Моделирование зарождения микротрещин при упругом двойниковании Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ МИКРОТРЕЩИН ПРИ УПРУГОМ ДВОЙНИКОВАНИИ

© Ю.И. Тялин, В.А. Тялина, Д.В. Золотова

Tyalin Y.I., Tyalina V.A., Zolotova D. V. Modeling microcrack nucleation of at elastic twinning. Microcracks formation between parallel twining layers in calcite crystals is considered. It is shown, that maximal measure of cracks does not exceed 100 |jm. Dislocations models of elastic twins are offered, they are considering a step arrangement twinning dislocations in borders. Results at a qualitative level explain well the features of interaction parallel twins, observ-able in the experiment.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Для двойниковых границ характерно ступенчатое смещение соседних двойникующих дислокаций на межплоскостное расстояние к. При этом возможны несколько дислокационных моделей двойниковых дефектов: одиночная двойниковая граница (ГД), двойник с симметричным относительно плоскости двойникова-ния расположением дислокаций (СД) и асимметричный двойник, составленный из границ с различным числом дислокаций (АД) [1].

Исходя из этого, зададимся моделью границы двойника, приведенной на рис. 1.

Двойниковая граница содержит п подвижных дислокаций, параллельных оси ОХ. Дислокации движутся вдоль оси ОХ от источника, находящегося в начале координат х = 0, под действием внешних упругих напряжений т(х). Каждая дислокация перемещается в своей плоскости скольжения.

При составлении уравнений равновесия дислокаций в границах учитывались внешние напряжения т(х), напряжения взаимодействия дислокаций и сопротивление кристалла сдвигу тя. Для рассматриваемой модели уравнения равновесия записываются в следующем виде

.-^(xi -xj)[(xi ~xjf -(yi - У])2 ] mA (1)

А>------------j----------^-----------------т-j------+-Тs = 0, і = 1,2,...,n,

£ [(X, - Л;)2 +(y, - y j ) ]2 xi

где A=GЬ/2п(1-v), G - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, Ь - вектор Бюргерса одиночной двойникую-

щей дислокации, х; и у; - координаты дислокаций. В (1) внешняя нагрузка представлена упругим полем супердислокации с суммарным вектором Бюргерса тЬ, расположенным в начале координат.

Если двойник тормозится на каком-либо препятствии, например, на двойнике другой системы, то уравнения равновесия запишутся следующим образом

А | Л^х )[х ~х})'~(У -У| тЛ _0,г = 2,3,...п, (2)

х ¡=2 [(х ~Х])'+(У1 - У)?? х -Ь

где Ь - длина двойника.

Для двойника с двумя границами уравнения следует дополнить слагаемым, учитывающим взаимодействие дислокаций разных границ. Если числа дислокаций в границах двойника неодинаковы, то (1) или (2) должны быть записаны отдельно для обеих границ.

Предварительные расчеты показали, что наиболее физически адекватной моделью является модель АД. Модель с симметричным расположением дислокаций представляет ее частный случай. При трансформации СД в АД дислокации, располагавшиеся симметрично относительно плоскости двойникования, смещаются в противоположные стороны. При этом они занимают положения, близкие к положениям дислокаций в ГД с числом дислокаций, равным сумме дислокаций в границах двойника. Таким образом, АД можно с хорошей точностью заменить одиночной ГД.

Далее рассматривалась дислокационная модель взаимодействия встречных двойников (рис. 2).

У

і

н

Ai

т т иг

Рис. 1. Дислокационная модель двойниковой границы

Рис. 2. Дислокационная модель взаимодействия встречных двойников

Каждый двойник представлялся плоским скоплением дислокаций, параллельных оси ОХ и способных перемещаться в плоскости скольжения ХОХ. Для такой конфигурации скоплений уравнения равновесия имеют следующий вид:

Л

х

г Мх хз 1=1

■ +

л&(£ - Н) (8} + Н )2

-т=0>1 = 1,2,....,п(3)

81=А1+2Ь-х-х, т=

Т5, 1 * п,

Т, г = п,

Рис. 3. Форма двойниковой границы: 1 - т* = 107-дин/см2;

где т - напряжение, действующее на лидирующую дислокацию с номером г = п; первый член в уравнениях (3) описывает действие на г-ую дислокацию внешней нагрузки, второй - взаимодействие дислокаций одного и того же двойника, третий - взаимодействие дислокаций различных двойников.

Двойники располагались на заданном расстоянии А1 между вершинами. Начальные положения дислокаций задавались при этом координатами дислокаций одиночного двойника. Затем двойнику представлялась возможность релаксировать к новому равновесному положению под действием поля упругих напряжений другого двойника. Находилась форма двойников в зависимости от уровня приложенной нагрузки (значение т) и геометрических параметров взаимодействия А1 и Н.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Расчеты проводились применительно к кристаллам кальцита. Входящие в расчетные выражения значения упругих констант имели следующие значения: G = 3,2-Ш11 дин/см2; Ь = 1,27-10-8см; к = 3,82-10-8см; V = 0,3. Величины п и т менялись от единиц до ста. Результаты расчета равновесных координат дислокации для одного из вариантов приведены на рис. 3.

Здесь по оси ОХ отложены координаты дислокаций, а по оси ОУ - номер дислокации или пропорциональная ему толщина двойника. Вершина свободного двойника является вытянутой в направлении его движения и имеет форму заостренного клюва. Данная форма вершины хорошо согласуется с результатами работы [2], где рассмотрено континуальное описание двойника, заданного плоским скоплением двойникую-щих дислокаций. Причем форма двойника не изменяется с увеличением напряжений трения т*. С ростом т* двойник только сокращает свою длину.

Длина двойника Ь будет зависеть не только от напряжений трения, но и от величины приложенного усилия. В нашем случае усилие пропорционально т. Из рис. 4 видно, что с ростом т длина двойника увеличивается практически линейно.

С изменением напряжения трения меняется плотность дислокаций в границе. Но даже самые большие значения р для свободного двойника заметно меньше, чем плотность р в вершине заторможенного двойника, при которой могут образовываться микротрещины. Например, для образования трещины по силовому механизму дислокации должны сблизиться на расстояние, равное 2,41к. Поскольку к ~ 10-8 см, то критическая плотность дислокаций в вершине будет равна ~107 1/см.

Рис. 4. Зависимость длинны двойника от нагрузки

Т. е. в этом случае она должна примерно на два порядка быть больше, чем мы имеем в свободно расширяющемся двойнике. Таким образом, если растущий двойник не встретил препятствий, то зарождение трещины в его вершине по механизму слияния дислокаций является событием маловероятным.

Расчеты показывают, что увеличение силы торможения, действующей на головную дислокацию, заметно меняет распределение дислокаций в вершине двойника. Вершина двойника притупляется и по форме начинает напоминать вершину заторможенного двойника. Это приводит к резкому увеличению плотности дислокаций в его вершине. К сожалению, нет хороших оценок для величины т и поэтому трудно сказать, могут ли за счет увеличения т, получиться в вершине скопления плотности р, близкие к тем, при которых может происходить зарождение трещин в вершине скопления за счет слияния головных дислокаций. Например, в [2] оценена величина напряжения, необходимая для движения головной дислокации двойника, и показано, что оно может достигать величин порядка ~ (10-2-10-1^. При таких величинах т, плотность дислокаций в вершине может стать достаточно большой.

Было установлено, что начальной стадией взаимодействия двойников является притяжение. Расчет был выполнен для Н/Ь = 10-4, исходная длина двойников составляла 3,5■ 10-2 см. Двойники притягиваются практически до полного сближения их вершин, а затем наблюдается отталкивание головных дислокаций и уменьшение длины двойников (рис. 5).

2 - т* = 2-10 дин/см ; 3 - т* = 5-10 дин/см

Рис. 5. Зависимость длины двойника от расстояния между их вершинами

Особенностью двойников является то, что они состоят из дислокаций с одинаковыми векторами Бюр-герса. Поэтому при росте двойника будет формироваться поле дальнодействующих упругих напряжений в области, окружающей двойник. Рассчитывались сдвиговые напряжения, создаваемые двойниками в плоскостях скольжения дислокаций другого двойника (рис. 6).

Характер распределения напряжений позволяет объяснить особенности взаимодействия встречных двойников. Это, в частности, их притяжение при первоначальном сближении и торможение по мере перекрытия двойников (порядка 0,1^0,3 их длины). Причем эффект взаимодействия проявляется тем сильнее, чем меньше расстояние между плоскостями, в которых развиваются двойники.

Очевидно, что получить полное торможение двойников можно только в том случае, если их вершины будут сдвинуты на одно межплоскостное расстояние. И в этом случае микротрещина в вершине двойников

Рис. 6. Сдвиговые напряжения, создаваемые двойником в плоскости, параллельной плоскости двойникования (H = 0,05L)

может возникать в результате слияния головных дислокаций. Но вероятность такого взаимодействия очень мала. В эксперименте же наблюдается образование микротрещин на расстояниях H до 100 мкм. Причиной появления микротрещин может быть наложение полей растягивающих напряжений в тонком слое материала между вершинами взаимодействующих двойников. Наиболее вероятным представляется вскрытие микротрещины по механизму Фудзиты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров В.А., Тялин Ю.И., Тялина В.А. Дислокационные механизмы разрушения двойникующихся материалов. М.: Машиностроение, 2004.

2. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. М.: Наука, 1991.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 08-01-00658.

Поступила в редакцию 24 декабря 2007 г.