CC BY
104
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 4 (108), 2014
УДК 519.6:539.3 Дата подачи статьи: 21.10.2013
DOI: 10.15827/0236-235X.108.183-187
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ТОНКОСТЕННЫМИ СТЕРЖНЯМИ ПЛАСТИНЫ
С.А. Чернов, к.т.н., преподаватель, 727122@mail-ru (Ульяновский государственный технический университет, ул. Северный Венец, 32, г. Ульяновск, 432027, Россия)
Рассматривается изгибно-крутильная форма потери устойчивости тонкостенного стержня открытого профиля с одной осью симметрии. Предполагается, что действуют постоянные продольные силы по длине стержня, то есть стержень считается невесомым. На основе выражения потенциальной энергии деформации при изгибно-крутильной форме потери устойчивости такого тонкостенного стержня и энергетических соотношений при определении узловых перемещений получена матрица потенциала нагрузки тонкостенного стержневого конечного элемента, работающего на изгиб и кручение. Приведены выражения матриц потенциала нагрузки тонкостенного стержневого конечного элемента и балочного конечного элемента коробчатого квадратного сечения с узлами по контурам сечений, соответствующим узлам соединения пластины и стержня при симметричном креплении и в шахматном порядке. Подход к моделированию подкрепленной пластины реализован в целевой программе для ЭВМ. Приведены характеристика программы, ее функциональные возможности и особенности численного алгоритма. Выполнены сравнительные расчеты при одноосном нагружении подкрепленной квадратной пластины, моделируемой прямоугольными конечными элементами, работающими на изгиб. Приведены результаты расчетов критической нагрузки неподкрепленной пластины и подкрепленной с учетом депланации сечений стержней и без учета.
Ключевые слова: устойчивость, подкрепленная пластина, тонкостенный стержень, конечный элемент, матрица потенциала нагрузки, прямоугольный конечный элемент, узлы соединения, программа для ЭВМ.
При расчете на устойчивость подкрепленной пластины для моделирования стержней, как правило, используются балочные конечные элементы (КЭ), матрицы жесткости которых построены на основе гипотезы плоских сечений. В матрицах потенциала нагрузки стержней элементы, соответствующие кручению, нулевые, то есть деформация кручения не учитывается, а учитывается только эйлеровская изгибная форма потери устойчивости центрально сжатого стержня. Стержень представляет собой линию, наделенную соответствующими физическими и геометрическими характеристиками, располагается в плоскости пластины, не учитываются и условия соединения стержня с пластиной [1-3]. В отличие от обычных стержней сечения тонкостенного стержня при его кручении не остаются плоскими, что исключает возможность использования при расчете тонкостенных стержней гипотезы плоских сечений. До потери устойчивости тонкостенный стержень не испытывает кручения и депланация сечения отсутствует. Потеря устойчивости стержня характеризуется новой формой равновесия, то есть новым деформированным состоянием, при котором только из-гибная форма потери устойчивости стержня становится невозможной, а проявляются одновременно изгиб и кручение [4, 5].
При центральном сжатии тонкостенного стержня открытого профиля с одной осью Y симметрии сечения с координатой ay центра изгиба A по оси Y система дифференциальных уравнений устойчивости распадается на независимый изгиб в плоскости XY и уравнения, характеризующие взаимодействие изгиба в плоскости XZ и кручение [5]:
' EJzy"”+py:=о,
• EJyz" ” + Pz ” + Pay ф" = 0,
Payz” + Ыоф""+ (r 2P - GJ)ф" = 0,
где P - продольная сила; E, G - модули упругости и сдвига материала; Jx, Jz, Jy, Ja - момент инерции сечения при чистом кручении, моменты инерции относительно главных осей Z и Y и секториаль-ный момент инерции соответственно; ay - координата центра изгиба сечения; r2 - следующая геометрическая характеристика сечения стержня:
2 2 Jy +Jz г,
r = a +—-------, где F - площадь сечения.
y
Предполагается, что действуют постоянные продольные силы по длине стержня, то есть стержень невесомый. Выражение потенциальной энергии деформации при изгибно-крутильной форме потери устойчивости такого тонкостенного стержневого КЭ [4] будет
п=-\[Шу (W"f ~gjx (Ф;)2 +£/ш (Ф:)2 +Рг2 (ф;)2 +
о
+P (W’)2+ PayфуW”]dx .
(1)
Граничные условия накладываются на линейные Sz(w), угловые фх переменные и на их произ-
dw ,
водные ф = —, ф'х в каждом узле. В векторе {л}
y dx
функций формы поля перемещений для кручения стержня используются те же функции формы, что и для плоского изгиба [1, 4]:
w = {N}{Zw} = {N}[w w w” w”]r ;
фх =М{Хфх } = {N}^ ф x2 фХх фХ2 ]T . (2)
183
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 4 (108), 2014
В соответствии с принципом минимума потенциальной энергии имеем
дП
dzt
{Pr } = ([ Kr ]-Р [Gr ]){Zr } ,
где [Kr], [Gr] - матрицы жесткости и потенциала нагрузки r-го КЭ.
Подставив выражения (2) в (1) и выполнив дифференцирование по каждой степени свободы в узле, получим матрицу жесткости тонкостенного стержневого КЭ, работающего на изгиб и кручение [6, 7], и матрицу потенциала нагрузки (геометрическую матрицу жесткости) тонкостенного стержневого КЭ при взаимодействии изгиба в плоскости XZ и кручения:
' 6 '
[Gr ]= Р = qF
5 (
-0,6
_ 6 5 С
6rz
51.
бг1
5С
-0,1r2------.
2f_ 15
1 2
— a,, 15 y
f
30
1 a> 60 y
Симметрично
Kr1
15
-0,05a, —
4
il/L
i
----a
60 '
Pr2
30
6r2
5^
-0,05o„ 0,lr2
2
15
1 , 2 fr2
— a -------
15 7 15
где q - коэффициент распределенной нагрузки по площади F сечения КЭ (0 < q ^1).
Очевидно, что у тонкостенного стержневого КЭ с сечением, симметричным относительно двух осей (например двутавр), в матрице потенциала нагрузки ay = 0.
Рассмотрим получение необходимых зависимостей на конечно-элементной модели пластины, подкрепленной тонкостенным стержневым КЭ A-B (швеллер) в местной системе координат XYZ (рис. 1). В модели пластины, расположенной в плоскости XY, используются прямоугольные КЭ, работающие на изгиб, матрицы жесткости и по-
0,55a
0,05a
0,1r
0,1 0,05a
0.55a
0,05a
тенциала нагрузки (устойчивости) которых в явной форме приведены в работе [1].
Ось X местной системы координат КЭ A-B направлена вдоль оси стержня, проходящей через центры изгиба поперечных сечений. Крепление стержня к пластине обычно выполняется сваркой. Пусть при симметричном креплении стержня узлы 1-4 являются узлами сварки и узлами прямоугольных КЭ.
Уравнение равновесия стержневого КЭ при решении задач устойчивости в конечно-элементной постановке [1] определяется выражением ([X] + [G]){Z} = {P}.
Составляющую геометрической матрицы жесткости уравнения равновесия стержневого КЭ A-B распределим по узлам:
{Pa} = [Gaa]{Za} + [Gab]{Zb};
{Pb} = [Gba]{Za} + [Gbb]{Zb}. (3)
Выражения для векторов узловых сил {P12}, {P34} узлов 1, 2 и 3, 4 в матричной форме можно выразить следующим образом:
{Pi,2} = [Hi,2]{Pa}; {Рз,4} = H3,4]{Pb}. (4)
Матрицы переноса сил узлов КЭ определяются выражениями
[ Нг2 ]
' h' , Г Ht 1 = ' ho'
[ h2. ’ [ 3,4 ] _ hi _
(5)
где из статических соображений матрица переноса сил узлов 1-4 контура сечения стержня, то есть перенос сил из узлов стержневого КЭ A -B в узлы
контура сечения [ht ]
1 0 0 0
- Уi 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Так как пластина подкрепляется стержнями постоянного сечения, для матрицы переноса узловых сил (5) справедливы следующие соотношения: [hi] = [Аз], [*2] = 04], [H = [Hi,2] = [Нз,4].
С учетом одной матрицы [H] из преобразований сил (4) следуют преобразования перемещений: {Za} = [H]T {Z12}, {Zb} = [H]T {Z3,4}.
Подставив их в уравнения (3) и используя выражения (4), получим
{P1,2} = [H][Gaa][H]T{Z1,2} + [H][Gab][H]T{Z3,4}, {Рз,4} = [H][Gba][H]t{Z1,2} + [H][Gbb][H]t{Z3,4}.
Отсюда следует матрица [G1-4] порядка 16 потенциала нагрузки тонкостенного стержневого КЭ c узлами 1-4:
[G1-4 ]
HGaaHt HGabHt
hgbaht hgbbht
(6)
При креплении стержня к пластине в шахматном порядке, например в узлах 1 и 4, матрица порядка 8 потенциала нагрузки КЭ с этими узлами по контурам сечений будет
[G.4 ]
hfiJi hGABhT
h4GBAh1 h4GBBh4
184
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 4 (108), 2014
Если по аналогии сформировать матрицу пере" h 0'
носа сил
КЭ A-B [И14 ] =
о к
матрица по-
тенциала нагрузки тонкостенного стержневого КЭ будет вычисляться по формуле
G 4] = H 4][Ga-b] H 4]Г. (7)
В подкрепленных пластинах часто используются стержни коробчатого квадратного сечения, например, труба профильная (ГОСТ 8639-82) (рис. 2).
Такие стержни удовлетворяют теории расчета сплошного бруса [1]. В этом случае в матрицах потенциала нагрузки КЭ используется следующая матрица переноса сил узлов контура сечения:
[к, ]
1 0 0
- У, 1 0
0 0 1
Очевидно, что для расчета на устойчивость подкрепленной пластины с учетом условий соединения стержней с пластиной необходимо выполнить соответствующие аналогичные вычисления матриц жесткости КЭ по формулам (6), (7), в которых вместо матриц [G] потенциала нагрузки -матрицы [£] жесткости КЭ.
Численная реализация задачи устойчивости подкрепленной пластины выполнена в стандартной конечно-элементной постановке [8, 9] и в объектно-ориентированной программе (Свид. о гос. регистр. программы для ЭВМ № 2013617915 от 27.08.2013; авторы: Чернов С.А., Черный А.Н.).
Общая характеристика программы: IBM PC-совместимый ПК; язык Fortran; ОС Windows; объем 23,4 Кб исходного текста программы.
Программа предназначена для вычисления критической распределенной нагрузки по площади сечения пластины и формы потери устойчивости (моды) с использованием в конечно-элемент-
ной модели подкрепленной пластины прямоугольных КЭ, работающих на изгиб, балочных и тонкостенных стержневых КЭ, работающих на изгиб и кручение, и обеспечивает выполнение следующих функций:
- расчет пластины с подкреплением стержнями или без подкрепления, с учетом соединений или без учета;
- расчет с произвольными условиями нагружения распределенной нагрузкой пластины и (или) стержней, а также с кинематическими условиями закрепления задачи.
С математической стороны задачи устойчивости и свободных колебаний полностью совпадают. В численном алгоритме программы выполняется модификация матрицы жесткости и потенциала нагрузки прямоугольного КЭ пластины при использовании в подкрепленной пластине тонкостенных стержневых КЭ. В этом случае в узлах КЭ пластины три степени свободы, а в узлах тонкостенного стержневого КЭ четыре степени свободы (присутствует депланация ф'х-сечения). В связи с этим в матрицы жесткости и потенциала нагрузки прямоугольного КЭ пластины вводятся недостающие степени свободы в каждый узел путем присваивания нуля элементам матриц соответствующей строки и столбца. При таком подходе во всех узлах конечно-элементной модели пластины одинаковое число степеней свободы, что позволяет построить эффективный вычислительный алгоритм для расчета неподкрепленной и подкрепленной пластины при минимуме исходных данных и их простоте.
Решение системы линейных однородных уравнений задачи устойчивости обеспечивается связями, накладываемыми на узловые перемещения, соответствующие кинематическим условиям закрепления, путем присваивания этим строкам и столбцам матрицы жесткости конструкции нулевых значений, а компоненту главной диагонали -единицы. Аналогично модифицируется и матрица потенциала нагрузки конструкции. Уравнения собственных значений в общем случае имеют столько решений, то есть собственных чисел и соответствующих собственных векторов, сколько степеней свободы в узлах модели. В задаче устойчивости интересует только наибольшее собственное число из всего спектра собственных чисел, которое соответствует критической силе. Наибольшее собственное число определяется простым итерационным методом (последовательным приближением) [1]. При определении собственных значений нулевые строки характеристической матрицы не участвуют в итерационном процессе, что предусмотрено в соответствующей подпрограмме решения уравнений собственных значений.
Для вычисления характеристической матрицы в программе предусмотрена возможность решения
185
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 4 (108), 2014
разрешающей системы линейных алгебраических уравнений с двойной точностью. Преобразование матрицы коэффициентов системы уравнений обычной точности в матрицу двойной точности выполняет подпрограмма DFORM. Обозначения формальных параметров в подпрограмме следующие: NF - номер файла прямого доступа; FMG -размер рабочего массива оперативной памяти матрицы обычной точности; ISTR - число строк в матрице FMG; NS - число степеней свободы в узле КЭ; KNY - число узлов в конструкции.
SUBROUTINE DFORM(NF,FMG,ISTR,NS,KNY) DIMENSION FMG(1)
K=ISTR*NS K1=K+1 K2=K+K DO 1 I=2,K2,2
1 FMG(I)=0.
DO 2 I=1,KNY NW=KNY+1-I
READ(NF,REC=NW)(FMG(J),J=1,K2,2)
NW=NW+NW-1
WRITE(NF,REC=NW)(FMG(J),J=1,K)
NW=NW+1
WRITE(NF,REC=NW)(FMG(J),J=K1,K2)
2 CONTINUE RETURN
END
Подпрограмма DFORM позволяет вычислять характеристическую матрицу с матрицей коэффициентов двойной точности - DFMG, которой назначается общая память с матрицей FMG с помощью оператора общей памяти: EQUIVALENCE (FMG (1), DFMG (1)).
В программе предусмотрен коэффициент распределенной нагрузки по площади сечения КЭ пластины и (или) стержня. Программа обеспечивает контроль ввода исходных данных и выдачу результатов расчета в удобной для практического использования форме. При вводе исходных данных расчетчиком могут быть выбраны единицы измерений силы и длины, которые определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала. Единицы измерений результатов расчета будут те же, что и выбранные в исходных данных задачи.
Выполнены сравнительные расчеты при одноосном нагружении квадратной пластины (100*100 см) толщиной 0,5 см. Пластина подкреплена двумя швеллерами, расположенными симметрично на расстоянии 50 см друг от друга (рис. 3).
Пластина нагружена распределенной нагрузкой по площади своего сечения и сечения швеллеров № 5 (F = 6,16 см2; Jx =1,35 см4; Jy = 22,8 см4; Jmin =5,61 см4; JM = 24,91 см6; ay = 2,14 см) [6].
Рассмотрены два варианта расположения швеллера № 5 на плоскости пластины при следующих осевых моментах инерции сечения: Jy = = 22,80 см4 и Jy = Jmin (см. табл.).
Результаты расчетов подкрепленной квадратной пластины
Calculation results of a stiffened square plate
Стержневые КЭ в подкрепленной пластине 1-й вариант 2-й ва риант
Л, 4 см q^, МПа Jmin, 4 см qкр, МПа
Балочные 22,80 25,52 5,61 15,11
Тонкостенные 22,80 18,53 5,61 7,39
В модели стержней использовались балочные КЭ (при изгибной форме потери устойчивости стержней) и тонкостенные стержневые КЭ (при изгибно-крутильной форме потери их устойчивости). Моделирование рамы тонкостенными стержневыми КЭ приводит к уменьшению значений критической нагрузки qKp в подкрепленной пластине в сравнении с моделированием рамы балочными КЭ без учета депланации сечения тонкостенных стержней при их кручении. При расчете неподкрепленной пластины qKp=4,03 МПа. В полной мере это соответствует результатам аналитического расчета тонкостенного стержня: критическая сила, соответствующая изгибно-крутильной форме потери устойчивости всегда меньше эйле-ровской критической силы. Сравнение форм потери устойчивости пластины при моделировании ее тонкостенными стержневыми КЭ показало, что крутильная составляющая значительно превосходит изгибную при втором варианте расположения швеллеров на плоскости пластины.
В предлагаемом подходе к анализу устойчивости пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями, рассматривается взаимодействие из-
A Y0 q
\C\pWN JWWW~S t
21 22 23 24 25
16 17 18 19 20
11 12 13 14 15
6 7 8 9 10
X 0
1 2 3 4 _5 ^
Рис. 3. Конечно-элементная модель квадратной консольной пластины
Fig. 3. A finite elements model of a square cantilever plate
186
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 4 (108), 2014
гиба пластины и кручения стержней, что обеспечивает вычисление минимальной критической нагрузки и полнее отражает более сложные моды упругой потери устойчивости, нежели простые моды изгиба из плоскости пластины.
Литература
1. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. [и др.]. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: справочник. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.
2. Чернявский А.О. Метод конечных элементов. Основы практического применения. М.: Машиностроение, 2007. 106 с.
3. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций
численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 225 с.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
5. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физ-матгиз, 1959. 566 с.
6. Бычков Д.Б. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстройиздат, 1962. 475 с.
7. Чернов С.А., Дьяков И.Ф. К расчету пространственной тонкостенной стержневой системы // Автоматизация и современные технологии. 2008. № 2. С. 3-7.
8. Голованов А.П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.
9. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС, 2001. 301 с.
DOI: 10.15827/0236-235X. 108.183-187 Received 21.10.2013
MODELING OF STABILITY OF A PLATE STIFFENED BY THIN-WALLED BEAMS Chernov S.A., Ph.D. (Engineering), Lecturer, 727122@mail.ru (Ulyanovsk State Technical University,
Severny Venets St. 32, Ulyanovsk, 432027, Russian Federation)
Abstract. The paper describes a torsional-flexural buckling of an open profile thin-walled beam with one line of symmetry. It is assumed that there are constant longitudinal forces on the length of the beam, i.e. the beam is considered weightless. The author obtained a matrix of capacity load of thin-walled beam finite element that works for bending and torsion. It is based on the potential deformation energy expression with torsional-flexural buckling of such a thin-walled beam and nodal displacement energy relations. There are matrixes of thin-walled beam finite element capacity load and a square box-section section beam finite element with nodes along sections outlines corresponding to the connection nodes of a plate and a beam with symmetrical mounting and in chess order. Modeling a stiffened plate is implemented in the PC program. The paper describes the characteristics of the program, its functionality and numerical algorithm features. There are comparative calculations under uniaxial tension of a square plate modeled by rectangular finite elements working to bend. The paper gives calculations results of critical load of a stiffened plate and unstiffened plate considering beams sections and without them.
Keywords: sustainability, stiffened plate, thin-walled beam, finite element, capacity load matrix, rectangular finite element, joints, PC program.
References
1. Myachenkov V.I., Maltsev V.P., Mayboroda V.P. Raschety mashinostroitelnykh konstruktsy metodom konechnykh elementov [Calculating of Mechanical-Engineering Constructions Using a Finite Element Method]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1989, 520 p.
2. Chernyavsky A.O. Metod konechnykh elementov. Osnovy prakticheskogo primeneniya [A Finite Element Method. Practice Basics]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2007, 106 p.
3. Maslennikov A.M. Raschet stroitelnykh konstruktsy chislennymi metodami [Calculating of Building Constructions Using Numerical Methods]. Leningrad, LGU Publ., 1987, 225 p.
4. Gallager R. Metod konechnykh elementov. Osnovy [A Finite Element Method. Basics]. Moscow, Mir Publ., 1984, 428 p.
5. Vlasov V.Z. Tonkostennye uprugie sterzhni [Thin-Walled Elastic Beams]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1959, 566 p.
6. Bychkov D.B. Stroitelnaya mekhanika sterzhnevykh tonkostennykh konstruktsy [Structural Engineering of Thin-Walled Beam Constructions]. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1962, 475 p.
7. Chernov S.A., Dyakov I.F. For calculation of a dimensioned thin-walled beam system. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii [Automation and Modern Technologies]. 2008, no. 2, pp. 3-7 (in Russ.).
8. Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsy [A Finite Element Method in Statics and Dynamics of Thin-Walled Constructions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 392 p.
9. Golovanov A.I., Berezhnoy D.V. Metod konechnyh elementov v mekhanike deformiruemykh tverdykh tel [A Finite Element Method in Deformable Solids Engineering]. Kazan, DAS Publ., 2001, 301 p.
187
