CC BY
39
УДК 55.30.03; 621.865.8
Сибирский журнал науки и технологий. 2017. Т. 18, № 4. С. 820-824 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМИРУЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Л. В. Ручкин*, Н. Л. Ручкина
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: leonid-ruchkin@yandex.ru
Приведены результаты моделирования трансформируемых механических систем, применяемых при создании робототехнических устройств и изделий космических аппаратов. Трансформируемые системы рассматриваются в виде многозвенных шарнирных механизмов с размещенными на звеньях или на основании приводами. Проведенный анализ публикаций показал, что при создании трансформируемых систем используются как разомкнутые, так и замкнутые кинематические цепи.
Для описания работы использованы уравнения Лагранжа второго рода в матричной форме, которые справедливы как для разомкнутых (последовательных), так и для замкнутых (параллельных) структур. С целью решения прямой задачи динамики и определения необходимых управляющих моментов приводов предложена математическая модель четырехзвенного механизма раскрытия штанги панелей солнечных батарей (последовательная структура). При построении модели принято, что механизм работает в горизонтальной плоскости, моменты сил тяжести, приложенные к звеньям, воспринимаются устройствами обезвешивания.
Моделирование проводилось в среде графического программирования LabVIEW, при этом разработаны виртуальные приборы, позволяющие вычислять координаты характерных точек механизма, например, центров масс звеньев как точек крепления устройств обезвешивания, виртуальные приборы вычисления матриц инерции звеньев, кинетической энергии звеньев и необходимых моментов сил приводов.
Предложенная модель и разработанные виртуальные приборы позволяют решать прямую задачу динамики трансформируемой механической системы и могут быть использованы при проектировании новых образцов робототехнических систем и изделий космических аппаратов.
Ключевые слова: робототехника, многозвенный трансформируемый механизм, матричный метод, прямая задача динамики.
Siberian Journal of Science and Technology. 2017, Vol. 18, No. 4, P. 820-824 MODELING OF THE TRANSFORMABLE MECHANICAL SYSTEMS L. V. Ruchkin*, N. L. Ruchkina
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: leonid-ruchkin@yandex.ru
The results of the modeling of the transformable mechanical systems are presented. This mechanical systems are used for construction space vehicles and robotics devices. They are constituted of a succession of rigid bodies, each of them being linked to its predecessor and its successor by a one-degree-of-freedom joint. Each segment being linked to its successor by a revolute or translational joint. Each of the joints can being actuated. The analysis ofpublications has shown that open-loop kinematic chains and closed-loop kinematic chains are used.
The Lagrange dynamical equations in matrix form are used for the modeling mechanical systems. This equations are true for open-loop kinematic (serial) and closed-loop (parallel) kinematic chains. The forward problem of the dynamics of the opening the bar of the solar panels are presented (open-loop kinematic chain). In this case are accepted, that the rigid bodies of the device are rotating in a horizontal plane and gravitational moments are perceive by balance.
The modeling of the transformable mechanical systems are implemented by LabVIEW. Virtual instruments for calculate the coordinates of behavioral points of the mechanical system, for example, centre of mass, as points for mount balance, matrix of the inertia, the kinetic energy of the system and the force of the actuator are presented.
The article proposes the results of the modeling and virtual instruments are solved the forward problem of the dynamics of the transformable mechanical systems and can being used for design robotic system and manufacture of the space vehicles.
Keywords: robotics, multijointed transformable mechanism, matrix method, forward problem of the dynamics of robots
Введение. При создании изделий ракетно-космической техники, робототехнических и меха-тронных устройств широко применяются различные трансформируемые механические системы (антенны, рефлекторы, манипуляторы и т. п.). Подобные системы можно рассматривать как многозвенные механизмы с размещенными на звеньях или основании приводами. Из-за сложности проектирования, изготовления и отладки, а также с учетом высокой стоимости подобных устройств возникает необходимость построения их математических моделей и определения динамических характеристик. В статье рассмотрено построение математической модели на примере четы-рехзвенного механизма раскрытия штанги панелей солнечных батарей [1-11].
Кинематическая модель. Четырехзвенный механизм, расчетная схема которого приведена на рис. 1, состоит из основания (звено 0) и трех шарнирно соединенных звеньев 1, 2 и 3. Шарниры расположены в точках А, В, ¥, оси шарниров параллельны между собой. Перемещения звеньев кинематически связаны при помощи тросовых передач. Привод звеньев размещен на основании.
Для описания указанного плоского многозвенного механизма, построенного по разомкнутой кинематической схеме с тремя вращательными (В) парами пятого класса, оси которых параллельны между собой, воспользуемся матричным методом, который применим для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей [12].
С каждой В парой связываем /-ю систему координат х1А, х2/, х3/, где / = 0-2. Разметка осей приведена
на расчетной схеме (рис. 1). Каждую ось х3 { направляем вдоль оси соответствующего шарнира перпендикулярно плоскости чертежа, ось х1 А направляем
вдоль или параллельно продольной оси /-го звена, ось х2/ направляем так, чтобы система координат была
правой.
cos qi - sin qt 0 dx1,i- 1 • cos qt
sin qi cos qi 0 dx 2,i- 1 •sin q.
0 0 1 0
0 0 0 1
Инерциальную систему координат х10, х2 0, х3 0
связываем с основанием (звено 0). Переход от 1-й к (/ - 1)-й системе координат описывается однородной матрицей перехода [12]
A" =
где qi - обобщенные координаты, определяемые как углы между векторами х1 /_1 и xli; /_1 и ёх2 /_1 -
сдвиг начала (/ - 1)-й системы координат до совмещения с началом /-й системы координат соответственно по направлению векторов х1 /_1 и х2 /_1.
В инерциальной системе координат векторное уравнение кинематики четырехзвенного механизма имеет вид
= А? • А2 ••• А'_] • Г = В/ • Г/,
где В/ = А° • А1 • •• АА_1, / = 1, 2, 3 .
Механическая модель. Составим уравнение движения для четырехзвенного механизма. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, которые справедливы для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей.
Уравнения Лагранжа второго рода [2; 3] для плоского многозвенного механизма имеют вид
дЬ_ dt dqk
dL
dqk
= Mk
где к = 1, ...,п ; п - число степеней подвижности; Ь = К _ Р - функция Лагранжа; К - кинетическая энергия; Р - потенциальная энергия; q_k - обобщенные скорости; Мк - обобщенные силы или моменты.
Рис. 1. Расчетная схема Fig. 1. The design scheme
Полная кинетическая энергия i-го звена определяется [13; 14] выражением
K =
2 ¿ tTr ( • I • BPT )• q j • q p
■ j=1 p=i 5B,
5K
5q
2 = Tr (( • I2 • B22T
)• q + Tr(( • I2 • B22T)• q2,
5K3 i ,
^ = Tr (B1 •
I3 • B33T
)• +
(
+ Tr (B32 • I3 • B33T
)• Í2 + Tr(
B33 • I3 • B3T
)• q3-
Матрица Л1С преобразования системы координат х11С, х21С, х31С к инерциальной системе координат
х10, х2 0, х3 0 имеет вид
аО _ А« . ла Л1С - Л1 Л2С •
Матрица Л\0 преобразования системы координат х12Б, х2 2Б, х3 2Б , связанной с центром масс звена 2
2,2
3,2
(точка D), к системе координат Xj 2, x2
2' 2,2' 3,2
начало
которой располагается на оси шарнира В, имеет вид
A1 = Aq •A2 Л2 D ~ 2 2 D '
где A2? - матрица поворота.
Определим необходимые матрицы преобразований для звена 3 механизма.
Матрица Aq элементарного поворота на угол q3 вокруг оси X3 3 имеет вид
cos q3 - sin q3 0 0 sin q3 cos q3 0 0 0 0 10 0 0 0 1
Aqq =
координат x1
на 3 (точка E), к системе координат X12, X
2 , x2,2 , X3,2
начало
которой располагается на оси шарнира F, имеет вид
A3 = Л3Е -
10 0^-2
0 10 -d5
0 0 1 0 0 0
Матрица A32E преобразования системы координат
X
-4,3 , X2,3 ' л3,3
имеет вид
, X3
к системе координат x12, x2 2, x3 2
A2 = Aq • A3
Л3Е ~ л3 л3 E ■
где матрица В/ _ —- описывает изменение матрицы
дЧ]
Вг при изменении обобщенной координаты ; Iг -
матрица инерции г-го звена; Т - знак операции транспонирования матриц.
Для сборки уравнений движения необходимо вычислить производные кинетической энергии по обобщенным скоростям и времени. Для звеньев механизма
= Тг ( • 11 • В1Т )• «1,
Определим [13; 14] матрицы В-к, описывающие изменение матриц В/ при изменении координаты дк :
дВ1 д
B„ = 5BL = ^ас ) = d2 • A,0
5q1 5q1 v '
= D2•AÍ•Ad 1С D A1 a2 С,
B12 = M = /-(• A • a1d) = D• A0 • D• A.
1
2D,
B22 = _B = 5 (
2 3q2 5q2 ^
B13 5B1 5
B3 =
2
5
A1 • D • A2D )= A1 • D • A2d ,
5Bl = JL (d • A? • A1 • A32e ) = D • A10 • A1 • D • A
2
3
23 5B
B323 =
5
5Í2 5Í3
(( • D • A1 • A32e ) = A? • D • A2 • D • A
2
L3E,
33 5B
B333 =
„ = 5 5í2 5q3
(( • A-1 • D • A3E ) = Д0 • A1 • D2 • A:
2
-3E,
где для вращательных пар матрица Б имеет вид "0 -1 0 0" 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
D =
Уравнение движения для k-го звена имеет вид
j=1
^ • Bf )q j
Матрица A33E элементарных сдвигов от системы
связанной с центром масс зве-
+ £ Tr ( • Ii • Bf )qj • qp = Mk.
j, p=1
Механизм работает в горизонтальной плоскости, моменты сил тяжести, приложенные к звеньям, воспринимаются устройствами обезвешивания. Моментами сил трения в шарнирах на первом этапе исследования можно пренебречь. Следовательно, в качестве обобщенной силы принимаем момент сил Мь приложенный к звену 1.
Звенья кинематически связаны и для полного раскрытия
q2 =-2 • q1, q3 = 2 •
Моделирование проводилось в среде графического программирования LabVIEW [15; 16].
Задав диапазон изменения обобщенной координаты q1, решаем прямую задачу кинематики, график изменения координат центров масс звеньев приведен на рис. 2. Для решения прямой задачи динамики созданы виртуальные приборы (ВП), позволяющие вычислять матрицы инерции звеньев, кинетическую энергию звеньев и необходимые усилия или моменты сил приводов (рис. 3).
Рис. 2. Графики изменения координат центров масс звеньев механизма Fig. 2. Graphs of the change in the coordinates of the centers of mass of the links of the mechanism
a - длина звена q - угол поворота звена, град
Матрица поворота
R2 - внешний радиус
0,05
dl-сдвиг по оси XI, м 0,5
с12-сдвиг по оси >:!2, □
0 -1 0 0
1 0 0 0,5
0 0 0 0
0 0 0 0
Матрица сдвига
R1 - внутренний радиус Координаты Ц.М. Координаты ЦМ
q Q46 в 1-ой СК в инерциальной СК
m - масса звена 0,814
0 0,5
0 0
0 0
1 1
1 0 0 0,5
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 0
0 0,5 0 0
Матрица преобразования
Матрица инерции
Скорость поворота звена, град/с 90
1 0 0 0,5
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0,067858 0 0 0
0 0,0009397 0 0
0 0 0,0009397 0
0 0 0 0,8143
Матрица D
■1
След матрицы 0,27
Кинетическая энергия, Дж
0,336
Рис. 3. Лицевая панель ВП вычисления кинетической энергии первого звена Fig. 3. Front panel of the VP of calculating the kinetic energy of the first link
Заключение. В результате выполненной работы разработаны математическая модель и виртуальные приборы, позволяющие решать прямую задачу кинематики и динамики трансформируемых механических систем, т. е. на основании заданных законов движения и массоинерционных характеристик звеньев определять необходимые обобщенные силы или моменты, развиваемые приводами звеньев. Результаты исследования могут быть использованы при проектировании робототехнических и мехатронных систем, а также при разработке механических систем космических аппаратов.
Библиографические ссылки
1. Ручкин Л. В., Крючков М. А. Исследование движения манипулятора, построенного по замкнутой кинематической схеме ВВВВВВ с параллельными осями // Автоматизация и моделирование в производстве приборов : межвуз. сб. науч. тр. М. : МИП, 1989. С. 82-88.
2. Ручкин Л. В. Моделирование манипулятора с параллельным расположением приводов // Спутниковые системы связи и навигации : тр. Междунар. науч.-техн. конф. (30 сент. - 3 окт. 1997 г.) В 4 т. Т. 2 / КГТУ. Красноярск, 1997. С. 21-26.
3. Ручкин Л. В. Графическое моделирование плоских манипуляторов // Математические модели и методы их исследования : тезисы докладов / Краснояр. гос. ун-т. 1999. С. 177-178.
4. Система обезвешивания изделий космического аппарата на базе манипуляторов / Н. Л. Ручкина [и др.] // Решетневские чтения : материалы XII Меж-дунар. науч. конф., посвящ. памяти генер. конструктора ракет.-космич. систем акад. М. Ф. Решетнева (10-12 нояб. 2008, г. Красноярск) / под общ. ред. И. В. Ковалева ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2008. С. 26.
5. Ручкин Л. В., Ручкина Н. Л. Компенсация сил трения в механизмах устройств имитации невесомости // Лесной и химический комплексы - проблемы и решения : сб. ст. по материалам Всерос. науч.-практ.
конф. (9 дек. 2016 г.). Т. 1 / СибГАУ. Красноярск, 2016. С. 146-153.
6. Ручкин Л. В., Ручкина Н. Л. Силовой расчет параллельного манипулятора в программном пакете LabVIEW // Решетневские чтения : материалы XXI Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. памяти генер. конструктора ракет.-космич. систем акад. М. Ф. Решет-нева (08-11 нояб. 2017, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 1 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2017. С. 527-528.
7. Корендясев А. И., Саламандра Б. Л., Тывес Л. И. Теоретические основы робототехники / отв. ред. С. М. Каплунов ; Ин-т машиноведения им. А. А. Бла-гонравова РАН. В 2 кн. Кн. 1. М. : Наука, 2006. 383 с.
8. J.-P. Merlet. Parallel Robots. Springer, 2006. 418 p.
9. Буянкин В. М. Управление электроприводами для механизмов параллельной кинематики робота манипулятора типа «Хобот» // Исследование наукограда. 2012. № 1. С. 29-36.
10. Эффективные методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной структуры / Л. А. Рыбак [и др.]. М., 2011. 148 с.
11. Подзоров П. В., Бушуев В. В. Синтез структур технологического оборудования на основе механизмов параллельной кинематики // Мехатроника, автоматизация, управление. 2002. № 4. С. 11-18.
12. Фу К. С., Гонсалес Р. К., Ли К. С. Робототехника : пер. с англ. М. : Мир, 1989. 624 с.
13. Динамика управления роботами / В. В. Козлов [и др.]. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 384 с.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 832 с.
15. Суранов А. Я. LabVIEW 7: справочник по функциям. М. : ДМК Пресс, 2005. 512 с.
16. Автоматизация физических исследований и эксперимента: компьютерные измерения и виртуальные приборы на основе LabVIEW 7 / под. ред. П. А. Бутырина. М. : ДМК Пресс, 2005. 264 с.
References
1. Ruchkin L. V., Kryuchkov M. A. [Analysis of motion of manipulator, constructed by closed-loop kinematic chains with parallel axeses]. Avtomatizatsiya i modeliro-vanie vproizvodstve priborov: 1989, P. 82-88 (In Russ.).
2. Ruchkin L. V. [Modeling of the manipulator with parallel actuators]. Sputnikovye sistemy svyazi i navigat-sii: Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy kon-ferentsii (30 sentyabrya - 3 oktyabrya 1997 g.) V 4-kh tomakh. T. 2. Krasnoyarsk, P. 21-26 (In Russ.).
3. Ruchkin L. V. [Graphics simulation of the planar manipulator]. Matematicheskie modeli i metody ikh issle-dovaniya. Krasnoyarsk. 1999, P. 177-178 (In Russ.).
4. Ruchkina N. L., Bud'kov V. A., Skripka A. V., Ruchkin L. V. [System of balances of manufacture of the
space vehicles by manipulators]. Reshetnevskie chteniya: materialy XII Mezhdunar. nauch. konf., posvyashch. pamyati general 'nogo konstruktora raketno-kosmicheskikh sistem akademika M. F. Reshetneva (10-12 noyab. 2008, g. Krasnoyarsk). Krasnoyarsk, 2008, P. 26 (In Russ.).
5. Ruchkin L. V., Ruchkina N. L. [Compensation the friction forces in the devices of the mechanisms of clone the weightlessness]. Lesnoy i khimicheskiy kompleksy -problemy i resheniya. Sbornik statey po materialam Vse-rossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii (9 dekabrya 2016g.). Vol. 1, Krasnoyarsk, 2016, P. 146-153 (In Russ.).
6. Ruchkin L. V., Ruchkina N. L. [Force calculation of the planar manipulator by LabVIEW]. Reshetnevskie chteniya : materialy XXI Mezhdunar. nauch. - prakt. konf., posvyashch. pamyati gener. konstruktora raket.-kosmich. sistem akad. M. F. Reshetneva (08-11 noyab. 2017, g. Krasnoyarsk). Krasnoyarsk, 2017. Ch. 1, P. 527528 (In Russ.).
7. Korendyasev A. I., Salamandra B. L., Tyves L. I. Teoreticheskie osnovy robototekhniki. [Foundation of the theory of the robotics]. Moscow, Nauka Publ., 2006, 383 p. (In Russ.).
8. Merlet J.-P., Parallel Robots. Springer, 2006, 418 p.
9. Buyankin V. M. [Motor control for mechanism of parallel kinematic of robot manipulator "Khobot"]. Issle-dovanie naukograda. 2012, No. 1, P. 29-36 (In Russ.).
10. Rybak L. A. Effektivnye metody resheniya zadach kinematiki i dinamiki robota-stanka parallel 'noy struktury [Efficient method of еру solution tasks of the kinematic and dynamic of the robot-machine with parallel structure]. Moscow, 2011, 148 p. (In Russ.).
11. Podzorov P. V., Bushuev V. V. [Structure synthesis of manufacturing equipment based on mechanism of parallel kinematic]. Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie. 2002. No. 4, P. 11-18 (In Russ.).
12. Fu K. S., Gonsales R. K., Li K. S. Robototekhnika. [Robotics]. Moscow, 1989, 624 p. (In Russ.).
13. Kozlov V. V., Makarychev V. P., Timofeev A. V., Yurevich E. I. Dinamika upravleniya robotami. [The dynamic of the control of the robot] Moscow, Nauka Publ., 1984, 384 p. (In Russ.).
14. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov. [The reference book of the mathematic for scientist and engineer]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 832 p. (In Russ.).
15. Suranov A. Y. LabVIEW 7: spravochnikpo funktsi-yam. [LabVIEW 7: The reference book of the functions]. Moscow, DMK Press Publ., 2005, 512 p. (In Russ.).
16. Butyrin P. A. Avtomatizatsiya fizicheskikh issledo-vaniy i eksperimenta: komp'yuternye izmereniya i vir-tual'nye pribory na osnove LabVIEW 7 [Automation of the physical researches and experiment: computer-aided instrumentation and virtual instruments by LabVIEW 7]. Moscow, DMK Press Publ., 2005, 264 p. (In Russ.).
© Ручкин Л. В., Ручкина Н. Л., 2017
