв Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика / Е.А. Ковалев, Г.А. Медведев.
- Москва : Юрайт, 2019. - 284 с. - Текст : непосредственный.
44. Козлов А.В. Логические дескриптивные и прес-криптивные модели / А.В. Козлов. - Текст : непосредственный // Информационные технологии в науке, образовании и управлении. - 2018. - № 6. -С. 3-8.
45. Коэн Дж. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Дж. Коэн, О. Боксма. - Москва : Мир, 2019. - 272 с. - Текст : непосредственный.
46. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений / Ю.Н. Кулюткин. - Москва : Альфа-книга, 2013. - 325 с. - Текст : непосредственный.
47. Лабскер Л.Г. Теория игр в экономике / Л.Г. Лабскер. - Москва : КноРУС. - 2018. - 413 с. -Текст : непосредственный.
48. Лазарев А.А. Теория расписаний: задачи и алгоритмы / А.А. Лазарев, Е.Р. Гафаров. - Москва : Изд-во Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 2011. - 215 с. - Текст : непосредственный.
49. Лебедева И.П. Мягкие модели как форма математизации социологического знания / И.П. Лебедева. - Текст : непосредственный // Социологические исследования. - 2015. - № 1. - С. 79-84.
50. Литвак Б.Г. Экспертная информация. Методы получения и анализа / Б.Г. Литвак. - Москва : Радио и связь, 2008. - 184 с. - Текст : непосредственный.
51. Лихтенштейн В.Е. Информационные технологии в бизнесе. Применение системы Decision в микро-и макроэкономике / В.Е. Лихтенштейн, Г.В. Росс.
- Москва : Финансы и статистика, 2008. - 512 с. -Текст : непосредственный.
52. Лихтенштейн В.Е. Равновесные случайные процессы: теория, практика, инфобизнес / В.Е. Лихтенштейн, Г.В. Росс. - Москва : Финансы и статистика, 2015. - 424 с. - Текст : непосредственный.
53. Логинов В.Н. Управленческие решения. Модели и методы / В.Н. Логинов. - Москва : Альфа-пресс, 2017. - 184 с. - Текст : непосредственный.
54. Ломиворотов Р.В. Использование байесовских методов для анализа денежно-кредитной политики в России / Р.В. Ломиворотов. - Москва : Синергия, 2015. - 862 с. - Текст : непосредственный.
55. Лукьянов Б.В. Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений / Б.В. Лукьянов, П.Б. Лукьянов. - Москва : Русайнс, 2014. - 94 с. - Текст : непосредственный.
56. Математические и инструментальные методы в современных экономических исследованиях. -Москва : Экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2018. - 232 с. - Текст : непосредственный.
57. Мендель А.В. Модели принятия решений / А.В. Мендель. - Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2016. - 463 с. - Текст : непосредственный.
58. Методы оптимальных решений в экономике и финансах. - Москва : КноРус, 2019. - 298 с. -Текст : непосредственный.
59. Методы оптимальных решений: учебное пособие для вузов : в 2 т. - Москва : Физматрит, 2012. -Текст : непосредственный.
60. Минцберг Г. Стратегический процесс. Концепции, проблемы, решения / Г. Минцберг, Дж. Куинн, С. Гошал. - Санкт-Петербург : Питер, 2001. - 567 с. - Текст : непосредственный.
61. Мицель А.А. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов / А.А. Мицель. - Томск: Изд-во Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники, 2019. - 193 с. - Текст : непосредственный.
62. Мотрошилова Н.В. Феноменология / Н.В. Мотро-шилова // Новая философская энциклопедия / под ред. В.С. Стёпина. - Москва : Мысль, 2010. - С. 175-178. - Текст : непосредственный.
63. Набатова Д.С. Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений / Д.С. Набатова. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 292 с. -Текст : непосредственный.
64. Наумов И.В. Сценарное моделирование воспроизводства инвестиционного потенциала институциональных секторов в регионах Сибирского федерального округа / И.В. Наумов, А.В. Трынов, А.О. Сафонов. - Текст : непосредственный // Финансы: теория и практика. - 2020. - № 24(6). - С. 19-37.
65. Нелис И. Управление бизнес-процессами: практическое руководство по успешной реализации проектов / И. Нелис, Д. Джестон. - Санкт-Петербург : Символ-плюс, 2015. - 512 с. - Текст : непосредственный.
66. Ниворожкина Л.И. Стратегические методы анализа данных / Л.И. Ниворожкина, С.В. Арженов-ский, А.А. Рудяга. - Москва : Риор, 2018. - 320 с. - Текст : непосредственный.
67. Ожерельева Т.А. Дескриптивные модели / Т.А. Ожерельева. - Текст : непосредственный // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2016. - № 5-4. - С. 675-675.
68. Партыка Т.Л. Математические методы / Т.Л. Партыка, И.И. Попов. - Москва : Форум, ИНФРА-М, 2013. - 464 с. - Текст : непосредственный.
69. Постников В.М. Анализ подходов к формированию экспертной группы, ориентированной на подготовку и принятие управленческих решений /
В.М. Постников. - Текст : непосредственный // Наука и образование. - 2020. - № 5. - С. 333-347.
70. Радченко С.Г. Методология регрессионного анализа / С.Г. Радченко. - Киев : Корнийчук, 2011. - 376 с. - Текст : непосредственный.
71. Самыловский А.И. Математические модели и методы для социологов : в 2 кн. / А.И. Самыловский. - Кн. 1 : Теория вероятностей. - Москва: КДУ, 2009. - 216 с. - Текст : непосредственный.
72. Самыловский А.И. Математические модели и методы для социологов : в 2 кн. / А.И. Самыловский. - Кн. 2 : Математическая статистика. -Москва : КДУ, 2009. - 154 с. - Текст : непосредственный.
73. Светуньков С.Г. Сравнительный анализ производственных функций в моделях экономической динамики / С.Г. Светуньков, И.С. Абдулаев. -Текст : непосредственный // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов. - 2010. - № 5. - С. 55-66.
74. Сергеев В.И. Корпоративная логистика в вопросах и ответах / В.И. Сергеев, Е.В. Будрина, С.В. Домнина, В.В. Дыбская. - Москва : Инфра-М, 2019. - 634 с. - Текст : непосредственный.
75. Сигал А.В. Теория игр и её экономические приложения / А.В. Сигал. - Москва : Инфра-М, 2017. -413 с. - Текст : непосредственный.
76. Сидняев Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.И. Сидняев. - Москва : Юрайт, 2011. - 2019 с. - Текст : непосредственный.
77. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных / В.М. Симчера. - Москва : Финансы и статистика, 2008. - 400 с. - Текст : непосредственный.
78. Слак Н. Организация, планирование и проектирование производства. Операционный менеджмент / Н. Слак, С. Чемберс, Р. Джонстнон. - Москва :
Инфра-М, 2013. - 790 с. - Текст : непосредственный.
79. Талер Р. Новая поведенческая экономика. Почему люди нарушают правила традиционной экономики и как на этом заработать / Р. Талер. - Москва : Эксмо, 2017. - 368 с. - Текст : непосредственный.
80. Талер Р. Архитектура выбора / Р. Талер, С. Касс. -Москва : ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2017. -310 с. - Текст : непосредственный.
81. Танаев В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотеков, В.А. Струсевич. - Москва : Наука, 1989. - 329 с. -Текст : непосредственный.
82. Труды ИСА РАН: Математическое моделирование. Математические модели в экономике. Численные методы. Оценка эффективности проектов / под ред. С.В. Емельянова. - Москва : Красанд, 2014. - 122 с. - Текст : непосредственный.
83. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе / С.И. Шелобаев.
- Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с. - Текст : непосредственный.
84. Экономико-математические методы и модели в логистике / сост. С.С. Кудрявцева, Ф.Ф. Галиму-лина. - Казань: Изд-во Казан. нац. исслед. технол. у-та ; изд-во Академии наук Республики Татарстан, 2019. - 140 с. - Текст : непосредственный.
85. Экономико-математическое моделирование / под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. - Москва : Экзамен, 2004. - 800 с. - Текст : непосредственный.
86. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений / Д.Б. Юдин. - Москва : КД Либ-роком, 2014. - 320 с. - Текст : непосредственный.
87. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления / Л. Янг / пер. с англ. - Москва : Мир, 1974. - 488 с. - Текст : непосредственный.
88. Паспорта специальностей. - Текст : электронный.
- URL : http://arhvak.minobrnauki.gov.ru/316
© Иван Николаевич Дрогобыцкий, 2022 © Частное образовательное учреждение высшего образования «Таганрогский институт управления и экономики», 2022
