МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ В ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ С ЛОКАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Серия: Физика Вып. 3 (31)

УДК 536.2

Моделирование термогравитационной конвекции с переменной вязкостью в замкнутой полости с локальным источником энергии

М. С. Астанинаa, М. А. Шереметb

a Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36 email: astanina.marina@bk.ru

b Томский государственный университет, 634050, Томск, пр. Ленина, 36 email: Michael-sher@yandex.ru

Проводится численный анализ нестационарных режимов свободноконвективного теплопере-носа в замкнутой полости, заполненной жидкостью с зависящей от температуры вязкостью, при наличии локального источника постоянной температуры. Математическая модель, сформулированная в безразмерных переменных «функция тока - завихренность», реализована численно методом конечных разностей на равномерной сетке. Исследования проведены в широком диапазоне изменения чисел Рэлея и Прандтля, а также параметра, характеризующего зависимость вязкости от температуры. Получены поля изолиний функции тока и температуры, отражающие влияние ключевых характеристик на структуру течения и теплоперенос.

Ключевые слова: естественная конвекция; переменная вязкость; локальный источник энергии

1. Введение

Изучение нестационарных режимов конвективного теплопереноса в областях различной геометрии привлекает внимание многих исследователей уже не одно десятилетие. Причиной такого интереса является широкий спектр приложений, где конвекция представляется доминирующим механизмом переноса энергии, например, охлаждение элементов электронной техники, теплоперенос в солнечных коллекторах, выращивание объемных монокристаллов, получение однородного расплава материала [1-4].

Следует отметить, что в большинстве опубликованных работ рассматриваются случаи постоянной вязкости, хотя известно, что это свойство жидкости может существенно изменяться с температурой [5-10]. Так, например, нестационарные режимы естественной конвекции в замкнутой квадратной дифференциально-обогреваемой полости, заполненной жидкостью с переменной вязкостью, проанализированы в [5]. В результате установлены интенсификация конвективного теплопереноса вблизи нагреваемой стенки и ослабление этого механизма переноса энергии

около охлаждаемой поверхности, что обусловлено уменьшением и увеличением вязкости, соответственно. При этом в нестационарном режиме теп-лопоступление со стороны горячей вертикальной стенки превалирует над теплоотводом в холодную вертикальную стенку. Исследование влияния температурного напора на вязкость жидкости в режиме естественной конвекции проведено в [6]. Для описания гидродинамики авторы использовали одно уравнение четвертого порядка относительно функции тока. В результате установлено, что увеличение вязкости вследствие уменьшения температуры проявляется в ослаблении конвективного движения, что было показано ранее в [5]. Моделирование свободноконвективного течения высоковязких сред в вертикальной трубе проведено в [7]. Исследования отражают гидродинамику и тепло-перенос в широком диапазоне изменения числа Прандтля. Показано существенное влияние температурной зависимости вязкости на среднюю скорость течения и интенсивность теплообмена. Численный анализ естественной конвекции воздуха с переменными физическими свойствами в полуоткрытой квадратной полости с вертикальной изотермической и остальными адиабатическими стенками проведен в [8]. Авторы описали

© Астанина М. С., Шеремет М. А., 2015

интенсификацию теплопереноса при увеличении температурного напора, а также отразили границы применимости приближения Буссинеска для рассматриваемого класса задач. Эффекты влияния переменной вязкости на свободную конвекцию в вертикальном прямоугольном канале проанализированы в [9]. В результате исследований показана зависимость коэффициента трения, интенсивности течения и теплопереноса от чисел Грасгофа и Бринкмана, а также от геометрического параметра и коэффициента, отражающего зависимость вязкости от температуры. Экспериментальный и численный анализ стационарных режимов естественной конвекции минерального нафтенового масла внутри замкнутой дифференциально-обогреваемой кубической полости проведен в [10]. В результате исследований были получены устойчивые режимы течения, отражающие асимметрию поля скорости и температуры вследствие зависимости вязкости от температуры.

Целью настоящей работы является численный анализ нестационарных режимов термогравитационной конвекции жидкости с переменной вязкостью, находящейся в замкнутой полости с локальным источником энергии.

2. Математическая модель и метод решения

'777777777

Рис. 1. Область решения задачи

Рассматривается нестационарный процесс естественной конвекции в замкнутой квадратной полости при наличии изотермического источника с температурой Ть, расположенного в центральной части нижней стенки (рис. 1). Область решения содержит две вертикальные изотермические границы с температурами Тс (Тк > Тс), остальные стенки являются адиабатическими. При проведении вычислительных экспериментов считается, что внутри рабочей среды теплоперенос осуществля-

ется за счет конвекции; среда является ньютоновской теплопроводной жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска; режим течения является ламинарным; вязкой диссипацией пренебрегаем. Считается, что вязкость жидкости является функцией температуры

(

v = v0 • ехр

-С

Т - Т

\

Тн - Тс ,

где ^ - коэффициент кинематической вязкости при начальной температуре Т0 = 0.5 (Тк + Тс).

Дифференциальные уравнения переноса массы, импульса и энергии в рассматриваемой области имеют вид нестационарных уравнений Обербека-Буссинеска для случая переменной вязкости, сформулированных в безразмерных преобразованных переменных «функция тока - завихренность»:

д2Т д2Т

дХ2 дУ

= -О,

(2.1)

дО. Т7дО тдО

—+и-+V-

дг дХ дУ

( ^2 ,

(2.2)

дУ2 дХ дХ дУ ( дУ

д©+и д©+у д© =

дг дХ дУ

1 ( д2 © д2©^

л/Яа • Рг

дХ2 дУ2

(2.3)

Здесь X, У - безразмерные координаты, соответствующие координатам х, у; г - безразмерное время; и, V - безразмерные составляющие скорости в проекции на оси X, У соответственно; © - безразмерная температура; Т - безразмерная функция тока (и = дТ/дУ, V = -дТ/дХ) ; О - безразмерный аналог завихренности скорости (О = дУ/дХ - ди/дУ) ; Рг = v0/а - число Пранд-

тля; Яа = g$(Th -Тс)Х3Д,0а - число Рэлея;

М = v|v0 = ехр (-С©) - безразмерная вязкость.

Следует отметить, что в качестве характерного расстояния была выбрана длина полости Ь,

масштаб скорости - - Тс) Ь , масштаб вре-

мени - , масштаб функции тока -

-Тс)ЬЬ , масштаб завихренности -^РТ - Тс )/Ь, масштаб кинематической вязко-

+

сти - у0 , а безразмерная температура была введена следующим образом:

0 = т -т

Т - тс

На рис. 2 представлены временные зависимости среднего числа Нуссельта на поверхности нагревателя, определяемого формулой

здесь g - ускорение свободного падения; в - температурный коэффициент объемного расширения.

Начальные и граничные условия для сформулированной задачи (2.1)-(2.3) рассматривались в следующем виде.

В начальный момент времени предполагалось, что жидкость, заполняющая полость, неподвижна, поэтому Т (X,У,0) = О (X,У,0) = 0 . Начальная температура, вследствие выбранного обезразмери-вания, принимала вид 0(X,У,0) = 0О = 0 .

Граничные условия:

• на границах У = 0 и У = 1:

Т = 0, дТ/дУ = 0, д©/ дУ = 0;

• на границах Х = 0 и Х = 1:

Т = 0, дт/ах = 0, © = -0.5 ;

• на поверхности источника энергии:

Т = 0, дТ/Ш = 0, © = 0.5 .

Сформулированная краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных

(2.1)-(2.3) с соответствующими начальными и граничными условиями решена методом конечных разностей [11-14] на равномерной сетке. Значения завихренности скорости на поверхностях стенок полости и локального источника энергии определялись на основе формулы Вудса [14]. Для численного решения уравнений параболического типа

(2.2) и (2.3) применялась локально одномерная схема Самарского, позволяющая плоскую задачу свести к системе одномерных. Для аппроксимации конвективных слагаемых использовалась схема с донорными ячейками, для диффузионных слагаемых - центральные разности. Эволюционный член представлял собой одностороннюю разность по времени и имел первый порядок точности относительно шага по времени. Все производные по пространственным координатам аппроксимировались со вторым порядком точности относительно шага по координате. Дискретизация уравнения Пуассона (2.1) проводилась на основе формул симметричной аппроксимации вторых производных. При этом полученное разностное уравнение разрешалось методом последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.

Разработанный метод решения был протестирован на ряде модельных задач свободноконвек-тивного теплопереноса. Детальное описание тестовых задач представлено в работах [11-13].

^ =1

Г д©

Ь П-д©] ау +

Ь 0 ^ дХ )X =( 1-1)/2Ь

+ ь(^2Ь г д©

dX +

ьГ д©

Ь г I д©

Ь -И яг

дX

dY

X=( 1+1)/ 2Ь

от размерности разностной сетки при Яа = 3.5-10 , С = 3, Рг = 7.0. Из рис. 2 видно, что с течением времени наблюдается тепловое установление процесса, поскольку интегральный коэффициент теплообмена при т > 80 не изменяется. Так как уменьшение шага разностной сетки отражается на повышении времени счета, то для дальнейшего анализа была выбрана разностная сетка размерности 100x100 с целью оптимизации точности вычислений и времени расчета.

Рис. 2. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и размерности разностной сетки

3. Результаты численного моделирования

Численный анализ проведен при следующих значениях безразмерных комплексов, характеризующих режимы конвективного теплопереноса: Яа = 104-106; Pr = 7-700; С = 0-3; 0 < т < 100. Необходимо отметить, что влияние чисел Рэлея и Прандтля, а также параметра, отражающего зависимость вязкости от температуры, на локальные распределения изолиний функции тока и температуры продемонстрировано в условиях стационарного процесса (т = 100). Данный момент времени

характеризует термогидродинамическое установление анализируемого явления, что можно проследить, например, по временным зависимостям для среднего числа Нуссельта (рис. 2).

На рис. 3 представлены распределения изолиний функции тока и температуры, отражающие влияние числа Рэлея на структуру течения и теп-лоперенос при Рг = 7.0, С = 2.

У ©

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 X

Рис. 3. Изолинии функции тока Т и температуры © при Рг = 7.0, С = 2: а -Яа = 10;4 б - Яа = 105; в - Яа = 106

1 / I I

I /

I I

-1-1-1-1-*■

0 20 40 60 80 Т

Рис. 4. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и числа Рэлея при Рг = 7.0, С = 2

Независимо от значения числа Рэлея внутри полости формируются две конвективные ячейки, отражающие наличие восходящего потока в центре полости непосредственно над источником энергии и двух нисходящих течений вблизи охлаждаемых вертикальных стенок. Следует отметить, что увеличение роли выталкивающей силы проявляется в интенсификации конвективного течения и теплообмена. Над источником энергии появляется двумерный факел, толщина которого с ростом Яа уменьшается в основании, т.е. вблизи поверхности нагревателя, но при этом заметно значительное расширение вблизи верхней адиабатической стенки. При этом ядра конвективных ячеек с ростом числа Рэлея смещаются в вертикальном направлении и несколько изменяют пространственную ориентацию вследствие интенсификации течения.

Зависимость интегрального коэффициента теплообмена на поверхности источника энергии от времени и числа Рэлея представлена на рис. 4.

У 0

Рис. 5. Изолинии функции тока Т и температуры © при Яа = 105, Рг = 7.0: а -С = 0; б - С = 1; в - С = 3

Как отмечалось выше, увеличение Яа приводит к существенному росту среднего числа Нуссельта. При этом термодинамическое установление с ростом числа Рэлея затягивается вследствие более интенсивного перемешивания внутри полости. В [12] были выделены четыре зоны эволюции интегрального коэффициента теплообмена. В случае переменной вязкости и при высоких числах Прандтля можно выделить только три участка:

-Иа = 10'

-----Яа = 10!

--- Яа = 10'

начальный участок или зона теплопроводности, участок интенсивного теплоотвода или конвективная зона и стационарный участок. Участок установления [12], отражающий появление осцилляций интегрального коэффициента теплообмена, является результатом взаимодействия подъемной силы, стремящейся хаотизировать течение, с силами внутреннего трения (вязкими силами), направленными на ослабление конвективного движения. Данный участок пропадает вследствие рассмотрения более вязкой среды Pr = 7.

На рис. 5 представлены распределения линий тока и изотерм при Ra = 105, Pr = 7.0 и различных значениях параметра, характеризующего зависимость вязкости от температуры.

Анализируя рис. 5, можно отметить, что увеличение параметра изменения вязкости С приводит к ослаблению ,,с=о

Imax

,|с=3

max

лее интенсивным прогревом полости и, соответственно, уменьшением температурного напора внутри полости, который является «генератором» конвективного течения. Следует также отметить, что увеличение параметра С приводит к снижению вязкости среды с ростом температуры, т.к. М = exp (-C©) , что проявляется в более интенсивном прогреве полости. Динамику последнего можно проследить, анализируя эволюцию интегрального коэффициента теплообмена (рис. 6).

Жс 0 = 0.0152,

max

Жс=3 = 0.0132 .

max

конвективного ,|с=1

Imax

течения:

Мс 1 = 0.0144, Мс 2 = 0.0137,

I Imax I Imax

Такая динамика обусловлена бо-

ется в формировании более интенсивного конвективного течения на начальном временном этапе, что и приводит к более интенсивному теплосъему с поверхности источника энергии при т < 10, а выход на стационар, в свою очередь, характеризует уменьшение интегрального коэффициента теплообмена с ростом параметра С.

На рис. 7 представлена зависимость среднего числа Нуссельта от числа Прандтля при

Яа = 105, С = 2.0.

Анализируя рис. 7, можно отметить, что увеличение числа Прандтля проявляется в росте времени, необходимого для достижения установившегося режима. При этом наблюдается значительное увеличение продолжительности первого и второго этапов эволюции интегрального коэффициента теплообмена.

Рис. 6. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и параметра С при Яа = 105, Рг = 7.0

Рис. 6 отражает уменьшение с ростом С

вследствие более интенсивного прогрева полости, а соответственно и области вблизи локального источника энергии. Увеличение глобального минимума № при повышении параметра С проявля-

Рис. 7. Зависимость среднего числа Нуссельта от времени и числа Прандтля при Яа = 105, С = 2.0

4. Заключение

Проведено математическое моделирование нестационарной естественной конвекции ньютоновской жидкости с переменной вязкостью в замкнутой квадратной полости с локальным изотермическим источником. Исследования реализованы в широком диапазоне изменения определяющих параметров: Яа = 104-106; Рг = 7-700; С = 0-3; 0 < т < 100. Установлено, что увеличение роли выталкивающей силы проявляется в интенсификации теплопереноса со смещением ядер конвективных ячеек в вертикальном направлении. Рост параметра С приводит к более интенсивному прогреву полости, а соответственно и к ослаблению конвекции. Повышение числа Прандтля отражается в затягивании выхода на стационарный режим.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для молодых российских ученых (грант МД-6942.2015.8) и Рос-

сийского фонда фундаментальных исследований

(грант № 14-08-31137-мол_а).

Список литературы

1. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. М.: Мир, 1983. 400 с.

2. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Сам-макия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. Т. 1. 678 с.

3. Telionis D. P. Unsteady Viscous Flows. New York: Springer, 1981. 408 p.

4. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

5. Hyun J. M., Lee J. W. Transient natural convection in a square cavity of a fluid with temperature-dependent viscosity // International Journal of Heat and Fluid Flow. 1988. Vol. 9. P. 278-285.

6. Вабищевич П. Н., Есикова Н. Б., Илиев О. П. Численное моделирование естественной конвекции с переменной вязкостью // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 3. С. 15-22.

7. Yamasaki T., Irvine T. F. Laminar free convection in a vertical tube with temperature-dependent viscosity // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1984. Vol. 27. N. 9. P. 1613-1621.

8. Juarez J. O., Hinojosa J. F. , Xaman J. P. , Tel-lo M. P. Numerical study of natural convection in an open cavity considering temperature-dependent fluid properties // International Journal of Thermal Sciences. 2011. Vol. 50. P. 2184-2197.

9. Umavathi J. C., Ojjela O. Effect of variable viscosity on free convection in a vertical rectangular duct // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 84. P. 1-15.

10. Cordoba P. A., Silin N., Dari E. A. Natural convection in a cubical cavity filled with a fluid showing temperature-dependent viscosity // International Journal of Thermal Sciences. 2015. Vol. 98. P. 255-265.

11. Мартюшев С. Г., Шеремет М. А. Численный анализ конвективно-радиационного теплопере-носа в замкнутой воздушной полости с локальным источником энергии // Компьютерные исследования и моделирование. 2014. Т. 6. № 3. С. 383-396.

12. Гибанов Н. С., Шеремет М. А. Влияние формы и размеров локального источника энергии на режимы конвективного теплопереноса в квадратной полости // Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7. № 2. С. 271-280.

13. Astanina M. S., Sheremet M. A., Umavathi J. C. Unsteady natural convection with temperature-dependent viscosity in a square cavity filled with a porous medium // Transport in Porous Media. 2015. Vol. 110. N. 1. P. 113-126.

14. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

References

1. Jaluria Y. Natural convection. Heat and Mass Transfer. Oxford, England: Pergamon Press, 1980. 400 p. (Russ. ed.: Dzhalurija J. Estestvennaja kon-vekcija: Teplo- i massoobmen. Moscow, Mir, 1983, 400 p.)

2. Gebhart B., Jaluria Y., Mahajan R. L., Sammakia B. Buoyancy-induced flows and transport. Berlin, Germany: Springer, 1988, vol. 1, 678 p. (Russ. ed.: Gebhart B., Dzhalurija J., Ma-hadzhan R., Sammakija B. Svobodnokonvektivnye techenija, teplo- i massoobmen. Moscow, Mir, 1991, vol. 1, 678 p.).

3. Telionis D. P. Unsteady Viscous Flows. New York: Springer, 1981. 408 p.

4. Gershuni G. Z., Zhuhovickij E. M., Nepomnjash-hij A. A. Ustojchivost' konvektivnyh techenij. Moscow: Nauka, 1989, 320 p. (In Russian).

5. Hyun J. M., Lee J. W. Transient natural convection in a square cavity of a fluid with temperature-dependent viscosity. International Journal of Heat and Fluid Flow. 1988, vol. 9, pp. 278-285.

6. Vabishhevich P. N., Esikova N. B., Iliev O. P. Chislennoe modelirovanie estestvennoj konvekcii s peremennoj vjazkost'ju. Matematicheskoe modelirovanie. 1990, vol. 2, no. 3, pp. 15-22. (In Russian).

7. Yamasaki T., Irvine T. F. Laminar free convection in a vertical tube with temperature-dependent viscosity. International Journal of Heat and Mass Transfer. 1984, vol. 27, no. 9, pp. 1613-1621.

8. Juarez J. O., Hinojosa J. F. , Xaman J. P. , Tel-lo M. P. Numerical study of natural convection in an open cavity considering temperature-dependent fluid properties. International Journal of Thermal Sciences. 2011, vol. 50, pp. 2184-2197.

9. Umavathi J. C., Ojjela O. Effect of variable viscosity on free convection in a vertical rectangular duct. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2015, vol. 84, pp. 1-15.

10. Cordoba P. A., Silin N., Dari E. A. Natural convection in a cubical cavity filled with a fluid showing temperature-dependent viscosity. International Journal of Thermal Sciences. 2015, vol. 98, pp. 255-265.

11. Martjushev S. G., Sheremet M. A. Chislennyj ana-liz konvektivno-radiacionnogo teploperenosa v zamknutoj vozdushnoj polosti s lokal'nym isto-chnikom jenergii. Kompjuternye issledovanija i modelirovanie. 2014, vol. 6, no 3, pp. 383-396. (In Russian).

12. Gibanov N. S., Sheremet M. A. Vlijanie formy i razmerov lokal'nogo istochnika jenergii na rezhimy

58

M. C. Acmanuna, M. A. W^epeMem

konvektivnogo teploperenosa v kvadratnoj polosti. Komp'juternye issledovanija i modelirovanie. 2015, vol. 7, no 2, pp. 271-280. (In Russian). 13. Astanina M. S., Sheremet M. A., Umavathi J. C. Unsteady natural convection with temperature-dependent viscosity in a square cavity filled with a

porous medium. Transport in Porous Media. 2015, vol. 110, no. 1, pp. 113-126.

14. Paskonov V. M., Polezhaev V. I., Chudov L. A. Chislennoe modelirovanie processov teplo- i mas-soobmena. Moscow: Nauka, 1984, 288 p. (In Russian).

Simulation of natural convection with variable viscosity in an enclosure with a local heat source

M. S. Astaninaa, M. A. Sheremetb

a Tomsk State University, Lenin Avenue 36, 634050, Tomsk email: astanina.marina@bk.ru

b Tomsk State University, Lenin Avenue 36, 634050, Tomsk email: Michael-sher@yandex.ru

Numerical analysis of transient natural convection in an enclosure filled by a fluid with temperature-dependent viscosity at the presence of a local heat source of constant temperature is carried out. Mathematical model formulated in dimensionless variables «stream function - vorticity» is solved numerically by finite difference method using uniform mesh. Investigations have been conducted in a wide range of the Rayleigh and Prandtl numbers and viscosity variation parameter. Distributions of streamlines and isotherms illustrating the effects of the governing parameters on the fluid flow and heat transfer have been obtained.

Keywords: natural convection; variable viscosity; local heat source