Моделирование влияния подшипников качения на демпфирования колебаний в зацеплении зубчатых колес Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.01 : 531

П. В. ДЯЧЕНКО (Черкаський державний технолопчний ушверситет)

МОДЕЛЮВАННЯ ВПЛИВУ П1ДШИПНИК1В КОЧЕННЯ НА ДЕМПФУВАННЯ КОЛИВАНЬ У ЗАЧЕПЛЕНН1 ЗУБЧАСТИХ КОЛ1С

На основ1 динам1чно1 схеми зубчастого зачеплення створено математичну модель дослщження впливу конструкцшних параметр1в шдшипнишв опор, таких як коефщент тертя, приведет маси та жорсткосп, на демпфування коливань у зубчастш передача Розв'язок модел1 отримуеться з використанням 1м1тац1йного моделювання у середовищ1 Simulink, з контролем достов1рност1 результата у систем! MathCad. Наводяться осцилограми дослщжуваних коливань та висновки на основ1 1х анал1зу.

Ключовi слова: динашчна схема зубчастого зачеплення, конструкцшш параметри шдшипнишв опор, тдшипник кочення, демпфування коливань, 1мггацшне моделювання, Simulink, MathCad

На основе динамической схемы зубчатого зацепления создана математическая модель исследования влияния конструкционных параметров подшипников опор, таких как коэффициент трения, приведенные массы и жесткости, на демпфирование колебаний в зубчатой передаче. Решение модели получено с использованием имитационного моделирования в среде Simulink, с контролем достоверности результатов в системе MathCad. Приводятся осциллограммы исследуемых колебаний и выводы на основе их анализа.

Ключевые слова: динамическая схема зубчатого зацепления, конструкционные параметры подшипников опор, подшипник качения, имитационное моделирование, Simulink, MathCad

On the base of dynamic scheme of toothing, a mathematical model for study of the influence of constructive parameters of radial bearings such as a factor of friction, reduced masses and stiffnesses on damping the vibrations in gearing is developed. The solution for the model is obtained using a simulation modeling in the Simulink environment with checking the validity of results in the system MathCad. The oscillograms of the vibrations under investigation and the conclusions on the base of their analysis are presented.

Keywords: dynamic scheme of toothing, constructive parameters of radial bearings, antifriction bearing, simulation modeling, Simulink, MathCad

Постановка проблеми

У зубчастих передачах, що належать до кла-су складних техшчних систем, основним i най-бшьш вщповщальним вузлом е кшематична пара з дшянками валiв, що обертаються на опорах з зосередженими або розподшеними маса-ми рiзного функщонального призначення, в залежност вщ типу зубчасто! передача

Точшсть, динамiчна навантажешсть, ресурс, продуктившсть, надшшсть зубчастих передач, перш за все залежить вщ рiвня коливань валiв i динамiчних зусиль на опорах. При цьому опор-ш шдшипники кочення або ковзання е най-бшьш шформативним елементом, що сприймае весь спектр коливального процесу i техшчного стану зубчасто! передача

Розробка математичних моделей досл> дження впливу шдшипниюв кочення на демпфування коливань у зубчастш передачi вимагае врахування специфiчних особливостей i сучас-них тенденцiй розвитку засобiв комп'ютерного моделювання та класифшаци зубчастих передач за частотним дiапазоном.

Аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй

При традицшному дослiдженнi динамiки зубчастих передач основна увага придшяеться

визначенню ампл^уд коливань зубчастих ко-лiс, однак найбшьший практичний iнтерес яв-ляють динамiчнi навантаження на опорах. Опори з шдшипниками кочення або ковзання здш-снюють додатковий вплив на коливання зубча-стих колiс [1, 2], зокрема, самi пiдшипники кочення е джерелами вiбрацiй i шуму. Коли-вання пiдшипникiв кочення виникають у ре-зультатi вiдхилення форми дорiжок i тiл кочення. Вщхилення форм кiлець i тш кочення шд-шипникiв впливають на довжину хвил^ а вщ-повщно i на частоту коливань. При цьому розрiзняють [2]:

- коливання велико! довжини хвилi (до 10-ти коливань за один оберт внутрш-нього кшьця), iз-за ексцентриситету у посадщ внутрiшнього кiльця на вал ротора, з частотою коливань, що дорiвнюе частой обертiв радiального биття ю-лець, з ампл^удою до 15 мкм;

- коливання середньо! довжини хвилi (10...60 коливань за один оберт внутрь шнього кiльця), iз-за хвилястостi дорь жок кочення, з ампл^удою ~ 1 мкм;

- коливання з малою довжиною хвилi (б> льше 60-ти коливань за один оберт вну-тршнього кiльця), iз-за впливу мшро-нерiвностей з амплiтудою ~ 0.1 мкм.

© Дяченко П. В., 2011

Вплив коливань зовшшнього кшьця шдши-пника, головним чином викликане циктчною змшою його навантаження. У зв'язку з наявню-тю пружних властивостей i змiни жорсткостi пiдшипникiв кочення при обертанш, !х резона-нснi частоти лежать в област 1...100 Гц [3]. Вимiрювання вiбрацiй пiдшипникiв зазвичай виконують у радiальному напрямi, при непо-рушному зовнiшньому кiльцi, i внутрiшньому, що обертаеться.

Дослiдження шдшипниюв кочення в якостi опор ватв зубчастих передач показало [3], що частота основного резонансу валу лежить в межах 200... 800 Гц, а спектр вiбрацiй тдшип-ника значно ширший - 20 Гц.10 кГц. Експе-риментальнi данi показують [3], що максимум штенсивносп частот спектрiв шдшипниюв зо-середжено у дiапазонах частот 600.700, 1400.1500, 7200 Гц. Найбшьше зниження вiб-рацiй вiдбуваеться для високочастотно! складо-во! спектру 400.900 Гц. Спектр частот у низь-кочастотнш областi у межах 50.150 Гц майже однаковий для вшх пiдшипникiв. Таке прот> кання динамiчного процесу дало змогу визна-чити методику виявлення дефектiв тдшипни-

юв кочення у системi при занижених швидко-стях обертання i виявити частоти, викликаш дефектами у дорезонанснш зонi з наступним !х аналiзом.

Метою статт1 е дослiдження динамiчного стану зубчастого зачеплення, в залежносп вiд масо-жорсткiсних та демпфуючих параметрiв пiдшипникiв опор, та виявлення найбшьш не-сприятливих режимiв його роботи.

Основна частина

На рис. 1.1 обертальна система пари зубчастих колю подана у виглядi мас ть т2, що ру-хаються поступально на жорсткостях зачеплен-ня С\, С2 i опор С. Дану схему можна подати у вигщщ е^валентно! схеми (рис. 1.2), де приведена маса частин тдшипника т2пр, що обер-

таються, i приведена маса шестерш т1пр здшс-

нюють коливання вщносно нерухомого перер> зу, що проходить через вузол коливань а, зо-бражений на схемi рис. 1.1.

С

т2 w т1

С1

С2

т

2пр

И2

С

т1 w т2

Т

И2

С

пр

т

1пр

Сз=Сзф

1-4

р(1) |

1)

а 2)

Рис. 1. Динашчна схема зубчастого зачеплення з урахуванням шддатливосп опор:

1) основна схема, 2) еквшалентна схема

Наведена схема дозволяе розглядати коли- кщю демпфуючого елемента виконуе сам шд-вальний процес зубчасто! передачi у виглядi шипник. Диференцiальнi рiвняння, що опису-коливань механiчного демпфера, у якому фун- ють коливальний процес, мають вигляд:

т

1пр

¿1 + СзЦ)+ С (^ - г2) + ^¿1 + ^(¿1 - ¿2) = Р(*);

т

2пр

¿2 + Спр (¿2 - ¿1) + ^¿1 + - ¿1) = 0.

(1)

Прийнятi позначення:

Сь С2 - лiнiйнi жорсткосп зубцiв першого i другого колю, що залежать вщ !х крутильно! жорсткостi к\, к2;

Сз =

СС

12

С, + С2

приведена жорсткiсть зачеп-

лення, що е перюдичною функцiею часу або

кута повороту Сз = Сз(0 або Сз = Сз(ф). Змшну жорсткiсть зачеплення можна подати на схемi у виглядi декiлькох пружин (особливо для косо-зубого зачеплення), пар зубщв, що послiдовно вступають у зачеплення при поступальному перемщенш основи;

Спр - приведена жорсткють пiдшипникiв;

р ^) = ^ Fi 8т(ю/ + в г) - збурююча сила;

г

Н\, Н2 - коефiцiенти демпфування у зачеп-леннi й опорах;

¡1, z2 - перемiщення центрiв мас шестерш й пiдшипника.

За спрощуючих умов, система рiвнянь (1) мае анаттичний розв'язок, у загальному випа-дку розв'язок отримуеться шляхом комп'ютер-ного моделювання. Такий розгляд пiдшипника

як демпфера, особливо у випадку порожнистих тiл кочення у пiдшипнику, дае змогу керувати вiбрацiйним процесом i намiтити шляхи норму-вання шдшипниюв залежно вiд вiбрацiйних режимiв.

Для створення електронно! моделi розв'язування запишемо систему рiвнянь (1) вiдносно старших похщних '¿1, ¡2:

Сз + С

Сп

т1пр

к2 - \

ш.

1пр

ш.

1пр

ш,

1пр

ш

-р (г);

1пр

Сп

Сп

ш

2пр

ш

2пр

ш

2пр

ш

(2)

2пр

Введемо такi позначення:

Сз

• = он;

С

2. пр

= ю

ш

ш

1пр

= п

■ = п

ш

Сз 2 Спр -= ©2.-~

= а

ш

ш

2пр

■ = п,,

• = п

ш

ш

1пр 1пр 1пр ш1пр 2пр 2пр 2пр 2пр

Система рiвнянь набувае вигляду, зручного для побудови структурно! схеми !! розв'язування.

¡¡1 =-(П11 +п21 ) +п21 2 -(ю12 + ю12пр )zl +ю12пр Z2 +—р ({У;

ш

1пр

¡2 = -п22z2 + (п22 - п12) ¡1 + ©2™¡1 - ю2™

2пр 1

2пр 2-

(3)

Завдання на аналогове програмування р> шення системи рiвнянь (3) передбачае таю по-чатковi данi [6]:

- систему диференщальних рiвнянь;

- початковi умови;

- значення постшних коефiцiентiв рiвнянь;

- iнтервал розв'язку задачу

- орiентовнi граничнi значення змшних для розрахунку масштабiв;

- перелш вхiдних змiнних i бажаний спошб !х реестрацп;

- додатковi вiдомостi, що випливають зi спе-цифiки задачi i програми передбачуваних дослщжень.

Частина вхiдних даних може уточнюватись у процес розв'язування задачi (наприклад, гра-ничнi значення змшних, штервал розв'язку то-що).

Блок-схема розв'язування системи рiвнянь (3) будуеться за правилами, прийнятими у аналоговому моделюваннi [6], i зображена на рис. 2. Блоки, що використовуються для !! побудови, наведет у табл. 1.

Таблиця 1

Блоки для побудови схеми розв'язування системи р1внянь (3)

Блок Призначення блоку

-(Б- - блок множення на постiйний коефiцiент (може бути константа або вираз);

- змша знаку вхiдно! величини на протилежний;

- обчислення обернено! величини;

шЩ- - суматор вхщних величин;

- штегратор вхiдно! величини.

П22

1 1

Рис. 2. Блок-схема моделювання системи р1внянь (3)

Для переходу до структурно! схеми роз- Промiжнi параметри модел^ точки блок-схеми,

в'язування системи рiвнянь (2) необхщно ввес- у яких вони дiють та схеми !х реатзаци, наве-

ти у розгляд вхiднi, вихiднi та промiжнi пара- деш у табл. 2. У наведених у таблиц схемах

метри модель Вхщними параметрами е: к\, к2, реатзаци, крiм введених ранiше, використову-

т1пр , т2пр, Сз, Спр, вихiдними - ¿1, ¿2. ються блоки: © - додавання, ® - множення.

Таблиця 2

Обчислювальш операци та схеми \х реа. мзацГГ

Таблиця 2 (заынчення)

• _ h2

П21Z2 __ Z2

m.

1пр

h 2»

4

—X F sin(œ,t + ß, )_

т1пр ,

_ F (t )

m.

1пр

F1sin(®it + Д)«->

F2 sin(®2t + _^

I

Fn Sin(®„t + ßn)в-Ы

mi„p»—M

-Kg)-*

1

x

(n22 - ni2 ) zi_ h^-hl zi m2np

h2» hi

m.

6

C

2 _ пр

®2пр Zi--•

m.

2пр

Zi ♦

с m

7

C

2 _ пр

-®2прZ2_ -Z2

m

2пр

Zr

A

8

П22 Z2

m

2пр

На ochobî системи р1внянь (2), з викорис-танням функщональних блоюв обчислюваль-них операцш (табл. 2), створюемо структурну схему моделювання ще! системи (рис. 3). Реал1-защя наведено! на рис. 3. структури може бути здшснена у моделюючому середовищ1 Matlab-

h2

m

«-»gH-7

2np

Simulink [5]. Створена на ïï основ1 1м1тацшна модель (рис. 4) забезпечуе можливють введення числових значень вхiдних параметр1в; гармош-чного та 1мпульсного збудження коливань у динам1чнш систему в1зуальне спостереження коливань вихщних параметр1в за допомогою

1

2

3

2

4

5

i

6

7

8

2

h

2

9

2

i

x

вiртуального приладу «осцилограф». Вiдтво- генератора синусо!дального сигналу та обме-рення змшно! жорсткостi зачеплення забезпе- жувача ампл^уди (рис. 4). чуеться використанням послщовно з'еднаних

Рис. 3. Структурна схема моделювання системи р1внянь (2)

Рис. 4. 1мггацшна модель ршення системи р1внянь (2)

Створена iмiтацiйна модель (рис. 4) допов-нюеться засобами перевiрки !! достовiрностi. Ефективним методом тако! перевiрки е ствста-влення отриманих осцилограм коливального процесу, що вiдбуваеться при однакових умо-вах у iмiтацiйнiй, та створенiй окремо, альтер-нативнш !й моделi. У якостi альтернативно! використовуеться створена засобами MathCad математична модель, на основi системи рiвнянь

(2). Для отримання альтернативно! моделi не-обхiдно систему двох диференщальних рiвнянь другого порядку (2) перетворити на систему чотирьох рiвнянь першого порядку. Викорис-товуючи метод замши змшних [6], введемо для системи рiвнянь (2) таю позначення:

Система (2)

zi _ xi,

zi _ Х2,

z2 Х3,

z2 _ x4 .

набуде вигляду:

m.

1пр

Сз + С

" Хл

m

1пр

m

1пр

Сп

т1п

m

-F (t );

1пр

h2 - h1

Сп

Сп

m

m

пр пр

Х4 I Xi Х3.

т2пр m2

(4)

2пр 2пр 2пр 2пр

У середовищi MathCad система (4) мае вигляд:

х2

F(t,x) :=

-(hi + h2) -X2 + h2-X4 + (-cz + cpr) -xi - cpr-хз + f mi

X4

(h2 - hi) -X2 - h2-X4 + cpr-xi - cpr-хз

трукцiйних параметрiв пiдшипника ( m.

2пр

h.

(5)

Для проведення модельного експерименту задаемось початковими числовими значеннями вхiдних параметрiв: hi = i н-м-с/рад; h2 = = i00 н-м-с/рад; т1пр = 0,i кг, т2пр = i,8 кг,

Сз = i5000 н-м/рад; Спр = 80000 н-м/рад;

F(t) = i0 н. Для отримання розв'язку системи (5) у MathCad використовуемо вбудовану фун-кщю rkfixed(x, t1, t2, n, F), параметрами яко! е: x - iм'я змiнноï системи рiвнянь; t1 = 0, t2 = 2 -часовий штервал розв'язку системи рiвнянь; п = 50000 - юльюсть точок розв'язку; F - iм'я функцiï, визначено].' користувачем. Розв'язок системи вiдшукуеться при нульових початко-вих умовах, для цього у MathCad задаеться вектор початкових значень змiнних х = (0, 0, 0, 0).

Метою проведення модельного експеримен-ту е встановлення закономiрностi впливу конс-

Спр ) на демпфування коливань у зубчастш пе-

редачi. Суть експерименту полягае у тому, що змшюючи значення конструкцшних параметрiв шдшипника (кожного окремо, при рештi не-змiнних), фiксуеться значення коефiцiента ди-намiчностi Кд коливного перехiдного процесу

т2

змiни вихiдно! величини ¡2. Коефiцiент динамi-чностi Кд визначаеться з виразу Кд = Атах/Ауст , де Атах - максимальне значення перемiщення центру мас шестерш, Ауст - його усталеного значення. У процеш проведення модельного експерименту числовi значення вхiдних пара-метрiв будемо змiнювати у межах ± 100 % вiд початкових, з кроком А = 10 %. Отримаш осци-лограми коливань зубчасто! передачi наведенi на рис. 5.

Висновки

1. Осцилограми коливань центрiв мас еле-менпв зубчасто! передачi, отриманi на iмiта-цiйнiй Simulink-моделi, повнiстю iдентичнi вщ-повiдним графiкам, отриманим у системi MathCad, що пiдтверджуе достовiрнiсть ство-рених моделей.

2. Вщношення амплiтуд коливань центрiв мас колеса i пiдшипника для вшх режимiв складае z2/zl = 0,004/0,00075 » 5,3.

3. Частота коливань зубчастого колеса зале-жить тiльки вiд масо-жорсткiсних параметрiв самого колеса. Змша конструкцiйних парамет-рiв шдшипника на частоту коливань колеса не впливае.

22

А

тл/ л У

1 -V

1

н2- = 100

22

Л

1

п.

: к2 = 200

1)

2)

3)

Л 22

\ 21 /"

V

1 т2пр = 0.5

Л22

1

"1 21/

J ^

| "

т2пр = 1.8

22

А

\ Л Л Л

-1 1 21 Ш -Л 1\и

V 7 ч \7^ \Г \ <1/

V

11 т2пр = 3.6

4)

5)

6)

22

Спр = 2500

пР *2пр

7, 8, 9 - при к2 = 100, т2пр = 1,8, Спр = 2500; 5000; 10000

А

22 |

А А 1

21

Аг \П г

С = ' пр 0000 У

7) 8) 9)

Рис. 5. Осцилограми коливань ценгрш мас пвдшипника та шестернi ^2): 1, 2, 3 - при т2пр = 1,8, Спр = 5000, кг = 50, 100, 200;

4, 5, 6 - при кг = 100, Спр = 5000, т2пр = 0,5; 1,8; 3,6;

4. Анал1з осцилограм 1 - 9 (рис. 5.) вказуе на те, що:

- збшьшення значення коефщ1ента демпфу-вання шдшипника Н2 призводить до змен-шення коефщента динам1чносп коливань зубчастого колеса (осц. 3, рис. 5), що вщпо-вщае зменшенню часу затухання коливань. При збшьшенш к2 удв1ч1, вщ 100 до 200 (осц. 2, 3, рис. 5), зменшення коефщента динам1чност1 складае - Кд = 0,003/0,0012 = 2,5 рази. Вщповщно час затухання колив-ного процесу зменшився у 2/1,5 ~ 3 рази (осц. 2, 3, рис. 5). При змшюванш значення Н2 у широких межах, можна видшити дшя-нки нестшкого, коливального та стшкого (аперюдичного) режиму роботи зубчастого

зачеплення. Вказаш дшянки позначен! вщ-повщно як 1, 2, 3 на графшах (рис. 6). Зале-жнють коефщ1ента динамши Кд вщ параметра Н2, границ дшянок режим1в роботи зу-бчасто! передач^ та вщповщш !м значення Кд 1 И2 вщображеш у табл. 3 та прошюстро-ваш графшом 1 (рис. 6); - збшьшення приведено! маси шдшипника т2пр, веде до збшьшення значення коефщ>

ента динам1чност1 коливань зубчастого колеса (осц. 4, 5, 6, рис. 5), вщповщно збшь-шуеться { час затухання коливного процесу. Збшьшення значення параметра т2пр вдв1ч1 викликае збшьшення коефщента динам1ч-носп у ~ 1,1 раз1в. При зменшенш т2пр до

нуля стшкого режиму роботи зубчасто! пе-редачi не спостерiгаeться (графiк 2, рис. 6.); - збшьшення приведено! жорсткост тдшип-ника Спр призводить до збшьшення коеф>

цieнта динамiчностi коливань зубчастого колеса (осц. 7, 8, 9, рис. 5). При збшьшенш Спр удвiчi зростання Кд складае

0,003/0,0023 « 1,3 рази (осц. 7, 8, рис. 5). Графш залежносп Кд( Спр) наведено на

рис. 6.3. Даш розподшу значень Спр мiж д>

лянками режимiв роботи зубчасто! передачу його граничнi значення, та вщповщш значення Кд зведенi у табл. 3.

Таблиця 3

Залежшсть режиму роботи зубчастоТ передачi ввд параметрiв тдшипмика

Конструкцш-ний параметр шдшипника Режим роботи зубчастого зачеплення та вщповщне йому значення параметра

h2 Стшкий Коливальний Нестшкий

> 300 300...52 < 52

Значення коефщента динам1чност1 - Кд

< 8-10-4 8-10-4... 3,5-10-4 >3,5-10-4

т2пр — < 5 > 5

— < 0,032 > 0,032

C пр < 50 50.11500 > 11500

< 5-10-3 5-10-3... 4-102 > 0,04

1 пл m

[ 62 300

5:

1

1 у

ш \/ И

1

1 i5

1 i

1

rti m i m

1 i

1 i

i 50 i 1115 00

1)

2)

3)

Рис. 6. Залежшсть коефщента динам1чност1 ввд змши параметр1в шдшипника:

1 - вщ коефщента демпфування K,(h2); 2 - ввд маси Кд( т2пр ); 3 - в1д жорсткост Кд( Спр )

5. Залежносп Кд(й2), Кд( ш2пр) е нелшшними, Кд( Спр) - лшшною.

6. Оптимальними, у розумiннi найсприятли-вiшого режиму роботи зубчасто! передач^ що вiдповiдае дiлянцi 3 (рис. 6), е таю сшввщно-шення параметрiв зубчастого колеса та шдшипника: И1/И2 = 1/300 = 0,0033, ш1пр/ш2пр = 0,1/5 = = 0,02, Сз/Спр = 15000/50 = 300.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Абрамов, Б. М. Колебания прямозубых зубчатых колес [Текст] / Б. М. Абрамов. - Х.: ХГУ, 1968. - 175 с.

2. Генкин, М. Д. Виброакустическая диагностика машин и механизмов [Текст] / М. Д. Генкин, А. Г. Соколова. - М.. Машиностроение, 1987. -288 с.

3. Галахов, М. А. Динамика шарикового подшипника при радиальной нагрузке [Текст] / М. А. Галахов, В. К. Коршунов // Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 1979. - № 8. - С. 12-16.

4. Дьяконов, В. П. Справочник по MathCad PLUS 7.0 PRO. Универсальная система математических расчетов [Текст] / В. П. Дьяконов. - М.,

1998.

5. Гультяев, А. Имитационное моделирование в среде MATLAB-5.2. Практическое пособие [Текст] / А. Гультяев. - СПб.: Корона принт,

1999. - 288 с.

6. Виттенберг, И. М. Программирование аналого-цифровых вычислительных систем [Текст] : справочник / И. М. Витенберг, М. Г. Левин, И. Я. Шор; под ред. И. М. Витенберга. - М.: Радио и связь, 1989. - 288 с.

Надшшла до редколегп 09.11.2010. Прийнята до друку 24.11.2010.