CC BY
37
Моделирование выживания иррациональных трейдеров на финансовых рынках
Дата: 03/03/2009 Номер: (17) УЭкС, 1/2009
Аннотация: Принципиальной мотивацией интереса к изучению выживания
иррациональных трейдеров на финансовых рынках является их эффективность. Если иррациональные трейдеры способны оказывать воздействие на ценообразование финансовых активов, рынок не будет эффективным как информационно, так и аллокационно. Неявно дискуссия о возможности выживания иррациональных трейдеров основана на предположении о том, что выживание является необходимым условием воздействия на цену активов в долгосрочном периоде. В настоящей работе показано, что это допущение неверно и что иррациональные трейдеры способны сохранять существенное воздействие на цены активов даже в том случае, когда их относительный капитал стремится со временем к нулю.
Abstract: Basic motivation of interest to studying of a survival of irrational traders in the financial markets is their efficiency. If irrational traders are capable to affect pricing of financial actives, the market will not be effective as is information, and allocative. Implicitly discussion about possibility of a survival of irrational traders is based on the assumption that the survival is a necessary condition of influence on the price of actives in the long-term period. In the present work it is shown, that this assumption is incorrect and that irrational traders are capable to keep essential influence on the prices of actives even in that case when their relative capital aspires in due course to zero.
Ключевые слова: финансовый рынок, ценообразование финансовых активов, иррациональные трейдеры
Keywords: financial market, pricing of financial actives, irrational traders
Денисов Д.А. аспирант
Кисловодский институт экономики и права
Выходные данные статьи: Денисов Д.А. Моделирование выживания
иррациональных трейдеров на финансовых рынках // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2009. - № 1 (17). - № рег. статьи 0064. -Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.
Большинство неоклассических моделей ценообразования активов на финансовых рынках основаны на допущении, что участники рынка (трейдеры) рациональны в том смысле, что они ведут себя в соответствии с объективными вероятностями состояний финансового рынка [1-3]. Более конкретно, предполагается, что трейдеры максимизируют ожидаемые полезности, используя истинные вероятности
неопределенных состояний рынка. Проблема того, как присутствие трейдеров с неправильными представлениями может повлиять на поведение характеристик активов финансовых рынков, остается открытой.
В течение длительного времени считалось [4,5], что иррациональные трейдеры, использующие неправильные представления, не могут выживать на конкурентном рынке в долгосрочном периоде: торговля активами согласно неверным оценкам рыночных сигналов относительно цен активов приводит в конечном счете к потере их капитала, а рациональные трейдеры контролируют большую часть капитала и определяют цены активов. Принципиальной мотивацией интереса к изучению выживания иррациональных трейдеров на финансовых рынках является их эффективность. Если иррациональные трейдеры способны оказывать воздействие на ценообразование финансовых активов, рынок не будет эффективным как информационно, так и аллокационно. Неявно дискуссия о возможности выживания иррациональных трейдеров основана на предположении о том, что выживание является необходимым условием воздействия на цену активов в долгосрочном периоде. В настоящей работе показано, что это допущение неверно и что иррациональные трейдеры способны сохранять существенное воздействие на цены активов даже в том случае, когда их относительный капитал стремится со временем к нулю.
Экономические механизмы, определяющие выживание иррациональных трейдеров и их воздействие на цены финансовых активов, исследуются на основе следующей модели. Финансовый рынок рассматривается на конечном временном горизонт Т и эволюционирует в непрерывном времени. Неопределенность описывается
одномерным стандартным броуновским движением определенным на
фильтрованном вероятностном пространстве где 1Г, _
правосторонняя непрерывная фильтрация, есть приращение а - алгебры, .. Ь|0<а<*1} „
генерируемой С'1 Все стохастические процессы, рассматриваемые в модели,
предполагаются прогрессивно измеримыми относительно фильтрации Р. Индекс * обозначает время *6[Р^1.
Имеется единственный рисковый актив: акция, характеризующаяся конечным
дивидендом в момент Г. Дивиденд описывается геометрическим броуновским движением
(Ю' = 2>(((И<й+ о<Ь')
(1)
Имеется также облигация с нулевым купоном. Каждая единица облигации имеет определенный платеж, равный единице в момент Т Используем безрисковую
облигацию в качестве масштаба цен и обозначим цену акции в момент * через '. Предполагаем, что на финансовом рынке имеются две конкурирующих группы трейдеров, каждая из которых в начальный момент располагает половиной объема акций, обращающихся на рынке. Финансовый рынок считается бесфрикционным, ограничения по кредитованию и заимствованию отсутствуют. Обе группы трейдеров
характеризуются полезностью с постоянным относительным неприятием риска определяемой их потреблением в момент Т;
(2)
Будем рассматривать значения . Случай ®<7Г<1 может быть проанализирован аналогично, получаемые и результаты качественно аналогичны.
Предполагаем, что трейдеры первой группы знают истинную вероятностную меру (называем их рациональными трейдерами) и максимизируют ожидаемую полезность
(3)
где нижний индекс г обозначает величины, относящиеся к рациональным трейдерам. Вторая группа, группа иррациональных трейдеров, считает неправильно, что
вероятностная мера есть ®, при которой еб, = (07 ^
и поэтому
(Ю, = о 'т])гИ+ (ЇГІ7® |
(5)
где 2' - стандартное броуновское движение относительно меры
постоянная, параметризующая степень иррациональности иррационального трейдера. Если , иррациональный трейдер слишком оптимистичен и переоценивает скорость роста цены актива. Напротив, * соответствует пессимистичному иррациональному трейдеру. Иррациональный трейдер максимизирует ожидаемую полезность относительно меры **:
УМ
(6)
где нижний индекс трейдером.
относится к величинам, связанным с иррациональным
Поскольку параметр ^ предполагается постоянным, вероятностная мера
иррационального трейдера ® абсолютно непрерывна относительно объективной меры -Р, т.е. трейдеры обоих типов имеют одинаковые мнения относительно событий с нулевой вероятностью. Обозначая
плотность (производная Радона — Никодима) вероятностной меры ® относительно
а
получаем, что иррациональный трейдер максимизирует ожидаемую полезность
(8)
Это позволяет интерпретировать цель иррационального трейдера как ожидаемое значение зависящей от состояния функции полезности
относительно истиннои вероятностной меры г
Конкурентное равновесие рынка, определенного выше, может быть проанализировано аналитически. Поскольку имеется только один источник неопределенности, финансовый рынок является динамически полным, поскольку волатильность доходности акции остается ненулевой почти наверное. Следовательно, равновесное распределение может быть охарактеризовано как решение задачи центрального планирующего органа
(9) (10)
СГгГ+Скг = Вт
где ь - отношение весов полезности, Равновесие определяется следующим Утверждением.
Утверждение 1. Для описанного финансового рынка равновесное распределение меду двумя группами трейдеров определяется соотношениями
і
Вт
(11)
где
Ь= ор|(г 1>та3т]
(12)
(13)
7
Цена финансового актива с конечным платежом • определяется следующим образом
;[(+(^гГ)г*та.]
(14)
Для акции а волатильность доходности заключена между а и СГ^+Н)
Доказательство. Условия оптимальности задачи максимизации (9) требуют, чтобы выполнялось соотношение
(15)
Объединяя выражение (15) условием рыночного равновесия (10), получаем соотношения (11) и (12).
Плотность цены состояния должна быть пропорциональна предельным полезностям трейдеров. Поскольку краткосрочная процентная ставка предполагается равной нулю, плотность цены состояния при наличии информации, доступной в момент 1, определяется следующим выражением
Цена любого платежа ^ поэтому определяется соотношением (14).
Бюджетное ограничение агента динамически полного финансового рынка эквивалентно статическому ограничению, состоящему в том, что первоначальный капитал трейдера равен текущему значению его потребления [6]. Поскольку трейдеры двух групп в рассматриваемой модели обладают одинаковым капиталом при бюджетные ограничения приводят к соотношению
/= о
их
*,[*>?№тТ7Ы**тУтУ~1]
*ш[*>7І+(КтТгУ]
=*\.
(16)
Проверим, что
удовлетворяет равенству (16). Заметим, что Определим новую вероятностную меру такую, что
где
Р .
оригинальная вероятностная мера. Используя свойство инвариантности
гауссовского распределения, получаем, что случайная переменная =гт-{1-г)оГ
12
имеет стандартное нормальное распределение относительно меры ^. Поэтому равенство
^ +{НтТтТ ]= гГ1]
эквивалентно равенству
где
= *Ч»^-^ УГ +от72^
Поскольку переменная т эквивалентна по распределению г, можно переписать последнее равенство в эквивалентной форме следующим образом
Для проверки справедливости последнего равенства рассмотрим функцию ^х), определенную следующим образом
**).*[(Ч±хг]+Ц-±хч*| ]
(17)
Изменяя порядок операторов дифференцирования и математического ожидания, получаем
=0
Поэтому достаточно доказать, что "*-■1 . Поскольку
(18)
то, если определить новую меру ® следующим образом
и использовать изменение меры, подобное применявшемуся ранее в этом доказательстве, нетрудно установить, что выражение (18) преобразуется к виду
ї,[іаР[^ЧХ7' + )]+ гір[-^)|]
1
Симметричность распределения нормальной случайной переменной означает, что
и поэтому ■ 0. Это доказывает, что
Ь= «яр^1(^-1)7']
Цена акции определяется соотношением
Докажем теперь, что условная волатильность доходности акции заключена между а
и
. Определим
Л=ар|-^-(г-/)|
+о"і7(г-і)Ь+у 2г|
Тогда, как показано выше, цена акции может быть выражена в эквивалентной форме следующим образом
и поэтому, применяя лемму Ито, ее волатильность следующим образом
______[^1+^1 Д^+кГ1!
можно представить
Для установления границ изменения волатильности доходности акции докажем, что при условии 1 имеет место неравенство
к
>0
(20)
а при условии
Л>1.
неравенство противоположного знака. Заметим, что для любой
дважды дифференцируемой функции
^г)
справедлива цепочка неравенств
—— > О —кі(^(Дг-0Ь—О
дгдА^ к 'н => дл^к 0^ => а< р{а,г)
(1+&^
Поскольку функция ' **■"» положительна и имеет положительные перекрестные частные производные по всем аргументам, имеет место неравенство
д1
алаг
Поскольку тогда только тогда, когда мы показали, что
7<0
Г*,Ь+елИ лІі+гГТ
>0
и, следовательно,
5
я.
А+уИ Ж+кГ1}
заключена между -1 и 0 при и между 0 и 1 при из (19) получаем
устанавливаемую теоремой верхнюю границу цены: сгя <о<^+|1у[)
В предельных случаях, когда на рынке присутствуют только рациональные или
только иррациональные трейдеры, цены акции соответственно соотношениями
5,, = еч»|Си/^ * - гУ1Т+ ^ (2^-і)®*/+ «г,|
5,.г
и
определяются
(22)
Предложенная равновесная модель будет использоваться для анализа выживания и исключения трейдеров. Будем применять два определения исключения трейдеров из финансового рынка (или, напротив, выживания трейдеров на финансовом рынке) в долгосрочном периоде.
Определение 1. Иррациональный трейдер называется относительно исключаемым из рынка в долгосрочном периоде, если предельное соотношение
С.
^=0
(23)
выполняется почти наверное. Будем называть трейдера относительно выживающим в долгосрочном периоде, если его относительное исключение не происходит. Относительное исключение из рынка рационального трейдера может быть определено
симметричным образом.
Определение 2. Иррациональный трейдер называется абсолютно исключаемым из рынка в долгосрочном периоде, если предельное соотношение
faC.x=0
выполняется почти наверное. Абсолютное исключение из рынка рационального трейдера определяется симметрично.
Очевидно, что относительное выживание достаточно для абсолютного выживания, однако, как показывает анализ, абсолютное выживание недостаточно для относительного выживания. Аналогично, абсолютное исключение из рынка означает относительное исключение, однако обратное утверждение неверно. В следующей статье используем понятие относительного исключения из рынка или выживания, если иное не оговорено специально. В предлагаемой модели конечный капитал каждого трейдера равен конечному потреблению. Поэтому определения выживания на рынке и исключения из рынка эквивалентны аналогичным определениям с использованием понятия конечного капитала трейдера.
Литература
1. Беренс В., Хавнек П. Руководство по оценке эффективности инвестиций. пер. с англ. - М.: АОЗТ «Интерэксперт», «ИНФА-М», 1995.
2. Ван Хорн Дж. Основы управления финансами. - М.: «Финансы И Статистика», 1996.
3. Гитман Л., Джонк М. Основы инвестирования. Пер. с англ. - М.: «Дело», 1997
4. Маршалл Д., Бансал В. Финансовая инженерия: полное руководство по финансовым нововведениям. Пер. с англ. - М.: «ИНФРА-М», 1998.Duffie J.D. Dynamic asset pricing theory. Princeton: Princeton University Press, 1996.
5. Cox J.C., Huang C.-f. A variational problem arising in financial economics // Journal of Mathematical Economics. 1991. V. 29. №q3. P. 465-487.
№ рег. статьи 0064
Это статья Управление экономическими системами: электронный научный журнал
http ://uecs.mcnip.ru
URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=128
