CC BY
28
© В.А. Винников, И.В. Кириченко, В.Л. Шкуратник, 2008
УДК 622: 550.372
В.А. Винников, И.В. Кириченко, В.П. Шкуратник
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОЭМИССИОННЫХ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Семинар № 2
Термоэмиссионный эффект памяти (ТЭП) проявляется при циклическом нагревании горных пород с возрастающей от цикла к циклу величиной конечной температуры. Он заключается в невоспроиз-водимости акустической эмиссии (АЭ) вплоть до максимальной температуры предшествующего цикла и резком увеличении активности АЭ и суммарной АЭ при достижении конечной температуры предыдущего цикла [1]. Впервые он был открыт в 70-е годы прошлого века при исследовании гранита Уэстерли [2], но наиболее полный эксперимент по выявлению особенностей ТЭП был проведен в 1980 г. С. Йонгом и С. Вангом [3].
Причиной акустической эмиссии (АЭ) в горных породах является образование новых или рост существующих трещин, то есть, в конечном счете, действие механических напряжений. Для термоакустической эмиссии (ТАЭ) в качестве таковых выступают механические напряжения, возникающие вследствие перепада температур. Следовательно, прежде всего, для построения моделей ТЭП необходимо рассчитать тепловое поле в геоматериале, что при условии учета неоднородностей его структуры представляет собой весьма непростую задачу.
В данной работе излагается один из возможных подходов к моделиро-
ванию ТЭП, впервые обоснованный в [4].
Предположим, что рассматриваемый объем горной породы представлен совокупностью структурных элементов, обладающих разными тепловыми свойствами (в частности, разными величинами коэффициентов теплопроводности). В качестве структурных элементов могут выступать, например, минеральные зерна, их агрегаты или составные части агрегатов, не обязательно являющиеся зернами. Предположим также, что на границах между этими структурными элементами расположены микротрещины, имеющие характерный размер 2Ь, а весь рассматриваемый объем подвергается мгновенному нагреву по границам до заданной температуры. Подведенная таким образом тепловая энергия в дальнейшем распределяется между структурными элементами в соответствии с их тепловыми свойствами.
Будем считать, во-первых, что ни до, ни после температурного воздействия берега трещин не могут сомкнуться, и в силу этого при росте трещин трение по этим берегам отсутствует, а во-вторых, что раскрытие трещин весьма мало, и их наличие существенно не искажает тепловое поле в рассматриваемом объеме горной породы. При этом естественно предположить, что большее влияние
Рис. 1. Схема расположения зерен: 1
трещина, 2 - зерно
на тепловое поле окажут сами границы структурных элементов, чем расположенные вдоль них микротрещины.
При таком подходе, в котором не учитывается временной фактор, нагрев рассматриваемого объема горной породы может моделироваться изменением конечной температуры, до которой происходит мгновенный нагрев по границам.
Была реализована следующая модель. В бесконечно тонкой кварцевой пластине под наблюдением находится
о
n зерен квадратной формы размером а х а м. Зерна расположены в виде квадрата n х n . На границах зерен случайным образом расположены N трещин случайной длины (рис. 1).
Тепловое воздействие моделируется приложением на бесконечности
градиента температур grad (T0) вдоль
одной из осей. Температуру зерна в предложенной модели можно рассчитать по формуле [5, 6]:
Ti = + В n -^эфф )^х
(п 2п 2п I 1
{Щв + В(, V, 0)-^эфф) х 0 0 0 '
xdip dv d0 )-1 • grad (T0), (1)
где E - единичная матрица 3 ранга; f 4 1 1}
- константа;
B =
14 1 114
- эффективное
^ 8 1 Лж
Лзфф _ ^ м . с . К
значение тензора ; ^п - тензор коэффициента теплопроводности я-го зерна; (Т0) - градиент темпера-
г
У
1
туры; Х =
Л0 -
(6.5 0
0 6.5
0 0
0 ^ 0 11.3
тензор
коэффициента теплопроводности кварца, приведенный к главным осям;
^ - операция нахождения обрат-
ной матрицы.
В каждом зерне тензор ^п ориентирован случайно относительно главных осей:
Xn [i,j] = А [і,1] +A [i,2]-А [ j,1] +A [i,3] • А [ j,1] +A [i,1]^ А [ j,2] +A [i,2] • А [ j,2] +A [i,3] • А [ j,2] +A [i,1> А [ j, 3] +A [i,2] • А [ j,3] +A [i,3] • А [ j,3]
А [ j,1] •Х 0 [1,1]-Х0 [2,1]-Х0 [3,1]-Х 0 [1,2]-Х0 [2,2] ■
Х0[3,2]-Х0 [1,3] +
Х0[2,3]+
Х0 [3,3J ,
+
+
+
+
+
где A [i, j] - матрица поворота:
A [1,1] = cos (у) cos (ф) - sin (y) sin (ф) cos (б); A [’•2] = sin (у) cos (ф) + cos (у) sin (ф) cos (9) ; A ад = sin (9) • sin (ф);
A [2,l] = - cos (у) • sin (ф)-
- sin (у) • cos (ф) • cos (9) ;
A [2,2] = - sin (у) • sin (ф) + (3)
+ cos(у) •cos(ф) •cos(9) ;
A [2,3] = sin (9) • sin (ф);
A M = sin (у) • sin (9) ;
A [3,2] = - cos (у) •sin (9);
A[3’3] = cos(9);
ф, у, 9 - индивидуальные для каждого зерна углы поворота тензора , определяемые случайным образом в следующих пределах: ф = [0; 2 п] ,
у = [0; 2 п] , 9 = [0; п], рад .
Зная разность температур между зернами, граничащими с трещиной, можно определить величину возникающих в ее вершине структурнотермических напряжений [7]:
a-E-At- L ....
а = 4(1 -v) • 8 ' (4)
где G - величина напряжения, Па; a - линейный коэффициент теплового расширения, K-1 ; E - модуль упругости, Па; A t - разность температур на берегах трещины, K ; L -длина трещины, м; V - коэффициент Пуассона; 8 - раскрытие трещины, м.
Однако удобней пользоваться не величиной напряжения, а коэффициентом интенсивности напряжений (для плоского случая - второго рода):
Kn = a • Vn • L . (5)
Согласно критерию Ирвина при Кп > KIIc , где KIIc - вязкость разрушения, произойдет самопроизвольный рост трещины. В этом случае длина и раскрытие трещины скачкообразно увеличатся, прочностные свойства граничащих с трещиной зерен ухудшатся, а аппаратура зафиксирует акустический импульс, то есть произойдет акт термоакустической эмиссии.
Таким образом, изменяя циклически градиент температуры grad (T0)
и контролируя при этом величину суммарной акустической эмиссии, можно попробовать зарегистрировать явление термоэмиссионного эффекта памяти в вышеописанной модели.
Такая модель позволяет рассчитать температурное поле в квазиоднород-ной среде (однородная, или массивная, структура), у которой углы поворота главных осей тензора теплопроводности задаются случайным образом. Однако, если зафиксировать углы поворота главных осей тензора теплопроводности у определенным образом расположенных зерен, выделив отдельно две группы зерен, то это позволяет ввести в модель элементы учета структуры породы.
Так, была реализована слоистая структура (штриховкой выделена одна группа зерен, без штриховки - другая группа с иными свойствами), в которой толщина каждого слоя составляла соответственно одно или два зерна (рис. 2); вкрапленная разнозернистая структура (рис. 3) и массивная структура со случайным образом ориентированными тензорами коэффициента теплопроводности, показанная на рис. 1.
В соответствии с представленными выше соображениями была разработана программа, реализующая все эти особенности, интерфейс главного окна которой представлен на рис. 4.
у 4 7 Л
% 'Л А %
Г
% У/, % % К
\ Г
% % V/, % % у/л
г
у/л % й у/л
% % У/, % К. % у/л
(а)
Рис. 2. Слоистая структура: (а) - 1 ряд зерен в слое, (б) - 2 ряда зерен в слое; 1 - трещина; 2 и 3 - зерна слоев с разными свойствами
1 / /
Щ %
% %
( %
%
%
1 %
% Г %
% %
% %
1
~м
71
ш
V
ш
(а) (б)
Рис. 3. Вкрапленная структура с соотношением размеров зерен: (а) - 1:2, (б) - 1:3; 1
- трещина; 2 и 3 - зерна слоев с разными свойствам^
Ввод исходных данных для расчетов понятен из подписей полей ввода главного окна программы, а варианты выбора структуры модели определяются во вкладке «Структура» (рис. 5). Варианты расположения трещин относительно слоев при слоистой структуре выбираются установкой флажков в полях:
- «Трещины в нечетных слоях» -трещины располагаются только в нечетных слоях, олнако в пределах сло^ их расположение псевдослучайно;
- «Трещины в четных слоях» - трещину располагаются только в четных слояЭ, однако в пределах слоя их расположение псевдослучайно.
84
Рис. 4. Интерфейс главного окна программы
Рис. 5. Интерфейс вкладки (Структура»
jradT Акт. Эм. Сум. Акт. Эм. <deltaT> <±>. <Е> Л
К К мкм МПа
146 22 263 16,33 142,45 285,6
147 17 236 17,81 142,46 285,5
140 17 303 17,23 142,48 285,4
143 21 324 17,36 142.50 285,2
150 17 341 17,30 142,52 285,1
151 23 ЗЄ4 18,43 142,54 284,3
152 29 333 18,82 142,57 284,7
153 26 413 18,32 142,60 284,5
154 27 446 18,25 142,62 284,3
155 22 466 18,37 142,65 284,1 т
Рис. 6
Если выбраны оба флага, то расположение трещин никак не коррели-руется со структурой.
По результатам работы программой заполняется таблица, представленная на рис. 6, на основе которой строятся графики зависимости суммарной активности эмиссии от градиента температуры в абсолютных и относительных единицах.
Заполняемая таблица: I столбец - градиент температуры (grad T); II столбец
- активность эмиссии (Акт. Эм.); III столбец - суммарная активность эмиссии (Сум. Акт. Эм.); IV столбец
- разность температур на берегах трещины, усредненная по всем трещинам (<delta T>); V столбец -средняя длина трещин (<L>); VI столбец - средний модуль упругости
(<в>).
Блок-схема основной части программы представлена на рис. 7, и из нее понятна последовательность вычислений, производимых при моделировании ТЭП по принятой схеме.
Программа была протестирована при следующих исходных данных:
Число зерен в модели N = 100 ; размер зерна a = 0.001 м ; модуль Юнга В = 105.8 ГПа ; коэффициент Пуассона v = 0.3 ; температурный коэффициент линейного расширения
А
Рис. 7. Блок-схема основной части программы
а _ 10-4 К-1 КПс _ 11000
вязкость разрушения
Н
м'
3/2
Каждая модель подвергалась четырем циклам нагрева: 1 цикл - от 0 до 100 °С; 2 цикл - от 0 до 200 °С; 3 цикл - от 0 до 300 °С; 4 цикл - от 0 до 400 °С.
Результаты работы программы представлены на рис. 8, причем
цифрами на рисунке обозначены номера циклов нагрева (первый цикл не показан ввиду малости значений суммарной акустической
эмиссии в нем).
Результаты моделирования ТЭП (суммарная активность акустической эмиссии при различных структурах, заложенных в модель) Сравнение результатов компьютерного моделирования с экспериментальными
= 18000 §
І 16000
1 14000
0 ¥
? 12000 Ь
2 10000
1 8000
0 =
а 6000 к
1 4000 =
> 2000
0
IV /
І
і
'V і
/
-X у
50 100 150 200 250 300 350 400 450
Температура, град. С
20000
5 18000 з
І 16000
І 14000 ¥
? 12000 І
* 10000
5
х 8000 и
І 6000 к 1!
о. 4000 І
£ 2000
У/
III
у /
II
II /
50 100 150 200 250 300 350 400 450
Температура, град. С
Рис. 8
Структура вкрапленная (зерна отличаются по размеру в 3 раза)
20000
І 18000 і
І 16000 ;
с 14000
! 12000 Т
\ 10000
С 8000 а
і 6000
^ 4000 Е
і 2000
7
/
/
III/
II / І
50 100 150 200 250 300 350 400 450
Температура, град. С
исследованиями [1] позволяет сделать следующие выводы:
1. Результаты, полученные при компьютерном моделировании, качественно совпадают с данными экспериментальных исследований на образцах.
2. Термоакустический эффект памяти в модели с массивной структурой четко проявляется только во втором цикле нагревания. В последующих циклах рост суммарной АЭ начи-
нается существенно раньше максимальной температуры предшествующего цикла.
3. Результаты моделирования термоакустического эффекта памяти зависят от характера неоднородности горной породы: суммарная активность акустической эмиссии максимальна в модели с вкрапленной структурой (чем больше различие в размерах зерен, тем она выше), и минимальна - при слоистой структуре.
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 07-05-00045.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Термоэмиссионные эффекты памяти горных пород / В.В. Ржевский, B.C. Ямщиков, В.Л. Шкуратник и др. //Докл. АН СССР. - 1985 - Т.283. - №4.- с. 843-845.
2. Todd T.P. Effects of cracks on elastic properties of low porosity rocks. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1973.
3. Yong Ch., Wang Ch. Thermally induced acoustic emission in Westerly granite. // СєорЬ Res. Letts. - 1980. -Vol. 7 - № 12 -p.1089-1092.
4. О теоретической модели термоэмиссионного эффекта памяти в горных породах. // Прикладная механика и техническая физика. - 2008 - № 2.
5. Определение стационарного температурного поля в неоднородной поликристал-
лической среде. / В.А. Винников. // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2003 -т.10. - вып. 3. - с. 622-623.
6. Моделирование трещинообразова-ния в неоднородной однокомпонентной случайной среде под воздействием стационарного температурного поля. / В.А.Винников. // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2004 - т.11. - вып. 4.
- с. 774-775.
7. Моделирование процесса роста трещин в неоднородной случайной среде под воздействием стационарного температурного поля. / В.А.Винников. // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2004 - т. 11. -вып. 2. - с. 313-314. 1233
— Коротко об авторах----------------------------------------------------------------
Винников В.А. - доцент,
Кириченко И.В. -
Шкуратник В.Л. - профессор, доктор технических наук,
Московский государственный горный университет.
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 2 симпозиума «Неделя горняка-2008».
