Моделирование задач принятия решений в условиях вероятностной неопределенности для производственных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 303.732

Горелова Галина Викторовна

д-р техн. наук, профессор, научный руководитель Института управления в социальных, экономических и экологических системах Инженерно-технологической

академии Южного федерального университета

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ВЕРОЯТНОСТНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Россия, г. Таганрог, Южный федеральный университет gorelova-37@mail.ru

Аннотация. Целью настоящей работы является представление информации об исследованиях в области теории и практики принятия решений в условиях вероятностной неопределенности (задачи и модели оптимума номинала), активно проводимых в нашей стране в период 60-90-х годов прошлого столетия.

Вероятностная неопределенность присуща всем производственным процессам и учет ее находит выражение, в том числе, в задании не только номинала, но и допусков на готовую продукцию, в наличии вероятности получения не только годной продукции, но и брака. Автором постановки задач и разработки многих моделей оптимума номинала был Д.В. Свечарник. В моделях задач оптимума номинала учитывается разная полезность вероятностей выходных показателей производственных объектов, характеризуемых как сложные системы. Можно провести некоторую аналогию между идеей Д.В. Свечарника и практически одновременно развиваемыми идеями оптимальных статистических решений, игр с природой, теории полезности, функцией потерь Тагути. В данной работе проведен анализ этих идей и моделей, определено существенное отличие. Теория и практика моделирования задач оптимума номинала успешно развивалась в двух направлениях: исследованиях технологических процессов и в проектировании новых изделий. В данной работе представлены новые математические модели в виде обобщенной функции эффективности оптимума номинала в одномерном и многомерном случаях, а также статические и многошаговые задачи при «управлении» параметрами распределения для достижения максимальной ожидаемой полезности результатов. Приведены формулы и рисунки, иллюстрирующие постановку задач об оптимуме номинала.

Ключевые слова: производственные процессы, принятие решений, вероятностная неопределенность, полезность, модель оптимума номинала, функция эффективности.

Galina V. Gorelova,

Doctor of Technical Sciences, Professor, Scientific Director of the Institute of Management in Social, Economic and Ecological Systems of the Engineering and Technological Academy of

the Southern Federal University

MODELING DECISION-MAKING PROBLEMS IN

THE CONDITIONS OF PROBABILISTIC UNCERTAINTY FOR INDUSTRIAL SYSTEMS

Russia, Taganrog, Southern Federal University, gorelova-37@mail.ru

Abstract. The purpose of this paper is to provide information on research in the field of theory and practice of decision making under probabilistic uncertainty (models of tasks the optimum of the nominal). In our country, in the period 60-90-ies carried out such studies. It is proposed to use the results of these studies in the new conditions - in terms of the design and operation of cyber-physical systems. Probabilistic uncertainty is inherent in all production processes and its accounting finds expression, including in the task not only of the nominal value, but also of the tolerances on the finished product, in the presence of the probability of obtaining not only suitable products, but also defective products. The author of the formulation of tasks and the development of many models of tasks the optimum of the nominal was D.V. Svecharnik. In models of problems of optimum nominal, the different utility of probabilities of output indicators of production facilities characterized as complex systems is taken into account. Some analogy can be drawn between the idea of D.V. Svecharnik and almost simultaneously developed ideas of optimal statistical solutions, games with nature, utility theory, Taguchi loss function. In this paper, an analysis of these ideas and models is carried out, a significant difference is determined.The theory and practice of modeling of tasks the optimum of the nominal was successfully developed in two directions: research of technological processes and in the design of new products. This paper presents new mathematical models in the form of a generalized efficiency function of optimum nominal in one-dimensional and multidimensional cases, as well as static and multi-step problems with "managing" distribution parameters to achieve the maximum expected utility of the results. Formulas and figures are given illustrating the formulation of tasks the optimum of the nominal.

Keywords: decision-making, production processes, probabilistic uncertainty, utility, tasks on the optimum of the nominal, efficiency function.

Введение

Настоящее время принято определять как четвертую промышленную революцию, для которой характерно полное взаимопроникновение цифровых технологий в промышленность. Основы их возникновения закладывались в прошлом веке, когда создавались различные автоматизированные системы управления в промышленности и началось внедрение вычислительной техники в управление производственными процессами. В то же время активно развиваются различные направления теории управления и принятия оптимальных решений, которые являются математическим фундаментом цифровизации управления.

Совершенствование системы управления производством, повышение его эффективности, улучшение качества изделий на всех этапах -проектирования, изготовления, эксплуатации - является важнейшей задачей. Проблема принятия оптимальных решений, являясь одной из самых сложных проблем управления, усугубляется еще и тем, что весьма часто решения необходимо принимать в условиях неопределенности и при неполных знаниях о возможных последствиях управления. В таких условиях необходимо предварительное моделирование возможных ситуаций принятия решений и оценка их последствий с последующим выбором лучшего решения. В этих целях в статье предлагается использовать идеи Д.В. Свечарника, которые впервые были опубликованы в ра-

боте «Задача об оптимуме номинала при вероятностных расчетах» в 1957 году [15], но разработаны были в начале 40-х. Далее модели и методы оптимума номинала развивались в трудах его учеников [1-14].

Задачи об оптимуме номинала относятся к классу задач принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. Интересно отметить, что в этот же период начинают активно развиваться и другие подходы к решению задач принятия решений в условиях разного рода неопределенности, которые можно сопоставить с подходом Д.В. Свечарника. Это работы в области оптимальных статистических решений, игр с природой, теории полезности, управления качеством Тагути. Проведем сопоставление соответствующих моделей принятия решений.

1. О некоторых моделях задач принятия решений в условиях вероятностной неопределенности.

Идея оптимума номинала. Представим простейшую задачу об оптимуме номинала словами автора [15, стр.1]: «I. Зная установленный на станке-автомате номинал, распределение плотности вероятности ошибок или иные подходящие характеристики точности работы станка и значения отклонений от номинала, определяющие собой сортность продукции, подсчитывают вероятность выдачи автоматом продукции того или иного сорта. При наличии сведений о прибыли соответственно по каждому сорту и об убытке от брака при выходе продукции из допуска в ту или другую сторону мы можем подсчитать экономичность станка». Задача в такой постановке была названа «пассивной», поскольку ее решение позволяет только определить лишь конкретную существующую характеристику системы - экономичность станка при заданном номинале, допусках, стоимости годной продукции и брака (заметим, что в 19351937 годах Д.В. Свечарник, специалист в электромеханической технике, разработал и внедрил на Днепродзержинском металлургическом комбинате первую в СССР систему автоматизации прокатных станов). «Активными» должны быть названы задачи [15, стр.1] «...у которых непосредственный результат расчета позволял бы, например, выбрать такую установку номинала на станке-автомате, при которой его экономичность была бы наиболее высокой при заданном распределении допусков и стоимости отдельных сортов и брака». Свою идею автор представляет в математической форме в виде различных форм функции эффективности оптимума номинала. Простейший вариант функции эффективности ф имеет вид:

п ' + 1

<Р(У) = Ё ^ \ /(у)йу (1)

I=1

где у - выходной показатель произведенной продукции (параметр изделия), г - полоса качества продукции, 01 - «ценность», «полезность» г-й по-

лосы (например, ценность годной продукции в поле/полосе допуска, «ценность» брака в «+» и в «-»), /(у) - плотность распределения значений показателя,

г+1

Р = \ / (X) (2)

г

- вероятность попадания в интервал [/, г+1].

Задача оптимума но при котором достигается

р° = тах{р(у) = £ е. | /(у)dy}

г=1 г . (3)

Экстремум функции эффективности ф° и соответствующий оптимум номинала у°ном определяется тем или иным численным методом в зависимости от конкретного определения функции эффективности. Заметим, решение не тривиально (не совпадает с заданным номиналом), когда несимметричны распределение и/или функция цены. Рис.1 иллюстрирует постановку задачи (1).

Фактически, формула (1) является формулой определения ожидаемой полезности, концепция которой была выдвинута еще в 1738 году Д. Бернулли: ожидаемая полезность - это сумма частных полезностей, умноженных на их вероятности. Формула (3) - максимизация ожидаемой полезности («рациональное поведение»).

Задача оптимума номинала состоит в определении у =у°ном такого,

г+1

Рис. 1. Иллюстрация постановки задачи оптимума номинала

Модели задач с риском, оптимальные статистические решения, игры с природой. В середине прошлого века, когда разрабатывалась математическая теория принятия решений, было предложено немало критериев и методов принятия решений для выбора наилучшего в зависимости от вида неопределенности.

В работах, например, Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, М. де Гроота, П. Фишберна и др. была предложена форма модели определения ожидаемой полезности в виде:

U = t*jpj , (4)

j=1

где Р, ui - вероятность и полезность (utility) результата i.

Если необходим выбор между стратегиями ai, то для принятия оптимального решения можно использовать критерий максимума ожидаемой полезности

Uo = maxju = ¿Mj.pj, i = 1,2..m. (5)

Отличие (4) от модели Д.В. Свечарника (1) состоит не только в задании Р[ - формула (2), но и в концепции постановки задач принятия решений с риском как «активных» задач. Это отличие расширило поле исследований и дало возможность формулировать различные варианты задач оптимума номинала, как задач «управления» параметрами распределения характеристик (показателей) производственных процессов.

«Управление качеством». Рассмотрим теперь идею Г. Тагути (Genichi Taguchi) - «инжиниринг качества» в сопоставлении с идеей Д.В. Свечарника.

Как известно, Тагути предложил параболическую функцию потерь, в которой объединил стоимостные и качественные показатели:

L(x)=c(x"X) , (7)

где с - постоянная потерь, определяемая с учетом расходов производителя изделий; (х-х0) - отклонение измеряемой характеристики х от номинала х0; L(x) - функция потерь - величина, которая учитывает потери от бракованной продукции как со стороны потребителя, так и со стороны производителя, это «потери для общества». Показатели качества продукции, которые полностью совпадают с их номинальными значениями, считаются качественными, всякое отклонение от номинала - потеря качества. Оптимальное решение - минимизация потерь.

Как видим, отличие идеи оптимума номинала от идеи Тагути состоит, во-первых, в разных подходах к оценке результатов производства изделий. В моделях Свечарника используется идея функции полезности, в

модели Тагути - функция потерь. Если рассматривать эти идеи с позиций психологической теории принятия решений, то подход Тагути близок к теории проспектов («теории перспектив», Д. Канеман, А. Тверски, 1979 г): «люди придают большое значение потерям, чем приобретениям, даже если их величина одинакова». Еще одним отличием модели оптимума номинала (1) от (7) является то, что в ней присутствуют вероятности получения различных результатов, теоретически предусмотрена возможность учета большого числа «интервалов качества» и оценочная функция С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, становясь функцией потерь в области брака.

Для дальнейшего раскрытия модели задачи оптимума номинала приведем пример расчета значений функции эффективности.

2. Пример решения задачи оптимума номинала. Пусть производится продукция 3-х сортов, и может быть получен брак в «+» и в «-». Определены «полезности» каждого из 5 интервалов значений Распределение значений у показателя качества продукции подчиняется нормальному закону распределения с определенными математическим ожиданием m, совпадающим с номиналом (тном), и среднеквадратичным отклонением о. Исходные данные пронормированы и приведены в табл. 1.

Для расчетов воспользуемся авторской программной системой FE-FON.

Таблица 1.

Фрагмент расчетов функции эффективности оптимума номинала

Принятие решений. Оптимум номинала.

№

Инт.

1 ni =

ol =

2 ш2 = <г2 =

3 тЗ = о} =

4 т4 =

04 =

5 т5 =

05 =

т/и

Pl/Cl Р2/С2 РЗ/СЗ Р4/С4 Р5/С5 Р6/С6 Р7/С7 Р8/С8 Р9/С9 P0/CD

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.2 1.0Е-4 0.0024 0.0355 0.1942 0.391 0.2397 0.079 0.0079 З.ОЕ-4

1 -20 -20 50 50 50 50 -50 -50 -50

0 1.0Е-4 0.0044 0.054 0.242 0.3939 0.242 0.054 0.0044 1.0Е-4

1 -20 -20 50 50 50 50 -50 -50 -50

-И2 3.0Е-4 0.0079 0.079 0.2897 0.391 0.1942 0.0355 0.0024 1.0Е-4

1 -20 -20 50 50 50 50 -50 -50 -50

-0,6 0.0012 0.0224 0.1497 0.3633 0.3332 0.1109 0.0136 6.0Е-4 0.0

1 -20 -20 50 50 50 50 -50 -50 -50

-1 0.0044 0.054 0.242 0.3989 0.242 0.054 0.0044 1.0Е-4 0.0

1 -20 -20 50 50 50 50 -50 -50 -50

Расчет

Очистить

Тест данные

I? = 1.0001 0 = 41.11 IP = 0.9999 0 = 43.83 IP -1.0001 0 = 45.631 IP = 0.9999 0 = 46.923 IP - 0.999 S 0 = 45.452 Закрыть

По данным расчетов построена кривая функции эффективности оп-

тимума номинала, рис.2. Оптимальное решение найдено в данном случае методом регулярного поиска с переменным интервалом поиска: фо= 46,92 при т/о= -°,6. При настройке процесса на номинальное значение т/о= ° функция эффективности ф= 43,83.

Рассмотренная задача оптимума номинала является математически достаточно простой, но постановка ее для реального производства требует серьезных исследований по определению параметров задачи: закона распределения показателей качества продукции, установления функции цены и др. В работах [3-6,8, 16] рассмотрено решение реальных производственных задач.

у = 0,4737x4+0,8232x3- 11,243x2- 14,752х + 42,943

60

Рис.2.График функции эффективности

Определение оптимума номинала или оптимальной номинальной программы управления обусловлено спецификой производственных процессов, усложняющей постановку и решение задачи. Производственные процессы характеризуются наличием многих показателей качества, наличием большого количества управляющих факторов и неуправляемых условий протекания процесса; возможна множественность оценок и возможность нескольких способов оценок одних и тех же значений выходных показателей, причем иногда противоположных друг другу; функционирование производственных объектов происходит в условиях всевозможных помех. Кроме того, часто необходимо согласовывать частные цели отдельных звеньев технологического процесса с общей задачей производства или согласовывать цели нескольких производств между собой. Все это привело к разработке вариантов моделей задач оптимума номинала.

Задачи типа (1) были названы задачами оптимума номинала первого

класса с дискретной функцией цены. В этих задачах оптимум определяется только по математическому ожиданию показателя качества (или по сдвигу от номинального математического ожидания). Модель имеет вид:

П У1к

(р(С, Шу) = ^ с. | /(У, Шу)йу . (8)

I = 1 у.

■У п.

Практически, установка оптимума номинала в этом случае требует поднастройки технологического процесса к условиям конкретного производства с учетом соответствующих ему экономических оценок.

Если оптимум номинала определяется с учетом варьирования о (требуется установка более точных регуляторов, появляются затраты на «управление» о), а также с учетом варьирования параметров распределения несимметричного распределения (ассиметрии, эксцесса), то такие задачи были отнесены к задачам второго класса.

Названные модели задач оптимума номинала являются целевыми функциями без ограничений, учитываемых в явном виде. В работах [11,12,13] была предложена идея обобщенной функции эффективности оптимума номинала, в которой помимо целевой функции имеются ограничения на взаимосвязь переменных и на параметры. Так, для задачи второго класса с варьируемыми Ш и о модель имеет вид

п У1к

р(С,Шу,а) = £ С;(у, X) | /(у,Шу,а)йу

I=1

ш (УА ]=л( X); ( а )

(9)

(Ь)

X е X£>; X е X^ ; у е Удоя (с)

Ш ув ]=Л( X); (Ь)

у

В модели (9): - целевая функция, (а) и (Ь) - ограничения на взаимосвязь переменных («уравнения управления» параметрами распределения), (с) - ограничения на показатель. Рис.4 иллюстрирует постановку такой задачи.

На рис. 3: а) - первые группа графиков изображают сдвиги по оси у кривых плотности распределения с малой (сплошные линии) и большой дисперсиями (штрихпунктирные линии), которые изменяются (управляются) согласно функциям А и Б; на оси Х отмечены границы допустимых значений; б) - вторая группа графиков изображает дискретные функции цены для вариантов А и Б; в) - третья группа графиков изображают функции эффективности оптимума номинала для решения задач с большей и меньшей дисперсией; графики (г) изображают производную

от функций эффективности. На графиках функции эффективности дополнительно проиллюстрированы возможные отклонения Дф от расчетного значения фо при исследовании чувствительности решений к вариациям параметров

Рис. 3. Иллюстрация постановки и решения задачи оптимума номинала второго класса на модели обобщенной функции эффективности

3. Варианты обобщенной функции эффективности оптимума номинала. В процессе исследований было предложено четыре типа моделей оптимума номинала: одномерные, многомерные, динамические, многошаговые, в каждом из которых выделялись группы задач первого и второго классов с дискретной и непрерывной функциями цены, случайными и неслучайными ценами и границами областей. Целевые функции

в общем виде строились как функции от моментов распределения, что, в том числе, удобнее при обработке данных о распределениях, получаемых при контроле за выпускаемой продукцией.Например, для одномерной задачи оптимума номинала второго класса с дискретной функцией цены модель имеет вид

р(С,Мк); С(X, у,Мк); С = {с,};I = 1,2,..п

р( С,Мк ) = ±е, | ^ / (у,Мк )йу

Г Мк = ц( X), к = 1,2,3,4 (а)

{Хе Xд0„, уе у^ (Ь)

где Мк - моменты распределения, М1, М2, М3, М4 - оценки соответственно математического ожидания, дисперсии, меры косости и крутости распределения.

Модель многомерной динамической функции эффективности второго класса с непрерывной функцией цены имеет вид

р(с, М к,г); у(с ) = у( X, 7, М ш);

X ={ }; 7 ={ у,}; М ^ = {М ш };

р( С, М к ) = \у( с )йс \\ ^ (7, М „, г) .

М ш = 71 (X, г), к = 1,2,3,4 X е 7 е Ул

(а)

^ ^ 7 (Ь)

доп ' доп V '

Производственные процессы чаще всего многоэтапны, обработка исходных материалов на разных стадиях может происходить в разных

агрегатах (станках) - рис. 4.

X

ъ

Рис. 4. Многоэтапный производственный процесс

Для многоэтапных процессов предложены модели многошаговых задач оптимума номинала

С

N

Ф = X <Р?' (10)

т = 1

где ф - один из типов функции эффективности оптимума номинала.

Заключение

Представленный краткий обзор моделей оптимума номинала предназначен для ознакомления с направлением работ в области вероятностных задач принятия решений для различных технологических процессов и производственных систем. Для сложных систем, которые представляют собой единое целое из различных природных объектов и искусственных подсистем, требуются новые подходы к моделированию, к обеспечению связи между вычислительными и физическими ресурсами. Подход к обоснованию и принятию управленческих решений на основе концепции оптимума номинала много шире применения его к производственным системам. Математический аппарат задач оптимума номинала может рассматриваться не только в техническом, но и в более широком, экономическом аспекте.

Список литературы

1. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А. А. Допуски и номиналы систем управления. - М.: Наука., 1976. - 160 с .

2. Абрамов О.В., Бернацкий Ф.И., Здор В.В. Параметрическая коррекция систем управления. - М.: Энергоиздат. 1982. - 176 с

3. Бернацкий Ф.И., Здор В.В. и др. Автоматизированное управление химической технологией. - М.: Наука, 1981. - 216 с.

4. Горелова Г.В., Здор В.В., Свечарник Д.В. Метод оптимума номинала и его применения. - М.: Энергия, 1970. - 200 с.

5. Горелова Г.В. Оптимизация управления синтезом аммиака по одному параметру // Электромеханика. - 1966. - № 8.

6. Горелова Г.В. Определение оптимальных температурных режимов дистил-ляционной установки с помощью статистической оптимизации // Электромеханика. -1966. - № 3.

7. Горелова Г.В., Свечарник Д.В., Здор В.В. Чувствительность технологических объектов к выбору оптимума номинала // Тр. П Международного симпозиума по теории чувствительности и адаптации, Югославия, 1968.

8. Горелова Г.В., Малышев Н.Г., Очерет В.П., Свечарник Д.В. Статистическая оптимизация некоторых металлургических процессов // Приборы и системы управления. - М., 1970. - № 3.

9. Горелова Г.В. Метод оптимума номинала в совершенствовании процесса принятия решений // Известия вузов. Сев.-Кавк.регион. Техн. науки. - 1974. - № 3. -С. 14-17.

10. Горелова Г.В. Исследование чувствительности функции эффективности оптимума номинала к вариациям параметров технологического процесса // Методы построения алгоритмических моделей сложных систем: Межвуз.науч.-техн.сб. Вып. 1. -Таганрог: Изд-во ТРТИ, 1976. - С. 176-185.

11. Горелова Г.В. Обобщенная функция эффективности оптимума номинала // Оптимум номинала и задачи принятия решений: Межвуз. темат. науч. сб. Вып. 2. -Таганрог: Изд-во ТТИ, 1978. - С. 26-42.

12. Gorelova G.V. Using the step cut method // 14th Conf. on System modeling and optimization, Leiptig, 1990. - P. 89-94.

13. Gorelova G.V. Decision adapted system for information network control // G-11A-Symposium, Bochum,DDR, 1996. - P. 121-126.

14. Г.В. Горелова. Модели принятия решений при проектировании и управлении объектами в условиях вероятностной неопределенности / Известия ЮФУ. Технические науки. №1-2019. рр. 177-188

15. Свечарник Д.В. Задача об оптимуме номинала // Труды Института машиноведения. - М.: Изд-во АН СССР, 1957. - Вып. 10. - C. 78-94.

16. Свечарник Д.В., Гаспарян Ю.М., Налчаджан Т.А. Адаптированный поиск оптимума номинала // Известия АН АССР. Сер. технических наук. - 1970. - ХХШ, № 4.

УДК 004.056.55

Сергеев Александр Сергеевич,

кандидат технических наук

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КОМБИНИРОВАННЫХ БИОИНСПИРИРОВАННЫХ АЛГОРИТМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КРИПТОАНАЛИЗА АСИММЕТРИЧНЫХ И БЛОЧНЫХ СИСТЕМ

ШИФРОВАНИЯ

Россия, Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет, sergeev00765@mail.ru

Аннотация. Рассматривается задача криптоанализа с использованием новой модели оптимизационных стратегий - комбинированных биоинспирированных алгоритмов, разработанных по методу гибридизации вложением. Исследуется возможность построения математических моделей и разработки численных методов криптоанализа на основе комбинированных биоинспирированных методов, а также их применение для криптоанализа асимметричных и блочных систем шифрования.

Ключевые слова: криптоанализ, биоинспирированный алгоритм, гибридизация вложением, математическое моделирование, асимметричные и блочные криптосистемы.

Aleksandr S. Sergeev, Candidate of Science in Engineering

DEVELOPMENT AND RESEARCH OF MATHEMATICAL MODELS OF COMBINED BIOINSPIRED ALGORITHMS AND THEIR APPLICATION FOR SOLVING PROBLEMS FOR CRYPTANALYSIS OF ASYMMETRIC AND BLOCK ENCRYPTION SYSTEMS

Russia, Rostov-on-Don, Don State Technical University, sergeev00765@mail.ru

Abstract. The problem of cryptanalysis using a new model of optimization strategies - combined bioinspired algorithms developed by the method of hybridization by investment