CC BY
45
------------------------------------- © П.В. Макаров, И.Ю. Смолин,
Е.П. Евтушенко, А.А. Трубицын, Н.В. Трубицына, С.П. Ворошилов, С.И. Голоскоков, Д.В. Ботвенко, 2009
УДК 622.8
П.В. Макаров, И.Ю. Смолин, Е.П. Евтушенко,
А.А. Трубицын, Н.В. Трубицына, С.П. Ворошилов,
С.И. Голоскоков, Д.В. Ботвенко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ГЕОСРЕДЫ
Рассмотрен эволюционный подход к описанию процессов деструкции твердых тел - геосреды или геоматериала.
Ключевые слова: геоматериал, разрушение пород, неупругие деформации, накопление повреждений в среде.
~П заимодействие рабочих органов горных машин, особенно
-М-Р ударного и ударно-вращательного действия, с разрушаемым геоматериалом осуществляется в условиях высокоскоростного деформирования. Скорости соударения рабочего органа машины с нагружаемыми материалами весьма велики и для высокопроизводительных комбайнов часто превосходят 10 м/с. Как было ранее показано авторами [1], при таких скоростях взаимодействия в ближней зоне контакта формируется слабая ударная волна, в которой реализуется состояние близкое к всестороннему сжатию, а уровень напряжений в этой области существенно превосходит предел прочности угля. Кроме того, при проведении горных работ часто используются взрывные технологии. В этом случае геоматериал непосредственно нагружается ударной волной.
Особенности разрушения пород при таком ударноволновом нагружении изучены не достаточно полно. Традиционные теоретические исследования высокоскоростного разрушения геосред и геоматериалов основаны на численных расчетах с силовыми критериями разрушения. В подобных моделях среда считается разрушенной, если достигнут некоторый предел прочности, например -гюгониевский предел. Серьезный недостаток этой модели состоит в том, что фактически игнорируется фактор времени - как долго среда находится под действием тех или иных напряжений. Учиты-
вая, что уровень напряжений даже в слабой ударной волне велик и существенно превышает предел прочности материала, то в образующихся в зонах разрушения он оказывается полностью фрагментированным - представляет собой «песок» с размерами «песчинок», равными одному или нескольким счетным пространственным интервалам при традиционных численных расчетах. Ответить на вопрос: каковы размеры и форма фрагментов и сколько образовалось фрагментов в зоне разрушения при таком описании невозможно.
Развиваемый авторами эволюционный подход к описанию процессов деструкции твердых тел снимает эту проблему. При моделировании процессов эволюции нагружаемой геосреды или геоматериала предложенный эволюционный подход и разработанные модели [2-4] учитывают ее следующие важнейшие особенности:
1. локализацию неупругих деформаций и повреждений в среде (уже одно это позволяет уйти от факта констатации, что некая область разрушена, и достичь в расчетах выделения конкретных фрагментов);
2. характерные скорости накопления повреждений в среде;
3. деградацию прочностных свойств среды в зависимости от накопленных повреждений.
Оказалось [3], что в рамках единого подхода и общей модели, в зависимости от особенностей локализации (определяемой нелинейными свойствами модели), скоростей накопления повреждений и деградации прочностных характеристик описывается эволюция как хрупких, так и пластичных материалов. Процесс макроскопического разрушения при таком подходе моделируется как автока-талитическая, сверхбыстрая, катастрофическая стадия эволюции. Этот подход объединяет теорию неупругой (пластической) деформации, представляя ее как медленную квазистационарную стадию эволюции, в ходе которой на микроскопических масштабах (описанных интегрально) накапливаются повреждения, и теорию разрушения, представляя макроскопическое разрушение образца как сверхбыстрый этап эволюции в режиме с обострением [5]. В ходе этого автокаталитического процесса локализация неупругой деформации обостряет процесс деградации в зонах локализации, что, в свою очередь, еще больше усиливает локализацию, разгоняя ав-токаталитический процесс деградации прочностных свойств. При этом быстро нарастает число мезотрещин и происходит их слияние
в магистральные макротрещины. Таким образом, для хрупких материалов в нагружаемых образцах формируются фрагменты различных размеров и формы. Более того, один и тот же материал, в зависимости от условий нагружения, в рамках данного описания может проявлять как хрупкие свойства, так и вязкопластические, что хорошо согласуется с экспериментами.
Цель настоящей работы - на модельном материале (уголь с различными характеристиками хрупко-вязких свойств) описать разрушение хрупкой и хрупко-вязкой среды при ее динамическом нагружении. Условия динамического нагружения моделируются ударом пластины (ударника) по массивному образцу (мишени). Все границы расчетной области - свободные поверхности, и от них распространяются волны разгрузки. На границе контакта ударника и мишени заданы условия «прилипания».
При работе горного режущего инструмента (рабочий орган комбайна и т.д.) происходит ударное нагружение угольного массива, которое генерирует упругие либо упругопластические волны, и дальнейшее сложное нестационарное трехмерноее распределения напряжений и деформаций в нем. Упрощая постановку рассмотрим двумерную задачу в условиях плоской деформации об ударе между собой двух образцов угля, меньший из которых (ударник) налетает со скоростью 50 м/с на покоящуюся мишень.
Для этого выпишем систему уравнений механики твердого деформируемого тела, которая вместе с определяющими эволюционными уравнениями является в общем случае нелинейной и открытой, и реализует эволюционный подход к моделированию динамических процессов в любых твердых телах, в том числе в геоматериалах и геосредах. Связь этой открытой нелинейной системы с внешним миром осуществляется через управляющие параметры, которые совместно с граничными условиями (их также в ряде случаев можно причислить к управляющим параметрам) определяют условия нагружения исследуемого объема геосреды [2-4].
Полная система нелинейных уравнений при лагранжевом подходе к описанию движения сплошной среды включает:
уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии
р¥ = Р0Г0 , Р1>. = ^ + р^ , р£ = а,,ё .. _ ; (1)
эволюционные определяющие уравнения первой группы
6. = Х(9т _ 9р )8. + 2д(вт _ вр), (2)
эволюционные уравнения второй группы в р = F , а
^(в,,а,, 51 ). (3)
здесь р 0 , р — начальное и текущее значение плотности материала; У0, V — начальное и текущее значение объёма некоторой частицы материала; х1 — координаты в декартовой системе координат наблюдателя; у — компоненты вектора скорости перемещений; V,
— компоненты тензора напряжений; F1 — компоненты вектора
массовых сил; в , = — 1 2
компоненты тензора скоро-
сти деформации; 5. — символ Кронекера; X и ц — коэффициенты Лямэ; Е — внутренняя энергия единицы начального объёма; —
компоненты вектора теплового потока. Точка над символом означает материальную производную по времени. Используется разложение полной скорости деформации на упругую и неупругую со-•Т ■ Е ■ Р тт
ставляющие ё. = в. + ё. . Для учета независимости от жесткого
вращательного движения производная по времени от напряжений записана в форме коротационной производной Яуманна
, . . . _1 ( ду, ду.}
т. =а. +ай<°к] -ак]ъ1к, где ш. = ^
дх1 дх
— компоненты
6„ = 6„ +а,кСОк] _Ок.(° 1к , где со. =
' ЛдЛ дХ У
тензора скорости вращения (вихря). Использованы также следующие обозначения
в=ц, г=вр„ в,=Л ір =1244
еР =вр - 3 ерб„, V, =^Л = ^2 5,5, , 5, = <г, + рЪ,
- Р = 1С
3
р
где е. - компоненты девиатора тензора скорости пластических деформаций, S . — компоненты девиатора тензора напряжений, Р
— среднее давление.
Эволюционные уравнения первой группы (2) записаны в релаксационной форме и выполняют несколько следующих важнейших функций в развитии эволюционного процесса.
1. Упругие напряжения растут в каждой локальной точке нагружаемой среды пропорционально росту полных скоростей дет
формации в. , т.е. в соответствии со скоростью нагружения среды.
2. Релаксируют напряжения в соответствии с развитием неупругих реакций в нагружаемой среде вр . Следовательно, релаксационные определяющие уравнения первой группы обеспечивают установление в каждой точке деформируемой среды динамического равновесия между внешними воздействиями и откликом среды на нагружение.
3. Через релаксационные определяющие уравнения первой группы реализуются отрицательные и положительные обратные связи. Отрицательная обратная связь реализуется через закон релаксации и стабилизирует деформационный процесс, выравнивая неоднородности.
Эволюционные уравнения второй группы (3) отражают реакцию среды на нагружение через задание конкретного вида функции
F, вр и 9Р зависят только от внутренних свойств среды и являются результатом работы распределенных объемных источников, генерирующих в среде дефекты. Они описывают процессы накопления в среде дефектов и повреждений, и тем самым полностью определяют деградацию физико-механических свойств среды. Входя
в эволюционные уравнения первой группы (2) вр и 9Р участвуют
в игре между положительными и отрицательными обратными связями, определяя эволюционные сценарии.
Определяющие уравнения второй группы для угля обсуждены в работе [4] и учитывают внутреннее трение, дилатансию, накопление повреждений и деградацию прочностных характеристик. Предельная поверхность перехода от упругой реакции к неупругому поведению определена по модели В.Н. Николаевского
у Jl + JV2 = Y, 0Р - /Р = 2Л/2Г1/2 = ЭЛбРу , (4)
где а - коэффициент внутреннего трения, Л - коэффициент дила-тансии. Изменения прочностных параметров модели описываются следующими уравнениями [2]:
е
Y = ^(1 + Л(е) - Ве (е))(1 - В(о)), Л(е) = 2И—,
е *
Бе (е) = 2кГ—'] = Л(е) —, £(о) = Г (СТ-СТ° ) dt
е \ е * У е *’ J (а*)^ *
для ст > СТ0 (5)
Здесь к - параметр модели, отвечающий за упрочнение, е = 2/р 12 = Эб^ - накопленная пластическая деформация (параметр Одквиста), е* - критическая деформация, после достижения которой преобладает деградация материала, о - эффективное напряжение, а о0, о*, ^ и п = 2 - параметры модели, определяющие пороговое напряжение, начиная с которого начинают накапливаться повреждения, предельное напряжение и скорость процесса накопления повреждений, О(о) — поврежденность среды.
Усечение предельной поверхности в области растяжения также определяется с учетом повреждений и отражает различие прочностных свойств геосреды при сжатии и растяжении. Фактически среда всегда разрушается в области растягивающих напряжений, абсолютная величина которых невелика и уменьшается с ростом повреждённости среды:
Г = р (1 - Дст)). (6)
Таким образом, принимается, что разрушение и раскрытие трещин происходит при наличии растягивающих напряжений, которые присутствуют в локальных областях неоднородной среды практически при любом виде нагрузок.
Выбор степенных зависимостей в выражениях (5) был продиктован соображениями, связанными с изучением локализации и образованием тепловых структур С.П. Курдюмовым и его глубоким замечанием о том, что не любая нелинейность приводит к возникновению структур, т.е. к самоорганизации. Сложные нестационарные структуры формируются в среде со степенными источниками.
При других видах нелинейностей задача часто вырождается при приближении к моменту обострения [5].
Оценки пределов прочности различных компонентов угля и среднего эффективного значения предела прочности угля приведены в таблице. Гюгониевский предел СТГ определяется по формуле:
1 — V
СТг= (7)
1 - 2v
где V — коэффициент Пуассона.
Так как:
СТГ = Ро°уиг , (8)
то из сравнения (7) и (8) можно определить иГ, при которой достигается разрушение, если известна величина СТТ . Здесь су - скорость
продольной волны звука, иГ - массовая скорость на пределе Гюго-нио.
Скорость ударника должна быть минимум в два раза выше, чем максимальная массовая скорость итах (таблица): %)&2итах. Именно в этом случае в мишени в результате распада разрыва на контактной границе ударник-мишень сформируется ударная волна с амплитудой по массовой скорости и«итах . В расчетах скорость ударника задавалась равной 50 м/с. Эта скорость оказалась достаточной для хрупкого разрушения образца.
При нагружении в образце формируется сложная интерференционная картина распределения напряжений, деформаций Значения амплитуд напряжений на гюгониевском пределе и максимальных значений массовой скорости в упругом предвестнике для разныш компонентов угля и стали [1]
Материал Плот ность г/см3 Коэффи- циент Пуассона Предел прочности, МПа Скорость продольных звуковых волн, км/с Амплитуда напряжений, МПа Макси- мальная массовая скорость, м/с
Витринит 1,25 0,4 23 5,85 69 9,4
Семивитри- нит 1,3 0,45 28 8,19 154 14,5
Лейптинит 1,7 0,4 15 4,05 45 6,5
Фюзинит 1,4 0,45 135 17,65 743 30,0
Минеральные примеси 2,5 0,16 190 5,42 235 17,3
Уголь 1,3 0,3 15 3,67 26 5,5
Конструк-
ционная сталь 7,8 0,295 900 6,06 1548 32,7
и повреждений. В тех областях образца, где времена существования высоких растягивающих напряжений достаточны, чтобы успели накопиться предельные величины повреждений (значение функции деградации D(a) = 1 и предела прочности У = 0) образуются мезотрещины, эти мезотрещины могут расти, сливаться и образовывать магистральные трещины.
На рис. 1, а-в показаны последовательные во времени картины разрушения. Видно (рис. 1, а) как волна разрушения следует за ударным фронтом (оттенки серого цвета показывают величину среднего давления за ударным фронтом). В нагруженном образце формируются две откольные тарелки и трещины прорастают по направлению к свободным поверхностям (рис. 1, б-в).
В зависимости от вязкопластических свойств образца, которые регулируются скоростью накопления повреждений и положительной обратной связью, разгоняющей автокаталитический процесс разрушения, реакция угля на прохождение ударной волны меняется от хрупкой (рис. 1, а-в) до пластичной (рис. 1, г).
[в) (г)
Рис. 1. Распространение ударной волны и рост трещин в образце в разные моменты времени: (а) - фронт достиг свободной поверхности (б, в) - второй и третий пробеги ударной волны. Показано распределение давления (градации серого) и формирующиеся трещины (темные тонкие линии). (г) - распределение остаточных неупругих деформаций (градации серого) и формирующиеся трещины (черные точки)
Рис. 2. Распределения остаточных неупругих деформаций для образцов с хрупким (а) и вязкопластическим (б) поведением для удвоенной толщины ударяющей пластины
При изменении геометрических размеров ударника и мишени картины разрушения для хрупкого и вязко-пластического поведения образцов качественно не меняются (рис. 2).
Представленные расчеты, хотя и привязаны к реальным прочностным характеристикам угля (таблица), носят модельный характер. Для решения конкретной прикладной проблемы, например образования фрагментов при заданной скорости взаимодействия рабочего органа горной машины и угольного пласта, необходимо оценить скорость накопления повреждений в угле при известной скорости нагружения и ввести эти данные в модель. Другими словами, модель должна быть протестирована на известных экспериментальных данных.
Таким образом, развиваемый эволюционный подход оказался эффективным при описании совместного процесса неупругой деформации и разрушения геосред на малых временах (1100 микросекунд), в том числе при ударноволновом нагружении. При моделировании разрушения хрупкого материала численная методика позволяет рассчитать количество и форму образующихся фрагментов разрушения.
----------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трубицын А.А. Адаптация методов мезомеханики к исследованию процессов деформации и разрушения угля / А.А. Трубицын, П.В. Макаров, О.И.Черепанов, С.П. Ворошилов, Н.В. Трубицына, И.Ю. Смолин, В.В. Соболев, Я.С. Ворошилов, В.В. Киселев, С. Грюнинг — Кемерово: Кузбасс-ЦОТ, 2002. — 116 с.
2. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С. Нелинейная механика геоматериалов и геосред. - Новосибирск: Академич. изд-во «Гео», 2007. - 235 с.
3. Макаров П.В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 3. - С. 19-35.
4. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Трубицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П. Моделирование обрушения кровли над выработанным пространством // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 1. - С. 44-50
5. Курдюмов С.П., Князева Е.Н. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. - М.: Наука, 1994. - 236 с. шгЛ
Makarov P. V., Smolin I. J., Evtushenko E. P., Trubitsyn A.A., Trubitsyna N.V., Voroshilov S.P., Goloskokov S.I.,
Botvenko D. V.
MODELLING OF HIGH-SPEED GEO-ENVIRONMENT DEFORMATION It is considered the evolutionary approach to the description of destruction processes of firm bodies - of geo-environment and geo-material.
Key words: geo-material, rocks destruction, inelastic deformations, damage accumulation in the environment.
— Коротко об авторах ----------------------------------------------
Макаров П.В. - доктор физико-математических наук, проф., ИФПМ СО РАН, г. Томск,
Смолин И.Ю. - кандидат физико-математических наук, ИФПМ СО РАН, г. Томск,
Евтушенко Е.П. - Томский государственный университет, г.Томск, Трубицын А.А. - доктор технических наук, профессор, НЦ ВостНИИ, г. Кемерово,
Трубицына Н.В. - доктор технических наук, НЦ ВостНИИ, г. Кемерово, Ворошилов С.П. - кандидат физико-математических наук, НП «Куз-басс-ЦОТ», г. Кемерово,
Голоскоков С.И. - кандидат технических наук, НЦ ВостНИИ, г. Кемерово,
Ботвенко Д.В. - кандидат технических наук, НЦ ВостНИИ, г. Кемерово.
