CC BY
39
Троянская М.А.
Оренбургский государственный университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НАЛОГОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ
АДАПТИВНЫМИ МЕТОДАМИ
В статье проведен анализ динамики временного ряда налогов, выявлена зависимость между средним уровнем результативного признака и выделенными экономическими показателями и построен прогноз поступлений в бюджет Оренбургской области, который показал невозможность применения одного и того же статистического метода для планирования различных налогов.
Повышение эффективности управления бюджетным процессом требует совершенствования методов разработки и прогнозирования, прежде всего доходной части бюджета, поскольку это является определяющим фактором формирования взвешенной и обоснованной бюджетной политики. Для примера возьмем два налога: налог на прибыль организаций и налог на добычу полезных ископаемых, поскольку они играют существенную роль в доходах регионального бюджета Оренбургской области.
Визуализируем ряды поступлений налога на прибыль организаций (НП) и налога на добычу полезных ископаемых (НДПИ) [6] (рисунок 1).
Исходя из информации, представленной на рисунке 1, можно отметить, что на протяжении исследуемых периодов сохраняется положительная динамика по поступлению рассматриваемых налогов в бюджет Оренбургской области. Среди факторов, влияющих на уровень собираемости налогов, действуют факторы различной направленности: общая экономическая ситуация, период времени года и другие.
Коснемся факторов, которые непосредственно влияют на объем поступлений каждого из указанных налогов. Во-первых, это
налог на прибыль организаций
1500000 1200000 900000 600000 300000 0
& ор гУ Л сУ «У сг ег ч4 от «У о' ч1' V* о’
сроки уплаты налогов, уровень инфляции, размер которой с января 2002 года по апрель 2006 года составил 52,4%, изменение долей их распределения между бюджетами, учтем, что с 1.01.2005 года доли распределения закреплены на постоянной основе ст. 56 Бюджетного кодекса РФ, что позволит делать в будущем более точные прогнозы платежей.
Во-вторых, проведем корреляционнорегрессионный анализ для выявления зависимости между средним уровнем результативного признака и выделенными экономическими показателями (НП и НДПИ от объема промышленного производства и объема добычи нефти по субъектам Приволжского федерального округа (ПФО)).
При этом предполагалось, что зависимость между результативным показателем и объясняющими переменными, отобранными для анализа, линейная, то есть наилучшая аппроксимация функции регрессии есть линейная функция, математическая модель которой имеет вид:
у = Ро + Ах + ^2 х2 +... + Рк\ + єі, (1)
где п - число объектов наблюдения, і = 1, п, (п=14; 10);
уі - значение результативного признака для і-го объекта наблюдения;
налог на добычу полезных ископаемых
300000 250000 200000 150000 100000 50000
0
V* <гг ъ' ъ1' ъ' у V « Рисунок 1. Динамика поступлений НП и НДПИ в бюджет Оренбургской области, тыс. р.
Хщ - значение _)-й объясняющей переменной для і-го объекта наблюдения;
р0, р1;..., р k - подлежащие оценке параметры регрессионной модели;
е і - регрессионные остатки. Предполагалось, что выполнены все условия теоремы Гаусса - Маркова [1]. Оценка коэффициентов уравнения регрессии может быть получена методом наименьших квадратов:
Ьмнк ° Ь = (XTX), (2)
где Ь - вектор оценок коэффициентов уравнения регрессии;
X - матрица наблюденных значений объясняющих переменных;
У - вектор наблюденных значений результативного признака.
Результативные переменные: НП и НДПИ. Факторные признаки - объем промышленного производства и объем добычи нефти в регионе.
При исследовании зависимостей от объема промышленного производства анализировались все субъекты ПФО (их 14); при анализе зависимости от объема добычи нефти -только те регионы округа, где есть выпуск по данной отрасли (их 10) [6, 7].
Модели регрессии строились с применением ППП «Б1ай811са 6.0». В ходе проведения регрессионного анализа были получены следующие оценки уравнений регрессии (таблицы 1 и 2).
Регрессионные остатки данных полученных моделей распределены нормально со-
Таблица 1. Оценки уравнений регрессии зависимости от объема промышленного производства
Показатели НП НДПИ
Модель регрессии в стандартизированном масштабе Y = 0,77145X Y = 0,737X
Коэффициент детерминации Я2 59,5 54,3
F-критерий 17,64 14,26
1-критерий 4,2 3,78
Статистика Дарбина-Уотсона 2,52 1,66
Тест Колмогорова-Смирнова 0,326 0,2913
Таблица 2. Оценки уравнений регрессии зависимости от объема добычи нефти
Показатели НП НДПИ
Модель регрессии в стандартизированном масштабе Y = 0,82191X Y = 0,9989X
Коэффициент детерминации Я2 67,6 99,8
F-критерий 16,66 3508,6
1-критерий 4,08 59,23
Статистика Дарбина-У отсона 1,242 2,06
Тест Колмогорова-Смирно ва 0,218 0,2088
Normal Probability Plot of Residuals
2E6 -1.5E6 -1E6 -5E5 0 5E5 1E6 1,5E6 2E6 2.5E6
Residuals
Рисунок 2. HДПИ - объем промышленного производства
Expected Normal Value Expected Normal Value Expected Normal Value
Normal Probability Plot of Residuals
Residuals
Рисунок 3. HП - объем промышленного производства
Normal Probability Plot of Residuals
Residuals
Рисунок 4. HП - объем добычи нефти
Normal Probability Plot of Residuals
-1,2E5 -80000 -40000 0 40000 80000 1.2E5
Residuals
Рисунок 5. ЦДПИ - объем добычи нефти
гласно тесту Колмогорова - Смирнова и графикам распределения остатков на нормальной вероятностной бумаге (рисунки 2-5).
Для проверки значимости построенных моделей выдвигались гипотезы:
Н0: р=р2=.. =р = 0 (3)
Н1: Зіє[1,п]: р j * 0 , где к = 2, п = 14.
Для проверки гипотезы Н0 использована статистика:
F = -
IR 2 / к
(1 - Я2)/(п - k -1)
(4)
которая в случае справедливости Н0 имеет распределение Фишера - Снедекора с числом степеней свободы У1 = k и V 2 = п - k -1 .
По таблице распределения Фишера - Сне-декора определено критическое значение статистики Ркр(а = 0,05; у1 = 2; \2 = 11) = 3,98 - для первых двух уравнений. Бкр (а = 0,05; у1 = 2; у2 = 7) = 4,74 - для вторых двух уравнений.
Поскольку Б > Бкр во всех случаях, нулевая гипотеза отвергается, то есть построенные уравнения регрессии являются статистически значимыми.
Далее была проверена значимость отдельных коэффициентов построенных регрессионных уравнений. Выдвигались гипотезы:
Н0: коэффициент р. незначимо отличен от нуля (р. = 0) .
Н1: коэффициент р. значимо отличен от нуля (р. ф 0) (5) .
Для проверки Н0 была использована статистика:
t = -
(6)
где. = 1, 2,...к;
Ь - оценка .-го коэффициента уравнения регрессии;
БЬ. - стандартная ошибка .-го коэффициента уравнения регрессии.
Данная статистика, в случае справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Стьюдента с п = п - k -1 степенями свободы. Все коэффициенты в построенном уравнении регрессии оказались значимыми.
Если проанализировать в некоторых случаях регрессионные остатки, то можно об-
наружить, что остатки в соседних наблюдениях оказываются одного знака либо имеют разные знаки. В первом случаи речь идет о наличии в остатках положительной автокорреляции, во втором - отрицательной.
Для проверки гипотезы о наличии (отсутствии) в остатках автокорреляции первого порядка использовался критерий Дарби-на - Уотсона, статистика которого рассчитывается по формуле:
- єі-1 п-1 .
Е є?
(7)
По таблицам для заданного уровня значимости а = 0,05 определены пороговые значения dh= 1,08 и ^ = 1,36. Согласно расчетным значениям статистики Дарбина - Уотсона (таблицы 1 и 2), гипотеза о наличии автокорреляции в остатках отвергается.
Полученные адекватные реальным данным модели регрессии позволяют сделать следующие выводы.
Налог на прибыль организаций и налог на добычу полезных ископаемых находятся в прямой сильной зависимости от объема выпускаемой промышленной продукции (значение коэффициента Я2). Особенно тесная зависимость выявлена при моделировании регрессии НДПИ от объемов добычи нефти. 99,8% вариации этого налога обусловлено именно этим показателем.
Проанализировав динамику временного ряда поступлений в бюджет области от указанных налогов за период с января 2002 года по март 2006 года и зависимость налогов от ряда факторов, моделирование рядов проведем с использованием модели АРПСС (авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего) Бокса - Дженкинса. Практика подтвердила гибкость данного метода.
Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:
Х =Х + Ф1Х(Ч-1) + Ф 2Х(Ч-2) + Ф 3Х(Ч-3) +.+ е (8)
где X - константа (свободный член);
Ф1, ф 2, ф 3 - параметры авторегрессии.
ь
ь
Модели стационарных временных рядов основаны на предположении, что процесс остается в равновесии относительно постоянного среднего уровня. Однако природа устроена далеко не всегда так просто, и многие ряды, практически встречающиеся в ряде областей (таких, как индустрия, экономика, коммерция, например биржевые цены, где прогнозирование имеет особо важное значение), обнаруживают нестационарный характер, в частности не имеют фиксированного среднего. Процесс авторегрессии будет стационарным, если его параметры лежат в определенном диапазоне. Например, если имеется только один параметр, то он должен находиться в интервале -1 < ф < +1. В противном случае предыдущие значения будут накапливаться и значения последующих хг могут быть неограниченными, следовательно, ряд не будет стационарным. Если имеется несколько параметров авторегрессии, то можно определить аналогичные условия, обеспечивающие стационарность.
В отличие от процесса авторегрессии в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:
Х = т + е-е1е(Ч-1) -е 2е (1-2) -е3£(Ч-з) - ■■■ (9)
где т - константа;
еь е 2, е 3 - параметры скользящего среднего.
Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. А именно имеется три типа параметров модели: параметры авторегрессии (р), порядок разности (ё), параметры скользящего среднего (я). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРПСС (р, ё, я).
Следует отметить, что модель АРПСС является подходящей только для рядов, которые являются стационарными (среднее, дисперсия и автокорреляция примерно постоянны во времени); для нестационарных рядов следует брать разности.
Необходимо иметь достаточно большое количество наблюдений в ряде исходных данных. У нас в наличии 51 наблюдение по каждому исследуемому ряду. Проведем идентифи-
кацию, оценивание и прогнозирование исследуемых временных рядов. Приведенный выше рисунок 1 - первое свидетельство нестационар-ности рядов. Критерий нестационарности выражается также в отсутствии тенденции к затуханию у выборочной автокорреляционной функции ряда. Даже если бы тренд не был отчетливо виден на графике, нестационарность проявится с помощью данного критерия.
Нам необходимо сделать ряды стационарными, тогда к ним можно будет подобрать авторегрессионную модель. Применим к исследуемым рядам несколько преобразований. Для уменьшения амплитуд колебания рядов будем использовать логарифмическое преобразование. Преобразование взятия разности первого порядка позволяет избавиться от линейного тренда в ряде (смысл этого преобразования в том, что из текущего значения ряда вычитается предыдущее со сдвигом 1 и результат представляется в качестве значения нового ряда).
Отметим, что критерий стационарности носит не строгий характер, потому что в нем используются не точные автокорреляционные функции, а для их оценки, кроме того, используются не сами оценки, а графики функций, отсюда следует, что критерий допускает довольно широкое толкование и, возможно, найдется несколько приемлемых значений для порядка разности d.
На этапе идентификации определим, какое количество и каких параметров должно присутствовать в моделях. Для этого используем пакет БТАИБИСЛ. В ходе анализа автокорреляционной функции (АКФ) и частной автокорреляционной функции (ЧАКФ) преобразованных рядов наиболее приемлемыми признаны следующие модели АРПСС:
- Налог на прибыль организаций: (0,1,1)(0,0,1);
- НДПИ: (2,1,1)(0,1,0).
Оценивание параметров модели проведем приближенным методом максимального правдоподобия. Результаты оценивания представлены в таблице 3.
Ряды остатков очень похожи на белый шум. Временные ряды называются «белым шумом», если лежащая в их основе переменная имеет среднюю, равную нулю, постоянную
Таблица 3. Результаты оценивания моделей AРПCC
Параметры Точечные оценки параметров Асимптотическая стандартная ошибка Значение t-критерия Уровень значимости Верхняя граница 95% доверительного интервала Нижняя граница 95% доверительного интервала
Налог на прибыль организаций
q(1) 0,772261 0,100574 7,67863 0,000 0,57004 0,974479
Qs(1) -0,795544 0,147160 -5,40599 0,000 -1,09143 -0,499660
НДПИ
р(1) -0,405389 0,145462 -2,78690 0,007 -0,698189 -0,112588
р(2) -0,305567 0,145292 -2,10313 0,041 -0,598024 -0,013110
q(1) 0,929629 0,043843 21,20337 0,000 0,841376 1,017881
дисперсию и нулевую корреляцию последовательных наблюдений, т.е. нулевую автокорреляцию. Допущения для значения остаточного члена регрессионной модели метода наименьших квадратов схожи с этим [5]. Это указывает на правильность выбранных моделей.
Подтверждением адекватности построенных моделей является также нормальность распределения остатков. Вероятность нормальности распределения остатков прослеживается на графиках нормальной плотности распределения остатков (рисунок 6). Распределение остатков симметрично и близко к нормальному. Следовательно, построенные модели среднесрочного прогнозирования для налоговых поступлений в бюджет Оренбургской области являются адекватными.
Задача прогнозирования состоит в том, чтобы по значениям наблюдений, собранных к данному моменту времени, определить значения в следующие моменты. Во всех этих ситуациях важно иметь обоснованное представление о том, что произойдет в будущем.
Статистические методы позволяют построить объективный прогноз данных. Важная особенность статистических методов прогнозирования состоит в возможности вычисления верхних и нижних границ доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью, например, 0,75 или 0,9, лежат значения прогнозируемых величин [2]. Знание таких границ позволяет оценить риск при принятии решения на основе прогноза.
Histogram; variable: НДПИ
ARIMA (2,1,1X0,1,0) residuals; — Expected Normal
*
Р
Шт
шмЙЙІІІІ
-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Upper Boundaries (x<=boundaty)
Upper Boundaries (x<=boundary)
Рисунок 6. Проверка остатков моделей на нормальность и отсутствие автокорреляции
Таблица 4. Прогнозные значения по анализируемым временным рядам, в тысячах рублей
НП НДПИ
Прогноз Нижняя граница Верхняя граница Прогноз Нижняя граница Верхняя граница
апрель 06 г. 3393340 150192 766698 170777 72385 402915
май 06 г. 604383 261975 1394328 180753 64477 506720
июнь 06 г. 391110 166113 920862 178393 57086 557477
июль 06 г. 296280 123358 711599 181637 48474 680611
август 06 г. 683173 278966 1673053 186561 42212 824525
сентябрь 06 г. 375189 150316 936473 189133 36897 969498
октябрь 06 г. 484688 190599 1232552 192241 32006 1154707
ноябрь 06 г. 242738 93725 628666 195979 27799 1381611
декабрь 06 г. 334004 126672 880689 199390 24140 1646925
январь 07 г. 414310 154385 1111846 202842 20906 1968064
февраль 07 г. 211246 77367 576795 206487 18077 2358690
март 07 г. 434365 156399 1206352 210147 15603 2830297
В ходе проведенного исследования мы получили удовлетворительные результаты оценивания параметров; анализ остатков позволил определить, что построенные модели достаточно адекватно описывают наблюдаемые временные ряды. Следовательно, с определенной степенью вероятности можно доверять прогнозам, построенным с помощью подобранных моделей. Уровень (коэффициент) доверия, измеряющий надежность прогнозируемых значений, зададим равным 0,9. На основе полученных моделей исчислены прогнозные данные индексов на среднесрочную перспективу (за период с апреля 2006 г. по март 2007 г.). Чем меньше ширина полученных в моделях доверительных интервалов, тем меньше риск при принятии решения на основе прогноза.
По результатам таблицы 4 необходимо отметить, что не для всех налоговых поступ-
лений могут быть применимы одни и те же статистические методы планирования. Однако модель АРПСС не следует совсем отвергать, поскольку рассчитываются верхняя и нижняя границы доверительного интервала, куда возможно попадание фактического варианта, который может иметь большее или меньшее значение по сравнению с рассчитанным показателем прогноза.
Наличие достоверных данных по планируемым показателям налоговых доходов дает информацию региональным органам исполнительной и законодательной власти для выработки на очередной прогнозируемый период конкретных мер региональной экономической политики, неотъемлемой частью которой являются вопросы инвестиционной политики и поддержки отдельных отраслей промышленности и экономики в целом.
Список использованной литературы:
1. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 1022 с.
2. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 384 с.
3. Домбровкий В.В. Эконометрика: учебник. - М.: Новый учебник, - 2004. - 342 с.
4. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: учебник. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 352 с.
5. Курс социально-экономической статистики: учебник для вузов / Под ред. Назарова М.Г. - М.: Финстатинформ, 2002.
- 976 с.
6. Официальный сайт Федерального казначейства России // www.roskazna.ru
7. Российский статистический ежегодник, 2005: Статистический сборник / Росстат, М.: 2005. - 725 с.
8. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: учебное пособие для вузов / Пер. с анг. Под ред. Ефимовой М.Р. - М.: Финансы, Юнити, 1999. - 527 с.
