CC BY
63
№ 3 / 2015
ISSN 2410-6070
УДК 539.196.3
Ю.И.Хлопков
д.ф.-м.н, профессор МФТИ, г. Жуковский Email: khlopkov@falt.ru Зея Мьо Мьинт к.ф.-м.н, докторант МФТИ, г. Жуковский Email: zayyarmyomyint@gmail.com А.Ю.Хлопков
генеральный директор издательства «Квадрат», г. Раменское
Email: khlopkov@falt.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ МОЛЕКУЛ ГАЗА
Аннотация
В работе рассматривается кинетические уравнения парных и тройных столкновения упругих молекул. Свойства газа с ощутимым влиянием тройных столкновений будут отличаться от обычных свойств из-за столкновения молекул между собой и с поверхностью твердого тела. Вероятность тройного столкновения мала по сравнению с парным столкновением.
кинетическое уравнение Больцмана, тройные столкновения, уравнение Лиувилля, потенциал Леннара-Джонса
Понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими [3, 9, 10]. Состояние газа определяется взаимодействием молекул между собой и с границами твердыми или жидкими телами. При взаимодействии частиц могут происходить различные процессы. Процесс столкновения сводится к изменению свойств частиц в результате взаимодействия. Законы сохранения позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении частиц.
Известное интегродифферециальное кинетическое уравнение Больцмана для парных столкновения имеет в виде [1, 5, 7]
f (t, x, y, z, Sx, Sy, Sz) - функция распределения молекул по времени, координатам и скоростям, f', f ' -функции распределения, соответствующие скоростям молекул после столкновения S и Si', g - относительные
азимутальный угол при столкновениях частиц.
Рассмотрим определение скорости парных упругих столкновениях молекул. Столкновение молекул в совершенном газе являются парными, т. е. столкновении участвуют только две молекулы. Упругое столкновение определяется как столкновение, в котором не происходит обмена между поступательной и внутренней энергиями. Скорости двух молекул до столкновения в типичном парном столкновении можно обозначить через Si и S2, а после столкновения Si' и S2'.
В процессе столкновении должны сохраняться массы, импульс, энергии и момент инерции и означает,
что
Ключевые слова
скорости молекул при парных столкновениях g = ^ ^ ^ — ^ , Ъ, в - прицельное расстояние и
+ m2^2 = Щ^1 + m2%2 , m&i2+,
m£l2 ! m2%2 _ тЛ12 , m2^22 2 2 2 2
2
'2^2
2
22
- 140 -
_________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
х ri + m&2 х r2 = m& x 3 + 3 x r2,
здесь mi, m2 - массы двух молекул. Значения относительной скорости между молекулами до и после столкновения можно определить так:
g = &1 - & 2 ,
g=&з- & 2.
уравнения можно разрешить относительно ^1 и ^2, скорости до столкновений могут быть выражены в
виде
&1 = & m
m„
m+m2
g
& 2 = & m
m,
m+m2
g=
где скорости центр масса
& =
m&i+2
ml + m2
Скорости до столкновения относительно центра масс ^i-^m и ^2-^m показывают, что эти скорости параллельны в системе центра масс, и если молекулы являются точечными центрами сил, то сила между ними остается в плоскости, содержащей эти скорости. Столкновение, следовательно, происходит в плоскости, проходящей через начало системы центра масс. Так и скорости молекул после столкновении можно написать
&= &1 + n(ng) , &2 = &2 - n(ng) , g2 = I&1 - & 2|=g'2 .
где n - случайный единичный вектор
nx = sin ycos^, 0 <ф< 2п.
0 < у < п/2.
n
. sin ysm^,
П = cos ф.
11].
В процессе тройных столкновений должны сохраняться массы, импульс, энергии и момент инерции [2, 6,
m1&1 + m2&2 + m3&3
m&1 + m2&2 + m3&3
m1&1 1 m2&2 1 m3&3 . 2 2 2 '
--m&1 + m2&2 + m3&3 ,
--m&i + m2&2 + m3&32 ,
m1&12 , m2&22 , m3&32 2 2 2 ,
m & x r+m2&2 x r + m&з x r = m&3 x r+m&3 x r2 + m&3 x r3.
Скорости частиц после тройных столкновений имеет вид
&3 = &1 + n(ng), &; = &;+ n(ng),
&2=& 2- n(ng), ^ =^2- n(ng),
&3 = &3- n(ng), &" = &3- n(ng).
Скоростное отношение до и после столкновения равны
g2=2 - & 2H 2 - §1!= g32.
- 141 -
№ 3 / 2015
ISSN 2410-6070
а).
б).
в).
Рисунок 1 - Основные траектории частиц молекул [4]
Рассмотрим нескольких результатов, полученных из функции распределения молекул. Число частиц использовал 9х105 в этой сосуде. Из графиков ясно, что скорости молекул до и после столкновения совпадали. На рис. 2(а, б, в) показаны скорости молекул до столкновения и на рис. 3(а, б, в) после столкновения [12]. Упругое столкновение определяется как столкновение, в котором не происходит обмена между поступательной и внутренней энергиями.
а).
б). в).
Рисунок 2 - Распределение скорости молекул до столкновения
а). б). в).
Рисунок 3 - Распределение скорости молекул после столкновения
Хотя потенциал Леннарда-Джонса и используется при моделировании жидкости и твёрдых тел, строго говоря, взаимодействие молекул при больших плотностях уже не является парным [13, 14]. В
конденсированных средах на рассматриваемую пару молекул влияют молекулы окружения. Так было найдено, что для твёрдого аргона вклад в энергию от тройных взаимодействий может достигать 10 процентов [8]. Однако, учет тройных взаимодействий вычислительно слишком дорог, поэтому обычно довольствуются неким эффективным парным потенциалом, где параметры в и о отличаются от таковых для разреженных газов.
Работа выполнена при поддержке Российского Научного Фонда (Проект № 14-11-00709).
- 142 -
_______________________________МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
Список использованной литературы
1. Белоцерковский О.М., Хлопков Ю.И. Методы Монте-Карло в механике жидкости и газа. — М.: Азбука, 2008. - 330 с.
2. Зея Мьо Мьинт, Чжо Зин О тройных столкновениях молекул // Труды 52 научной конференции МФТИ. - Жуковский, 2009. с. 156-158.
3. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука, 1967.
4. Лифшиц Е.М, Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Физматлит. - 2002. - 536 с.
5. Хлопков Ю.И. Статистическое моделирование в вычислительной аэродинамике. - М.: Азбука, 2006, - 158 с.
6. Хлопков Ю.И., Хлопков А.Ю., Зея Мьо Мьинт Моделирование процессов тройных столкновений молекул // Журнал «Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии», Алушта, 2014 (22-28 сентября). № 1 (14). с. 23-29.
7. Хлопков Ю.И., Чернышев С.Л., Зея Мьо Мьинт, Хлопков А.Ю. Введение в специальность II. Высокоскоростные летательные аппараты.- М.: МФТИ, 2013. - 192 с.
8. Axilord B. M., Teller E. Interaction of the van der Waals’ type between three atoms. J. Chem. Phys. 11, 1943, с. 299—300
9. Belotserkovskii O.M., Khlopkov Yu.I. Monte Carlo Methods in Mechanics of Fluid and Gas, World Scientific Publishing Co. New Jersey, London, Singapore, Beijing, Hong Kong, 2010.
10. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. - Oxford: Clarendon Press,
1994.
11. Khlopkov Yu.I., Zay Yar Myo Myint, Khlopkov A.Yu. The triple collisions of molecules // Physical Chemistry: An Indian journal, India, 2014. Vol. 9, Issue 4, pp. 137-140.
12. Khlopkov Yu.I., Khlopkov A.Yu., Zay Yar Myo Myint Processes of triple collisions of molecules // Abstract book of 29th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Xian, China. - 2014 (July 13-18), pp. 222223.
13. Khlopkov Yu.I, Khlopkov A.Yu., Zay Yar Myo Myint Modelling of processes of triple collisions of molecules // International Research and Practical Conference “Science, education and technology: results of 2013”, Donetsk, Ukraine, 2013, pp. 49-54.
14. Khlopkov Yu.I., Khlopkov A.Yu., Zay Yar Myo Myint Kinetic equations for the triple collisions of molecules // Materials of the international conference “Fundamental researches”, Dominican Republic, International journal of experimental education, 2014 (13-22 April). No. 6, pp 40.
- Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-0700564 А).
©Ю.И.Хлопков , Зея Мьо Мьинт, А.Ю.Хлопков
УДК 004921
Л.Р. Юренкова
к.т.н., доцент
факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»
Д.А. Маханёк студент
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
г. Москва, Российская Федерация
ПРОГРАММЫ AUTODESK INVENTOR И GEOGEBRA В ГЕОМЕТРИИ
Аннотация
Приведенные в статье задачи показывают как, начиная с десятого класса, можно развивать конструкторское мышление учащихся средствами геометрии.
- 143 -
