Моделирование зависимой подвески колес легкового автомобиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Черных В. В., Макеев О. М. УДК 629.3.027

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОМ ПОДВЕСКИ КОЛЕС ЛЕГКОВОГО АВТОМОБИЛЯ

Подвески колес легковых автомобилей, как устройства, предназначенные для связи колес автомобиля с кузовом, делятся на независимые и зависимые. Если подвески независимые, то перемещения левого колеса автомобиля не оказывает влияния на перемещения правого и наоборот. В этом случае они практически однозначно моделируются пространственными механизмами, имеющими одну или две степени свободы [1]. Такими являются, например, следующие три подвески: "Макферсон", с тремя рычагами и стойкой "Мак-ферсон", независимая с пятиштанговым направляющим аппаратом [2]. Если подвески зависимые - налицо кинематическая связь между левым и правым колесами, то указанной однозначности моделирования, как правило, нет. В процессе исследования кинематики колес эти подвески моделируют плоскими механизмами или, предполагая перемещения малыми, заменяют приращения координат дифференциалами [3, 4]. Так как подвески являются пространственными техническими системами, имеющими с точки зрения специалистов по их проектированию не малые перемещения, последнее может привести к недопустимым погрешностям.

В настоящей статье рассматривается зависимая подвеска с пятиштанговым направляющим аппаратом. Ее имеют, например, задние колеса автомобилей ВАЗ-2107, ВАЗ-2121 "Нива", ВАЗ-2131, "Chevrolet Niva". Предлагаются два способа ее моделирования пространственными механизмами. На основе механизма подвески автомобиля ВАЗ-2121 "Нива", который далее называется прототипом, показывается, что второй способ наиболее приемлем. Приводятся результаты расчета и оптимизации, выполненные с целью получения варианта механизма подвески, обладающего более предпочтительными характеристиками, чем прототип.

Описание схемы подвески. На рис.1 приведено схематизированное изображение рассматриваемой подвески. Система координат Oxyz же-

стко связана с кузовом автомобиля. Подвеска дана в начальном положении - до всякого ее перемещения, о чем свидетельствует индекс 5 при обозначении точек, положения которых относительно системы координат Охуг меняются в процессе этого перемещения. В текущем положении подвески указанные точки далее обозначаются без индекса 5.

Рис. 1. Зависимая подвеска колес легкового автомобиля с пятиштанговым направляющим аппаратом

Колеса моделируются круговыми дисками;

, 1 = 1,2, - центры дисков и колес; - центры пятен контактов колес с опорной поверхностью; [М^^] = Я - радиус колес. Колеса жестко связаны с балкой. На балке расположены шарниры с центрами в точках Нг, Вг, , 051, С5 . Балка соединена с кузовом при помощи продольных , ВА и поперечной С8Е штанг; Д, Д и ^ - центры шарниров, неподвижных относительно кузова. Сферическими шарнирами с центрами

G0 0 О/т

, и Ц амортизаторы Ц и пружины и

JSi

крепятся к кузову, а сферическими шарнирами и 051 к балке. Точки К и - центры расположенных на балке шарниров, связанных с передачей крутящего момента от двигателя к колесам.

Предполагается, что точки М52, , Н52, Вг, Д , А симметричны соответственно точкам

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

М51, Е31, Н51, В51, D1, Л1 относительно координатой плоскости Oxz.

В процессе проектирования положение подвески задают ходами колес Д = гМг- - гмз, i = 1,2,

где Zм

и г.

- координаты г центра колеса

М( хш,уш,гш) в начальном и текущем положениях подвески. При этом пружины, амортизаторы и точки К и Ь какого-нибудь влияния на ее кинематику не оказывают. Поэтому далее в данной статье они не рассматриваются. На ход Д левого и ход Д правого колес накладывают одинаковые

ограничения: < Д < Дп . Для прототипа имеем:

М31(2200; - 700; - 40), Я = 322, Дп = -125, Дах = 100, Н/2196; - 489; -110), Д( 1582; - 489; - 75), В/2203,5; - 277; 20), А( 1905; - 277; - 7), СД 2315; - 549,5; - 77 2324; 507; - 40).

(1)

В (1) единицы измерения - миллиметры. Одной из основных кинематических характеристик подвески является угол £ поворота балки на опорной поверхности, вычисляемый по

формуле £ = аг^:

. Он в значительной

уМ 2 - уМ 1

степени определяет эксплутационное свойство автомобиля, называемое поворачиваемостью.

Устройство шарниров подвески таково, что при ее перемещениях длины штанг меняются мало, т.е. точность выполнения равенств

(2)

чагах. Достаточно в качестве Щ , Щ , Щ , Щ

т , Т-

Т

' 5 ' * 51 ' * 5 2

венно D1 , А ,

Т

Т

5 3 ' * 5 4

А2 , ^ , , Н

Т55 взять соответст-

В51 , ВЯ 2 , С5 :

Н52. Такое моделирование дает механизм подвески, имеющий одну степень свободы. В качестве степени свободы (обобщенной координаты) этого механизма естественно взять Д - ход левого колеса - или Д - ход правого колеса. Перемещения подвески однозначно определяются значениями Д или Д , причем равенства (2) будут выполнены.

Рис. 2. Твердое тело, подвешенное на пяти рычагах

На основе описанной модели и исходных данных (1) были проведены расчеты. В табл.1 показаны результаты этих расчетов - координаты центров левого и правого колес в зависимости от значений Д .

Таблица 1

\Н51В,\ = НР,\,ВА\ = \В>А,\, СИ = \CF\j = 1,2,

высока. Естественно, что и модель подвески также должна обеспечивать эти равенства с достаточной точностью.

Первая модель подвески. На рис.2 показано твердое тело, подвешенное на пяти рычагах. Это пространственный механизм, у которого все десять кинематических пар - Щ, Т^, у = 1,2... 5, -

сферические. Из известной формулы Сомова -Малышева [1] следует, что данный механизм имеет одну степень свободы.

Конструкции шарниров подвески и их функционирование позволяют допустить, что Н , В , С , ^, А , I = 1,2, и F являются центрами сферических шарниров. Тогда подвеску можно считать твердым телом, подвешенным на пяти ры-

Д [мм] Координаты точки Мх [мм] X у г Координаты точки М2 [мм] X у г

-70 2195,24 -694,59 -110 2195,24 705,41 -110

-50 2197,91 -696,64 -90 2197,91 703,36 -90

50 2195,60 -700,41 10 2195,60 699,59 10

80 2189,73 -698,92 40 2189,73 701,08 40

100 2184,39 -697,07 60 2184,39 702,93 60

Из таблицы видно, что, изменяя Д , мы получаем Д2 , равное Д1 . Таким образом, первая модель подвески дает ее перемещение, характеризуемое равенством Д = Д . Такое перемещение имеет место при прямолинейном движении автомобиля, когда происходит его троганье с места или торможение, или, когда оба колеса наезжают на неровности одинаковой высоты. При повороте же автомобиля, а также, когда колеса наезжают на неровности разной высоты, перемещение подвески характеризуется неравенствами Д> Д или Д< Д, и значит, первая модель не совсем нам подходит.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 3. Твердое тело, подвешенное на четырех рычагах

Как и в случае первой модели, можно допустить, что точки Н, В, С , Д , А, г = 1,2, и Р подвески являются центрами сферических шарниров. Тогда подвеску можно считать твердым телом, подвешенным на четырех рычагах. Достаточ-

но в качестве W , W2 , W3 , W4 , T

T54 взять соответственно D1

S1

Av

T

S 2

F .

T

Dr.

Вторая модель подвески. На рис.3 показано твердое тело, подвешенное на четырех рычагах. Это пространственный механизм, у которого все восемь кинематических пар - Wj, Тщ, ] = 1,2... 4, -

сферические. Данный механизм имеет две степени свободы.

ПРИ А = Anax , А = An,n имеем d = 1124 что есть 3,75% длины |В52А2|= 299,72мм. При А = Am , А = Anax имеем соответственно d = 10,97мм и 3,66% .

Перемещаем колеса в противоположных направлениях на равные по модулю значения величины А , т е. берем ходы колес А = А и А = ~А . Естественно, что в этом случае угол s = s( А, А) поворота балки на опорной поверхности есть зависимость s = s(А) , и мы можем рассмотреть ds

скорость

dА

изменения этого угла. Для прототи-

па расчетное значение

ds

d\

А=о

^ „„ мин. = -0,28- хо-

мм

, , С5, Н52. Такое моделирование дает механизм подвески, имеющий две степени свободы. В качестве степеней свободы этого механизма естественно взять А и А - ходы левого и правого колес. Перемещения подвески однозначно определяются значениями А и А , причем (2) выполнены, кроме, возможно, равенства

А = М. (3) .

Погрешность, с которой выполняется последнее равенство, определяется величиной

^ = ||В2А21 _ 2.

Во второй модели подвески мы можем брать как А = А , так и А > А, А < А. На основе этой модели и исходных данных (1), были выполнены расчеты. Они показывают следующее.

При А = А равенство (3) выполняется с достаточной точностью. Так, при А = А = Ат и А = А = /Апах имеем соответственно

d = 8 • 1 0~бмм и d = 5 • 1 0~бмм, т.е. с практической точки зрения указанное равенство выполнено точно. Поэтому естественно, что результаты расчета по первой и второй моделям близки. Например, координаты центров колес, полученные по второй модели при А = А = Аах совпадают с теми, что приведены в табл.1 при А = 1 00.

рошо согласуется с экспериментальными данными - задняя подвеска автомобиля ВАЗ-2121 "Нива" обладает избыточной поворачиваемостью [3].

Вторая модель оказывается наиболее приемлемой. Она обладает большими возможностями для изучения кинематики подвески, чем первая. Используем ее в задаче оптимизации характеристик, определяемых этой кинематикой.

Оптимизация. Естественно попытаться изменить данные (1) так, чтобы получить вариант подвески, не обладающий по сравнению с прототипом эффектом избыточной поворачиваемости и имеющий меньшие значения d . Мы сведем эту неформальную задачу к формальной задаче многокритериальной оптимизации параметров и характеристик технических систем, используя понятия и термины метода исследования пространства параметров - PSI-метода (Parameter Space Investigation) - и основанного на нем программного комплекса MOVI (Multicriteria Optimization and Vector Identification) [5,6].

Пусть в соответствии с формой обозначений, принятой ранее, имеем Bsl(xBS1,yBS1,zBS1),

HS 1(xHS 1,yHS 1,ZHS 1 ) , CS(XCS,yCS,ZCS) . В качестве

варьируемых параметров возьмем координаты Xbs 1, ZBS1, Xhs1 , ZHS1, yes . Параллелепипед варьируемых параметров задается соотношениями

2153,50< хЖ1 < 2253,50, -10< zBS1 < 50, 2146< xHSi < 2246, -140 < zHS1 <-80, - 599,50 < yC5 <-499,50.

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

мм

л =

dA

, f < c* , где c* = 0,20.

A = о

Подвеска не должна обладать избыточной поворачиваемостью. Поэтому вводится максими-

зируемый критерий ф,

мин.

мм

: ф =

ds

dA

А=о

Равенство (3) должно выполняться с наибольшей точностью. Отсюда получаем четыре минимизируемых критерия Ф2, Ф3, Ф4, Ф5, [мм]:

Ф = 4Д=Д=Апш , Фэ = 4 Д=Д =ДаX , Ф4 = 4 Д!=4„ах>Д2 =4»^, '

Ф= 4 .

5 Д =Дшп Д =Д»ах

Мы ищем вариант подвески, который был бы не хуже исходного. Поэтому очевидны крите-

Ф > Ф* = -0,28 ,

риальные

ограничения:

Ф2<Ф2 = 8 10"

ФЪ<Ф* = 5 10"

Ф4 <Ф4 =

= 11,24, Ф5<Ф* = 10,97.

Резюмируя вышесказанное, имеем ф ^ max, ф ^ min, ф ^ min, Ф4^ тт,Ф5^ min,

Ф > ф2, Ф2 < Ф2*, Ф3 < Ф2*,

(5)

Ф4 <Ф*

Ф5 <Ф*

с < Л <с1 , /2 <с 2. Соотношения (4) и (5) дают постановку задачи многокритериальной оптимизации парамет-

Соответствующие координаты прототипа (1) образуют центр этого параллелепипеда.

Устройство механизма подвески и требования к его функциональным возможностям ведут к ограничениям, которые вводятся с помощью функции / . Если / = 0 , то все ограничения выполнены. Если |/| > 1, то хотя бы одно из ограничений не выполнено. Не будем описывать все возможные значения функции / , остановимся лишь на трех. Если / = 8, то начальное положение механизма есть его мертвая точка [1], этот механизм заведомо не подходит. В случаях / = 9 и / = 10 механизм не существует (терпит разрыв) соответственно при Д =Д = Дах и Д =Д = Дпах, такой

механизм не обеспечивает нужных функциональных возможностей подвески. Таким образом, функция / задает естественное функциональное

ограничение: с* < / < с* *, где с* = -0,5, с* * = 0,5 .

Из опыта проектирования подвески вытекает

, „ _ мин.

ограничение, задаваемое функцией /2,

4£

ров и характеристик технической системы, в качестве которой выступает зависимая подвеска колес с пятиштанговым направляющим аппаратом.

Решение этой задачи проводилось с использованием программного комплекса MOVI [6]. В процессе решения пришли к корректировке - параллелепипед (4) был изменен на параллелепипед (6):

2153,50< хЖ1 < 2253,50, -30<zBSl < 10, 2146< хЖ1 < 2246, - 80 < zHS1 <-40, - 599,50 < jC5 <-499,50.

(6)

В результате решения задачи (5), (6) получили следующие значения параметров и критериев для оптимального варианта механизма подвески: Хвз! = 217069 , гв5х = 5,63 ,

ХЖ1 = 2194,44

zHS 1 =-61,88

-HS 1 52

Jcs = -591,69

Ф = 0,11 ,

Ф2 = 9-10-7 , Ф3 = 5-10-6 , Ф4 = 0,11 , Ф5= 0,19 . Отметим, что с практической точки зрения значения критериев Ф и Ф - ноль, т.е. (3) выполняется точно. Значения критериев Ф4 и Ф5 дают выполнение (3) с погрешностями 0,04% и 0,07% длины |В52А2| = 265,99мм.

Перемещаем колеса в противоположных направлениях на равные по модулю значения величины Д . По оси ординат откладываем ход Д левого колеса, который будем обозначать буквой Д . По оси абсцисс откладываем угол £ = £(Д) поворота балки на опорной поверхности. Такой выбор координатных осей принят у специалистов по проектированию шасси автомобиля. Построим по точкам графики зависимостей £ = £(Д) для прототипа и найденного оптимального варианта механизма. Получим графики, показанные на рис.4.

Рис. 4. Зависимость угла поворота балки от хода колес для прототипа (р) и оптимального (с) вариантов подвески

6

6

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(x - a f + (y - b / + (z - Cj / : (x - a2 f + (y - b2 f + (z - C2 )2 (x - a3 f + (y - Ьз )2 + (z - C3 )2

A ^

Î3 )

F(x)=0 ,

Fj(x,y) = 0 F2 (x,y) = 0

Методы же поиска корней этих систем базируются на том факте, что они получены при расчете кинематики пространственных механизмов.

Графики близки к прямым, которые в корне отличаются друг от друга. Можно предположить, что в процессе поворота автомобиля прототип и оптимальный вариант подвески будут вести себя по-разному. При этом преимущество останется за оптимальным вариантом.

Итак, мы получили вариант подвески: М31(2200; - 700; - 40;,

К = 3 212 ,Ат = -125 ,Аах = 100, 2194,44; - 489; - 61,88), Д( 1582; - 489; - 75), В31(2170,69; - 277; 5,63), А( 1905; - 277; - 7), С3( 2315; - 591,69; - 77 ),Р(2324; 507; - 40), который по рассматриваемым характеристикам значительно превосходит прототип.

Замечания. Независимая подвеска с пяти-штанговым направляющим аппаратом хорошо моделируется твердым телом, подвешенным на пяти рычагах [7], что, как показано в настоящей статье, нельзя сказать о зависимой подвеске с пятиштан-говым направляющим аппаратом.

Отметим, что алгоритмы расчета кинематики твердых тел, подвешенных на пяти и четырех рычагах, сводились к поиску корней систем алгебраических уравнений вида

Мы рассмотрели задачу многокритериальной оптимизации характеристик зависимой подвески колес. Эта задача имела 5 варьируемых параметров и 5 критериев. Разработанное программное обеспечение компьютеров позволяет рассмотреть задачи с большим числом параметров и критериев. Число параметров может достичь 47, а критериев - 100.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М. : Наука, 1988. 640 с.

2. Черных В. В. Многокритериальная оптимизация кинематики пространственных механизмов подвесок колес легковых автомобилей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 5. С. 30-35.

3. Раймпель И. Шасси автомобиля. М. : Машиностроение, 1983. 356 с.

4. Динамика системы "дорога-шина-автомобиль" / под ред. А. А. Хачатурова. М. : Машиностроение, 1976. 536 с.

5. Соболь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М. : Дрофа, 2006. 176 с.

6. Yanushkevich I., Statnikov A., Statnikov R. MOVI 1. 3 Software Package. Certificate of Registration, United States Copyright Office, The Library of Congress. 2004. March 9.

7. Черных В. В., Макеев О. М. Оптимизация конструктивных параметров подвески управляемого колеса легкового автомобиля // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. № 3. С. 9-15.

Кузнецов Б. Ф. УДК 519.21

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ ИЗМЕРЕНИЯ

Важнейшей характеристикой любого измерительного преобразователя (ИП) или системы является погрешность, вносимая в результат изме-

рения. Как было показано в [1], существует достаточно большой класс измерительных преобразователей, у которых динамическая погрешность и