CC BY
24
РАДИОТЕХНИКА.^^.,
УДК 517.87; 537.958
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ CHIRPING-ЭФФЕКТА НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В БЕЗГРАНИЧНОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
СЛИПЧЕНКО н.и.
Рассматривается аналитическое решение задачи преобразования плоской монохроматической волны конечными во времени синхронными последовательностями прямоугольных периодических импульсов диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также проводимости безграничной среды. Решение задачи осуществляется с помощью метода интегральных уравнений. Определяются точные выражения для компоненты электрического поля при положительной полуоси времени в любой точке пространства. Проводится физический анализ полученных выражений.
1. Введение
Прогресс в развитии средств связи и зондирования объектов позволяет выделить аспекты теоретического исследования распространения электромагнитных волн в различных средах в отдельный раздел теоретической физики. Несмотря на то, что все процессы в природе являются в обобщенном смысле нестационарными, большинство исследований, связанных с распространением электромагнитных волн в различных средах, предполагали независимыми от времени материальные параметры сред [1-10]. Однако современный уровень развития средств передачи информации, зондирования объектов и создания различных оптоэлектронных устройств [11-25] требует все чаще учитывать зависимость проводимости и проницаемостей сред от времени при решении соответствующих электродинамических задач.
Особый интерес на данном уровне развития оптических и оптоэлектронных приборов приобрело влияние на распространение электромагнитных волн такого паразитного эффекта, согласно которому при модулировании полупроводникового лазера пакетом импульсов тока материальные параметры среды лазера также меняются импульсно, что приводит к вредной динамической модуляции длины волны генерации. Этот эффект в литературе получил название “chirping” [26,27]. Такое изменение параметров можно моделировать ограниченным во времени синхронным периодическим изменением.
В данной работе предлагается модельная задача для учета влияния chirping-эффекта на распространение первичной плоской монохроматической электромагнитной волны, согласно которой безграничная магнитодиэлектрическая среда под действием chirping-эффекта в нулевой момент времени становится проводящей, а проводимость и проницаемости данной среды на конечном временном интервале синхронно изменяются во времени по закону прямоугольных периодических импульсов. Предполагается, что на числовые значения амплитуд импульсов, их длительности, а также скважности и количество импульсов в последовательности не накладываются никакие ограничения.
Получены точные выражения для преобразованной компоненты электрического поля, которые позволяют вычислить ее величину в любой момент времени (t > 0 ) в любой точке пространства. Проведен детальный анализ полученных выражений, включая их численный анализ на интервалах, где материальные параметры среды соответствуют значениям состояния среды до ее возмущения. Здесь и далее в работе данные интервалы времени постоянства параметров среды будут называться интервалами покоя.
2. Общие соотношения для электрического поля в импульсно-периодической нестационарной среде
Пусть диэлектрическая, магнитная проницаемости и проводимость среды изменяются во времени по закону
s(t) = Єо +
+ (Si - so) Z{?(t - (k - W) -0(t - T1 - (k - 1)T)},
k=1
M(t) = Mo +
+ (M1 -Mo)S&(t-(k - 1)T) -0(t-T1 -(k - 1)T)},
k=1
a(t) = 0-1 Zfc(t - (k - 1)T) - 0(t -T1 - (k - 1)T)},
k=1
(1)
где £o и Mo — соответственно, диэлектрическая и магнитная проницаемости невозмущенной среды (t < o ); ^1, М1 и о! — соответственно, диэлектрическая, магнитная проницаемости и проводимость возмущенной среды (t > o); z"1 — длительность импульсов; т 2 — их скважность, а T = z! + т2 — период возмущения параметров среды. Тогда, согласно результатам работы [28], электрическая компонента преобразованного поля на любом ин -тервале n постоянства параметров среды определяется формулами
t да
En (t,x) = Fn (t, x) + Jdt' Jdx' Rn(t,t\x, x')Fn(t\x'),
tn-1 -<» n—1 6 ^
Fn (t, x) = Eo(t, x) + Z J dt ' J dx' Ki (t, t ', x, x' )Ei (t ', x').
i=1 ti _1 -да
(2)
4
РИ, 2002, № 1
Здесь Eq (t, x) — функция поля первичной волны, существующей до момента времени t = 0 ; Rn (t,t, x, x') и Kn (t,t , x, x') — соответственно, резольвента и ядро интегрального уравнения Воль-терра второго рода со свободным членом F(t, x):
t ^
E(t, x) = F(t, x) + J dt' J dx' K(t, t, x, x' )E(t, x'), t > 0, (3)
0 —да
описывающего поведение электрической компоненты поля в нестационарной безграничной среде [29], нестационарность которой обусловлена изменением во времени ее материальных параметров по законам (1), причем решение данного уравнения может быть получено из формулы
t да
E(t, x) = F(t, x) + J dt' J dx' R(t, t', x, x' )F(t', x'), t > 0.(4)
0 —да
Используя подход работы [28] и учитывая, что резольвента интегрального уравнения (3) является решением интегрального уравнения Вольтерра второго рода [29]:
(n - 1)T < t <ті + nT, n = 1,.., N :
Kn (t, t', x, x’) = [і - m2 ^(t -1’)S(x - x’) -
2 [ 1 $
m CT1 H—(1 - a2m2) —[£(vo(t -1') - lx - x'l),
2
dt
Rn (t, t, x, x') = [і - і/m2 ]^(t -1')S(x - x') -
і a+f° dp _)
T- J —( p ~^1)
2vl a_im 2™
|x-x'| I 2 _ 2 p(t-t' )J-L Vp 2-Щ2
(1 - a2m2) p + (1 + a2m2)o'i
і
2 —2 p -°1
a
e
>
(8а)
73 + (n — 1)T < t < nT, n = 1,..., N: Kn (t, t ', x, x') = 0 = Rn (t, t ', x, x').
3. Электрическое поле в периодически нестационарной безграничной среде
(8б)
Пусть функция Eo(t, x) описывает электрическую компоненту плоской монохроматической волны единичной амплитуды
Rt, t’, x, x') =
t да
= K(t,Ґ,x,x)+fdt" Jdx"K(t,t",x,x”)R(t",t’,x”,x’), (5)
0 —да
можно получить, что в случае скачкообразных изменений параметров безграничной среды во времени, описывающихся по законам
s(t) = eod(-t) + еф($), p(t) = Poe(-t) + M1#(t), a(t) = a фУ),
ядро и резольвента интегрального уравнения (3) будут иметь вид
(6)
K(t,t',x, x’) = [і - m2]^(t -1')S(x - x') -
- ~2 М + ^(1_ a2m2)^\$Фо(t -1') - |x - x j),
a I 2 a J
R(t, t', x, x') = [і - і/m2]^(t -1')8(x - x') -a+lx dp
1 “"7” dp _ (1 - a2m2)p + (1 + a^m^)сі
— J т-(p _0’і)-----------1 „ „--------
22
2v
, 2m
1
2 —2 p ~°1
x - x 2—2
p(t-t'н--L Vp2 -щ2
e v1
(7)
где 0(t) — единичная функция Хевисайда; a >a 1,
m 2 =4 Pol Мі , Re(4 p 2 -a2) > 0; a = VW e1,
51 = 2жсгіІЄ1Р1, V1 = cj-\єіРі ; c — скорость света в вакууме; 8 (t) — дельта-функция Дирака. Далее, вновь используя подход работы [28] и формулу (7), можно получить выражения для ядра и резольвенты интегрального уравнения (3) в случае изменения во времени параметров среды по законам (1) в виде
E0(t, x) = el(at - kx\ к = ю/ v0. (9)
Подставив (8) и (9) в формулу (2), получим выражения для преобразованного электрического поля на первом периоде изменения параметров среды:
Е (t, x) =
= qV^y (Qt~kx) + сф-°і{е-і(П{+kx), 0 < t <Th (10)
где
C± _ 2m2 (a2m2 - 1)a - 2<Гі(<Гі + z'Q)
^^1 _a ,
2/Q(or1 + i(a + Q))
Г, I 2 2 2 ^2"
L2 = yj am w -Сі ;
E(t,x) = A1ei(mt~kx) + B1e-i(M+kx), 4 < t < T, (11)
здесь
A1 =-
є-(щ +ШЕ1 r_ 2 о i®
-^i^^-1 + (1 - am^^
^ I CTj -i(P. + a) eiQ4 CTj + i(P.-a) e-iQ4 I [сті -i(Q-o) сті + i(Q + o) J’
e-(еі-трі r 2 2 іюл
B1 =------^------j Сті - (1 - a 2 m 2)—I sin(Qz-1).
Подставив, далее, выражения (8а),(8б)-(11) в формулу (5) и использовав метод математической индукции, получим рекуррентные соотношения, описывающие эволюцию электрического поля на произвольном периоде изменения параметров среды, начиная со второго (n = 2,...,N ):
Е (t, x) =
= Ch + D++ C~ + D~'y°\te-i(nt+kx)7 (12)
(n - 1)T < t <71 + (n - 1)T,
РИ, 2002, № 1
5
Здесь
/-»+ 2 2 л
Cn = a m A,
(a2от2 -1 )m - 2ui (o~i + iQ) e(n-\)(o\+i(Q+m))T n_1 2iQ(i(® + Q) + o:1) ’
2 2 ___________ ___ _
D± = a2m2B (a m -1)m- 2^1(^1 + iCL) e(n-1)(^i+i(Otrn))T
n n~1 2iQ(i(®+Q) + 04) ,
E(t, x) =
= Anel(at~kx) + Bne_i(fflt+kx), r1 + (n - 1)T < t < nT, (13)
где
An =-
e~(a1+iW)T1 l_ „ 2 24 i©
-^^Г1+(1 -a m)T
I A.
n—1
^o~1 ~i(Q + ©) eim1 _ e-iQr1 ^
CT1 - i(D.-m) о"1 + i(Q+®)
+ 2iBn_1e~2im(n~1')T sin(Огд},
e~(a1~iw)T1 f_ (1 2 2ч i©
-- "^^Г1"(1" am A
Bn =--
) Bn—1
^1 -i(P.-m) eiQ4 a! + i(P. + a) e_iQqЛ
(71 - i(Q + ®) ct 1 + i(D.-a)
+ 2iAn_1e2ia(n~1)T sin(Qr1)| .
Физический анализ (10)-(13) будем осуществлять с использованием подхода, выработанного для анализа выражений, описывающих преобразованное поле в работе [30].
Как видно из формул (10)-(13), изменение во времени параметров безграничной среды по закону конечной последовательности периодических прямоугольных импульсов приводит к расщеплению первичной монохроматической волны на прямую и обратную монохроматические волны. Абсолютные значения волновых чисел новых волн совпадают с абсолютным значение волнового числа первичной волны, а их амплитуды и частоты являются кусочно-постоянными функциями времени. Нетрудно заметить, что в случае большой проводимости (ст1 > am ) частота волн становится мнимой, а образовавшиеся волны — апериодическими.
Отметим, что выражения (10) и (11) в пределе при a ^ 1 и m ^ 1 совпадают с соответствующими выражениями работы [22], которые описывают преобразование поля плоской монохроматической волны, вызванное импульсным изменением во времени проводимости безграничной среды.
Рассмотрим теперь состояние поля в конце модулирующего пакета из N импульсов как функцию количества импульсов n . Для этого необходимо провести анализ коэффициентов An и Bn. Перепишем выражения для этих коэффициентов в виде системы двух рекуррентных соотношений:
(A„1 = e-“»2 (fAn -e-2“»2h*B„ Kn = e1"'2 (- he 2““2 A„ + f ’ B„
n = U N; (14)
где введены параметры, не зависящие от номера периода:
f = (e i(t1 t2)/2q)jzqcos(q^) + i(1 + a2m2)sin(qt^j,
h = (ei(t1 _t2)/2q)jzs - i(1 - a 2m 2)}sin(qr1),
s = oi/ со, q A a 2 m 2 - s2 , й =mT1, t2 =mT.
Введя новые обозначения для амплитуд
an = Anein'2 , bn = Bne~in'2 , выражения (10)-(13) перепишем в матричном виде:
' an+1 ^
Vbn+1 у
= e ~st1 R
(r, \
V bn J
a1 = fe st1, b1 = ~he st1, (15)
где R =
C *\
! f - h A
v-h f.
Использовав метод математической индукции, перепишем рекуррентное матричное соотношение (15) в виде
f an+1Л Vbn+1J
= e - nst1 Rn
(16)
Возведение матрицы в степень n дает, что [31]
n
Rn = Un _1(ReCf))R - Un _ 2(Re(f))Z,
здесь Un (x) — многочлен Чебышева второго рода
порядка n; I — единичная матрица. Раскрыв матричное соотношение (14), получим выражения
для амплитуд прямой и обратной волн на (n +1) - м периоде изменения параметров среды:
An+1 = e-(n+1)(st1 +it2) х х {( f 2 + hi2 ^Un_1(Re( f)) - Un_ 2 (Re( f)) f
Bn+1 = -he~(n+1)(st1~it2) x
4f+f"U n-1(Re( f)) - Un_2(Re( f))} .
(17)
В данной работе проведена численная оценка амплитуд прямой и обратной волн для типичных значений величин a, m и s полупроводника типа InGaAsP (a « 1, м~ 1, b « 0.05) [32]. Эти расчеты показали, что импульсно-периодическая модуляция диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также проводимости среды может приводить к тому, что амплитуды прямой и обратной волн по абсолютной величине становятся больше амплитуды первичной волны. Это превосходство в пассивных средах (а > 0) может достигаться не только из-за изменения диэлектрической и магнитной проницаемостей (рис. 1-4), но и в результате изменения проводимости среды для амплитуды прямой волны, как показано на рис. 5.
6
РИ, 2002, № 1
Рис. 1. График зависимости модуля амплитуды прямой волны An от относительного изменения диэлектрической проницаемости а для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды (1 — n = 3 ; 2 — n = 4 ; 3 — n = 5 ) при 5 = 0.005 , m = 1.1, ti = 1, t2 = 5
Рис. 2. График зависимости модуля амплитуды обратной волны Bn от относительного изменения диэлектрической проницаемости а для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды (1 — n = 3 ; 2 — n = 4 , 3 — n = 5 ) при 5 = 0.005 , m = 1.1, ti = 1, t2 = 5
Рис. 3. График зависимости модуля амплитуды прямой волны An от относительного изменения магнитной проницаемости m для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды (1 — n = 3 ; 2 — n = 4 ; 3 — n = 5 ) при 5 = 0.005 , а = 0.85 , t1 = 1, t2 = 5
m
Рис. 4. График зависимости модуля амплитуды обратной волны Bn от относительного изменения магнитной проницаемости m для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды (1 - n = 3 ; 2 - n = 4 ; 3 - n = 5 ) при 5 = 0.005 , а = 0.85 , t1 = 1, t2 = 5
5
Рис. 5. График зависимости модуля амплитуды прямой волны An от относительного изменения проводимости 5 для разных количеств возмущающих импульсов параметров среды (1 — n = 3 ; 2 — n = 4 ; 3 — n = 5 ) при m = 1.1, а = 0.85 , т = 0 , t2 = 5
Как видно из рис. 5, усиление прямой волны за счет изменения проводимости среды имеет место в случае коротких возмущающих импульсов.
Численное исследование выражений (17) также показало, что многочлен, стоящий в правой части второго равенства в (17), при определенном подборе параметров n , 5, а , m , t1 и t2 обращается в ноль (рис. 2, 4). Это означает, что при определенном подборе параметров n, 5, т, rd и тт обратная волна исчезает. Таким образом, если при некоторых значениях параметров n , 5, а, m , t1 и 12 амплитуда прямой волны по абсолютному значению будет превосходить амплитуду первичной волны, а амплитуда обратной волны будет равна нулю, то имеет место режим усиления первичной волны.
Важная особенность поведения амплитуд прямой и обратной волн при переходе от периода к периоду может быть определена исследованием поведения
РИ, 2002, № 1
7
отношений an+i/an и bn+i/bn при изменении числа n возмущающих импульсов.
Преобразуя матричные выражения (16), будем иметь
an+1 = f _ h_ a J F
bn+1
bn
= f - hFn
(18)
где Fn = an/bn. Выполняя в (16) деление верхнего равенства на нижнее, в предположении неравенства нулю амплитуды обратной волны (т.е. исключая режим запирания обратной волны), приходим к рекуррентному соотношению для Fn :
Fn+1 -
- h + fFn
f - hFn (19)
Проведем анализ выражения (19). Для отношения на первом периоде будем иметь
2 2
F _ a1 _ f _ 24ctg(qTl) + К1 + a m ) e~2i(r\ -T)
Fl ~ h — 2s-i(1 - a 2m2) '<2°)
Нетрудно показать, что выражение для квадрата модуля этого отношения имеет вид
N2 =
4q2ctg2(qT1) + (1 + am2)2
4s2 + (1 - a2m2)2
q2 ^ 0;
- 4q2cth2^js2 - a2m2rj) + (1 + am2')2 2 < 0 (21)
4s2 + (1 - a2m2)2
Из (21) видно, что поскольку 4q2ctg2(qz1) > -4q2 при q2 > 0 , а 4q2cth2(qz1) < 4q2 при q2 < 0 , то \Fn\ > 1. А как известно из теории конформных отображений [32], дробно-линейная функция (19) переводит внешность круга единичного радиуса во внешность круга единичного радиуса. Отсюда следует, что если F1| > 1, то |Fn| > 1 и подавно. Это означает, что амплитуда прямой волны по абсолютному значению всегда превосходит амплитуду обратной волны.
4. Заключение
В статье предложена модель учета влияния chirping-эффекта на распространение плоской монохроматической электромагнитной волны в безграничной среде. Согласно данной модели, при проявлении действия chirping-эффекта в среде без границ распространяющаяся в ней плоская монохроматическая волна испытывает преобразования, связанные с синхроными изменениями во времени проницаемостей и проводимости среды по закону конечной последовательности периодических прямоугольных импульсов. Показано, что преобразованное поле в любой точке пространственно-временной области (t > 0) представляет собой сумму прямой и обратной плоских монохроматических волн, абсолютное значение волновых чисел кото-
рых совпадает с абсолютным значением волнового числа первичной волны, а амплитуды и частоты являются кусочно-постоянными функциями времени. На интервале покоя параметров среды амплитуда прямой волны по абсолютному значению всегда превосходит амплитуду обратной волны, а при некоторых значениях параметров среды и частоты первичной волны обратная волна исчезает. Численные исследования также показали, что на интервалах покоя параметров среды амплитуды образовавшихся волн по абсолютному значению могут превосходить амплитуду первичной волны. При этом в средах с потерями данное превосходство может достигаться за счет изменения как диэлектрической и магнитной проницаемостей, так и проводимости в случае коротких возмущающих импульсов.
Литература: 1. Зоммерфельд А. Оптика: Пер. с нем. М.: ИЛ, 1953. 2. Распространение ультракоротких волн: Пер. с англ. / Под ред. Б.А.Шиллерова. М.: Сов. радио, 1954. 3. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1955. Т.4. 4. Долуханов М.П. Дальнее распространение ультракоротких волн. М.: Связьиздат, 1962. 5. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 6. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере: Пер. с англ. М.: Мир, 1973. 7. Маркузе Д. Оптические волноводы: Пер. с англ. М: Мир, 1974. 8. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976. 9. Унгер X. -Г. Планарные и волоконные оптические волноводы: Пер с англ. М.: Мир, 1980. 10. Ярив А. Введение в оптическую электронику: Пер. с англ. М: Высш. шк., 1983. 11. Болотовский Б.М., Плис А.И., Столяров C.H. Распространение импульсного излучения в нестационарных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. T. 19, №4. C. 567-573. 12. Мастрюков А.Ф., Сынах B.C. О нестационарной тепловой самофокусировке импульсов // ПМТФ. 1978, №2. C. 3-13. 13. ВеденовА.А, Маркин O.A. Распространение мощного лазерного излучения в среде с поглощением // ЖЭТФ. 1979. T. 76, №4. C. 1198-1211. 14. Абрамович Б. С., Гурбатов C.H. Нестационарные задачи многократного рассеяния волн в одномерной случайно-неоднородной среде / / Изв. вузов. Радиофизика. 1980. T. 23, №4. C. 442-451. 15. Аверков С.И., Болдин В.П. Волны в недиспергирующих нестационарных неоднородных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. T. 23, №9. C. 1060-1066. 16. Ионосферные эффекты наземных промышленных взрывов и их исследование методами радиозондирования / В.И. Варшавский, В.О. Вугмейстер, А.Д. Калихман, H.H. Климов / Исслед. по геомагнитизму, аэрономии и физике Солнца. 1986. №75. C. 7-12. 17. Левин В.А., Сорокин А.А., Старик А.М. К вопросу о распространении импульса излучения в резонансно-поглащающей газовой среде // Докл. АН СССР. 1987. T. 293, №6. C. 1364-1368. 18. Глазов Л.Г., Игнатьев А.В., Рухадзе А.А. Высокочастотный разряд в волновых полях. Горький, 1988. C. 198211. 19. Балявичус C, Тамашявичус А., Пошкус А., Шикторов Э, Бабянскас H. Использование эффекта переключения в неупорядоченных полупроводниках для формирования пикосекундных перепадов электрического напряжения // ЖТФ. 1988. T. 58, №8. C. 15191523. 20. Левин В.А., Сорокин А.А., Старик А.М. Об изменении показателя преломления при распростра-
8
РИ, 2002, № 1
нении излучения через резонансно-поглащающие газовые среды в режиме кинетического охлаждения // ЖТФ. 1988. T. 58, №3. C. 567-576. 21. Гулин О.Э., Темченко В.В. К вопросу о распространении волн в одномерной среде с пространственно-временными периодическими неоднородностями // Анот. в ж. Изв. вузов. Радиофизика. 1989. T. 32, №1. C. 72. Депонир. в ВИНИТИ 27.12.1988 г., N9039-B88. 22. Борисов В.В. Трансформация электромагнитного поля при изменении проводимости среды во времени // Геомагнетизм и аэрономия. 1989. T.29, №5. C. 730-737. 23. Глазов Л.Г., Рухадзе А. А. К вопросу о прохождении электромагнитных волн через плазму с быстро ростущей концентрацией // ЖТФ.1990. T. 60, №4. C. 47-51. 24. Левин В.А, Старик А.М., Таранов О.В. К вопросу о распространения импульса излучения в газовых средах с нестационарной нелинейностью // ЖТФ. 1993. T. 63, №6. C. 112124. 25. Нерух А.Г., Рыбин O.H., Щербатко И.В. Воздействие импульсного возбуждения ограниченной среды на плоскую электромагнитную волну // ЖТФ. 1999. Т. 69, №8. C. 84-92. 26. Kim Y, Lee H, Lee J. et al. Chirp Characteristics of 10-Gb/s Electroabsorption Modulator Integrated DFB Lasers // IEEE Journal of Quantum Electronics. 2000. Vol. 36, No. 8. P. 900—908. 27. Eggleton B. J., Mikkelsen B, Ray bon G. et al. Tunable Dispersion Compensation in a 160-Gb/s TDM System by a Voltage Controlled Chirped Fiber Bragg Grating // IEEE Photonics
Technology Letters. 2000. Vol. 12, No. 8. P. 1022-1024. 28. Рыбин О.Н. Нестационарные электромагнитные явления в диссипативном диэлектрике с изменяющимися во времени параметрами: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. X.: ХТУРЭ, 1999. 29. Нерух А.Г., Хижняк НА. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. X.: НПО Тест-Радио, 1991. 30. Слипченко Н.И., Шульга Л.Н., Рыбин О.Н. Преобразование плоской волны периодически нестационарной диэлектрической средой // ЖТФ. 2001. Т. 71, № 10. C. 123 - 127. 31. Born M, and Wolf E. Principle of optics. Peargamon press Oxford. London. Edinburgh. New York. Paris. Frankfurt. 1964. 32. Visser T.D., Block H., and Lenstra D. Modal Analysis of a Planar Waveguide With Gain and Losses // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1995. Vol. 31, №10. P. 1803-1810. 33. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Поступила в редколлегию 04.03.2002
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Гордиенко Ю.Е.
Слипченко Николай Иванович, канд. техн. наук, профессор, проректор по научной работе ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика и электроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 40-90-20.
РИ, 2002, № 1
9
