CC BY
52
УДК 621.791.4.001.57; 53.072
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВАКУУМИРОВАНИЯ МЕЖОБОЛОЧКОВЫХ ПОЛОСТЕЙ ТОНКОСТЕННЫХ СЛОИСТЫХ КОНСТРУКЦИЙ А.И. Стрыгин, И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов
Сформулирована модель газопереноса в вакуумируемой межоболочковой полости. Найдены критериальные отношения квазистационарного процесса вакуумирования. Установлено влияние технологических параметров на время вакуумирования полости
Ключевые слова: математическое моделирование, газоперенос, вакуумная система, слоистые конструкции
Одним из этапов подготовки изделия к термодиффузионному сращиванию является создание вакуумной среды в зоне, предназначенной для развития физического контакта сращиваемых элементов конструкции. Если эта зона образована оболочечной конструкцией и представляет собой протяженную узкую полость, то для правильного расчета вакуумиро-вания необходимо учитывать процесс газопе-реноса в полости, для чего требуется разработка модели совместного переноса в системе откачивающий насос - вакуумопровод (трубка) -межоболочковая полость. В общем случае для решения такой задачи с учетом как кнудсенов-ского, так и пуазейлевского режимов течения необходимо привлечение специализированных вычислительных систем [1,2]. Однако при использовании предложенной в [3,4] эффективной аппроксимации смешанного потока в одномерном газопереносе возможно построение простой практической модели, приемлемой для расчета вакуумной системы.
Постановка задачи
В качестве последней рассмотрим систему (рис. 1), состоящую из насоса 1, буферного объема насоса 2, характеризуемого величиной объема УБ и давлением РБ, вакуумной трубки
3 с параметрами: длиной 1Т, переменной площадью сечения 8Т и кнудсеновским коэффициентом диффузии БТ , и межоболочковой полости 4, с соответствующими суммарными па-
Стрыгин Александр Иванович - ОАО «КБХА», главный сварщик, тел. (473) 278-38-84
Батаронов Игорь Леонидович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473)246-42-22
Пешков Владимир Владимирович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473)278-38-84
Селиванов Владимир Федорович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473)278-38-84
раметрами 1П, БП (х), БП . Давление газа в месте соединения полости и трубки обозначим как Р0, а в конце полости - как Р1.
■©тИ
Рис. 1. Схема вакуумной системы
Расчет массопереноса в межоболочковой полости в смешанном режиме представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу [6-9]. Во избежание нецелесообразной громоздкости расчета по аналогии с подходом, использованным в [10] для моделирования переноса в пористом материале, примем упрощенную модель (рис. 2), в которой перенос осуществляется по каналу переменного сечения
4 из объема 5, расположенного в конце канала. Величина объема ¥П численно равна объему межоболочковой полости, а площадь сечения полости БП (х) - сумме текущих сечений всех
газопроводных каналов (рис. 1). Для общности будем считать, что газопроводная трубка также имеет переменное сечение 8Т (х).
Рис. 2. Эквивалентная схема системы
Предлагаемая модель имеет следующие ограничения. Выделение объема полости в отдельный элемент предполагает квазистационарность распределения газа по длине газопро-
водного канала 4. Оценка времени установления квазистационарного режима при кнудсе-новском течении для характерного значения коэффициента диффузии ВП ~ 1 м2/с и длины
канала 1П ~ 1 м составляет 1П2 / БП ~ 1 с , что существенно меньше времени вакуумирования. Кроме того, использование сосредоточенного в объеме 5 (рис. 2) скопления газа вместо распределенного по длине канала несколько завышает расчетное значение времени вакууми-рования, что может быть компенсировано использованием эффективного значения длины 1П канала.
Р + PL_JL+с.
1 2Рк SD
Исключая отсюда постоянную С, получим выражения для распределения давления и величины потока:
( Р2 Л (
Р + —
V 2Рк , V
V к 0 V
Ро +
Р
2 Л
2Р
_ Jxr dx’
_ S(X) ■
JL
SD
P1+Р
1 2Рк
P0 + P°-2Р
Математическая модель
Составим уравнения сформулированной физической модели.
Локальный поток в смешанном режиме в трубке и полости в сечении с координатой х аппроксимируется в виде [3-6]
Р І дР
J _ S(x)D1+Р ІаХ ■
(1)
Первое соотношение легко переписывается в форме, определяющей распределение давления по длине системы:
Р _
(Р0 + Рк)2 + 2Рк J f-dX- -Рк . V0 к) к D 0 S(х') к
Соответствующая схема распределения давления показана на рис. 3.
где Рк - пороговое давление перехода от пуа-зейлевского к кнудсеновскому течению, определяемое сравниванием длины свободного пробега молекул газа с характерным поперечным размером трубки или полости. Из условия постоянства потока J — const в квазистационар-ном режиме газопереноса из (1) имеем:
, Р )дР J
1 +--I — _-------,
Рк J дх S (x) D
отсюда после интегрирования получаем
Р2 J X dX Р + — = — \-dX— + с .
2Рк D 0 S(х')
Введем величину среднего сечения S полости согласно определению обратного среднего
1 -1L dx (2)
s " l J0 SX).
Тогда из граничных условий Р(0) - Р0, Р(L) - Р1 получаем соотношения:
Р 2
Ро + - C .
Рис. 3. Распределение давления по длине системы
Из второго же соотношения получим выражение для потока через граничные давления:
’ .*(Р -Ро)^} (3)
Применяя полученное общее решение отдельно для трубки и полости, выразим величину потоков в трубке и полости непосредственно через характеристические давления Р0, Р1, РБ :
’ = ПТ(‘ + РрТР) (Р0 - РБ >’ (4)
З П = ?Л°Л І1 + Р + Ро
ІП \ 2Р
(Р1 - Ро). (5)
Составим теперь математическую модель в виде системы дифференциальных и алгебраических уравнений баланса массы: а) в буферном объеме
Р ^ (Рб - Рпр ) + —, (6)
йг уб Б пр уб
где ’У - производительность насоса, Рпр -
предельное давление, обеспечиваемое насосом, б) в полости
Р
йг
3т уп
(7)
где УП - объем полости, и
в) баланса потоков трубки и полости
Поскольку основное значение имеет изменение давления в полости, то в качестве масштаба времени согласно уравнению (9б) примем критериальный параметр
гп =-
ТГ П
ВТ
(10)
Также в системе (9) формируются следующие независимые критериальные отношения
г = 1Т ЗУ
ЕТ БТ
Уп _ Іп $т От _ Рпр
1=-^, ц = 1Л=
Уб
1Т $П Оп
Ч> = р- • (11)
Отношение С характеризует эффективность откачки, величина /и является отношением гидродинамических сопротивлений трубки и полости, а параметр р показывает предельный режим газопереноса в системе.
В итоге приведенная модель будет иметь
вид:
ЗТ = 3 Л •
(8)
Таким образом, модель включает два дифференциальных уравнения (6), (7) и функциональное соотношение (4, 5, 8) для трех зависимых переменных Р0, Р1, РБ .
Преобразование модели
Преобразуем систему (4)-(8) в рамках теории подобия. Для этого введем безразмерные переменные:
г РБ Р0
т = ~' Рб = РБ > Р0 = у
г
Р1 =
0
Л
р„
ййрБ = -С1( Рб-ф)+1[і + Р0 + Рб 0) (Р0 - Рб ), (12а)
£ = -[1 + ^ I (Р0 - Рб )
(Р1 +1)2 = (т +1)(Р0 +1)2 - т(Рб +1)2.
(12б)
(12в)
Здесь в уравнении (12в) выполнено преобразование с выделением полных квадратов.
Нетрудно видеть, что приведение системы к нормальному виду осуществляется исключением переменной Р0 согласно соотношению (12в):
Тогда модель примет вид:
йрБ = - 3Уг0 йт УБ
\
рпр
Рб------------
[ Рк 0
$т От Ґ0 ІТУБ
1 +
Р0 + Рб 2
(Р0 - Рб )
йр1 = ^Т °Т г0 Г1 + р0 + рБ
йт ІтУП
|1 + Ро±рв_ I (Р0 - Рб ) =
= 11 + | (Р1 - д.)
(9а)
(Р0 - Рб ), (9б)
(9в)
Р0( Р1> Рб ) = •» 1 +
2 2 Р1 + 2 Р1 + т( Рб + 2 Рб )
-1. (13)
Используя это соотношение в уравнениях (12а, б), будем иметь требуемую систему дифференциальных уравнений модели.
Анализ результатов
Для расчета воспользуемся квадратичной аппроксимацией площади сечения полости, учитывающей конусность и разветвленность
полости: £(х) = £0 +(51 -£0)(х/Ь)2. Тогда для
средней площади из формулы (2) получаем
+
2
£ = у £о (£1 - £о)
/51 - £0
агс,8^^Г
Численное исследование модели показало неустойчивость расчета при использовании фиксированного шага по времени даже по схеме Рунге Кутта четвертого порядка. Для получения решения в этом случае приходится использовать до 106 шагов по времени. Такое поведение связано с существенной нелинейностью модели, наличием корневой зависимости (13) и сильным различием критериальных отношений. Поэтому при численной реализации модели был использован метод динамического выбора шага, апробированный ранее в аналогичной задаче для пористого тела [11]. Ввиду больших значений высших производных был выбран простой метод Эйлера, в котором на каждом шаге его величина выбиралась так, чтобы приращение решения было много меньше текущего значения решения. В итоге расчет получился устойчивым, а необходимое число шагов уменьшилось до 104. Пример результата расчета по такому алгоритму приведен на рис. 4.
Рис. 4. Кинетика вакуумирования межоболочковой полости
Для расчета использованы характерные значения параметров технической системы:
БЛ =12500 см2/с , производительность форвакуумного насоса 3у =6 л/мин, УБ =50см3,
У Л =3000 см3, іт =2 м , 1Л = 100 см , диаметр трубки 5 мм, параметры сечения канала 50 = 16мм2, 51 = 3см2. Сплошная линия на
рис. 4 показывает изменение давления в объеме полости, штриховая - в буферном объеме насо-
са, точечная - в месте соединения вакуумной трубки и оболочки. Как видно из результатов, газодинамическое сопротивление каналов полости практически не оказывает влияния на скорость вакуумирования, поэтому можно ограничиться только давлениями в буферном объеме и полости.
Результаты исследования влияния изменения технологических параметров на кинетику вакуумирования показаны на рис. 5. На рис. 5а приведены результаты расчета с вакуумными трубками диаметром 10 и 50 мм. На рис. 5б приведен результат расчета с насосом производительностью 30 л/мин и трубками диаметром
5 и 10 мм.
Рис. 5. Влияние технологических параметров на кинетику вакуумирования межоболочковой полости
Типичным дефектом реальных оболочеч-ных конструкций являются несплошности оболочки (поры, трещины и т. п.), приводящие к появлению внешнего газового потока в вакуу-мируемую область полости. Это обстоятельство нетрудно учесть путем добавления в пра-
вую часть уравнения (6) «внешнего» потока ’н /УП , где в соответствии с (3)
J Н _
Sh Dh
( Pa - P1 )
1+
2P
vt
(14)
Здесь Pa - давление газа вовне оболочки.
ь
t, мин
Рис. 6. Влияние несплошности оболочки на кинетику вакуумирования межоболочковой полости
Преобразование выражения (14) в рамках теории подобия приводит к добавлению в правую часть уравнения (12б) слагаемого
тн| 1 + Р Рі + Ра I(Ра - Рі) ,
где введены критериальные параметры
1т sh dh
lh Sт Dт
P
p = —^. Результаты расчета та-
Ркн
кой модифицированной модели приведены на рис. 6 b показывают невозможность вакуумирования дефектной межоболочковой полости при размере дефекта более 10 мкм.
Литература
1. Сбитнев Я.В. Компьютерные системы конечноэлементного мультифизического анализа / Я.В. Сбитнев, Г.Е. Шунин // Энергия - 21 век. - 2006. - № 3. - С. 65-72.
2. Конечно-элементный комплекс программ FEMP-DESolver / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова и др. // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 52-57.
3. Диффузионная сварка титана и его сплавов / Бондарь А.В., Пешков В.В., Киреев Л.С., Шурупов В.В., -Воронеж: Изд. ВГУ, 1998. -256 с.
4. Kireev L.S., Peshkov V.V. Joining Titanium to steel. // Welding and Surfacing reviews. 1998. V.11, Pt. 2. P. 1 - 127.
5. Батаронов, И. Л. Физико-математическое моделирование течения газа по технологическим зазорам переменного сечения при диффузионной сварке / И. Л. Бата-ронов, В. Р. Петренко, В. В. Пешков // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2006. - Т. 2. - № 8. - С. 5-12.
6. Моделирование двумерных течений с сингулярным поглощением методом выделения особенности / И. Л. Батаронов, О. В. Ислентьев, В. Р. Петренко, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4 (38). - С. 4-8.
7. Моделирование тепломассопереноса в щелевых каналах с топохимическими экзотермическими реакциями / И. Л. Батаронов, О. В. Ислентьев, В. Р. Петренко, В. Ф. Селиванов, Д. Н. Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011. - Т. 7. -№ 2. - С. 4-6.
8. Физико-математическая модель процесса изменения давления газа в трактах охлаждения титановых теплообменников при нагреве / В. В. Пешков, И. Л. Батаронов, В. Р. Петренко, Д. Н. Балбеков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. - № 5. - С. 4-6.
9. Закономерности переноса газа в поглощающих контактных зазорах / И. Л. Батаронов, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, А. И. Стрыгин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. -№ 2. - С. 138-141.
10. Моделирование массопереноса в системе силь-нопоглощающих поровых каналов / И. Л. Батаронов, Л. В. Милушева, В. Р. Петренко, В. В. Пешков, В. Ф. Селиванов, П. О. Акиньшин // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - Т. 42. - № 4. - С. 49-52.
11. Закономерности массопереноса в пористом абсорбирующем материале / И. Л. Батаронов, В. Р. Петренко, В. Ф. Селиванов, Л. В. Милушева, П. О. Акиньшин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. - № 12. - С. 9-10.
Воронежский государственный технический университет ОAО «ŒXA», г. Воронеж
SIMULATION OF EVACUATION OF INTERJACKET CAVITIES OF THIN-WALLED FOLIATED CONSTRUCTION A.I. Strigin, I.L. Bataronov, V.V. Peshkov, V.F. Selivanov
A model of gas transfer in evacuated interjacket cavity is formed. Criteria relations of quasi-stationary evacuation process are found. Influence of technological parameters on evacuation time is established
Key words: mathematical simulation, gas transfer, evacuation system, foliated constructions
