CC BY
41
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517-958 [550.3 + 551.5]
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР «БАБСТОНОВ» В АТМОСФЕРЕ
MODELING THE OCCURRENCE OF FRACTAL STRUCTURES "BUBSTONS" IN THE ATMOSPHERE
Т.С. Кумыков T.S. Kumykov
Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Институт прикладной математики и автоматизации» 360004, Россия, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова 89 а
Federal state scientific institution «<Institution of Applied Mathematics and Automation» 89a Shortanova St., Nalchik,360004, Russia
E-mail:macist20@ mail. ru;
Аннотация. Предложена упрощенная математическая модель возникновения фрактальных структур «бабстонно-кластерной» фазы в облачной среде. Выявлен порог смены броуновской коагуляции на более мощный механизм - гравитационной коагуляции, которая сопровождается бурным выделением крупных «бабсто-нов» из капель.
Resume. The paper proposed a simplified mathematical model of the emergence of fractal structures "bubbston-cluster phase in the cloud. The revealed threshold shifts of Brownian coagulation on a more powerful mechanism - gravitational coagulation, which is accompanied by rapid evolution of a large "bubston" from the drops.
Ключевые слова: фрактальная структура, бабстон, броуновская коагуляция.
Key words: fractal structure, Bubston, Brownian coagulation.
Введение
Известно, что с одной стороны агрегация частиц дисперсной фазы с образованием кластеров разнообразной пространственной структуры существенно влияет на физические свойства дисперсных систем [1], с другой стороны эти частицы могут образовывать структуры, называемые фрактальными кластерами (ФК) [2, 3]. Интерес к ФК обусловлен тем, что они являются весьма распространенными природными объектами. Поэтому изучение процессов кластеризации дисперсных частиц, определяющих степень участия в атмосферных процессах, является актуальной проблемой.
В [4] была впервые предложена и теоретически обоснована модель, представляющая долго-живущие микронеоднородности в водных ионных растворах как бабстонные кластеры. Там же был введен термин «бабстон» (аббревиатура от англ. bubble, stabilized by ions) для обозначения стабильных нанопузырьков, спонтанно возникающих при нормальных условиях в жидкостях, насыщенных растворенным газом и содержащих ионную компоненту. Присутствие бабстонов и их кластеров в
водных средах существенно влияет на их физические свойства, снижая пороговые значения разного рода явлений [5]. Например в области давлений, несколько превышающих давление насыщения, реологические и релаксационные свойства газожидкостных систем во многом определяются наличием «зародышей» - мельчайших газовых «пузырьков»-«бабстонов».
Наличие большого количества «бабстонов» присутствующие в водных растворах, могут играть существенную роль в геофизических процессах, связанные с возникновением больших разностей потенциалов при кристаллизации капель.
В данной работе рассматривается формирование фрактальной структуры бабстонно-кластерной фазы в облачной среде.
Постановка и решение задачи
В работе [6] было отмечено, что поскольку бабстонные кластеры формируются вследствие диффузионно-контролируемой агрегации, можно заключить, что образующиеся в таком процессе кластеры являются фракталами - объектами нецелой размерности.
Полагая, что такие кластеры могут формироваться в облачных структурах, которые имеют фрактальную природу, рассмотрим коагуляцию «бабстонов», когда первоначально дисперсная система (облачная капля) содержит газовые зародыши одинакового размера с концентрацией щ .
Первичные «бабстоны», сталкиваясь, дают двойные частицы, которые, в свою очередь, соприкасаясь друг с другом или с оставшимися в системе одиночными пузырьками, образуют тройные и четверные «бабстоны», а затем появляются пятерные, шестерные и т.д..
Обозначим число одиночных «бабстонов» в единице объема через щ, а число двойных,
тройных и т.д. через щ , и т.д. В начальный момент времени щ = щ,щ = щ =... = 0 . Через некоторое время в системе появляются двойные, тройные и т.д. «бабстоны».
Если рассматривать столкновение между «бабстонами» г -ой и у -ой кратности, то число соприкосновений между ними в единице объема за 1 сек будет равно
kT
где D, = D + D =
1 1
Л
r r
V Ь J У
ZtJ = АЩРм, (1)
= r + r а r и Г " радиусы «бабстонов», состоящих из i и из
Ажт]
у первоначальных «бабстонов», соответственно. При столкновении г -го пузырька с у -м образуются «бабстоны» категории к (к = г + у ).
Эти к-ые «бабстоны» получаются только при столкновении «бабстонов» категории г -1 с у +1, г - 2 с у + 2 и т.д. до г = 1 и у = к -1. Таким образом, прирост числа «бабстонов» к -ой категории в одиночном объеме за 1 сек за счет столкновения «бабстонов» составляет:
^ 1 = I £ 4J
I Т ¿—! HI
______nn .
7,1 9 £ J J Ь J
У1 2 i+J=k
i =1,2,..k-1 J=1,2,..k-1
Здесь множитель 1 поставлен из-за того, что при суммировании каждое слагаемое учитывается дважды.
Далее, все к -ые «бабстоны», сталкиваясь с любым другим «бабстоном», покидают свою категорию, т.е. образуются «бабстоны» более высокой категории. Уменьшение числа «бабстонов» к -ой категории за счет таких столкновений равно
йщ I ^ й Л 1=
Таким образом, изменение числа «бабстонов» к-ой категории равно
йПк =1 £ л^п,
Жг 2
(2)
г+ ,=к г=1,2,..к-1 ]=1,2,..к-1
Интегрирование системы уравнений (2) в общем виде не представляется возможным. Однако, если «бабстоны» имеют близкие размеры, то задача существенно упрощается. Представив Д в
виде Д = Д Г- , можно записать [7] г
ДЛ, = Дг
V Г1 ,
(г + г, ) = Д1г1
Если г ~ Г, то в этом равенстве разность ложить, что произведение
г, V*
мала по сравнению с 4. Поэтому, можно предпо-
Д,Л, = Д = 2ЛД ,
где Д и Л - коэффициент диффузии и диаметр первичных «бабстонов», соответственно. Уравнение (2) при этом принимает вид:
йпк
Жг
■ = 4л ДЛ
£ п п,- 2 пк £ >
1+,=к i=1,2,..k-1 V ,=1,2,..к-1
(3)
Мы получаем, таким образом, бесконечную цепочку уравнений относительно щ, щ и т.д. Просуммировав все эти уравнения, получим
■ £ пк
Жг
■ = 4л ДЛ
да да да да
££ п п, - 2£ п £ пк
^1=1 ,=1 1=1 к=1
пРи £ п = £ пк > £ £ пПк = (£ пк) , отсюда получаем
■Щ = (£ пк )2.
(4)
Учитывая, что при г = 0, п = п0, п2 = 0, п3 = 0 и т.д., а £ пк = п0 , его решение можно записать в виде
=1
£ nk =■
1 + -
где 01 =
время коагуляции, т.е. время, в течение которого число «бабстонов» в системе
уменьшается вдвое.
В таблице представлены значения 0 при различных пересыщениях и Т = 300 оK. Значения n0 взяты из таблицы 3 работы [8].
Таблица Table
Значения времени коагуляции при различных пересыщениях раствора The values of the coagulation time at different supersaturated solution
(p 30 25 20 15 10
0, с-1 1.8 x io-4 1.5 x 10-3 3 x 10-2 4.3 1.7 x 105
3 x 10-5 1.8 x 10-4 2.4 x 10-3 0.13 6 x 102
Верхняя строка относится к случаю, когда рост частиц подсчитывался на основе свободно -молекулярного течения, нижняя строка - когда частицы растут за счет диффузионного механизма.
При к = 1 сумма слева в уравнении (3) равна нулю, £ щщ = 0, (при соприкосновении одиночные «бабстоны» не образуются); щ = щ, и оно принимает вид
dnx dt
n .
t "1 1 + -
Интегрируя это уравнение, получаем
(6)
1 + -
01
В правой части равенства (5) стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которого определяется равенством (6):
щ щ
1 -q 1
где q - знаменатель прогрессии. Отсюда получаем, что q = —-
1 + -
Далее, зная nx и q находим:
n
0
t
k =1
1
n
n
0
n, =
t
t
О V
1 + -
3, щ = щ
1+
,... щ = щ
(г ^
1+
(7)
Формулы (6) и (7) дают изменение со временем числа «бабстонов», состоящих из одного, двух, трех и т.д. первоначальных «бабстонов». Радиус «бабстона», принадлежащего ' -ой градации, (т.е. состоящего из ' первоначальных микропузырьков), определяется уравнением:
Р '
Р о
г3 + а -'\ г3 + —г2 1 = о, ' = 2,3,
(8)
2а
При пересыщениях, р > 20, радиус «бабстона» г << — . Тогда из (8) получаем
Р
Г' = г ф .
Из таблицы видно, что при р> 20 по истечении времени t«10 2 с отношение — значитель
о
но превосходит единицу, следовательно, можем записать:
ч2 / ^ \2
<1 ,<о
<2 "о
т.е. щ = Щ = ... = щ = По\ -у
к ~ "о
Таким образом, концентрация «бабстонов», принадлежащих различным градациям, по истечении небольшого промежутка времени порядка Ю-2 -Ю"1 с становятся одинаковыми.
Если обозначить через ' число первоначальных одиночных «бабстонов», содержащихся в самом большом пузырьке, то общее число одиночных «бабстонов», сосредоточенных во всех пузырьках, будет равняться
,(1 + 2 +... +')
/ , Л2
ч0 у
'+1
= щ
2
ч0 у
Приравняв последнее к общему числу «бабстонов» щ , содержавшихся в системе в начальный момент времени, получаем:
' = 2\ — I -1.
01
Максимальный радиус кластера «бабстонов» при этом будет равняться
г
= г«[' = ги
Г г ^
2
Г
ч 1 У
-1 ^2гч>,
т.е. гшах растет пропорционально времени, как и в случае диффузионного режима роста «бабстонов». Однако такой рост «бабстонов» не может продолжаться сколь угодно долго.
г
V 1 У
щ = щ
4
г
г
г
2
к "о
г
г
г
2
щ
г
Заключение
В заключении отметим, что крупные «бабстоны» достигающие размеров порядка 10-6 -10-4м, начинают всплывать» быстрее, чем мелкие, захватывая на своем пути последние. Броуновская коагуляция сменяется более мощным механизмом гравитационной коагуляцией, которая сопровождается бурным выделением крупных «бабстонов» из жидкости. Смена механизма происходит после достижения порогового радиуса гтах «бабстоном». Эта стадия процесса требует специального исследования и в будущем представления о бабстонных кластерах в облачных структурах позволят развить новый взгляд на физическую природу разного рода явлений в конвективных облаках.
Список литературы
1. Bunkin N.F., Yurchenko S.O., Suyazov N.V., Starosvetskiy A.V., Shkirin A.V., Kozlov V.A. 2011. Modeling the cluster structure of dissolved air nanobubbles in liquid media. Mathematics Research Developments. Classification and Application of Fractals, Nova Science Publishers, Eds: W. L. Hagen. : 3-52.
2. Смирнов Б.М. 1986. Фрактальные кластеры Успехи физических наук. 149 (2) М77-217.
Smirnov B. M., 1986. Fractal clusters advances in physical Sciences. 149 (2) : 177-217.
3. Потапов А.А. 2005. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Издательство: Университетская книга. : 848.
Potapov A. A. 2005. Fractals in Radiophysics and radiolocation: Topology of sample. Publisher: University book. : 848.
4. Бункин Ф.В., Бункин Н.Ф. 1992. Бабстоны: стабильные микроскопические газовые пузыри в слабых растворах электролитов ЖЭТФ, 101 (2) : 512-527.
Bunkin, F. V. Bunkin, N. F. 1992. Babstoni: stable microscopic gas bubbles in weak solutions of electrolytes, JETPh., 101 (2) : 512-527.
5. Кумыков Т.С. 2008. Об электрических свойствах дисперсных систем, содержащих пузырьки. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №6 : 42-44.
Kumykov T. S. 2008. About electrical properties of disperse systems containing bubbles. Izvestiya vuzov. The North Caucasus region. Natural science. No. 6 : 42-44.
6. Бункин Н. Ф., Лобеев А.В. 1993. Фрактальная структура бабстонных кластеров в воде и водных растворах электролитов. Письма в ЖЭТФ, 58(2) : 91 - 97.
Bunkin N. F., A. V. Lobeev 1993. Fractal structure of bubbston clusters in water and aqueous electrolyte solutions. Pis'ma JETPh. 58(2) : 91 - 97.
7. Эйнштейн А., Смолуховский М. 1936. Брауновское движение Сборник статей под ред. Б.И. Давыдова. ОНТИ-Главная редакция общетехнической литературы.: 606.
Einstein A., Smoluchowski, M. 1936. Brown movement a Collection of articles under the editorship of B. I. Davydov. Auntie-the Main edition of technical literature.: 606.
8. Кумыков Т.С. 2012. Математическая модель самопроизвольного образования и роста газовых «бабстонов» критического радиуса в облачных каплях. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 14 (3) : 56-63.
Kumykov T. S. 2012. Mathematical model of spontaneous formation and growth of gas «Babstonov» critical radius of cloud droplets. The reports of the Adyge (Circassian) International Academy of Sciences. 14 (3) : 56-63
