CC BY
32
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXXI 2 00 0
№1—2
УДК 532.526.011.55.011.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
К БОКОВЫМ СТЕНКАМ УЗКОЙ ВЫЕМКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
В. А. Башкин, Е. В. Булдаков, И. В. Егоров, Д. В. Иванов
На основе численного интегрирования полных уравнений Навье — Стокса исследованы особенности поля течения и теплообмена при обтекании плоской пластины с узкой выемкой на ее поверхности сверхзвуковым потоком совершенного газа. Расчеты выполнены при различных граничных условиях по теплообмену на обтекаемой поверхности (теплоизолированная и изотермическая). Установлены законы подобия по теплообмену на боковых стенках выемки.
В технических приложениях часто приходится иметь дело с телами, на поверхности которых расположены узкие канавки (межплиточные зазоры теплозащитного покрытия, зазоры технических устройств и т. п.). При обтекании таких тел сверхзвуковым потоком эти канавки вносят локальные возмущения в поле течения и приводят к образованию локальных пиков теплового потока. Все это обусловливает определенные проблемы при организации теплозащиты обтекаемой поверхности от аэродинамического нагревания. Поэтому изучение структуры поля течения и поведения локальных аэродинамических характеристик в окрестности узких выемок представляет научный и практический интерес.
Для изучения этой проблемы в ЦАГИ были проведены экспериментальные и теоретические исследования обтекания сверхзвуковым потоком тел с узкой выемкой на их поверхности. В качестве объектов исследования рассматривались плоская пластина и аппарат типа Mars Pathfinder.
Экспериментальные исследования проводились в ударной аэродинамической трубе УТ-1 [1], которая широко используется для изучения проблем аэродинамического нагревания. Эти исследования показали наличие пиков теплового потока в угловых точках выемки; в некоторых случаях тепловая нагрузка может превышать возможности теплозащиты системы.
Теоретические исследования базируются на численном моделировании течения на основе нестационарных двухмерных уравнений Навье — Стокса согласно подходу [2], [3]. Аппроксимирующая система уравнений Навье — Стокса получалась путем использования неявной конечно-разно-стной схемы; при этом конвективные и диффузионные члены аппроксимировались с помощью TVD-схемы второго порядка точности и схемы центральных разностей соответственно. Для решения нелинейных разностных уравнений применялся модифицированный метод Ньютона — Рафсона с пересчетом матрицы Якоби на усеченном шаблоне. На итерации по нелинейности использован итерационный GMRES-метод для решения системы линейных алгебраических уравнений. Условия расчета соответствовали условиям упомянутого выше аэродинамического эксперимента. Некоторые результаты расчетов для плоской пластины и аппарата Mars Pathfinder приведены в [4]; проведенное сопоставление расчета с экспериментом показало хорошее согласование их между собой и тем самым подтвердило надежность данных, получаемых при численном анализе.
В настоящей работе продолжены теоретические исследования по обтеканию плоской пластины с узкой выемкой сверхзвуковым потоком совершенного газа с целью выявления закономерностей теплопередачи на стенках выемки и установления законов подобия. Последние необходимы, в частности, для переноса результатов эксперимента в аэродинамических трубах на натурные условия.
1. На основе указанного выше подхода исследовано сверхзвуковое обтекание (м^ = 6,1, ReL =4,35 х 106) плоской пластины под углом атаки
а = 5° при наличии узкой выемки на ее поверхности. Как отмечалось выше, условия расчета соответствовали условиям эксперимента. Рассматривалась плоская пластина длиною L = 300 мм (характерный линейный размер). На расстоянии Lg = 220 мм (lg - Lg/L = 0,733) от передней кромки
пластины располагается выемка длиною 1-2 мм (/ = I/ L = 0,00667) и глубиною h = 10 мм [h = h/L = 0,0333; h-hjl = 5).
Для выявления закономерностей теплопередачи выполнены три серии расчетов при различных условиях по теплообмену на обтекаемых абсолютно нетеплопроводных поверхностях — различные комбинации теплоизолированной и изотермической поверхностей. При этом предполагалось, что движущаяся среда является совершенным газом с показателем адиабаты у=1,4, числом Прандтля Рг = 0,7 и динамической вязкостью, изменяющейся в зависимости от температуры по степенному закону (ц/ц.^ =
= {t/tS, ю = 0,76j.
Первая серия соответствовала обтеканию пластины с теплоизолированной поверхностью (дТ/дп = 0). Этот режим является важным как с аэродинамической, так и с тепловой точек зрения. С аэродинамической точки зрения он реализуется при испытаниях моделей в аэродинамических установках без нагревания и в высокотемпературных аэродинамических трубах,-если модель остается в трубе достаточно долго (пока не прогреется полностью), а также в натурных условиях при полете с до-, транс- и малыми сверхзвуковыми скоростями. С тепловой точки зрения этот режим соответствует максимально достижимой температуре при заданных условиях полета и определяет такую важную для анализа аэродинамического нагревания характеристику, как энтальпия (температура) восстановления.
Вторая серия расчетов выполнена при следующих граничных условиях: изотермическая поверхность пластины ( TW=T*/тж = const, Та} — температура невозмущенного потока) и теплоизолированная поверхность выемки (дТ/дп = 0). Вычисления были проведены для трех значений температуры поверхности пластины TW0 = TJT0 = 0,5-, 0,41 и 0,3 (7; =4,221; 3,461, 2,5326, Tq — температура торможения невозмущенного потока) с целью установления влияния температуры пластины на температуру восстановления внутри выемки.
Третья серия расчетов соответствовала обтеканию пластины и выемки с изотермическими поверхностями: температура поверхности пластины фиксирована 7^0 =0,41, а температура стенок выемки варьировалась — Twq = 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,41; 0,5; 0,6. В этой серии рассмотрены закономерности теплообмена в выемке и установлены законы подобия.
2. Результаты первой серии расчетов показали, что распределение температуры восстановления в окрестности выемки является немонотонным. При этом температура восстановления всюду ниже значения температуры торможения То = То/тж = 8,2, так как число Прандтля Рг = 0,7 < 1, и выше своего значения для плоской пластины согласно классической теории
TR = 7^1 + = 7,226.
Хотя распределение TR сильно немонотонно, общее ее изменение невелико- 7ftmax/7/?min = 1,00098. Следовательно, в практических приложениях температуру восстановления можно принять постоянной и равной ее значению для взаимодействующей пластины в соответствующем сечении.
Поскольку выемка обтекается пристеночными струями, имеющими приближенно температуру поверхности пластины, то закономерности теп-лопереноса внутри выемки будут отличными от закономерностей на плоской пластине. В частности, при изменении температуры поверхности пластины будет изменяться температура восстановления в выемке. Для установления этого влияния, как отмечалось выше, была выполнена вторая серия расчетов.
Tr
В
----- iwi=0
Tw]-0,5
----- 0,4-1
----- 0,3
qw2=0
0 0,004- 0,064-
0,072
Рис. 1. Распределение температуры восстановления Тк внутри выемки (s — расстояние вдоль поверхности, отсчитываемое от левой внешней кромки выемки)
Распределение температуры вдоль обтекаемой поверхности показано на рис. 1. При Tw0 - const температура восстановления внутри выемки TR>TW и практически постоянна вдоль ее стенок. Отличие от постоянного значения наблюдается около внешних угловых точек, где температура несколько ниже: заметное уменьшение в окрестности левой и незначительное уменьшение в окрестности правой угловой точки.
Осредненные значения TR в зависимости от температуры поверхности пластины представлены ниже:
Они хорошо аппроксимируются линейной зависимостью
Г 1W Tw0 TRgap
7,2424 0,8579 7,245
4,221 0,5 4,58
3,4612 0,41 3,93
2,5326 0,3 3,14
w0’
(2.1)
которой можно пользоваться при анализе теплопередачи в выемке с изотермическими стенками.
3. Результаты расчетов по теплопередаче обычно представляются в параметрах подобия с целью их обобщения и использования при других условиях обтекания рассматриваемого тела.
В рамках теории пограничного слоя выражение для коэффициента теплопередачи для плоской пластины строго устанавливается на основе уравнений Прандтля [5], [6]. В случае изотермической поверхности задача является автомодельной и после перехода к соответствующим переменным сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В рамках теории пограничного слоя характерными масштабами плотности, скорости, динамического коэффициента вязкости и полной энтальпии (температуры торможения) являются их значения на внешней границе пограничного слоя ре, ие, (1е и Не(т0е). Рассматриваемая задача не имеет
характерного линейного размера X; поэтому в качестве I можно принять любую линейную величину (условная длина пластины), по которой нор-
мируются линеиные величины и которая не входит в конечные результаты задачи.
Анализ решения уравнений Прандтля позволил установить строгие соотношения между искомыми функциями. В частности, для местного теплового потока имеет место аналогия Рейнольдса [5]:
^ = рХне = Щ1) ~ Яи’)= С^Нк ~ (3,1)
где Нк- Ня/Не — относительная энтальпия (температура) восстановления, НЦ1 = Ну,/Не — относительная энтальпия (температура) поверхности
пластины, Cf = г„,До,5ргы^) — местный коэффициент сопротивления трения, сн — местное число Стантона (местный коэффициент теплопередачи), 5(1) — коэффициент аналогии Рейнольдса, значение которого зависит от числа Прандтля Рг.
В рамках теории пограничного слоя устанавливается явная зависимость искомых величин от местного числа Рейнольдса Яе* = реиех/\хе. Поэтому удобно рассматривать величины
С0 = с/л/яё7, д° = Сь^Ке~, я°=^м;л/кё7, (3.2)
которые имеют порядок единицы, не зависят от числа Яе, относительно слабо зависят от температурного фактора и заметным образом от числа М на внешней границе пограничного слоя.
При решении рассматриваемой задачи на основе уравнений Навье — Стокса роль сил внутреннего трения одинакова во всем поле возмущенного течения — нет разделения поля течения на «невязкую» и «вязкую» области. Вследствие этого в качестве характерных газодинамических масштабов принимаются обычно их значения в невозмущенном потоке. В этом случае в безразмерных переменных задача не является автомодельной и не сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а местные коэффициенты сопротивления трения и теплопередачи
=______£w_
0,5рооМда РооЧю-^а
с/оо =-~ _w;2 , gwoo— (3.3)
не являются зависимыми параметрами подобия (не выполняется аналогия Рейнольдса, даже если исследуется течение газа при больших числах Re)
и, следовательно, сильно зависят от определяющих параметров задачи (газодинамических и геометрических).
В дальнейшем речь пойдет только о моделировании местного теплового потока и местного коэффициента теплопередачи.
Местный тепловой поток qw зависит от многих размерных переменных:
^w(p00 ? ^00 5 До 5 Р<Х>1 М'ОО 5 М*? У ? ОС, (3 .4)
Если в качестве характерных масштабов с линейно независимыми размерностями принять величины рх,им,Нх, Ь, то согласно я-теореме теории подобия и размерностей [7] будем иметь
ЧуЛ = &о(м-. 1ё, Н„, х, со, Рг, у, а, I, к), (3.5)
где Яе£ — число Рейнольдса, вычисленное по параметрам невозмущенного потока и характерной длине Ь.
Таким образом, местный коэффициент теплопередачи зависит: 1) — от газодинамических параметров подобия — чисел Ми и Ле^ и энтальпийно-го (температурного) фактора Н„ ; 2) — от безразмерной продольной координаты х из-за неавтомодельности задачи; 3) — от параметров модели движущейся среды — показателя адиабаты у, числа Прандтля Рг, параметра со; 4) — от геометрических параметров — угла атаки а, относительной длины I =1/Ь и формы к = к/1 выемки и расположения ее от передней кромки ^
Влияние числа Яе на коэффициент теплопередачи можно существенно ослабить, если рассматривать величину
ч! = Я* оод/^Г- (3-6)
При этом рассматриваемая величина сильно изменяется в продольном направлении. Использование этой величины облегчает пересчет коэффициента теплопередачи с одного значения числа Ле на другое.
Как и в рамках теории пограничного слоя, можно ввести в рассмотрение число Стантона по соотношению
'= (3.7)
где значение безразмерной энтальпии (температуры) восстановления НГ{ определяется либо путем численного решения задачи для пластины с теплоизолированной поверхностью, либо оценивается приближенно на основе теории пограничного слоя. В этом случае, как и в рамках теории пограничного слоя, почти исключается влияние температурного фактора на число Стантона.
4. Обработка результатов расчетов для пластины без выемки показала, что число Стантона, определенное по формуле (3.7), почти не зависит от температурного фактора — зависимости для различных значений Нм, практически ложатся на единую кривую.
Для пластины с выемкой представление расчетных данных по теплопередаче согласно (3.7) для случая, когда поверхность пластины изотермическая, а поверхность выемки-*-теплоизолированная, показано на рис. 2. В данном случае зависимости для разных значений температурного факто-
TW1~0,5
0,4-1
0,3
J
0 0,002 0,001 0 0,074 0,075 S
Рис. 2. Распределение числа Стантона =
= с^^Кехі по поверхности пластины в окрестности выемки (координата б отсчитывается от внешней левой угловой точки выемки)
ра практически сливаются друг с другом, даже в окрестности угловых кромок выемки, и, следовательно, подтверждается закон подобия.
Иная картина наблюдается в общем случае (третья серия расчетов), когда относительная энтальпия (температура) обтекаемой поверхности предполагается кусочно-постоянной функцией (Н^— энтальпий-ный фактор изотермических поверхностей пластины и выемки соответственно), а относительная энтальпия (температура) восстановления — функцией от х и Нм (см. рис. 1).
Для этого случая также была проведена обработка результатов расчетов по теплопередаче согласно (3.7). В качестве примера на рис. 3 приведены результаты такой обработки данных для боковых стенок выемки. Результаты этой обработки показали следующее.
5
Мці2 0,05
П1П
3
2
1
О
2,0 х/1 0 0,4 0,8 1,0 1,6 х/1
б)
Рис. 3. Зависимость Q «=/(*, Hwj = const) для левой (а) и правой (б) боковых стенок выемки на плоской пластине
Перед выемкой на больших расстояниях от нее все расчетные случаи практически совпадают между собой, и только в малой окрестности наблюдается влияние выемки вверх по потоку и расслоение кривых по параметру Hw2. При этом по мере приближения к передней кромке выемки величина <2^, из знакоположительной функции превращается в знакопеременную. Это указывает на то, что использованный при расчете перепад характерных энтальпий не отражает закономерности теплообмена.
Как на левой, так и на правой боковых стенках выемки наблюдаются сходные картины: зависимости Q® = /(х) для разных значений параметра Hw2 имеют однотипный характер поведения и являются положительными функциями. Это говорит о том, что использованный перепад характерных энтальпий правильно отражает направленность теплообмена.
За выемкой вниз по потоку от задней кромки в области ее влияния функции являются знакопеременными, т. е. использованный при расчете перепад характерных энтальпий не отражает закономерности теплообмена.
Таким образом, указанная схема определения коэффициента теплопередачи согласно формуле (3.7) правильно моделирует теплообмен на всей изотермической поверхности пластины, если стенки выемки теплоизолированы, и на поверхности пластины вне области влияния выемки, если ее стенки изотермические. Она также правильно отражает направленность теплопередачи на боковых стенках выемки и должна быть положена в основу моделирования теплопередачи в выемке. Однако на поверхности пластины в области влияния выемки использованная схема определения ко- j эффициента теплопередачи не отражает закономерности теплообмена, по- | этому вопрос о выборе перепада характерных энтальпий для области влия- | ния подлежит дальнейшему исследованию.
5. В соответствии со сказанным выше рассмотрим моделирование теплопередачи на боковых стенках узкой выемки (/ «1). Выше были установлены зависимости = /(5с, Hw2 = const), при получении которых были использованы характерные масштабы внешней задачи. Эти зависимости положены в основу последующего анализа внутренней задачи — течение и теплообмен в выемке, для которой имеют место другие характерные масштабы. Поскольку исходная информация представлена в безразмерном виде в масштабах внешней задачи, то и выбор новых характерных масштабов для внутренней задачи будет проводиться в безразмерном виде, отнесенных к масштабам внешней задачи.
В качестве характерного линейного размера для внутренней задачи принимается длина выемки и вводится безразмерная координата х-х/7, где х — координата, направленная вдоль боковой поверхности выемки и отсчитываемая соответственно от левой или правой острой кромки. Зависимости Q» = /(х, Hw2 = const) для левой и правой боковых стенок выемки приведены на рис. 3.
Интересно отметить, что на приведенных зависимостях четко выделяются области конвективной и кондуктивной теплопередачи. Так, например, на левой боковой стенке при Hw2 -0,05 теплопередача резко снижается по мере отхода от левой острой кромки, при х » 0,15 достигает минимального значения и далее почти до х « 2,0 остается постоянной (рис. 3, а). Первая короткая область (0< х<0,15) соответствует конвективной теплопередаче, вторая длинная (0,15<jc<2) — кондуктивной. С увеличением Hw2 протяженность области конвективной теплопередачи возрастает, но быстро происходит ее стабилизация: 0<*<1,0 при Hw2 > 0,3. Аналогичная картина наблюдается и для правой боковой стенки выемки.
Как уже отмечалось, величина при х = const очень сильно изменяется по своему значению при варьировании Hw2. Это связано с тем, что при получении использовались масштабы, которые не являются характерными для внутренней задачи.
Пусть нам известны характерные масштабы внутренней задачи:
вляться по двум направлениям: перенормировка по характерной величине р* щ //* и перенормировка по характерному числу Яе*х = р*г7*х/(1*. В последнем случае возможны две ситуации: Яе»х «1 и Яе** » 1.
Случай Яе*л «1. Анализ частных задач на основе уравнений Стокса показал, что в этом случае местные коэффициенты сопротивления трения и теплопередачи Лея обратно пропорционально местному числу Яе
(например, обтекание шара [7]). Тогда можно записать
где — характерная энтальпия для расчета характерной вязкости. Следовательно, будем иметь
где А — новый коэффициент теплопередачи, который при соответствующем выборе характерных энтальпий должен слабо зависеть от энтальпий-ного (температурного) фактора.
Для внутренней задачи имеется два параметра, которые связаны с энтальпией обтекаемой поверхности — НЛУ\ и Н^2. С их помощью можно образовать характерную энтальпию, например, в виде простой связи
(5.1)
Тогда перенормировка коэффициента теплопередачи должна осущест-
#* = bHwX + (1 - §)Hw2,
(5.3)
где 8 — весовой коэффициент (0 <8 < 1), который в общем случае принимает разные значения для различных характерных энтальпий.
Случай Яе** »1. При этом условии закономерности поведения коэффициента теплопередачи близки к тем, которые имеют место в рамках теории пограничного слоя. Тогда можно записать
\/Ке*л-
Р*Ц*и*
(5.4)
Характерные величины можно связать с некоторыми характерными энтальпиями (температурами)
1
Р* Ц, ос Я*®.
Тогда получается соотношение
I 1т0,5 гг со
т^и //»й н*рх
(5.5)
В принципе для определения соответствующих масштабных величин используются разные значения характерных энтальпий.
6. Приведенные выше соотношения (5.2) и (5.5) позволяют представить результаты расчетов в параметрах подобия, вид которых зависит от выбора определяющих энтальпий. Поэтому необходимы дополнительные исследования для установления наиболее приемлемой формы законов подобия. С этой целью наиболее подробно было изучено моделирование теплообмена на левой боковой стенке выемки.
Перенормировка коэффициента теплопередачи согласно (5.2) (малые числа Яе) была проведена с использованием характерной энтальпии (5.3)
при 8 = 0 и 0,5; в качестве примера на рис. 4 приведены результаты такой обработки для 6 = 0,5. . Эти результаты показывают, что поведение коэффициента теплопередачи в окрестности угловой точки имеет особенность типа х-1. Вместе с тем такая обработка данных не приводит к образованию «универсальной» кривой и указывает на существование различных областей с разными закономерностями теплопередачи.
Была также приведена обработка расчетных данных согласно формуле (5.5) (большие числа Яе), когда все характерные энтальпии одинако-
И0,05 0,10 0,20 0,30 0,41 0,50 0,ВО
Ч- х/1
Рис. 4. Распределение величины А = 0тх х ,1-1,76
0,5(//ы + Я,
7ук2
на левой боковой
стенке выемки на плоской пластине
вы и вычисляются по формуле (5.3) с весовым коэффициентом 8 = 0,5. Она показала, что в рассмотренных случаях особенность решения в окрестности острой кромки выемки не является особенностью типа пограничного слоя на плоской пластине.
Проведенные исследования позволяют сделать выводы для последующего моделирования теплопередачи:
1. В основу моделирования теплопередачи должны быть положены законы подобия, установленные для малых чисел Re.
2. Нецелесообразно выделять сингулярность поведения теплового потока в окрестности острой кромки из-за того, что она носит локальный характер и соответствует конвективной теплопередаче и что на боковых стенках наблюдаются области с разными закономерностями теплопередачи.
Сначала был рассмотрен случай, когда характерные энтальпии для масштабирования теплового потока и определения вязкости одинаковы. Тогда результаты по теплопередаче представляются в виде
А = £&/я* = /(г, Нуа = const), Я, = 0,5[яы + Я„2], * = (6.1)
В параметрическом виде зависимости для различных значений Hw2 имеют одинаковый характер поведения, однако наблюдается заметное расслоение кривых, в особенности, если построить их в более мелком масштабе.
Рис. 5. Обработка коэффициента теплопередачи в параметрах подобия на левой боковой стенке выемки на плоской пластине:
Л = С°П81) +
Для сближения кривых следует использовать разные характерные энтальпии для масштабирования теплового потока и определения вязкости: в первом случае целесообразно использовать, как и выше, среднеарифметическое значение энтальпийных факторов обтекаемых поверхностей, поскольку величина теплового потока определяется внешними и внутренними граничными условиями; во втором случае следует использовать эн-тальпийный фактор стенок выемки, поскольку силы вязкости проявляются в пристеночных слоях течения. Результаты такой обработки показаны на рис. 5, где они представлены в параметрах подобия
При указанном способе обработки расчетных данных с использованием разных характерных энтальпий кривые для различных значений Н„2 группируются в узкой полосе и тем самым подтверждают выполнение закона подобия с приемлемой для практики точностью.
Для правой боковой стенки выемки расчетные данные были обработаны только в параметрах подобия на основе соотношения (6.2) без выделения сингулярности поведения в окрестности острой кромки с использованием разных характерных энтальпий. Результаты такой обработки показаны на рис. 6. В этом случае расчетные кривые существенно сближаются, образуют узкую полосу и тем самым подтверждают закон подобия.
Рис. 6. Обработка коэффициента теплопередачи в параметрах подобия на правой боковой стенке выемки на плоской пластине:
А = 0°J% = /(г, tfw2 = const), г = 'х/Я“2, Н. = 0,5(tfwl + Hv2)
Отметим, что форма представления результатов расчетов без выделения сингулярности справедлива для областей как конвективного, так и кондуктивного теплообмена.
Заключение. На основе уравнений Навье — Стокса смоделировано сверхзвуковое течение вязкого совершенного газа около плоской пластины, на поверхности которой расположена узкая выемка. Показано, что наличие выемки приводит к локальным возмущениям поля течения и появлению «пиков» местного потока тепла в окрестности ее внешних угловых точек. Установлены законы подобия для коэффициентов теплопередачи на обтекаемых поверхностях. На основе результатов численного анализа получены новые универсальные зависимости коэффициента теплопередачи в окрестности угловых точек узкой выемки. Универсальные кривые могут быть использованы в различных приложениях для расчета тепловых потоков, корректного переноса экспериментальных данных, полученных на наземных аэродинамических установках, на условия полета.
Работа выполнена при финансовой поддержке Международного науч-но-технического центра, проект — 036.
ЛИТЕРАТУРА
1. Borovoj V. Ya., Chinilov A. Yu., Gusev V. N., Strumins-k а у a I. V., D e 1 e г у J., С h a n e t z B. Interference between a cilindrical bow shock and a plant oblique shock//AI AA Paper N 96-2046.
2. Б а б a e в И. Ю., Б а ш к и н В. A., E г о p о в И. В. Численное решение уравнений Навье — Стокса с использованием итерационных методов вариационного типаУ/Журнал выч. матем. и матем. физ.— 1994. Т. 34, № 11.
3. Б а ш к и н В. А., Е г о р о в И. В., И в а н о в Д. В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений// ПМТФ.—
1997, № 1.
4. IvanYegorov, VyacheslavBashkin, Е u g е п у В u 1 d а к о v, Dmitry Ivanov. Hypersonic Flow over Flat Plate and Mars Pathfinder with Gaps on its Surfaces. 21st International Simposium on Space Technology and Science Sonic City, Omiya, Japan, May 24—31.— 1998.
5. Crocco L. Lo strato limite laminare nei gas//Mon. Sci. Aero. Roma.—
1946.
6. Башкин В. А., Солодкин E. E. Об определении коэффициента теплопередачи//ПМТФ.— 1961, № 3.
7. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука.—
1987.
8. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М.: Физматгиз.—1966.
Рукопись поступила 30/XJ 1998 г.
