Моделирование взаимодействующих региональных экономических систем с использованием параллельных вычислений Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.86

А.В. Кощеев1, Н.Н. Оленев2

1 Вятский государственный университет 2 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Моделирование взаимодействующих региональных экономических систем с использованием параллельных вычислений

Задача идентификации модели состоит в определении параметров модели, таких, что рассчитанные по модели макропоказатели российской экономики, а также рассчитанные по модели макропоказатели региональных экономик близки к соответствующим статистическим и искусственно подготовленным аналогам. Перебор значений параметров осуществлен с использованием библиотеки МР!.

Ключевые слова: моделирование, экономика, регионы, взаимодействие, параллельные вычисления.

I. Введение

Динамическую модель экономики страны, идентифицированную по данным экономики России за 7 лет [1], можно расширить для описания экономики каждого из взаимодействующих регионов и экономики страны в целом.

Модель взаимодействующих региональных экономик будет полезна при изучении проблем, связанных с переходными процессами в экономике России и её регионах. Регионы России имеют разный объём и состав природных ресурсов, обладают различным уровнем развития производительных сил, разным уровнем открытости регионов. Рассмотрение модели позволит приблизиться к пониманию причин отставания в экономическом развитии части регионов и причин успешного экономического развития другой части регионов.

В рассматриваемой экономике каждый регион производит единственный региональный продукт, который в модели имеет разную цену в разных регионах. Изменение цен в простейшей модели задается эконометрическими функциями, параметры которых отличаются в разных регионах.

Задача идентификации модели состоит в определении эффективного капитала К(£), такого, что рассчитанные по модели макропоказатели экономики России близки к соответствующим статистическим аналогам.

Большое количество неопределяемых напрямую из статистики параметров модели определяем косвенным образом, сравнивая выходные временные ряды переменных модели с доступными статистическими временными рядами. Временные ряды считаются похожими, если они близки как функции времени. В качестве критериев близости расчётного и статистического временных рядов используем коэффициент корреляции и индекс несовпадения Тейла.

Декомпозиция модели по регионам даёт возможность за разумное время определить независи-

мые параметры благодаря параллельным вычислениям для перебора параметров модели на заданных интервалах их изменения с последовательно уменьшающимся интервалом изменения параметров.

II. Описание модели экономики взаимодействующих регионов

Рассмотрим модель экономики страны, состоящей из регионов, взаимодействующих друг с другом и с внешним миром. Для описания переменных моделей будем использовать индексы: г — индекс региона, N — число регионов, 0 — индекс внешнего мира, Я — индекс для страны в целом как объединения регионов.

Н.1. Простейшая модель экономики региона

Описание простейшей модели экономики региона основано на описании простейшей модели экономики страны [1—2]. Объем валового регионального продукта (ВРП) У (£) г-го региона в момент времени £ определяется удельным выпуском у (£) и начальным значением ^ = У (0):

Yi (t) = ^iyi (t).

(1)

Удельный выпуск уі (і) г-го региона определяется удельными производственными факторами — удельным трудом Іі (і) и удельным эффективным капиталом кі (і) — в силу однородной степени ^ производственной функции с постоянной эластичностью замещения (СЕБ);

yi (t) = a (li (t)) в + (1 - а) (ki (t))

(2)

Параметры в соотношении (2) удовлетворяют ограничениям: ai € (0,1), в > -1, Yi ^ 1-

Удельный труд в г-м регионе меняется экспоненциально с темпом Xi:

li (t) = exp (Xit)

-@i

-Yi/Pi

и определяет численность занятых в экономике для г-го региона (труд) Ьг (г):

Ъ (г) = фг к (г),

где фг = Ьг (0) — начальное значение числа занятых в г-м регионе.

Динамика удельного эффективного капитала кг (г) в г-м регионе определяется задачей Коши:

1,

где —^г — темп изменения существующего капитала, вг > 0 — коэффициент пропорциональности объёма региональных инвестиций объёму ВРП:

т =

&

Уг (0) ________________

Кг (0) Кг (0)

> 0.

Индекс цен на инвестиции определяется эконометрической функцией

Pi (t) = £i + (1- £i) (1 + t) exp (-Uit)

с двумя параметрами £i € (0,1) и wi > 0.

Объем инвестиций в г-м регионе определяется соотношением

Ji (t)

о mm (t)

Pi (t) '

Объемы вывоза из г-го региона в j-й определяются соотношениями

Eij (t) =

13

rij (t)

где Sij — норма вывоза выпуска из г-го региона в j-й при j = 1, ..., N или доля экспорта в выпуске при j = 0, rij (t) — индекс относительной цены на вывозимую продукцию из г-го региона в j-й при j = 1, ..., N или индекс относительной цены на экспорт при j = 0:

rij (t) = Kij +(1 - Kij) exp (-nij t) ,

каждый из которых определяется двумя параметрами: Kij € (0,1) и nij.

Объемы ввоза из j-го региона в г-й определяются соотношениями

N

Iji (t) = <Piyi (t) ( 1 - ^2 ) J1 (t),

где Pji — норма отношения объёма ввозимой из j-го региона в г-й регион к продукции г-го региона, реализуемой на внутреннем рынке (при j = 0 норма отношения импорта к объёму собственной продукции, реализуемой у себя), sji (t) — индекс относительной цены на ввозимую продукцию из j-го региона в г-й при j = 1, ..., N или индекс относительной цены на импорт при j = 0:

Sji (t) = 1 - (jit2 exp (-Vjit) ,

каждый из которых определяется двумя параметрами: ^г > 0 и ' > 0.

Объемы потребления домашних хозяйств, правительственных и общественных организаций, выраженные в единицах валового регионального продукта в постоянных ценах 2000 года (г = 0), определяются из основного макроэкономического баланса г-го региона:

Яг (г) = Уг (г) — рг (г) Зг (г) +

N N

+ ' (г) 1]г (г) — гг' (г) Ег' (г) . (3)

3 = 0 3=0

Уравнения (1)—(3) полностью описывают модель экономики региона.

Н.2. Замыкание модели взаимодействующих регионов

Кроме указанных выше параметров каждый регион характеризуется дефлятором ВРП хг (г), который связан с дефлятором валового внутреннего продукта (ВВП) хе (г) следующим соотношением:

N

хт. (г) Уе (г) = ^2хг (г) Уг (г).

г=1

Объединение объёмов инвестиций в регионах даёт суммарный объём инвестиций страны:

N

ХЕ (г) РЕ (г) Зе (г) = ^ хг (г) рг (г) 3 (г).

г=1

Внутренние поставки из региона в регион согласованы, в пути ничего не теряется: в г-й регион из j-го ввозится ровно столько, сколько из j-го региона в г-й вывозится:

хг () в^г () !'г ^ = хз () г'г () Е'г () ,

г^ е {1,.... N}.

Таким образом, суммарное сальдо внутренних поставок по всем регионам Б1 (г) равно нулю:

Б1 (г) =

N / N \

^ ' хг (г) I (ггз (г) Ег' (г) — в'г (г) 1'г (г)) I = 0,

г=1 '=1

а внутренний товарооборот Т1 (г) равен удвоенному объёму суммарных поставок:

N N

Т1 (г) 'У ] хг (г)^ (гг' (г) Ег' (г) + в3г (г) 1]г (г)) =

г=1 3=1

N N

= 2 ^ ^ ' хг (г) гг3 (г) Ег' (г) =

г=1 3=1

N N

= 2 ^ ^ ' хг (г) в'г (г) 1'г (г).

г=1 3=1

Сальдо внешней торговли страны и регионов в рублях текущего года;

N

БОх (і) =]Т БОі (і),

і=1

БОі (г) = хі (і) (гіо (г) Еіо (і) - воі (г) іоі (і)).

Внешнеторговый оборот страны и регионов в рублях текущего года;

N

ТОх (і) =^2 ТОі (і),

і=1

ТОі (і) = Хі (і) (гіо (і) Еіо (і) + в0і (і) І0і (і)).

Уровень открытости экономики страны Ох (і) можно определить как отношение суммы внутреннего межрегионального и внешнего товарооборота к ВВП:

Г7 (() + ГОЕ М

°е(()- (01-Ї м

Уровень экономической безопасности страны можно определить как долю внутреннего межрегионального товарооборота к суммарному товарообороту;

ТІ (і)

Вт(t) =

TI (t) + TOt (t)'

Уровень этих показателей зависит от того, как много регионов рассматривать.

III. Параллельные вычисления для идентификации модели взаимодействующих регионов

Для страны в целом действуют уравнения (1)—(3) с индексом вместо г и отсутствием межрегиональных потоков.

Заметим, что все параметры и начальные значения (и варьируемые, и фиксированные) обозначены малыми греческими буквами, а интенсивные и относительные переменные — малыми латинскими. Время г таково, что г = 0 соответствует 2000 году.

На основе статистических данных по экономике России 2000-2006 гг. и балансовых соотношений модели взаимодействующих регионов подготовлены исходные данные для двухрегиональной версии модели взаимодействующих регионов России.

Статистические данные для страны в целом представлены в табл. 1 [1, 3].

Таблица 1

Статистические данные РФ

год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

LT. 65,273 65,124 66,266 67,152 67,134 68,603 69,157 70,813

ГТ, 1,000 0,844 0,766 0,729 0,685 0,697 0,670 0,670

«у- 1,000 0,892 0,823 0,731 0,592 0,522 0,456 0,440

рт 1,000 1,008 0,992 0,960 0,921 0,878 0,852 0,868

Уу'. 7305,600 7676,900 8025,417 8618,443 9237,806 9830,616 10570,415 11462,846

тт. 1755,800 2084,100 2388,400 2811,200 3466,200 4055,400 4878,700 5655,840

JT. 1165,200 1281,757 1317,647 1482,352 1685,435 1869,147 2181,295 2641,548

Ет. 3218,900 3354,100 3699,600 4162,000 4653,100 4950,900 5297,500 5188,857

Qy. 4677,300 5412,133 5850,223 6217,321 6550,991 6857,338 7384,669 8180,904

хт, 1,000 1,165 1,348 1,537 1,845 2,200 2,545 2,889

Источник: Федеральное агентство по статистике http://www.gks.ru

Мы предполагаем, что

— первый регион (метрополия) взаимодействует с внешним миром и со вторым регионом;

— второй регион (провинция) взаимодействует только с первым регионом.

Формируем данные для первого региона (табл. 2) на основе следующих допущений.

1. Численность занятых в экономике первого региона составляет половину от занятых в стране:

Т , = ЬУ,

Ь1 2 •

2. Индексы цен на экспорт, импорт и инвестиции в первом регионе rii, Sii (г = 0,2) и pi такие же, как у страны.

3. ВРП первого региона равняется половине от ВВП: У1 =

4. Объем инвестиций первого региона равен половине объёма инвестиций в основные фонды

т

страны: «VI =

5. Объем вывоза продукции из первого региона во второй равен четверти экспорта: Е12 = Ею • 0,25.

6. Объем ввоза из второго региона в первый равен половине импорта: /21 =

7. Дефлятор ВРП первого региона х1 задан произвольными данными (для примера взяты значения дефлятора ВРП Кировской области).

8. Объем потребления в ценах ВРП 2000 г. Я вычисляется по балансовому уравнению (3).

Данные первого региона представлены в табл. 2.

Таблица 2

Данные первого региона РФ

год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

и 32,637 32,562 33,133 33,576 33,567 34,302 34,579 35,407

/’12 1,000 0,844 0,766 0,729 0,685 0,697 0,670 0,670

«21 1,000 0,892 0,823 0,731 0,592 0,522 0,456 0,440

Р\ 1,000 1,008 0,992 0,960 0,921 0,878 0,852 0,868

3652,800 3838,450 4012,709 4309,221 4618,903 4915,308 5285,207 5731,423

101 1755,800 2084,100 2388,400 2811,200 3466,200 4055,400 4878,700 5655,840

■Ь 291,300 320,439 329,412 370,588 421,359 467,287 545,324 660,387

Ею 3218,900 3354,100 3699,600 4162,000 4653,100 4950,900 5297,500 5188,857

Е\2 804,725 838,525 924,900 1040,500 1163,275 1237,725 1324,375 1297,214

877,900 1042,050 1194,200 1405,600 1733,100 2027,700 2439,350 2827,920

1971,575 2763,865 3092,877 3244,238 3325,804 3369,431 3717,092 4545,115

.г’1 1,000 1,160 1,420 1,620 1,850 2,080 2,280 2,410

Для формирования данных второго региона делаем дополнительные предположения:

во втором регионе общий уровень роста цен больше, чем в первом регионе и в целом по стране: х2 > хр > х1;

индекс цен на продукцию, вывозимую из второго региона в первый Г21, отличается от Г12;

индексы цен на ввозимую продукцию и инвестиции в12 и р2 такие же, как у страны.

Данные второго региона представлены в табл. 3.

Таблица 3

Данные второго региона РФ

ГОД 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Ьо 32,637 32,562 33,133 33,576 33,567 34,302 34,579 35,407

Г 01 1,000 0,920 0,890 0,760 0,620 0,550 0,470 0,470

«12 1,000 0,844 0,766 0,729 0,685 0,697 0,670 0,670

Р2 1,000 1,008 0,992 0,960 0,921 0,878 0,852 0,868

*2 3652,800 3805,921 3435,875 3640,850 4294,510 5000,684 5604,991 6542,634

1\2 804,725 824,313 881,448 980,006 1086,898 1129,153 1139,462 1059,758

•?2 873,900 950,456 878,052 975,260 1177,226 1377,103 1625,822 2047,215

Е21 877,900 993,256 1052,918 1272,927 1546,076 1755,423 2034,280 2162,803

Х2 1,000 1,180 1,490 1,720 1,980 2,280 2,650 2,950

<?2 2705,725 2630,439 2302,754 2451,375 2995,852 3612,239 4027,257 4458,308

Параметры аг, вг, 7г, Уг, Пг (г = 1, ..., N. Я) варьируются.

Задача идентификации модели состоит в определении эффективного капитала К (г), такого, что рассчитанные по модели макропоказатели экономики России близки к соответствующим статистическим аналогам. В частности, для экономики России в целом справедливы такие оценки [1]: показатели индекса цен на инвестиции в рассматриваемый период £е = 0,811, ше = 0,5276; темп роста труда Ае = 0,01124; отношение начального выпуска к начальному капиталу находится из интервала пе е [0,05,2]; темп падения капитала в силу естественных причин находим из интервала уе е [—0,2,0,20]; искомые параметры производственной функции находим из условий ат е (0,1), вт > —1, 7е > 1.

Предположим отсутствие научно-технического прогресса, что в модели представлено линейной однородной производственной функцией с 7е = 1.

При каждом заданном наборе фиксированных и варьируемых параметров можно найти реше-

ние модели. В результате найдём относительный эффективный капитал кт(г) и относительный выпуск ут(г). Валовой внутренний продукт (ВВП) в ценах 2000 г. У (г) определяется начальным значением ВВП: рЕ = УЕ(0) = 7305,6. Значение параметра пе определяет начальный уровень эффективного капитала в 2000 г.: А'е(0) = Эффективный капитал определяется формулой

Кт(г) = кт(г)/тассрЕ ПЕ.

Труд определяется фиксированными параметрами, определёнными подгонкой экспоненциальной функции к статистическим данным: расчётным начальным значением Ье(0) = фт = 64,84 и оценкой темпа роста Ае:

Ът(г) = Фтех^.

Инвестиции в основной капитал определяются относительным выпуском ут(г) и фиксированными параметрами, включая параметры, определяющие относительный индекс цен на инвестиции

Ps(t):

Js (t) = Osps

Уе (t)

рт (г)'

Относительный индекс цен на экспорт определяется фиксированными параметрами — асимптотой к = 0,6684 и темпом падения -^е = 0,6142:

тт(г) = кт + (1 — кт) е-п^г

и вместе с фиксированными параметрами и относительным выпуском ут(г) определяет объём экспорта:

Ет(г) = 5еРеУе (г)/те(г).

Относительный индекс цен на импорт йт(г) определяется фиксированными параметрами — (Е = 0,0712 и уЕ = 0,2602:

вт(г) = 1 — Стг2е-^

и вместе с фиксированными параметрами и относительным выпуском ут(г) определяет объём импорта:

Уе (г)

Is(t) = ps (1 - SE) ps

SY(t)

Объем конечного потребления домашних хозяйств, правительственных и общественных организаций страны определяется соотношением

Ят(г) = Ут(г)+.?Е(г)1т (г)—рт(г)Зт (г)—те (г) Ее (г).

Параллельные вычисления реализованы с использованием технологии МР1 на языке СН—+.

Каждый из 5-ти параметров может изменяться задаваемое количество раз в определённом диапазоне.

Для удобства параллелизации процесса перебора параметров вместо пяти циклов будем работать с одним. При каждой итерации этого общего цикла рассчитываются индексы виртуальных циклов при помощи специальной процедуры.

В качестве критериев близости расчётного и статистического временных рядов используем коэффициент близости и(X, У) = 1 — Е(X, У), где Е(Х, У) — индекс Тейла.

Чем выше и(X, У) (чем ближе к единице), тем более близки ряды:

U (X, Y) = 1 -

>:/ * -У* Ь :

eL0^2 + eL 0V

(4)

Расчёт коэффициента близости (4) производится при помощи функции bliz ():

float bliz (float *x, float *y, int n) { float d 1 = 0. 0, d 2 = 0. 0, d 3 = 0.0; for (int p = 0; p < n; p++) { d1 + = pow (x [p] — y [p], 2);

d2 + = pow (x [p], 2); d3 + = pow (y [p], 2);

}

return 1.0 -sqri }

При завершении расчёта каждый процесс, отличный от нулевого, посылает нулевому процессу результаты своих расчётов, своё локальное лучшее решение.

Нулевой процесс в свою очередь принимает от остальных процессов решения и выбирает из них наилучшее, отображая его на экран.

Результаты расчётов для первого региона: лучшее значение коэффициента близости: F = 0,997008025646;

параметры: {0,767677; -0,939394; 1,000000; -0,175758; 0,089394};

ВРП Y: {3652,800049; 3841,393311;

4056,659912; 4303,503906; 4587,449707; 4914,886230; 5293,271973; 5731,354980};

удельный капитал k: {1,000000; 1,183982;

I,400469; 1,655696; 1,956731; 2,311776; 2,730428; 3,223964}.

Результаты расчётов для второго региона: лучшее значение коэффициента близости: F = 0,942227363586;

параметры: {0,939394; -1,000000; 1,000000; -0,200000; 1,803030};

ВРП Y: {3652,800049; 3845,475098;

4071,422363; 4344,256348; 4677,159180; 5084,835938; 5584,666016; 6197,772461};

удельный капитал k: {1,000000; 1,687916; 2,523975; 3,569652; 4,884473; 6,534826; 8,599195;

II,172968}.

Было сделано несколько запусков программы на разном количестве процессоров [4, 5]. На рис. 1 приведены графики зависимости времени расчёта от числа процессоров при общем числе итераций 100 млн, а на рис. 2 показано ускорение вычислительного процесса в зависимости от числа процессоров.

Таким образом, очевидна идеальная паралле-лизация данной задачи за счёт отсутствия межпроцессорных коммуникаций.

Получен работоспособный вариант параметров модели. Расчёты производились на суперкомпьютере Вятского государственного университета HP HPC Enigma X000 «Татьяна».

IV. Заключение

В работе использована технология идентификации внешних параметров модели, базирующаяся на высокоскоростных параллельных вычислениях на многопроцессорных системах, параметры экономики каждого региона рассчитывались параллельно.

0 5

процессоры

Рис. 1. Зависимость времени расчёта от числа процессоров

процессоры

Рис. 2. Ускорение вычислительного процесса в зависимости от числа процессоров

Литература

1. Оленев Н.Н., Печенкин Р.В., Чернецов А.М. Параллельное программирование в MATLAB и его приложения. — М.: ВЦ РАН, 2007. — 120 с.

2. Оленев Н.Н. Параллельные вычисления в идентификации динамических моделей экономики // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2008): Труды международной научной конференции. — Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2008. — С. 207-214.

3. Оленев Н.Н. Параллельные вычисления в MATLAB при моделировании экономики //II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная

90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева: сб. тр. — Киров: ВятГУ, 2007.

4. Оленев Н.Н., Кощеев А.В. Параллельные вычисления с моделью экономики взаимодействующих регионов // 8-я Международная конференция: «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах (НРС-2008)»: труды конференции. — Казань: Изд. КГТУ. — С. 319.

5. Кощеев А.В., Оленев Н.Н. Параллельные вычисления с моделью экономики взаимодействующих регионов. II // Труды 51-й науч. конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — М., 2008. — С. 106-108.

Поступила в редакцию 25.06.2009.