CC BY
40
УДК 544.162.7 : 001.891.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЧАСТИЦЫ В НЕЛИНЕЙНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
Н.А.СЕКУШИН
Институт химии Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар sekushin-na@chemi.komisc.ru
Проведено компьютерное моделирование вынужденных колебаний частицы в потенциальной яме с нелинейным силовым полем x|x|. Выполнены расчеты траектории частицы и определена зависимость сигнала шума от частоты. Обнаружены бифуркации с удвоением и утроением частоты. Показано, что в точках бифуркации интенсивность шума имеет максимальное значение. Изучены два типа движения частицы, при которых уровень шума минимален. Предложен метод определения периода собственных колебаний частицы по положению максимумов на спектральной кривой шума.
Ключевые слова: нелинейный осциллятор, бифуркация, спектр шума, вынужденные колебания частицы, ионные проводники
N.A. SEKUSHIN. SIMULATION OF PARTICLE FORCED OSCILLATIONS IN NONLINEAR FORCE FIELD
Computer simulation of charged particle oscillations in potential well with nonlinear force field x|x| was realized. Calculations of particle trajectory and noise frequency dependence were fulfilled. Period doubling and tripling bifurcations were found. It was shown that noise intensity was maximal in the bifurcation points. Two kinds of particle vibrations with minimum noise intensity were also discovered. The method of evaluation of particle normal mode period based on the noise spectrum maximum positions was suggested.
Keywords: nonlinear oscillator, bifurcation, noise spectrum, particle forced oscillation, ionic conductor
Введение
В последние годы исследованию твердых ионных проводников придается большое значение в связи с возможностью использования их в различных технических устройствах. Среди таких устройств на первое место можно поставить топливные элементы, которые позволяют преобразовывать химическую энергию непосредственно в энергию электрического тока, минуя существующие в традиционной энергетике промежуточные стадии [1]. При изучении ионопроводящих материалов специалисты сталкиваются с острым дефицитом методов исследования. Из электрических методов наиболее часто применяют импеданс-спектроскопию (ИС). В этом методе на образец подают гармонический сигнал с изменяющейся частотой в интервале от 10-3 до 107 Гц и с амплитудой порядка нескольких десятков мВ. Импедансметр регистрирует ток и определяет амплитуду и фазу первой гармоники тока. В указанном диапазоне частот доминируют поляризационные и диффузионные процессы, а также электрохимические - на электродах, которые практически не зависят от массы ионов, так как протекают слишком медленно. Таким образом, методом ИС не удается определить такие важные
характеристики ионного проводника, как тип подвижных ионов и их концентрацию.
В связи с низкой информативностью метода ИС возникла следующая экспериментальная задача. Необходимо с помощью переменного электрического поля заставить частицу совершать колебания с максимальной амплитудой. При этом в системе могут возникнуть нелинейные процессы, что приведет к появлению электромагнитного шума. Можно ли из этого шума получить какую-либо полезную информацию? Ответ на этот вопрос можно частично найти в литературных источниках. В последние десятилетия во многих научных направлениях появились публикации, посвященные шумам. Первоначально их воспринимали как мешающие факторы при проведении, в частности, электрических измерений. Однако в настоящее время отношение к шумам изменилось на обратное. Все большее число специалистов признают, что шумы содержат ценную информацию о физико-химических процессах в самых различных объектах, начиная от звезд и заканчивая наноматериалами.
Наибольшей информационной емкостью обладает так называемый фликкер-шум - это флук-туационный процесс, спектральная плотность которого £^) при низких частотах растёт с понижени-
ем частоты f по закону, близкому к 1/f [2-3]. В результате исследований фликкер-шума была развита новая методика, названная фликкер-шумовой спектроскопией ФШС (Flicker-Noise Spectroscopy) [4, 5]. Сущность ФШС состоит в придании информационной значимости последовательностям различимых нерегулярностей в шумах, таким как всплески, скачки, изломы производных различных порядков. В литературных источниках встречается достаточно много примеров использования ФШС. Этот метод был использован для предсказания землетрясений [6, 7], в исследовании электрохимических систем [8], при изучении коррозии арматуры в железобетонных строительных конструкциях [9]. В работе [10] установлено, что возникновение шума вида 1/f в полевых транзисторах связано с дефектами (например, примесными ионами Na+ в пленке SiO2). Наиболее информативной составляющей шума 1/f является так называемый неравновесный фликкер-шум [10, 11]. Неравновесность в материалах можно создать как химическими, так и физическими воздействиями на дефекты: электрическим и магнитным полем, светом, лазерным излучением, деформацией, температурой, ионизирующим излучением и т.д. [11].
В настоящей работе с помощью виртуального эксперимента проведено исследование вынужденных колебаний заряженной частицы в нелинейном силовом поле. В результате моделирования получены временные зависимости координаты частицы x(t), а также определен численный параметр Р, характеризующий пульсации тока в образце. Поскольку Р зависит от частоты внешнего поля, то функцию P(f) условно назвали спектром шума.
Теоретическая часть.
Моделирование колебаний частицы
На рис. 1 приведена схема экспериментальной установки, с помощью которой можно изучать влияние переменного электрического поля на высокочастотные токовые шумы, возникающие в жидкой или твердой среде. Измерительная ячейка 1 выполнена в виде плоского конденсатора, между обкладками которого находится исследуемый материал. Устройство регистрации шума 3 должно преобразовывать быстро меняющийся ток в цепи (i) в усредненный сигнал Р, который может быть легко измерен. Одно из требований к регистратору - это
Рис. 1. Схема измерений параметра Р: 1 - образец; 2 - генератор гармонического сигнала; 3 - регистратор шума; 4 - инфракрасный фотодиод, преобразующий температуру резистора R в электрический потенциал.
отсутствие зависимости выходного сигнала от частоты входного сигнала. Это достигается за счет преобразования проходящего через резистор R тока в температуру (т), которая зависит от мощности: N = Ri2 . Динамические свойства регистратора можно описать следующим уравнением:
Лт
— = к1 N - к2т , (1)
Л
где к1 и к2 - константы; t - время.
Уравнение (1) означает, что скорость нарастания температуры пропорциональна под-
водимой мощности тока к1N за вычетом потери мощности, связанной с утечкой тепла в окружающее пространство. Эти потери пропорциональны температуре резистора т. Для того, чтобы получить передаточную функцию регистратора, необходимо (1) преобразовать по Лапласу:
рт(р) = к^{р)- ^т(р), (2)
где р - переменная Лапласа; т(р) и N(р) - изображения, соответственно, выходного и входного сигнала.
Из (2) получаем передаточную функцию регистратора, которая соответствует апериодическому звену 1-го порядка [12]:
т(р) _ к1
W=
(3)
N (Р) Р + к 2 При моделировании регистратора примем к1 = к2, а также введем постоянную времени
Т=к— . Таким образом, получим передаточную 1
функцию W =
(звено 9 на рис. 2).
Tp +1
Известно, что плотность тока в проводнике равна произведению qnV (q - заряд, n - концентрация и V — скорость носителя заряда). В виртуальном эксперименте принимаем q и n равными единице. Следовательно, в качестве электрического тока будет выступать скорость частицы V = X , где x - смещение частицы из положения равновесия. Соответствующий сигнал необходимо возвести в квадрат, чтобы получить мощность. На структурной схеме (рис. 2) эту операцию выполняет звено 8. Таким образом, регистратор моделируют два элемента: 8 и 9. Следует также отметить, что в реальном эксперименте светодиод 4 на рис. 1 может быть заменен тонкопленочным терморезистором (болометром) или батареей из тонкопленочных термопар. В данном исследовании нами предполагается, что температура резистора преобразуется в электрический сигнал без искажений.
Теперь построим математическую модель образца 1 (рис.1). За основу возьмем уравнение, описывающее вынужденные колебания пружинного маятника, в котором колеблющуюся массу будем называть частицей:
mx + ax + fix = qE sin 2nft, (4)
Es mat
-а
(х')2
Tp+1
P
1 -U \ 2 1 \
✓ ч / p /
х
7 6
-Р / \ X
К-П
■
Рис. 2. Структурная схема виртуального эксперимента: 1 - сумматор; 2 и 3 - интеграторы; 4 и 7 -пропорциональные звенья, перемножающие входные величины на константы -а, и -Д, соответственно; 5 -выпрямитель, реализующий функцию |x|; 6 - пере-множитель; 8 - квадратор, осуществляющий возведение входного сигнала во вторую степень; 9 - апериодическое звено 1-го порядка.
где x - отклонение частицы от положения равновесия; m и q - масса и заряд частицы, соответственно; а - коэффициент вязкого трения; Д - константа, характеризующая силу удержания иона в центре потенциальной ямы (аналог жесткости пружины); E -амплитуда внешнего электрического поля.
В линейной системе шумы возникнуть не могут. Поэтому в уравнение (4) необходимо ввести нелинейности. Известно достаточно много публикаций, посвященных нелинейным осцилляторам
[13]. Колебательные системы, нелинейная часть силового поля которых имеет кубическую зависимость (х3), называются осцилляторами Дуффинга
[14]. Под влиянием внешнего гармонического воздействия эти осцилляторы при определенных условиях могут совершать хаотические колебания, что вызвало большой интерес к системам этого типа. В настоящей работе исследован осциллятор с параболическим силовым полем, описываемый следующим уравнением:
x" + ax' + fix\x\ = E sin at, (5)
где a = 2f - круговая частота; m и q равны 1.
Для преобразования (5) в структурную схему необходимо это уравнение дважды проинтегрировать и записать в следующем виде:
x = Ц (-ax ' - ^x|x| + E sin at)dt. (6)
Из (6) следует, что в структурной схеме, изображенной на рис. 2, должны присутствовать два интегратора (2 и 3), сумматор с тремя входами (1), пропорциональные звенья (4 и 7), выпрямитель (5), с помощью которого получаем |x|, перемножитель (6). Моделирование осуществлялось с помощью компьютерной программы System View.
В настоящей работе все параметры системы были зафиксированы: коэффициент затухания
a=0,05, параметр силового поля Д =1,5, амплитуда входного сигнала Е=4,9, постоянная времени регистратора 7=40. Опция «sample rate» (количество измерений в секунду) была установлена для всех случаев 300 Гц, а время счета (stop time) - 250 с. При пуске программы сначала наблюдается пере-
ходнои процесс, а по завершении его отмечаются стабильные колебания. Запись кривой х^) и параметра Р производилась после установления периодических колебаний.
Результаты моделирования и обсуждение
На рис. 3 приведен спектр шума Р(/), на котором нечетными цифрами отмечены минимумы, а четными - максимумы. На рис. 4 показан внешний вид функций х(0 для каждой из отмеченных точек. Из рис.3 следует, что в спектре шума имеются острые максимумы, благодаря чему их положение на шкале частот может быть измерено с высокой точ-
Р (усл. ед.)
_1
и
10
л „
-10a
\>.п
\jW
3 5
_\ /
\ о ° Р
\о9 оо
11
0,05
0,20
0,10 0,15
Частота / (Г ц)
Рис.3. Спектр шума образца, полученный в результате виртуального эксперимента.
ностью, что нельзя сказать о минимумах. Из рис. 4 и таблицы можно заключить, что минимумы шумов наблюдаются в двух случаях - когда возникает либо симметричное, либо асимметричное колебание. При повышении частоты идет чередование этих колебательных процессов. Симметричные колебания образуются в том случае, когда за время периода колебания внешнего поля с высокой точностью совершается четное число колебаний частицы около обеих стенок потенциальной ямы. Напротив, максимумы шума связаны с полным рассогласованием внешнего поля и движения частицы. Следовательно, положения максимумов шума должны быть простым способом связаны со средним периодом колебаний частицы у стенки. Для доказательства этого на рис. 5 приведены зависимости периода колебаний внешнего поля (1//) от номера экспериментальной точки на рис. 3 (или из таблицы). Построены такие зависимости для экстремумов (кривая 1) и для симметричных колебаний (кривая 2). Методом наименьших квадратов определены тангенсы угла наклона прямых: -1,64+0,02 для кривой 1 и -1,52+0,04 для кривой 2. Различие составляет около 8%. Таким образом, с точностью, равной 8 %, можно связать положение двух соседних максимумов на шкале периодов со средним периодом колебаний частицы Тр около стенки потенциальной ямы:
тр = Т - Т+1, (7)
9
4
8
1
3
8
6
2
4
1/Лс)
Номер экстремума п
Рис. 5. Зависимость периода колебаний внешнего поля (1//) от номера экспериментальной точки из таблицы: 1 - точки, в которых шумы имеют максимум; 2 - точки, в которых наблюдаются симметричные колебания.
Параметры колебательных процессов в точках, отмеченных номерами на рис. 3 и изображенных на рис. 4.
Номер точки Частота внешнего поля f , Гц Характер колебаний частицы Число колебаний k=k-i*+k2**
1 0,042 симметричное k=4+4
2 0,044 бифуркация к=З,5+З,5
З 0,05 асимметричное*** к=З+0
4 0,052 бифуркация к=З+4
5 0,055 симметричное к=З+З
6 0,061 бифуркация k=2,5+2,5
7 0,072 асимметричное k=2+0
е 0,07е бифуркация k=2+2,5
9 0,0е2 симметричное k=2+2
10 0,104 удвоение периода -
10а 0,105 утроение периода -
11 0,145 асимметричное k=1+0
12 0,16 бифуркация k=1+1,5
1З 0,18 симметричное k=1+1
Примечание: * кх - это число колебаний частицы около стенки потенциальной ямы при положительной полуволне внешнего потенциала. Если имеется колебание около положения равновесия (при х«0), то кх увеличивается на 0,5;
к2 - то же, что и кх, но при отрицательной полуволне внешнего потенциала;
Асимметричное колебание характеризуется тем, что частица совершает колебания только у одной стенки потенциальной ямы, а на другую стенку совершает «мягкую посадку» почти без колебаний.
где Т и Тм - периоды колебаний внешнего поля,
при которых наблюдаются два рядом расположенных максимума шума.
Формула (7) показывает, что быстропроте-кающий процесс колебаний частицы у стенки может быть исследован с помощью более медленных сигналов, что открывает новые экспериментальные возможности при изучении ионных процессов в ве-
ществе. Из механики известно, что период колебаний частицы связан с её массой и параметрами силового поля. Таким образом, исследуя шумы, можно получить информацию о внутрикристалли-ческом силовом поле и массе подвижного иона.
Выводы
В результате моделирования вынужденных колебаний частицы в потенциальной яме с нелинейным силовым полем в виде нечетной параболы
x|x| обнаружен ряд эффектов, которые позволяют
получать из спектра шума полезную информацию. В частности, обнаружены бифуркации с удвоением и утроением периода колебаний, сопровождающиеся резким нарастанием шума. Изучены симметричные и асимметричные колебания, при которых уровень шума имеет минимальное значение. Получено соотношение, позволяющее определять период колебаний частицы при симметричном колебательном процессе по экспериментально измеренному спектру шума.
Литература
1. Фатеев В.Н. Топливные элементы // Энергия. 1998. № 6. С. 11-22.
2. Weissman М.В. 1/F noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter, «Rev. Mod. Phys.». 1988. Vol. 60. № 2. С. 537-571.
3. Коган Ш.М. Электронный шум и флуктуации в твердых телах. М.: Физматлит, 2009. 368 с.
4. Тимашев С.Ф., Встовский Г.В. Фликкер-шумовая спектроскопия в анализе хаотических временных рядов динамических переменных и проблема отношения "сигнал-шум"// Электрохимия. 2003. Т.39. №2. С.156-169.
5. Тимашев С.Ф. Фликкер-шумовая спектроскопия: информация в хаотических сигналах. М.: Физматлит, 2007. 248 с.
6. Встовский Г.В., Дещеревский А.В., Лукк АА. и др. Поиск электрических предвестников землетрясений методом фликкер-шумовой спектроскопии // Физика Земли. 2005. № 7. С. 3-14.
7. Хаткевич Ю.М., Рябинкин Г.В. Гидрогеохимические исследования на Камчатке в связи с поиском предвестников землетрясений // Вулканология и сейсмология. 2006. № 4. С.34-42.
8. Timashev S.F., Polyakov Yu.S, Review of flicker noise spectroscopy in electrochemistry // Fluctuation and Noise Letters. 2007. Vol. 7. № 2. P. 15-47.
9. Смулко ЯМ., Даровицки К., Зелински А. Оценка скорости коррозии арматуры в железобетонных конструкциях с помощью метода электрохимических шумов // Электрохимия. 2006. Т.42. №5. С.611-616.
10. Разуменко Д. Низкочастотные шумы электронных компонентов как инструмент для диагностики внутренних дефектов // Компоненты и технологии. 2008. № 9. С.168-174.
11. Жигальский Г.П. Флуктуации и шумы в электронных твердотельных приборах. М.: Физматлит, 2012. 512 с.
12. Бесекерский ВА., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2004. 752 с.
13. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 311 с.
14. Yang J.H., Zhu H. Vibrational Resonance in Duffing Systems With Fractional-Order Damping // Chaos. 2012. Vol.22. №1. P.013112.
Статья поступила в редакцию 12.11.2012.
