CC BY
42
ВЕСТНИК 9/2012
УДК 539.3
В.В. Немчинов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УЧЕТОМ УСЛОВИЙ НЕОТРАЖЕНИЯ ОТ ГРАНИЦ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ
Рассмотрен вопрос о конструировании неотражающих границ, которые позволяют моделировать распространение упругих волн в бесконечных средах, что необходимо при исследовании воздействия сейсмических нагрузок на здания и сооружения.
Ключевые слова: полубесконечная область, моделирование условий неотражения, распространение упругих волн, волна Релея, характеристические уравнения, метод конечных элементов, изолинии напряжений.
Моделирование динамических задач теории упругости, распространение упругих волн в полупространстве так, чтобы внешние границы не мешали вычислениям, т.е. не отражали волны, которые искажают результаты длительных по времени расчетов в рассматриваемой области, достаточно трудная задача. Простые средства исключения отражений различного типа волн (продольных, поперечных, конических, поверхностных Релея и т.д.) — перенос значений смещений с внутреннего слоя расчетной области на внешнюю границу, как правило, не приносят нужного результата.
В [1] представлен метод моделирования неотражения продольных и поперечных волн от фиктивных границ. В данной работе показано, что соотношения, дающие условия неотражения продольных и поперечных волн, работают так же и для других типов волн, а именно конических и поверхностных волн Релея. Более удобно применять данные формулы неотражения, используя скорости, а не смещения, как в [1].
Возмущения в динамической плоской задаче распространяются по характеристикам для продольных волн
х + cpt = const, (1)
для поперечных волн
х + cst = const, (1')
где cp , cs — скорости продольной и поперечной волн.
Если взять дифференциалы от (1) и (1')
dx = + cpdt; (2)
dx = ±cs dt,
то, используя соотношения (2), можно образовать связь между производными по координатам и времени для любой функции, в частности, скорости по оси х (и) на правой границе с учетом образования встречной волны, т.е. характеристика со знаком минус: du du
или
dx c p dt
du du
(3)
dt p dx где и — скорость.
144
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 9
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
ВЕСТНИК
-МГСУ
Для поперечной волны ¿х + е8Л _ 0, следовательно
¿V (V
А 8 ¿х Если граница слева: ¿и _ Си Л р Сх СV СV Л 8 ¿х
Для нижней границы полупространства, используя соотношения, подобные (2)
¿и ¿и
Л " ¿у'
¿V ¿V
¿у
(5)
(6)
(7)
(8)
dt V
Импульс скорости
Данные условия на границе работают следующим образом. При подходе волны к границе формируется встречная волна, которая компенсирует падающую волну.
Для иллюстрации работы условий неотражения рассмотрена задача о воздействии на границу полупространства поршня шириной Н = 0,8 безразмерных единиц в левой точке верхней границы полуплоскости (рис. 1). Вертикальная скорость задавалась в виде полусинусоиды длительностью Т = 1. На нижней и правой границе полуплоскости задавались условия не отражения. Левая граница — условие симметрии. Отношение скорости поперечной и продольной волны с! !ср = 0,5 , что соответствует V = 1/3.
Расчеты по данной задаче выполнялись МКЭ для безразмерных уравнений динамической теории упругости [2— 5], в которой стандартно вычисляется матрица жесткости для 4-х точечного элемента, а матрица масс считается распределенной, т.е. т, = £/4 (где £ — площадь четырехугольного КЭ) в каждой узловой точке.
Затем применяются следующие формулы вычисления скоростей и смещений в каждой точке расчетной области [2]:
Нижняя граница
Рис. 1. Схема моделирования распростране-
ut - ut = At • Fu, vt - vt = At • Fv,
ния системы волн
(9)
й - и = А/ [5 й{ + (1-5)и, ], V - V = А/ [5 V, + (1-5)у, ], где (и, у) — смещения по осям (х, у) в момент времени /; (и,, V,} — скорости по
осям (х, у) в момент времени /; (й~, ~ ) — смещения по осям (х, у) в момент времени
/ + А/; (й,, V,) — скорости по осям (х, у) в момент времени / + А/; Рй, ру — правые части уравнений движения; 5 — параметр разностной схемы в интервале значений (1,05...1,3).
ВЕСТНИК
9/2012
Волна Редея, набегающая на правую границу, не отражается при использовании условий неотражения на правой и нижней границах, причем, согласно (9), в формулах (3), (4) и (8) используются скорости по осям х, у. На рис. 2 показаны изолинии картин
хх уу )2
а -а ,
хх уу 2
' а , где а , а , а -
ху ^ ^ хх' уу' ху
компоненты тензора напряжений.
I
Л
в е
Рис. 2. Распространение системы волн вдоль свободной поверхности
б
а
На рис. 2 показано распространение продольной, поперечной, конической волн и поверхностной волны Релея. При походе к правой границе и движения вдоль нижней границы отражений системы волн не наблюдается.
Данные выражения (4)—(8) позволяют успешно моделировать бесконечные области для ограниченных расчетных областей.
Библиографический список
1. ИльгамовМ.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области. М. : Физматлит, 2003. 238 с.
2. Немчинов В.В. Дифракция плоской продольной и поперечной волны на круглом отверстии // Вестник ЦНИИСК. 2010. № 10.
3. Мусаев В.К. Дифракция продольной волны на круглом и квадратном отверстиях в упругой среде // Тезисы докладов конференции по распространению упругих и упругопластических волн. Фрунзе : Фрунзенский политехнический институт, 1983. Ч. 1. С. 72—74.
4. Мусаев В.К. Метод конечных элементов в динамической теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1983. Вып. 24. С. 161—162.
5. Мусаев В.К. Решение задач о распространении волн методом конечных элементов // Механика деформируемого твердого тела. Реферативный журнал. 1986. № 10. 10В164ДЕП. С. 15.
Поступила в редакцию в июне 2012 г.
146
1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 9
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
Об авторе: Немчинов Владимир Валентинович — кандидат технических наук, профессор кафедры прикладной механики и математики, Мытищинский филиал ФГБОУ ВПО «МГСУ», г. Мытищи, Олимпийский проспект, д. 50, 8(495) 583 73 81, vvnemchinov@gmail.com.
Для цитирования: Немчинов В.В. Моделирование упругой плоскости при численном решении динамических задачах теории упругости с учетом условий неотражения от границ расчетной области // Вестник МГСУ. 2012. № 9. С. 144—147.
V.V. Nemchinov
ELASTIC SURFACE SIMULATION AS PART OF THE COMPUTATIONAL SOLUTION TO DYNAMIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY WITH ACCOUNT FOR THE CONDITIONS THAT CAUSE NON-REFLECTION FROM THE BOUNDARIES OF THE COMPUTATIONAL DOMAIN
The author describes the application of certain conditions that deprive the boundaries of certain areas from reflecting properties. A numerical simulation of the elastic wave propagation pattern in the infinite media is to be incorporated into the study of the impact of seismic loads produced on buildings and structures.
The problem of elimination of reflected waves from the set of boundaries in the course of calculation of dynamic problems of the theory of elasticity is quite important at this time. The study of interaction between elastic waves and various engineering facilities has been unfeasible for quite a long time.
A well-known method of generating counter-propagating waves at the boundary is applied to compensate for the accumulation of longitudinal and transverse waves. The boundary ratio is derived for longitudinal, transverse and other types of waves, including conical surface Rayleigh waves, to check the performance of the proposed methodology.
Longitudinal, transverse, and conical surface Rayleigh waves as the main carriers of the elastic energy fail to represent the relation. The problem is solved numerically through the application of the dynamic finite element method. The numerical solution is capable of taking account of the internal points of the area.
Keywords: semi-infinite domain, simulation, propagation of waves, Rayleigh wave, characteristic equation, finite element method, isolines of stresses.
References
1. Il'gamov M.A., Gil'manov A.N. Neotrazhayushchie usloviya na granitsakh raschetnoy oblasti [Non-reflecting Conditions at the Boundaries of the Computational Domain]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003, 238 p.
2. Nemchinov V.V. Difraktsiya ploskoy prodol'noy i poperechnoy volny na kruglom otverstii [Diffraction of Plane Longitudinal and Transverse Waves at the Circular Aperture]. Vestnik TsNIISK [Proceedings of Central Research Institute of Structural Units]. 2010, no. 10.
3. Musaev V.K. Difraktsiya prodol'noy volny na kruglom i kvadratnom otverstiyakh v uprugoy srede [Diffraction of a Longitudinal Wave in Circular and Square Holes of the Elastic Medium]. Abstracts of the "Dissemination of Elastic Waves" Conference. Frunze, Frunze Institute of Technology, 1983, Part 1, pp. 72—74.
4. Musaev V.K. Metod konechnykh elementov v dinamicheskoy teorii uprugosti [The Finite Element Method in the Dynamic Theory of Elasticity]. Prikladnye problemy prochnosti i plastichnosti [Engineering Problems of Strength and Ductility]. 1983, no. 24, pp. 161—162.
5. Musaev V.K. Reshenie zadach o rasprostranenii voln metodom konechnykh elementov [Using the Finite Element Method to Resolve the Problems of Wave Propagation]. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela. Referativnyy zhurnal. [Mechanics of Deformable Solid Bodies. A Journal of Abstracts]. 1986, no. 10, p. 15.
About the author: Nemchinov Vladimir Valentinovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Applied Mechanics and Mathematics, Mytischi Branch, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 50 Olimpiyskiy prospekt, Mytischi, Moscow Region, Russian Federation; vvnemchinov@gmail.com; +7 (495) 583-73-81.
For citation: Nemchinov V.B. Modelirovanie uprugoy ploskosti pri chislennom reshenii dinamicheskikh zadachakh teorii uprugosti s uchetom usloviy neotrazheniya ot granits raschetnoy oblasti [Elastic Surface Simulation as Part of the Computational Solution to Dynamic Problems of the Theory of Elasticity with Account for the Conditions that Cause Non-reflection from the Boundaries of the Computational Domain]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 144—147.
