Моделирование водоохранных мероприятий в бассейне реки Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Управляемые системы и методы оптимизации

УДК 517.97

О В.И. Гурман, О.В. Фесько, И.В. Расина

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВОДООХРАННЫХ МЕРОПРИЯТИЙ В БАССЕЙНЕ РЕКИ1

Рассматривается оптимизация природоохранной деятельности в водосборном бассейне реки с использованием двухуровневой модели сетевой структуры и общих достаточных условий оптимальности как обобщения соответствующих условий для дискретно-непрерывных динамических систем.

Ключевые слова: оптимальное управление, дискретно-непрерывная модель, водоохранные мероприятия.

О V.I. Gurman, О. V. Fesko, I. V. Rasina

MODELING AND OPTIMIZATION OF WATER PROTECTION MEASURES IN THE RIVER BASIN

The optimization of environmental activities in a river drainage basin using a two-level network model and general sufficient conditions of optimality is considered as a generalization of appropriate conditions for discrete-continuous dynamic systems.

Keywords: optimal control, discrete-continuous model, water protection measures.

Введение

Речные бассейны - характерные объекты интенсивной антропогенной нагрузки. Одно из направлений снижения этой нагрузки состоит в регламентации хозяйственной деятельности посредством установления определенных норм и требований к количеству и качеству сточных вод от предприятий. Достаточно полное представление об этом дают монографии [1, 2].

Другое направление - регулярные природоохранные мероприятия по экологическому мониторингу и очистке скапливающихся загрязнений в водной среде и донных отложениях, бытового мусора, паразитической биоты и т.п. Такие мероприятия требуют больших затрат, поэтому актуальна задача их минимизации с использованием естественной самоочищающей способности природной среды.

Цель данной статьи - рассмотреть схематически эту задачу, которая не

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-0025 6-а, 13-01-92200-Монг а) и Российского гуманитарного научного фонда (проект 11-02-00171-а)

укладывается в традиционные постановки задач оптимального управления. Для этого строится двухуровневая модель дискретно-непрерывной системы (ДНС), на нижнем уровне которой описываются непрерывные распределения примесей вдоль русел рек, а на верхнем - фигурирует сеть операторов, отражающая структуру бассейна как системы рек. Понятие абстрактной сети операторов введено впервые в [3] вместе с общими достаточными условиями как обобщением таковых для дискретной динамической модели [4].

Использование двухуровневой модели дает возможность эффективно декомпозировать соответствующую задачу управления на «однородные» подзадачи так, чтобы применить известные методы для однородных непрерывных и дискретных систем, в данном случае методы, развитые в работах В.Ф. Кротова и его последователей [5-8].

1. Постановка задачи

Задача рассматривается в упрощенной постановке на примере условного речного бассейна: главная река с двумя притоками (рис. 1).

к 4 3 /

1

--

Рис. 1

Можно построить камерную модель этого бассейна, разделив его на 5 камер, как показано на рис. 1. В каждой камере распределение концентрации загрязнений вдоль русла описывается некоторой дифференциальной системой, которую примем линейной

^ = + + Ге[0,Тр], 0 < г < гтах, (1)

М

где t имеет смысл расстояния от начала соответствующей камеры, р -вектора концентраций загрязнений, г - вектора интенсивностей природоохранных мероприятий, 5 - вектора потоков поступающих загрязнений. Здесь все величины имеют номер соответствующей камеры к = 1,...,5 'Лк,рк...., который для краткости опущен. Задача состоит в обеспечении допустимых концентраций в устьях рек, рк (1Г) < рк т.к, с минимумом суммарных затрат, определяемых величиной

5 Чг

0 = Ц ЧкР , ЧкР = | Ск ('К

А-=1 о

Размерности векторов концентраций в разных камерах могут быть разными в зависимости от формы и размеров поперечного сечения русла, условий перемешивания и т.п.

Примем для простоты риг одномерными, В = — 1, А, с, s - постоянными для каждой камеры. При естественном предположении р > 0 для любых управлений в указанных границах ограничение p{tF)< ртг можно заменить штрафом и минимизировать взвешенную сумму

^ = IX = + (1 ■- Рк )PkF )■ 0 < рк < 1.

1

Для решения задачи построим соответствующую двухуровневую дискретно-непрерывную модель, на верхнем уровне которой фигурирует сеть операторов, которая, согласно [3], определяется следующим образом.

Пусть имеется N операторов произвольной природы

/t:XtxUt->Yt (.vt=f(k,xt,ut)). (2)

Пк

Вводятся подмножества Х.кг/, такие, что [ Укц = Х.к. Будем говорить,

что выход оператора / подается на вход оператора к, если для некоторого q имеет место равенство /(к. q. хк) = . где /(к. q. хк) - оператор проектирования на подмножество Xir/.

Пусть рассматриваемые операторы соединены указанным образом по некоторой схеме, представляемой ориентированным графом (рис. 2). Предполагается, что для данного к между номерами q и / имеет место

взаимно-однозначное соответствие. Иными словами, Xt олицетворяет множество входов к -го оператора, занятых в соединениях, a - множество свободных входов.

Рис. 2

В качестве общей модели двухуровневой управляемой системы предлагается следующая конкретизация указанной абстрактной модели. Представим условие (xt, иt) е В(А') в форме л- е Х(к). ut е U(A', xt), где X(/t) -проекция на Ик , U (к, хк) - сечение В (к) при данных к , хк . Пусть на

некотором подмножестве К'сК = ¡1,...,^} имеем и = (иЛ ,тс), где непроизвольной природы, а т° - некоторый непрерывный управляемый процесс, так что сечение множества и(к,х) при фиксированных х,иЛ есть допустимое множество Ос (к,х,ис1) с соответствующей дифференциальной системой

с!хс

хс= — = Г(^,хс,и),(е ВД, ж

хс е Xе(г,0 с ис е ис(г,^,хс) с г = (к,х,иа).

Оператор правой части (2) сводится к следующему:

Ук=/(к,х,и) = в(г,ус), ус = ,х;,гр,хср) е : ^ = т(г),х7с = £(г), ^ = д£ е Гс(г)}.

Решением этой комбинированной системы будем считать набор т = (х(к),и(к)) е Б, где при к е К':

и(к) = (иё (к), тс (к)), тс е Бс (г, х(£), г/ (£)).

Задача оптимизации формулируется для верхнего уровня как задача о минимуме функционала

N N N

1 = ^ЛУк) = Ъ1ЛЯКхк,ик)) = ^/\к,хк,ик)

1 1 1

на множестве Б наборов т = {(хк,ик)}, к = 1..... Л', связанных указанными соотношениями сети и возможными дополнительными ограничениями вида (хк,ик) еВ(к), где В (к) - заданное при каждом к множество. Требуется найти минимизирующую последовательность {т,} с Б, т.е. такую, что 1(т ) —> ¿г^ I.

1 Б

Для решения этой общей задачи вводится множество Е элементов т , не связанных сетевыми условиями - равенствами },хк) = уг - на верхнем уровне и дифференциальными связями на нижнем.

Достаточные условия оптимальности для нее получаются по аналогии с динамическими дискретно-непрерывными процессами [9, 10].

Для номеров к е К' вводится дополнительно параметрическое семейство (с параметром г) гладких функций ср' :Я''1 1 —Строится соответствующая модификация обобщенного лагранжиана [9, 10]:

К'

где

N

Як = Я(к,х,и) = I,/(к,х,и)) - ср{1,к,%{к,/,х))) - /°{к,х,и),

1=1

где ср(к, /, ук), к, I = 1,..., N - произвольные функционалы, такие, что ср(к,1,ук) = 0, если равенство /(¿.у.хк) = у, отсутствует (отсутствует

связь I —>к).

& =

t-G(z,f) + J (Rc(z,t,xc(z,t),uc(z,t))-f*c(zj)dt,

Т(х)

N

С(2у) = ^(ср(к,1,ук)-ср(1,к,х {к, U хк))) + /=1

+ <pc(z,tI,xcI)-<pc(z,tP,xcP) + J juc(z,t)dt-Ik(e(z,ycf),

T(z)

Rc (z,t,xc,uc) = (pcJfc (z,t,xc,uc) + (pct (z,t,xc),

nc (z,i) = sup {Rc : xc e Xе (z,t),u e Uc {z,t, xc)},

где yk=6 (z, y°) при к e К', yk= f(k,x,u) при ieK\K'. Обозначим

¡u'(k) = sup {G(z, f): fer (z) ,x7c e Xе (z, t,),

4 e Xе(z, tF),ud e\Jd (к), x e X(fc)}. Легко убедиться, что L(m) = I(m) при me D, т.е. при выполнении отброшенных связей. Для этого рассмотрим вначале выражение для функции Rc . При выполнении дифференциальной связи в (3)

Rc (z, t,xc, ис) = ■ Тогда

J Rcdt= J ^-Jt = (pc(z,tP,xcP)-(pc(z,tI,xcI).

T(z) T(z) ™

С учетом этого, а также равенств %(к,1,хк) = yt (т.е. выполнения сетевых связей) получим

N

2Х=11М к,1,Ук)-<р(1,к,У1)) +

К' К' /= 1

+(рс (z,tj,xcj)-(pc (z,tP,xcP)+ J nc(z,t)dt-Ik(yk)~

T(z)

-qf (zjj^ + qf (z,tP,xcP)~ j ¡uc(z,t)dt.

T(z)

Тогда

N

K' K' /= 1

Окончательно имеем

K'

N N

= -^((р{к,1, X(0) - (P (/, k, X (k))) + X Ik (yk) = I.

к,1=1 k=1

Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть имеются последовательность дискретно-

непрерывных элементов {ms} a D и пара (ср,(рс) такие, что:

1) /Г (z. / ) - кусочно-непрерывна при каждом z ;

2) R(k,xs(k),us(k))^> ¡u(k) keK\K';

3) j (Rc(zs(k),tX(k,t),us(k,t))-Mc(zs{k),t)yt^O, ke К';

4) G(zs(k),7:(k))-ti'(k))^0, ke K\

Тогда {я?, } - минимизирующая последовательность / на D .

2. Решение задачи для бассейна реки

Представим рассматриваемую модель распространения загрязнений в бассейне реки как ДНС, на верхнем уровне которой находится сеть (дерево) операторов, а на нижнем - система из уравнения (1) и уравнения

^- = сг, <7(0) = о, at

где сг имеет смысл природоохранных затрат на единицу длины соответствующей камеры (здесь номер к также не указан).

Положим при к = 1,2,4 (операторы только со свободными входами):

= (4, **) =const> />(о) = рИ= 4i;

при к = 3,5:

Хк = (ХМ > Хк\ > Хк2 > Хк2 )> Pkl = Хк\ + Хк2 ■ Сетевые связи выражаются следующим образом:

■"•31 = У\ ' ХЪ2 = У2 > -"-SI = Уз > Х52 = У4 ■ Обозначим хс = (р, qf, у = хс (tP), к = 1,..., 5 . Тогда рассматриваемая дифференциальная система и функционал 1к для каждой камеры запишутся в виде

dxc

—— = Асхс + Всис + sc, 0<ис =ге[0,^тах].

I =С°хс

1к ^кЛкР>

где Ас = Здесь

~-А 0" "-1"

,ВС =

0 0 с

,sc={s,0)\C°k = [(!-&) рк].

6(z,yc) = ук = хскР, Гc(z) = {ус : tkI = 0,t№ = const,xckI = ккхк}, "10 10" 10 10

к, =

к = 3,5.

Оператор проектирования %(k,j,x)x в данном случае - линейная функция: %(к, j,x) = X(k,j)x, Л(к,j) - блочная матрица: Цк. 1) = [/■,' 0], Л(к, 2) = [0 Е].

Функции (р и (р° зададим линейными (с учетом линейности модели):

ср(к, l,yl) = wT (к, 1)у,), (рс (к, t,xc)=vc (к, 0 + у/сТ (к, t)xc. Выпишем соответствующие выражения для G и R . полагая = 0 :

Rc =y/cT[Ac(t)xc +Bc(t)uc +sc(0) + i/^V + vc,

G = H(wT ■l)KF -WT (l,к)Цк,l)x) +

i

+y/cT (к,0)ккх- y/cJ (к, tkF)x°№ - Ckxc№,

цс (k, t) = sup {Rc :uc e\Jc (к, f)} = 0.

Согласно рассматриваемому графу будем иметь 5 функций (р° нижнего уровня по числу дифференциальных операторов и 4 ненулевые функции (р верхнего уровня, соответствующие имеющимся сетевым связям,

т.е. все Iу(к,1) равны нулю, за исключением i//(l,3), i//(2,3), i//(3,5), У (4,5).

Из условий максимума Rc по хс и и°, G по хскР и х и = 0 получаем

vc =-sup {у/сТ (вс (k,t)uc +sc):uc е Vе}, г = -АсТ (к, t)Y (г1 = -А(к, t)y/cl, г2 = о),

Г {к, tp) = X ¥ (к, I) ~ cf, Kir {к, tj) = X (к, 1)у (/,*).

г г

Последнее равенство должно выполняться для операторов с занятыми входами (номера к = 3,5 ). Конкретно для ненулевых значений i//(£,/) :

Y (1, tlp) = W (1,3) - Cj01, Y (2, t2P) = W (2,3) - C20T, Wc (3, t3P) = W (3,5) - C30T, Y (4, tAP) = W (4,5) - C40T, Y (5, t5P ) = -C50T,

(3, t3I) = 1T (3,1)^(1,3) + (3,2V(2,3), (3) (5, t5P ) = (5,1V(3,5) + AT (5,2)y/(4,5), где кк и X1 (к, j) выписаны выше. После подстановки значений этих матриц получим

3) = W(2,3) = (3,0), О)" , у/(3,5) = у/(4,5) = (¥л (5,0), о)Т . Из уравнений (3) получаем

¥cl =уА{ЧР)еА^\ ¥л(к,0) = ¥л^кр)еА^,¥л =const = -C02T =-fik,

где

¥cl (t5P ) = -(!" Р5 X ¥cl (tkF) = -(1 - P5 )eAt" -(\-pk),k = 3, 4, ys*(tkF) = -(( l-p5)e"" + {\-ръ))еЛ^ -{\-(3k),k = \,2. В итоге получаются конкретные значения у/(к,1) и зависимости у/ (/).

Оптимальные управления находятся из условия Rc, которое, очевидно, сводится к следующему:

(y/c2(k,t)ck - If/cl (k,t)\r ^ max ,

®-r-rkmax

т.е. управление будет кусочно-постоянным со значениями 0 либо гктях в зависимости от знака функции переключения ij/c2{k,t)ck - i//d (к. I), которая, как видно, зависит от весов Рк. Последние подбираются так, чтобы для соответствующих распределений загрязнений по руслам выполнились заданные ограничения. При этом получаются следующие конкретные выражения для функций переключения Мк (tk):

M5(t5) = (\-/35)eA('^>-/35c5, Мк (tk) = (1 -Рк )eA«"+t»-V _ ркСк д = ЗЛ Мк (tk) = (1 -Рк )eA(t^+t^> - ркск, к = 1,2. Были проведены расчеты для условного бассейна, близкого по характеристикам к нижней части бассейна р. Селенги - главного притока оз. Байкал. Данные для расчетов содержатся в таблице.

Таблица

№ tP А с, млн руб. км4/т т/км4 т/км3 г шах ' т/км4

1 20 2.5 х 10~3 4 х 102 0.5 х 10~2 0.4 0.6 х10~2

2 30 3 х 10~3 103 0.2 х 10~2 0.3 х10ч 0.25 х 10~2

3 30 2.5 х 10~3 7 х 102 0.3 х10~2 - 0.35 х Ю-2

4 20 3 х 10~3 103 0.2х10~2 0.4 х 10ч 0.25 х 10~2

5 150 2.5 х 10~3 4 х 102 0.5х10~2 - 0.6 х10~2

Значения весов Рк задавались равными: (Зк = (3 . В этом случае непосредственно видно, что всюду гк =0.0 = О при р = 1, т.е. затраты отсутствуют, а загрязнение максимально, а при р = 0 гк = гк тк , т.е. интенсивность очистки всюду максимальна. Результаты расчетов для промежуточных значений р представлены на рис. 4-6.

Рис. 5 Рис. 6

Зависимость р5Р(0) (рис. 3) служит для выбора варианта стратегии природоохранной деятельности с учетом располагаемых ресурсов.

На рис. 4-6 показаны распределения управляющих воздействий гк (!) и соответствующих концентраций загрязнений p(t) во всех камерах при заданном значении суммарных затрат О = 300 млн руб. Видно характерное свойство оптимального решения при рассматриваемом критерии: экономия ресурсов производится в первую очередь за счет прекращения природоохранной деятельности на конечных участках бассейна (в данном случае - во всей камере 4 и на последних 45 километрах в камере 5), что по смыслу означает рациональное использование самоочищающей способности, представленной коэффициентом А.

Заключение

Описанная двухуровневая модель распространения примесей в бассейне реки на основе абстрактной сети операторов является новым шагом на пути иерархического представления систем неоднородной структуры - от чисто динамических к более общему классу систем сетевой структуры. Эта модель позволяет эффективно решать соответствующие сложные задачи оптимизации по принципу декомпозиции на однородные подсистемы и задачи, к которым применимы известные методы теории оптимального управления, ставшие уже классическими.

Упрощенное описание моделей нижнего уровня выбрано лишь для иллюстрации общего подхода; на самом деле он сохраняется и для значительно более сложных описаний, рассматриваемых при решении конкретных практических проблем, связанных с эффективным планированием водоохранных мероприятий как частью общей стратегии устойчивого развития соответствующей природной территории, например, такой как Байкальский регион.

Литература

1. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983.

2. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом / А.Б. Анохин и др. - Новосибирск: Наука, 1987.

3. Гурман В.И. Оптимизация дискретных систем: учеб. пособие. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1976.

4. Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем // ДАН СССР. - 1967. - Т. 172. № 1. - С. 18-21.

5. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.

6. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1977.

7. Krotov V.F. Global Methods in Optimal Control Theory. - New York: Marcel Dekker, 1996.

8. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. - М.: Наука, 1997.

9. Расина И.В. Дискретно-непрерывные модели и оптимизация управляемых процессов // Программные системы: теория и приложения: электрон. науч. журн. ИПС РАН. - 2011. - № 5(9). - С. 49-72.

10. Расина И.В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // АиТ. - 2012. - № 10. - С. 3-15.

Гурман Владимир Иосифович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, тел.: (48535)98053. E-mail: [email protected]

Фесъко Олесь Владимирович, аспирант, инженер ИПС им. А.К. Айламазяна РАН. E-mail: [email protected]

Раснна Ирана Викторовна, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин Сибирской академии права, экономики и управления (САПЭУ), г. Иркутск, тел. (3952)422869. E-mail: [email protected]

Giirman Vladimir Iosifovich, doctor of technical sciences, professor, principal researcher, Ailamazyan Program Systems Institute RAS, ph.: +7 (48535)98053. E-mail: [email protected]

Fesko Oles Vladimirovich, postgraduate student, engineer, Ailamazyan Program Systems Institute RAS. E-mail: [email protected]

Rasina Irina Viktorovna, candidate of physical and mathematical sciences, head of department of mathematical and natural sciences, Syberian Academy of Law, Economics and Management. E-mail: [email protected]