Моделирование цифровых устройств на основе многозначных алфавитов и k‑значного дифференциального исчисления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.32: 519.713

B.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, НТУ "ХПИ",

C.Ю. ЛЕОНОВ, канд. техн. наук, НТУ "ХПИ"

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ

МНОГОЗНАЧНЫХ АЛФАВИТОВ И Я-ЗНАЧНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Показаны определенные противоречия между необходимостью более точного моделирования дискретных объектов и возможностью обеспечить это с помощью существующих и перспективных многозначных алфавитов. Выполнен сравнительный анализ моделирования цифровых устройств с помощью многозначных алфавитов и .^-значных дифференциальных моделей и продемонстрировано преимущество этих моделей.

Ключевые слова: моделирование дискретных объектов, многозначные алфавиты, .^-значные дифференциальные модели.

Постановка проблемы и анализ публикаций. В настоящее время известно большое число методов моделирования цифровых устройств и методов анализа их исправного и неисправного состояния. Модели цифровых устройств дифференцируют по ряду характеристик: учету времени

(синхронное, асинхронное и дельта-троичное моделирование, моделирование с нарастающей неопределенностью [1 - 4]), наличию неисправностей, учету переходных процессов (статическое, динамическое), типу моделей, уровню описания моделей (системное, функционально-логическое, схемотехническое, компонентное), выполнению итераций, реализации алгоритма, значности аппарата моделирования (двоичное, троичное, четырехзначное, девятизначное, и-значное или ^-значное моделирование) [4 - 7]. Разнообразие моделей и методов моделирования цифровых устройств связано с двумя противоположными тенденциями: развитием универсальных систем

моделирования, ориентированных на суперкомпьютеры, и созданием специализированных средств для разработки и исследования все более узких классов устройств либо решением отдельных классов задач моделирования на сравнительно маломощных компьютерах с "дружественным" интерфейсом. В связи с этим развитие каждого из названных классов моделей является актуальным. Тем более, что разработка универсальных систем моделирования является чрезвычайно трудоемкой и морально быстро стареющей из-за высокой скорости развития схемотехнической базы проектируемых изделий, аппаратного и системного обеспечения моделирующих компьютеров.

Двоичное описание сигналов в цифровых устройствах очень часто применяется при их синтезе, анализе и моделировании. Булево представление цифровых сигналов предполагает, что сигналы принимают только одно из двух значений и изменяются мгновенно, что часто не соответствует работе реальных устройств и приводит к их неправильному функционированию.

Недостатки булевого описания сигналов привели к разработке двух основных подходов к моделированию цифровых устройств с помощью многозначного представления сигналов. Первый подход основывается на описании не только устойчивых состояний ("единица" и "нуль"), но и неопределенных состояний, "гладких" и "негладких" переходов из одного устойчивого состояния в другое и наличием статических и динамических рисков сбоя [4 - 8]. Второй подход использует ^-значное кодирование сигналов, ^-значную логику и ^-значные дифференциальные уравнения для описания функционирования элементов и устройств цифровой вычислительной техники [8 - 10].

Целью статьи является сравнительный анализ моделирования цифровых устройств в многозначных алфавитах и с помощью ^-значного дифференциального исчисления для диагностирования дискретных объектов.

Рассмотрим вначале возможности моделирования с помощью первого подхода - многозначных алфавитов. Наиболее простым является моделирование в трехзначном алфавите Эйхельбергера (АЭ): "нуль" ("0"), "единица" ("1"), "неопределенность" (X), - который позволяет учитывать не только два устойчивых состояния, но и все множество неустойчивых состояний. Это существенно расширило возможности моделирования цифровых устройств. Однако у алфавита есть и заметные недостатки, в частности, с позиции теории множеств алфавит АЭ не замкнут относительно основных операций: пересечения, объединения и дополнения. Этого

недостатка нет у предложенного Д. Ротом [4] четырехзначного алфавита А1 = {0, 1 , X = {0, 1}, V}, где и - обозначение высокоимпедансного состояния. Операции объединения, пересечения и отрицания для элементов множества А1 приведены на рис. 1.

и 0 1 X и

0 0 X X 1

1 X 1 X 0

X X X X X

и 0 1 X и

п 0 1 X и

0 0 и 0 и

1 и 1 1 и

X 0 1 X и

и и и и и

а —а

0 1

1 0

X и

и X

Операция Операция Операция

объединения пересечения отрицания

Рис. 1

Поскольку элементы множества неустойчивых состояний качественно отличаются друг от друга - одни описыват "гладкие" переходы из одного устойчивого состояния в другое, другие - статические и динамические риски сбоев и т.д., то были введены алфавиты, позволяющие более детально описывать функционирование цифровых устройств. Одним из таких

алфавитов является 9-значный алфавит Фантози [6]: АФ = {0, 1, X, Е, Е, Н, Ь, Р, V}, где Е - "гладкий" переход из "0" в "1"; Е - динамический риск сбоя при переходе из "0" в "1"; Н - "гдадкий" переход из "1" в "0"; Ь - динамический риск сбоя при переходе из "1" в "0"; Р - статический риск сбоя в "0"; V -статический риск сбоя в "1". Однако алфавит Фантози и ему подобные [4, 8] для оценки работоспособности цифровых схем требуют, в отличие от булевого или алфавитов АЭ, А1, не одного, а большего числа тактов времени, поскольку для определения статических рисков сбоя необходимо не менее трех тактов времени, а для дифференцирования динамических рисков сбоя - не менее четырех. В связи с этим возникает необходимость введения и использования переменных и алфавитов, определенных на двух и более моментах (тактах) времени функционирования дискретных устройств. В работе [4] введен А-алфавит двухтактного кубического исчисления, при этом определены двухтактные переменные для моментов времени t - 1 и t. Переход от однотактных символов хг(0 е А'(/) или х( -1) е А'(/ -1) алфавита А1 для моментов времени t и t - 1 осуществляется с помощью вспомогательного символа 2, который описывает переменную при наличии в схеме высокого выходного сопротивления (высокого импеданса) и эквивалентен пустому символу в одном такте времени. А-алфавит содержит 23 символа, часть их которых приедена в табл.

А-алфавит замкнут относительно операций пересечения, объединения, дополнения и дает возможность дифференцировать риски сбоев, гонки, состязания сигналов, что весьма существенно при разработке цифровых устройств. Однако и недостатки его очевидны - существенно возрастает трудоемкость моделирования, для определения статических и динамических рисков сбоя необходимо до шести тактов времени, хотя основой алфавита являются двухтактные переменные, т.е. алфавит внутренне противоречив. В связи с этим напрашивается создание новых алфавитов путем увеличения тактности символов алфавитов, однако это существенно увеличит множество символов алфавитов и еще больше усложнит их использование при моделировании цифровых объектов.

Таким образом, существует определенное противоречие между необходимостью более точного моделирования дискретных объектов и возможностью обеспечить такое моделирование с помощью существующих и перспективных многозначных алфавитов. Кроме этого, рассмотренные многозначные алфавиты не позволяют моделировать работу цифровых устройств с учетом помех, обусловленных переходными процессами переключения логических сигналов и паразитными емкостями, и взаимоиндуктивностями между отдельными компонентами устройств и связывающими их проводниками. В таких случаях необходимо совместное решение уравнений алгебры логики, описывающих функционирование проектируемых изделий, и систем обыкновенных дифференциальных уранений, позволяющих вычислять значения помех. Поскольку решение таких

систем дифференциальных уравнений весьма трудоемко, то оно практически не используется, хотя учет дифференциальных связей в дискретных устройствах не стадии проектирования очень актуален.

Таблица

Символы А-алфавита Двухтактные формы символов Комментарии

0 Z0 Логический нуль в момент времени t.

1 Z1 Логическая единица в момент времени ^

X Ж Неопределенность в момент времени ^

G 0Z Логический нуль в момент времени t -1.

T 1Z Логическая единица в момент времени t -1.

K XZ Неопределенность в момент времени t -1.

Q 00 Сохранение нуля.

E 01 "Гладкий" переход из нуля в единицу (передний фронт импульса).

H 10 "Гладкий" переход из единицы в нуль (задний фронт импульса).

J 11 Сохранения единицы.

O X) Переход из неопределенности в нуль (установка нуля).

I X1 Переход из неопределенности в единицу (установка единицы).

A 0X Переход из нуля в неопределенность.

B Переход из единицы в неопределенность.

P {01,10} Статический риск сбоя в нуле.

F {00, 10, 11} Динамический риск сбоя при переходе из нуля в единицу.

Y XX Неопределенность в моменты времени t - 1 и t.

Это обусловило разработку нового класса математических моделей -^значных дифференциальных и интегральных уравнений [9, 10], которые могут дать более полные данные о работоспособности устройств на стадии их проектирования по сравнению с системами булевых уравнений и не требуют таких вычислительных затрат как системы непрерывных дифференциальных уранений.

Функционирование цифровых устройств при этом описывается системами ^-значных дифференциальных уравнений вида

dU ■ )

-----^-----= /у (ивхр (Ь )) <-* > ииНх,- &_!), ивЫх^' (to) = COnstJ , (1)

dU выху ) „ . , . " .

где ---------- - А-значная производная выходного сигнала для у-го (у = 1, п)

Лг

элемента устройства в момент времени Ц; п - число элементов в моделируемом устройстве; /у (ивхр (^)) - А-значная функцияу-го логического

элемента в момент времени ti; ивхр (^), (р = 1, т) - значения А-значных

входных сигналов на входах у-го элемента в момент времени ^; т -

число входов у-го логического элемента; и■ ^г-1) - значение А-значного

выходного сигнала у-го логического элемента в момент времени ti-1; г = 1,

2, 3 ... - натуральное число, определяющее значение момента времени.

Многочисленные примеры [8 - 10] моделирования различных устройств с помощью А-значных дифференциальных моделей показывают, что этот способ описания сигналов и элементов дискретных объектов позволяет определить все их исправные и неисправные режимы функционирования, для определения которых разработаны различные многозначные алфавиты. В качестве примера рассмотрим функционирование устройства, приведенного на рис. 2.

Рис. 2

Устройство состоит из двух инверторов, на входы которых приходят парафазные многозначные логические сигналы, а также двухвходовых схем 2И и 2ИЛИ. Зная математические модели основных базовых элементов цифровых устройств [9], нетрудно записать систему А-значных

дифференциальных уравнений, описывающих фунционирование этой схемы:

^1<^г ) dti

d02(ti )

= (1</ а >Т)(А (^ ) <-А >0! (ti-1)), 0^0) = 1,

dt:

= (1</ а >Т)(^2^ ) < а > 02^-1)), 02^) = 1

^3^г ) dti

d04(ti ) dt:

= (1 </а > Т)((а (^. ) & 02 (^ )) < А > 03 С^,--1)). 0) = 1,

= (1 </а > т)((01 (^ ) и 02 ($, )) < а > 04 (^-1)), 0) = 1,

где 0у (у = 1, 4) - значения А-значных логических сигналов на выходах

соответствующих логических элементов; </А) - А-значная операция деления; А\^д и А2(и) - А-значные входные сигналы, поступающие соответственно на входы первого и второго инверторов; Т - постоянная времени; <-А> - А-значная арифметическая операция выгаитания; & и и - А-значные логические операции И и ИЛИ соответственно.

Приведенная схема при двоичном моделировании на выходе 03(^) реализует зависимость вида 03^{) = А1^1 ) &А2^.), т.е. на этом ее выходе все

время, за исключением интервала (11 < и < 12) (рис. 3), должен быть сигнал низкого уровня (логический “нуль”), а в указанном интервале - сигнал логической единицы.

Рис. 3

Более точное моделирование на основе А-значных (А = 7)

дифференциальных уравнений дает возможность увидеть влияние реальной длительности фронтов сигналов А^) и А^) на изменение выходного сигнала 03^-). Сигнал не будет достигать высокого уровня в указанный интервал времени, хотя и имеется более длительный всплеск (интервал (13 < и < 16))

выходного напряжения во время переключения сигналов А 1(6) и А2(0 на входах устройства в интервале (11 < и < 12).

Аналогичный анализ значений сигнала 0^), определяемого зависимостью вида 04^) = A1(ti) и A2(ti), показывает, что булево моделирование на этом выходе все время дает сигнал высокого уровня (логическую "единицу") за исключением интервалов времени (5 < и < 6) и (19 < и < 20), где выходной сигнал принимает значение логического нуля. Использование А-значной дифференциальной модели показывает, что сигнал на выходе 04(и) не будет достигать нулевого значения, но провалы сигнала будут более длительными.

Если переходные процессы рис. 3 описывать с помощью многозначного А-алфавита или алфавита Фантози, то из этих алфавитов, кроме логического нуля и единицы, должны использоваться "гладкие" переходы из нуля в единицу и из единицы в нуль, а также статические риски сбоев в нуле и единице. Анализ других примеров моделирования устройств с помощью А-значных дифференциальных моделей [8 - 10] показывает, что любые процессы в цифровых схемах, описываемые многозначными алфавитами, естественным образом моделируются с помощью А-значных дифференциальных моделей. При этом дифференциальные модели дают возможность более точно исследовать процессы. Например, многозначные алфавиты при описании сигнала 03(Ь) отметят только наличие трех интервалов времени, связанных со статическим риском сбоя в нуле, в то время как процессы, полученные с помощью А-значных дифференциальных моделей покажут, что для корректной работы последующих элементов схемы может быть опасен только всплеск сигнала, достигающий 50% амплитуды единичного сигнала.

Как уже отмечалось выше, многозначные алфавиты не позволяют естественным образом моделировать помехи, вызванные дифференциальными связями между компонентами дискретных устройств. В отличие от многозначных алфавитов А-значное дифференциальное исчисление позволяет это сделать без особых проблем. В общем случае система А-значных дифференциальных уравнений для этого случая выглядит следующим образом:

ёикт _икт^^ск] йик

±7^222 Мпу-лг,

С П у к п К^п X йti С П ] к п

где и к - А-значное напряжение помехи, наводимой перепадами напряжения в т-м проводнике и обусловленное переключением логического сигнала в п-м проводнике из логического нуля в логическую единицу (то есть из 0 в

значение А - 1) или наоборот, т = 1, р ; р - число пассивных проводников, в

которых анализируется помеха; к - индекс, учитывающий тип переходного процесса, к = 1, если напряжение изменяется из нуля в А - 1, к = 2, если напряжение изменяется из А - 1 в нуль; С - суммарная емкость выходов логических элементов в активной линии; Спу и Мпу - соответственно емкость взаимной связи и взаимоиндуктивность отдельных участков проводников,

влияние которых анализируется; и к - А-значное напряжение в п-м активном проводнике, перепад которого является источником помехи в т-м проводнике, п = 1, д; q - количество учитываемых активных проводников; хк = х^) -

постоянная времени переходного процесса в момент времени и, i = 0, 1, 2, ...; Кы = Р-т^д - выходное сопротивление логического элемента в активной линии в момент времени 4; П - индекс для учета всех участков в п-м проводнике, оказывающих влияние на участки т-го проводника; у - индекс для учета всех участков т-го пассивного проводника, являющегося приемником наводок;

1<к - А-значная величина тока при перепаде в п-м активном проводнике, который является источником наведенной помехи.

Поскольку и функционирование элементов, и паразитные связи между ними описываются системами обыкновенных А-значных дифференциальных уравнений, то совместное решение этих систем уравнений не вызывает особых затруднений, то есть А-значные дифференциальные модели позволяют моделировать работу дискретных устройств с учетом помех, обусловленных переходными процессами переключения логических сигналов и паразитными связями между компонентами устройств.

Выводы. Анализ применяемых при моделировании цифровых устройств многозначных алфавитов показывает определенные противоречия между необходимостью более точного моделирования дискретных объектов и возможностями обеспечить это с помощью существующих и перспективных многозначных алфавитов. Выполнен сравнительный анализ моделирования цифровых устройств с помощью многозначных алфавитов и А-значных дифференциальных моделей и продемонстрировано преимущество этих моделей, поскольку они позволяют получать более полные количественные и качественные характеристики переходных процессов в схемах, чем моделирование на основе многозначных алфавитов. Кроме того, А-значные дифференциальные модели позволяют моделировать процессы, например, переходные процессы, обусловленные переключением логических элементов и паразитными связями между компонентами устройств, которые не удается описать с помощью многозначных алфавитов. Все это подтверждает перспективу использования А-значного дифференциального исчисления при проектировании сложных дискретных устройств.

Список литературы: 1. Беннеттс Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем / Пер. с англ. Дербуновича Л.В. - М.: Радио и связь, 1990. - 176 с. 2. ЯрмоликВ.Н. Контроль и диагностика

цифровых узлов ЭВМ. - Минск: Шука и техника, 1989. - 234 с. 3. Шаршунов С.Г. Tpоичноe моделирование дискретных устройств с макроблоками. - Владивосток: Институт автоматики и процессов управления ДВHЦ АH СССР, 1979. - 55 с. 4. Хаханов В.И. Модели цифровых и микропроцессорных структур и методы их анализа в системе диагностического обслуживания: Дис. доктора техн. наук: 05.13.02 и 05.13.08. - Xаpьков: XTУРЭ, 1996. - 350 с. 5. Jutman A. At-Speed On-Chip Diagnosis of Board-Level Interconnect Faults // Proc. of 9th European Test Symposium (ETS'04). - France. - 2004. - P. 2 - 7. б. Chouki Aktouf. A Complete Strategy for Testing an On-Chip Multiprocesor Architecture // IEEE Design Л Test of Conputers. - 2OO2. - P. ІВ - 2В. Т. Хаханов В.И. Texничeская диагностика элементов и узлов персональных компьютеров. - К.: ИЗМ^ 1997. -30В с. 8. Дмитриенко В.Д., Леонов С.Ю., Гладких Т.В. Верификация рисков сбоя в цифровых устройствах на основе K-значного моделирования // Вестник HTУ ’^ПИ". - X.: ШУ ^ПИ". -2007. - № 39. - С. 55 - б2. 9. Дмитриенко В.Д., Леонов С.Ю. K-значное дифференциальное исчисление и моделирование цифровых устройств. - X.: Tpанспоpт Украины, 1999. - 223 с. 10. Korsunov N.I., Dmitrienko V.D., Leonov S.Yu., Gladkih T.V. Use of the Technique of Derivatives of K-Valued Functions for Simulation of Computing Units // Engineering Simulation. - І99В. - Vol. І5. -P. І27 - І35.

УДК бВІ.32: 5І9.7І3

Моделювання цифрових пристроїв на основі багатозначних алфавитів і Х-значного диференційного числення I Дмитрієнко В.Д., Леонов С.Ю. // Вісник HTУ ’^Ш". Teматичний випуск: Інформатика і моделювання. - Xаpків: HTУ '^Ш", 200В. - № 24. - С. 42 - 50.

Показані певні протиріччя між необхідністю більш точного моделювання дискретних об‘єктів і можливістю забезпечити це за допомогою існуючих і перспективних багатозначних алфавитів. Виконано порівнільний аналіз моделювання цифрових пристроїв за допомогою багатозначних алфавитів і K-значних диференційних моделей та продемонстровано переваги цих моделей. Іл.: 3. Tабл.: 1. Бібліогр.: 10 назв.

Ключові слова: моделювання дискретних об‘єктів, багазначні алфавити, K-значні

диференційні моделі.

UDC бВІ.32: 5І9.7І3

Modelling of digital devices on the basis of multiple-valued alphabets and Х-Value differential calculus I Dmitrienko V.D., Leonov S.Yu. // Herald of the National State University "KhPI". Subject issue: Information science and molling. - Kharkov: NSU "KhPI", 200В. - № 24 - P. 42. - 5O.

The certain contradictions between necessity of more exact modelling of discrete objects and an opportunity to provide it by means of existing and perspective multiple-valued alphabets are shown. The comparative analysis of modelling of digital devices by means of multiple-valued alphabets and K-Value differential models is executed and advantage of these models is shown. Figs: 3. Tabl.: 1. Refs: 10 titles.

Key words: modelling of discrete objects, multiple-valued alphabets, K-Value differential models.

Поступила в редакцию 25.04.2008