CC BY
39
http://vestnik.mrsu.ru
ISSN Print 2658-4123 ISSN Online 2658-6525
ФИЗИКА / PHYSICS
УДК 621.9.048.4: 001.891.57 DOI: 10.15507/2658-4123.029.201902.218-233
Моделирование температурного поля поверхности при электроискровом легировании металлов
В. Д. Власенко1, В. И. Иванов2, В. Ф. Аулов2, Л. А. Коневцов3, Е. Г. Мартынова4*, И. Х. Хасан4
1ФГБУН «Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук» (г. Хабаровск, Россия) 2ФГБНУ «Федеральный научный агроинженерный центр ВИМ» (г. Москва, Россия)
3ФГБУН «Институт материаловедения Хабаровского научного центра Дальневосточного отделения Российской академии наук» (г. Хабаровск, Россия) 4ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (г. Саранск, Россия)
Введение. В настоящее время особую актуальность приобретает проблема повышения эксплуатационных свойств деталей машин, инструментов и технологической оснастки посредством улучшения физико-химико-механических характеристик их исполнительных рабочих поверхностей. Одним из современных методов получения покрытий на поверхностях деталей является метод электроискрового легирования, при котором важную роль играет выбор теплофизических свойств материалов для получения покрытий с заданными физико-механическими и триботехническими свойствами. С целью выбора материала электрода в статье изложены результаты разработки метода расчета нестационарного температурного поля обрабатываемого материала (катода) в виде прямоугольного параллелепипеда, на одной грани которого в процессе электроискрового легирования формируется легированный слой. Материалы и методы. Для формирования легированного слоя при каплевидном электромассопереносе в качестве обрабатываемого материала (катода) использовалось железо в форме параллелепипеда, а в качестве обрабатывающего материала (анода) - вольфрам. Предложена нелинейная начально-краевая задача и вычислительная схема для определения значений температуры во всех точках температурного поля катода в форме параллелепипеда с расположением нескольких теплоизлуча-ющих капель на его грани.
Результаты исследования. В статье изложен алгоритм решения задачи в соответствии со второй формулой Грина для нахождения температурного поля в катоде, имеющем форму параллелепипеда; при этом описанная нелинейная модель потока из капель в параллелепипед заменяется линейной моделью. Построен алгоритм, проведены расчеты для определения значений температуры во всех точках и температурного потока в катоде в случае одной среднестатистической капли на его грани. По данному алгоритму создан пакет программ, проведены экспериментальные расчеты. Показана динамика значений температуры (во всех точках) и теплового потока исследуемых точек катода.
© Власенко В. Д., Иванов В. И., Аулов В. Ф., Коневцов Л. А., Мартынова Е. Г., Хасан И. Х., 2019
[/S 0 I Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License. IcaHH This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Обсуждение и заключение. Результаты проведенных исследований свидетельствуют о том, что для достижения более высоких свойств покрытий и большей эффективности электроискрового легирования необходим расчет температурного поля и теплового потока исследуемых точек катода. Представленная математическая модель получена для нанесения одной капли, помещенной на границу теплопроводящего полупространства. При выборе анодного материала в зависимости от эрозионной стойкости для получения необходимой толщины поверхностных слоев с заданными функциональными свойствами используется разработанный метод расчета, который позволяет описать процесс остывания одной нанесенной капли и использовать затем полученную информацию для усредненного описания эффекта нагрева тела параллелепипеда рядом таких капель.
Ключевые слова: электроискровое легирование, анод, катод, температурное поле, легирование металлов, моделирование температурного поля
Для цитирования: Моделирование температурного поля поверхности при электроискровом легировании металлов / В. Д. Власенко [и др.] // Инженерные технологии и системы. 2019. Т. 29, № 2. С. 218-233. DOI: https://doi.org/10.15507/2658-4123.029.201902.218-233
Финансирование: Исследование проведено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства РМ в рамках научного проекта № 18-43-130003\18 «Исследование интенсивности изнашивания рабочих поверхностей деталей пар трения, формированных электроискровыми покрытиями».
Modelling the Temperature Field of a Surface in Using Electrospark Alloying of Metals
V. D. Vlasenko1, V. I. Ivanov2, V. F. Aulov2, L. A. Konevtsov3, E. G. Martynova4*, I. H. Hasan4
1 Computing Center of Far Eastern Branch RAS (Khabarovsk, Russia)
2Federal Scientific Agroengineering Center VIM (Moscow, Russia)
3Institute of Materials Science of the Khabarovsk Scientific Center of Far Eastern Branch RAS (Khabarovsk, Russia) 4National Research Mordovia State University (Saransk, Russia)
Introduction. At present, the problem of increasing performance properties of machine parts, tools and tooling by improving the physical, chemical and mechanical characteristics of their executive working surfaces is relevant. One of the modern methods of obtaining coatings on the surfaces of parts is the method of electrospark alloying. In the case of electrospark alloying, it is important to select the thermophysical properties of materials to obtain coatings with desired physicomechanical and tribological properties. The paper presents the results of the method development for calculating the unsteady temperature field of the processed material (cathode) having the form of a rectangular parallelepiped, on one side of which a doped layer is formed during electrospark alloying. Materials and Methods. To form doped layers in a drop-shaped electro-mass transfer, we used iron in the form of a parallelepiped as a being processed material (cathode) and tungsten was used as a processing material (anode). A nonlinear initial boundary value problem and a computational scheme are suggested for determining the temperature at all points (temperature field) of the cathode made in the form of a parallelepiped with the location of several heat-emitting drops on its face.
Results. The paper presents an algorithm for solving the problem by the second Green's formula of finding the temperature field in the cathode made in the form of a parallelepiped, in this case the described nonlinear model of the flow from droplets to the parallelepiped is replaced by a linear model. An algorithm is constructed and calculations are carried out to determine the temperature values at all points and the temperature flow in the cathode in the case of one average drop on its face. According to this algorithm, a software package was created and experimental calculations were carried out. The dynamics of temperature values at all points and the heat flux of the cathode points under study is shown. Discussion and Conclusion. To achieve higher coating properties and a greater efficiency of the electrospark alloying, it is necessary to calculate the temperature field and heat flow of the cathode points under studying. The proposed mathematical model is calculated for the case of one drop placed on the boundary of a heat-conducting half-space. When choosing an anode material depending on the erosion resistance to obtain the required thickness of the surface layers with the specified functional properties, the developed calculation method is used, which allows us to describe the cooling process of one drop and then use this information to average the description of the effect of heating the parallelepiped body by a number of such drops.
Keywords: electrospark alloying, anode, cathode, temperature field, alloying of metals, modelling the temperature field
For citation: Vlasenko V.D., Ivanov V.I., Aulov V.F., Konevtsov L.A., Martynova E.G., Hasan I.H. Modelling the Temperature Field of a Surface in Using Electrospark Alloying of Metals. Inzhenernyye tekhnologii i sistemy = Engineering Technologies and Systems. 2019; 29(2):218-233. DOI: https://doi.org/10.15507/2658-4123.029.201902.218-233
Funding: The study was conducted with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research and the Government of the Republic of Mordovia in the framework of the research project No. 18-43-130003\18 «Study of the wear intensity of the working surfaces of friction pairs formed by electric spark coatings».
Введение
Проблема улучшения эксплуатационных свойств (износо- и жаростойкости, а также коррозионной стойкости) рабочих поверхностей деталей машин, инструментов и технологической оснастки путем улучшения физико-химико-механических характеристик приобретает все большую актуальность. В настоящее время прогресс в машиностроении во многом связан с применением высокоэффективных методов модификации рабочих поверхностей деталей машин, инструментов и технологической оснастки, основанных на использовании потоков энергии с удельной мощностью в пятне нагрева более 102 Вт/мм2. К их числу относится современный наукоемкий метод электроискрового легирования (ЭИЛ). Его достоинствами являются высокая прочность сцепления легированного слоя из любых токопроводящих материалов (в том числе тугоплавких металлов и сплавов) с обрабатываемым материалом, низкая энергоемкость процесса,
простота выполнения технологической операции и др. Применение метода ЭИЛ для упрочнения рабочих поверхностей деталей, инструмента и оснастки обеспечивает повышение срока их службы в пять и более раз. В условиях современного машиностроительного производства метод ЭИЛ является востребованным, а его изучение с целью более эффективного использования при получении функциональных покрытий становится актуальным.
Обработка токопроводящей поверхности посредством ЭИЛ представляет собой многоэтапный процесс. Каждый его цикл включает краткосрочный контакт электрода-анода и детали-катода; полярный перенос электродного материала на деталь в зоне действия искрового разряда; микрометаллургический процесс на ее поверхности с химическим взаимодействием элементов материалов электрода, детали и межэлектродной среды; быстрые разогрев и охлаждение микрообъема поверх-
Vol. 29, no. 2. 2019
ностного слоя детали. Результатом является изменение структуры, химического и фазового составов, а также свойств поверхностного слоя детали и рельефа ее поверхности.
При каждом цикле ЭИЛ на катоде образуется лунка, заполненная материалом, полученным в результате взаимодействия катода, анода и межэлектродной среды [1; 2].
Одним из основных вариантов становится перенос горячей частицы, температура которой близка к температуре плавления, на холодную поверхность, температура которой близка к температуре окружающей среды. В ходе этого вероятно закрепление частицы на поверхности практически без образования зоны взаимной кристаллизации [1].
Для указанного случая в зависимости от эрозионной стойкости материала и получения необходимой толщины поверхностных слоев с заданными функциональными свойствами рассматривается математическая модель определения температурного поля катода.
Обзор литературы
Многие российские и зарубежные исследования посвящены использованию метода ЭИЛ при создании упрочняющих покрытий на металлах и сплавах. Представлены результаты повышения физических, технологических и эксплуатационных характеристик покрытий, нанесенных методом ЭИЛ на титан и его сплавы [1; 2]; виден положительный эффект применения метода ЭИЛ на твердых сплавах [3; 4]. Кроме того, исследователи начинают проявлять интерес к ЭИЛ легких алюминиевых сплавов. Так, учеными [5] представлены характеристики микроструктуры и ка-витационной эрозии покрытия из сплава Al-Si. Однако наиболее широкое распространение метод ЭИЛ получил при обработке поверхностей сталей [6-8]. В названных работах исследователи
добились повышения термостойкости многослойного покрытия. Результаты зарубежных исследований свидетельствуют также об уменьшении коррозионной активности покрытия, полученного на нержавеющей стали методом электроискрового осаждения в расплавленном цинке [7].
В настоящее время проводятся исследования по разработке критериев эффективности [9; 10] и электрофизических моделей процесса ЭИЛ [11], которые позволяют найти зависимость критериев качества покрытия от технологических параметров процесса. Разработанные критерии метода ЭИЛ позволили выделить его в отдельный раздел материаловедения [12].
Однако практическое использование метода ЭИЛ (оптимизация параметров разряда и теплофизических свойств материалов, получение поверхностных слоев с заданной толщиной и функциональными свойствами) сдерживается отсутствием численных методов расчета температурного поля в процессе формирования покрытий на рабочих поверхностях обрабатываемого материала.
При выборе обрабатывающего материала для получения на обрабатываемом материале покрытий с заданными функциональными свойствами возникают сложности определения температурного поля в поверхностном слое при реализации метода1 [13-15].
В работах зарубежных [16-19] и отечественных исследователей [20; 21] рассмотрены некоторые математические модели определения температурного поля в поверхностном слое катода в процессе ЭИЛ. Однако описанные модели не учитывают ряд факторов и сложны в реализации.
Таким образом, целью данной статьи является получение полной математической модели определения темпера-
1 Johnson R. N. Principles and applications of electro-spark deposition // Society of Vacuum Coaters 45th Annual Technical Conference, Lake Buena Vista. 1987. URL: https://www.researchgate.net/publica-tion/236399429_Principles_and_applications_of_electro-spark_deposition
турного поля при ЭИЛ в поверхностном начально-краевой задачи нелинейной
слое обрабатываемого материала. зависимости: Материалы и методы
Рассмотрена задача нагрева катода, дТ #
имеющего форму прямоугольного парал- А Т0 - сррр —- = 0, X е Q0, to < t < ^ ,
лелепипеда = {(-а,а)х(-Ь,Ь)х(0,с)}), в декартовой системе координат при ЭИЛ (рис. 1). Здесь Р0 = = { = 0, х е(-а,а), у е(-Ь,Ь)} - рабочая поверхность; д0 = д0{х,у,г} = q0{x',t} -поверхностный тепловой поток; ( - время; N - количество капель [20].
Капли Q равномерно заполняя некоторую часть грани {г = 0} (рис. 1), за один искровой разряд отдают посредством теплопроводности и излучения тепловой поток:
% =а,(Т, -т) + каТ14, I
где аг - коэффициент теплоотдачи капель; Ti - температура 7-ой капли; Тг - температура окружающей среды; к = Х/(ср) - коэффициент температуропроводности; о - универсальная постоянная Стефана-Больцмана [Там же].
В математическом плане исследование теплового процесса (нагрева параллелепипеда и остывания капель Qi за некоторый фиксированный промежуток времени (* от начала воздействия искрового разряда t() приводит к необходимости рассмотрения следующей
dt
dT.
К-ckpk-T = 0, x eQ, t0 <t <t* dt
T 1=0=фо(*Х * eQo, T\t=0=ф1 (x), x eQi, i = IN, (1)
dTo\ _ 0 d_h\ = 0 dT0\ _ 0
— Iv-+„ — 0 \y=±Й_ U - lz=c —V
dx
dy
dz
xp dT+ap (T-Tsr) = 0, z = 0,
dZ N
(x, у) e U Qi,
i=1
T0 = T, xp dT=xk ^, z = o, dz dz
N
(x, J ) eUa',
i=1
dT
h + ak (Ti-Tcp/sr ) + ™Ti = Я»
x edQ, z < 0,
Qo
-b / Po 1 1 / .x
b / !
/ / с
/ / / / / / / Y/ 7
Р и с. 1. Катод (прямоугольный параллелепипед Q0) с каплями на его поверхности P0; a, b, c - размеры катода в декартовой системе координат XYZ
F i g. 1. The cathode (rectangular parallelepiped Q0 ) with drops on its surface P0; a, b, c - the size of the cathode in the Cartesian coordinate system XYZ
. д2 д2 д2 где Д =—- + —- + —- - оператор Лап-
дх ду дz ласа; Т0 - температура катода; Тг - температура окружающей среды; Ф0(х) Ф; (х) - известные заданные функции;
^ 4 cp, сь Pp, Рь аР ак - коэффициенты теплопроводности, удельной теплоемкости, удельной плотности и теплоотдачи параллелепипеда (р) и капель (к) соответственно; х = {х, у, z}, п - внешняя нормаль к ¿О.; здесь и далее коэффициенты с индексом 7 = 0 относятся к катоду Q0, с индексами , Т 0 - к 7-ой капле Q.; П, = Qif\^ = 0}, П, = дП, [Там же].
Ввиду сложности задачи (1) ее решение требует перехода к новым переменным: и = то - тг; и = тг - т,г;
а1 = аы (с,. р1). Тогда задача для параллелепипеда Q0 получит следующий
вид: 0
ди
a0AU-— = 0, x eQ, i = 0, N,
dt
t0 < t < t
i=1
l
dU
dn
L + akUt +K°{Ui +Tsr ) = q^
N
z = 0, ( x, y ) ,
где ф( x ) =
i=1
Фо(X), x eQo,
N
Фi(X), Z = 0, (x, y) e UЦ,
i=1
ф0(х) = Ф0(х )-Tr, ф(х) = Ф,- ( x )-Tsr [Там же].
Предположим, что размеры капель малы; тогда температура внутри объема капли будет почти постоянна, а существенно изменяться она станет только во времени
Будем считать, что при каждом ^ > 0 справедливы приближенные равенства, которые тем более верны, чем меньше размеры капли [Там же]:
и (х ^) ®const,
д U(x, t)/dt « const, x e Q, i = 1, N,
dU ( x,t )/ dz\
z=-0
i const,
x 'e P, i = 1, N,
(3)
u\t=0=m, x eQc U (UQ
V i=1
dU\ = 0 U - 0 d^l _ 0 (2)
frl*-* - 0 Qy\y-±b 0, dz Z=* - 0 (2)
dU N
lp dU + apU = 0, z = 0, (x, y) i U "i, dz
где P. - основание 7-ой капли.
Это позволяет усреднить задачу по объемам Q ограничившись только областью Q0.
Так как для нашего исследования важна не конкретная геометрическая форма капли, а лишь ее размеры, для простоты вычислений предположим, что капля заключена в параллелепипед определенного размера (рис. 2) [Там же]:
Qi = {{ ,a2i )х (bli А) X(0,d ^,
Ац = a2i- ^ Abi = b2i - bu;
тогда Q = Aat Abtd, И = Aa, Ab,., = 2Aa,d + +2Abtd+Aa t Abt = 2d (Aat + Abt)+|P|.
Результатом математических преобразований становится следующая задача для параллелепипеда Q0 [Там же]:
dU
a0AU-— = 0, x eQ0, t0 <t <t , dt
U\t=ф(х), x eQt, i = 0, N,
dU
dU
6U,
-^l= 0, — I,= 0, — L=c = 0, (4)
dx
Oy
dz
F i g. 2. The location of a drop on the cathode Q0 in the Cartesian coordinate system XYZ
dU N
+hU = 0, z = 0, (X, y) e U Ц,
dz
i=1
dU ,„
—+KU = q0 -
dz
' dU
co — + Ф + C2 f(U) dt
N
Z = 0, (X, у) eU^i.
i=1
Данная задача определена только в области Q так как граничное условие для температуры и заменяет все уравнения теплового баланса в каплях.
Результаты исследования
Для определения температуры катода в форме параллелепипеда Q0 решение задачи (4) состоит из двух этапов [Там же].
Первый этап
Пусть и0 - решение задачи (5). С помощью найденного решения определим, что
V(t) = qo -
' ЯП0
Co U+cU0 + c2 f (П0)
dt
(x, у) еЦ.
(5)
Второй этап
Сложный нелинейный теплообмен между каплями Qi, i = 1, N и катодом Q0 в граничном условии задачи (4) заменяется линейным:
дП N —
— + ИЦП = ^(0, (X,у) еЙП,, I > 0.
dz 1=\
Для решения задачи применим вторую формулу Грина и функцию Грина G(х, t -т), которая является решением соответствующей задачи2 [20], где % = £,), 1,т > 0. Тогда параллелепипед можно рассматривать как полупространство для капли, подставив в формулу (5) а = Ь = с = + да.
Наиболее простым для численной реализации является случай полупространства { > 0,х'еR2} в качестве параллелепипеда Q0, на границу {г = 0} которого нанесена единственная капля ^ = 1}, и значения коэффициента теплоотдачи ап = 0; следовательно, h0 = 0, то есть учитывается только теплообмен между каплей и катодом.
Вторая формула Грина и данная функция Грина приводят задачу (4) к эквивалентному ей нелинейному интегральному уравнению следующего вида [20]:
и (х,г) =и л( х,г ,г') -
г а V
-а\\dxWG (х,п,£,0,г-т'Жи (6)
г оо
где а'= Да/2, Ь' = АЬ/2 - половинные длины сторон капли;
2 Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. : Наука, 1967. 736 c.; Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. R. E. Krieger Pub. Co., 1983. 347 p.
то то то сю Qo Qo a и
UA (x,t) = \\\G(x,S,,t -1 ')U($,t 'Щ + UA (x, y, z,t) =JJJJJg| d^dndzdxdy,
000 00000 T=0
tab x
+a\dx\\G-T)qo(^,ri,0,T)d^dn, где Ф(х) =2 ie-2dt - интеграл вероят-
*' п п •тт •
Q (и) = с0 ЩПМ + С1и +
дт
+ с2 / (и (4,п,0,г)).
Интегральные соотношения (6), как и задача (5), приближенно описывают процесс передачи тепла катоду каплей, помещенной на его границу.
В подынтегральном выражении уравнения (6) функция и = и(£,ц,0) рассматривается в области, в которой она почти постоянна по Поэтому, подставив в уравнение (6) г = 0 и проинтегрировав его [Там же], получим нелинейное интегральное уравнение типа Вольтера:
АаАЬи а) = ил а) -
-а2 -тяттМт (7) относительно усредненной функции
л ab
U (t ) = — {{U ( x, y,0,t )dxdy. Здесь
g (-t) = JJJÎG
0 0
0 0 0 0
dxdyd^dn =
z=0 Z=0
1
■¡na0(t-t )
(
ЬФ
-i a2 \
аФ
h)(t -t) ,
лЯО" -r)J У n
a(t-t)
e oîV-t)-i
v
( b2 \ 'a„(t-t) - i
JJ
П 0 ности3.
Для численного решения задачи (6) введем пространственную и временную сетку (х7, Ур I = 1, N!, ] = 1, ^2,
k = 1,Жз, {0 = < ?! < ... < N = t*} .
Тогда иП1 = (х1, у], zк ¿п) - температура в узле (х7, у, гк) в момент времени ^ = П Производную по времени заменяем разностным соотношени-
ди ип-ипЛ
ем
L, где Un =U
dt Атп Атп = К - K-V
В уравнении (7) заменяем в подын-
UU + UU
тегральном выражении U(t) на n n-1 и получаем:
2
AaAbU = U, -
n An
-G
U -U , U +U ,
n n-1 n n-1
Ar
2
+C2 f
Un +Un-1 2
JA
(8)
где: Gn = j G(tn -T)dT.
Решение нелинейного уравнения (5) описывает температурное поле катода под основанием капли в момент ^ = ^.
-г-г п
Поле внутри параллелепипеда определяется простой квадратурой (6), имеющей следующий вид [20]:
и (X, у, z,tn) = ил (х, у, z Л) --а0 } G(x, у,zЛ -тУ2п(ип^т, (9)
1
a
X
b
n-1
3 Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. R. E. Krieger Pub. Co., 1983. 347 p.; Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Пер. с англ. М. : Мир, 1984. 472 с. URL: http://bookre.org/reader?file=441528 Physics
где
ил (X, У,г Л)=JJJg| t=nun-l(^,i1,z)d^dndz +
0 0 0 <=<„
tn
+ J G(x, y,z,tn -r)qo(r)dt, (10)
a b
G (x, y, z,t-t) = JJG| z=0d$dn =
exp^-
4a0(t-t) 4y] na0(t-t)
x+a I i x-a Ф| , |-Ф|
a0(t-t) ) [2yj a0(t-t) )_
Ф
Qn U)=c
y + b
-Ф
y - b
2 V a0(t-r)J a0(t -t)J_
Un-Un-1 , „ Un +Un-1_ JUn+Un-L
1+c
+c2f
8
следует уплотнить вблизи начала координат. С учетом вышеизложенного получаем окончательные выражения для определения температурного поля в узлах х,у, гк параллелепипеда [Там же]:
tn
Uj = Uj -aQ J G(Xi,yj,zk,tn-T)dT,
tn-1
N, N2 N3
At 2 ^ 2
Для численных расчетов интеграл (10) заменим на тройную сумму следующего вида:
»»» N N N _.
0 0 0 '1 Л к1
где = | } } G(x¡, у], zk, ^
Х1 -1у] -1 % -1
Среднеарифметическое значение функции относительно восьми узлов параллелепипеда (х _1, х) х (у] _1, у /) х х(г^I и^(х1,У;,), i = 1,
j = 1, N2, k = 1, N3 определяется по формуле:
Un-1 _ 8 +
¡1=1 j,=1 к=1
tn
+4o J Gn(xi, yj,Zk Jn ~T)dT (12)
После этого получим все данные для перехода к следующему временному отрезку ^^ ^ + 1].
Отметим, что такая математическая модель не учитывает влияние остальных капель на искомый поток. Для учета подобного влияния необходимо рассмотреть систему нелинейных интегральных уравнений следующего вида:
Aal AblUl (t) = илЛ (t) -
% N
-a2jTG(t-TQUj(r))dr, (13)
. (11)
Так как решение явля-
ется убывающим от нуля до бесконечности по переменным очевидно, что узловые точки [х1 , {у. ., ^
a2i hi au hi
где Gg(t-т) = J J J J G dxdyd^d-q, aii hi aii hi |=® a1i,a2,b1i,b2i - координаты 7-ой капли; N = 4 (в данном случае).
Дискретизация по времени t преобразует систему (13) в систему нелинейных алгебраических уравнений:
До,bbp, = U^ -a^itoQiUj). (14)
j=1
При этом поле внутри параллелепипеда определяется так:
U (х, y, z ,t) = UA (x, y, z,t) -
N tn a2ib2i
EJJJG Q(U) d^d-qdr. (15)
'=1 tn-\ hi
2
z
X
Vol. 29, no. 2. 2019
Таким образом, определив поток Q(U) из одной капли в параллелепипед, можем начать рассмотрение упорядоченного (периодического по переменным х,у) множества капель [Там же].
Однако решение системы нелинейных уравнений вида (14) с последующим определением поля в области Q по формуле вида (15) становится трудоемким. Поэтому для решения задачи нелинейный поток из капель в параллелепипед заменяется линейным, что является более предпочтительным [Там же].
По представленному алгоритму создан пакет программ и проведены численные расчеты определения температурного поля параллелепипеда4.
С учетом функций в выражениях (7) и (9) для численного интегрирования применялись квадратурные формулы5 с весовой функцией 1/V?. Пробные вычисления по разработанному алгоритму показали эффективность выбранного метода.
Расчеты проводились с учетом следующих данных [Там же].
1. Размеры капли: Дц. /2 = 102 см; ДЦ /2 = 2-10 2 см; с1 = 102 см. Здесь размеры капли приняты неодинаковыми в ее основании, что соответствует более общей задаче - обработке посредством ЭИЛ не плоской (Аа = АЪ), а криволинейной поверхности.
2. Теплофизические константы: Т = = 20 °С; То = 1 400 °С (начальная температура капли); д0 = 0.
3. Материал капли - вольфрам
Хк = 1,73 Вт/см • °С; рк = 19,25 г/см3; ск = 0,15 Дж/г • К; ак = 0,001 Вт / (см2 • °С).
4. Материал катода - железо ^е): Ак = 0,733 Вт/см • °С; рк = 7,87 г/см3; ск = 0,46 Дж/г • К; ак = 0,001 Вт/(см2 • °С).
5. Узлы пространственной сетки, см:
{хг6=1} = 0; 0,005; 0,01; 0,011; 0,013; 0,017; {у6=1} = 0; 0,01; 0,02; 0,022; 0,026; 0,034; {**=} = 0; 0,001; 0,003; 0,006; 0,01; 0,015.
Динамика температурного поля некоторых точек поверхности представлена в таблице. В круглых скобках даны координаты точек, обозначенных на
Т а б л и ц а T a b l e
Динамика температурного поля точек на поверхности в зависимости от времени The dynamics of the temperature field of points on the surface depending on time
Время / Time Координаты точек / The coordinates of the points
(1,1) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (3,3) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
t = 1 • 10-5 c / t = 1 • 10-5 s 1 078 1 043 1 042 541 540 270 294 293 147 65
t = 2 • 10-5 с / t = 2 • 10-5 s 904 835 790 467 439 228 323 299 156 96
t = 3 • 10-5 c / t = 3 • 10-5 s 775 712 660 419 386 209 310 281 155 105
t = 4 • 10-5 c / t = 4 • 10-5 s 670 617 568 375 342 193 287 258 148 106
t = 5 • 10-5 c / t = 5 • 10-5 s 585 538 495 334 305 177 260 234 139 103
4 Программный комплекс для моделирования теплопереноса материала при электрофизическом воздействии : свидетельство о гос. регистрации прогр. для ЭВМ / Власенко В. Д., Колисова М. В. № 2017611479 ; заявл. 06.12.16 ; опубл. 03.02.17. URL: http://www1.fips.ru/fips_servl/fips_servlet?DB= EVM&rn=4256&DocNumber=2017611479&TypeFile=html
5 Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М. : Наука,
1966. 372 с.
рис. 3. Числа п и т в круглых скобках указывают на номер координаты вектора х = {х1} и вектора у = {у} (например, точка (3, 1) таблицы соответствует точке (х у1) на плоскости х0у) [Там же].
Том 29, № 2. 2019
На рис. 4 представлена динамика температурного поля и вычисляемого потока в соответствии с формулой (5). Кривые на рис. 4, а иллюстрируют убывание температурного поля начала ко-
Р и с. 3. Схема расположения точек, в которых вычислялась температура F i g. 3. The location of the points at which the temperature was calculated
VF,
В/см7 W/crn2
U°C
U°C
u°c
1400- 1 1 1 1 1 1 \ i и
1000- \\ i i i
'W/L
500- -thnU'- I iV i i i i
i i t= 10"c/ /='lff5S - / = 2 10"5 с / t-2-105 s Л = з|ю_5с/
// = 4? 10'5c/ 1 = 4-105 s //i = 5-W5c/ = 105s ¿=^ = 0
1 1 1
600
400
200
0,011: у = 0,022; —
0 12 3 a)
t- 10 c / M0"5s
0 1
b)
2 3 c)
4
/•Iff с/ Mff's
Р и с. 4. Динамика температурного поля и теплового потока: а) изменение температуры капли (линия U) и теплового потока (линия щ) во времени; b) зависимость температуры поверхности октанта от координаты в сечении y = 0, z = 0; с) изменение температуры внутренних точек октанта, расположенных вне основания капли, во времени
F i g. 4. The dynamics of the temperature field and heat flux: a) change in temperature of the droplet (line U) and heat flux (line щ); b) the dependence of the octant surface temperature on the coordinate in the section y = 0, z = 0; c) the temporal variation of the temperature of the internal octant points
located outside the base of the drop
Vol. 29, no. 2. 2019
ординат (линия U) и потока (линия цт). На рис. 4, b показана динамика температурного поля сечения y = 0, z = 0; на рис. 4, c - динамика точек, расположенных вне основания капли [Там же].
Обсуждение и заключение
Анализ полученных результатов показывает, что поле в точках, расположенных в основании капли, постоянно убывает (рис. 4, а); в точках, расположенных вне основания капли (как на поверхности, так и в глубине катода), сначала возрастает, а затем убывает вместе с полем капли (рис. 4, с). Это свидетельствует о том, что, пока капля достаточно горячая, тепла к данным точкам прибывает больше, чем убывает, что и приводит к увеличению температуры. Однако по мере охлаждения капли приток тепла становится меньшим, чем отток, что приводит к уменьшению температуры [Там же].
Чем ближе расположена точка к поверхности капли, тем более резко возрастает температура в начальный момент времени и тем раньше она стабилизируется и начинает убывать.
Температура в точках, расположенных симметрично относительно границы капли, симметрично изменяется относи-
тельно температуры границы. Температура на границе капли примерно в два раза ниже температуры в центре капли.
Предложенная модель реализована численно для случая одной капли, помещенной на границу теплопроводящего полупространства. Разработанный численный метод расчета позволяет приближенно описать процесс остывания одной капли и затем использовать полученную информацию для усредненного описания эффекта нагрева параллелепипеда группой капель [Там же].
Применительно к ЭИЛ построен алгоритм и проведены численные расчеты для определения значений температуры во всех точках, а также температурного потока в катоде (параллелепипеде) в случае одной среднестатистической капли на его грани. Сложный нелинейный теплообмен между каплей и катодом заменяется линейным теплообменом. Предложенный метод расчета для усредненного описания эффекта нагрева тела параллелепипеда рядом таких капель находит практическое применение в выборе материала анода в зависимости от эрозионной стойкости при получении покрытий с заданными функциональными свойствами.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Electrospark alloying of titanium and its alloys: the physical, technological, and practical aspects. Part I. The peculiarities of the mass transfer and the structural and phase transformations in the surface layers and their wear and heat resistance / V. V. Mikhailov [et al.] // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2013. Vol. 49, issue 5. P. 373-395. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375513050074
2. Власенко В. Д., Мулин Ю. И. Формирование износо- и жаростойких покрытий на поверхностях титановых сплавов методом электроискрового легирования // Физика и химия обработки материалов. 2015. № 1. С. 79-84.
3. The formation of protective coatings on tungsten-containing hard alloys by electrospark alloying with metals and borides / A. D. Verkhoturov [et al.] // Inorganic Materials: Applied Research. 2011. Vol. 2, issue 2. P. 180-185. DOI: https://doi.org/10.1134/S2075113311020213
4. Contribution of electrospark alloying to the oxidation resistance of hard tungsten alloys / A. D. Verkhoturov [et al.] // Powder Metallurgy and Metal Ceramics. 2008. Vol. 47, no. 1-2. P. 112-115. DOI: https:// doi.org/10.1007/s11106-008-0015-2
5. Microstructure and cavitation erosion characteristics of Al-Si alloy coating prepared by electrospark deposition / W. Wang [et al.] // Surface and Coatings Technology. 2008. Vol. 202, issue 21. P. 5116-5121. DOI: https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2008.05.013
6. Исследование жаростойких свойств покрытий после электроискрового легирования стали 45 хромоникелевыми сплавами / A. В. Козырь [и др.] // Письма о материалах. 2018. Т. 8, № 2. С. 140-145. DOI: https://doi.org/10.22226/2410-3535-2018-2-140-145
7. Sun P.-F., Zhang L.-Q., Lin J.-P. Corrosion behaviour of Ti-45Al-8Nb coating on 304 stainless steel by electrospark deposition in molten zinc // Transactions of materials and heat treatment. 2014. Vol. 35, issue 2. Р. 151-156. URL: https://www.researchgate.net/publication/289541667_Corrosion_be-haviour_of_Ti-45Al-8Nb_coating_on_304_stainless_steel_by_electrospark_deposition_in_molten_zinc
8. Fabrication of stainless steel microstructure surface by electro-spark deposition / W. Wang [et al.] // Surface technology. 2017. Vol. 46, issue 5. P. 159-164. DOI: https://doi.org/10.16490/jxnki.issn.1001-3660.2017.05.026
9. Ivanov V. I., Verkhoturov A. D., Konevtsov L. A. The development of criteria for evaluating the effectiveness of the surface layer formation and its properties in the process of electrospark alloying. Part I. The state of the issue. Kinetic and functional criteria of the efficiency of a doped layer's formation // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2017. Vol. 53, issue 3. P. 218-223. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375517030061
10. Ivanov V. I., Verkhoturov A. D., Konevtsov L. A. The development of criteria for evaluating the effectiveness of the surface layer formation and its properties in the process of electrospark alloying (ESA). Part 2. The criteria of the effectiveness of the ESA process and electrospark coatings // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2017. Vol. 53, issue 3. P. 224-228. DOI: https://doi.org/10.3103/ S1068375517030073
11. Electrophysical model of the erosion of electrodes under the energy pulse effect / P. S. Gordienko [et al.] // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2011. Vol. 47, issue 3. P. 206-216. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375511030045
12. On the problem of creating a new scientific school in the field of electric erosion machining: Electrode material science / A. D. Verkhoturov [et al.] // Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2010. Vol. 46, issue 5. P. 523-533. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375510050194
13. Влияние природы электродных материалов на эрозию и свойства легированного слоя. Критерии оценки эффективности электроискрового легирования / А. Д. Верхотуров [и др.] // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28, № 3. С. 302-320. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201803.302-320
14. Смагин С. И., Власенко В. Д., Мулин Ю. И. Моделирование параметров процесса электроискрового легирования для образования функциональных поверхностей // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14, № 3. С. 79-85. URL: http://www.ict.nsc.ru/jct/annotation/1303
15. Верхотуров А. Д., Иванов В. И., Коневцов Л. А. Критерии оценки эффективности процесса электроискрового легирования // Труды ГОСНИТИ. 2011. Т. 107, № 2. С. 131-137.
16. Xie Y.-J., Wang M.-C. Epitaxial MCrAlY coating on a Ni-base superalloy produced by electrospark deposition // Surface and Coatings Technology. 2006. Vol. 201, no. 6. P. 3564-3570. DOI: https:// doi.org/10.1016/j.surfcoat.2006.08.107
17. Electro-spark alloying using graphite electrode on titanium alloy surface for biomedical applications / T. Chang-bin [et al.] // Applied Surface Science. 2011. Vol. 257, no. 15. P. 6364-6371. DOI: https:// doi.org/10.1016/j.apsusc.2011.01.120
18. Single-spark analysis of electro-discharge deposition process / B. Muralidharan [et al.] // Materials and Manufacturing Processes. 2016. Vol. 31, issue 14. P. 1853-1864. DOI: https://doi.org/ 10.1080/10426914.2015.1127936
19. Beck J. V. Transient temperatures in a semi-infinite cylinder heated by a disk heat source // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981. Vol. 24, issue 10. P. 1631-1640. DOI: https:// doi.org/10.1016/0017-9310(81)90071-5
20. Верхотуров А. Д., Козырь А. В., Коневцов Л. А. Научные основы разработки и получение слоистых материалов на поверхности твердых сплавов : монография. Владивосток : Дальнаука. 2016. 475 с. URL: http://www.im.khv.ru/metod/Science_basics_of_hard_materials.pdf
21. Vlasenko V. D., Kolisova M. V. Modeling of the temperature field on the cathode's surface during electrophysical impact // Contemporary Engineering Sciences. 2016. Vol. 9, no 6. P. 249-256. DOI: https:// doi.org/10.12988/ces.2016.611
Поступила 11.02.2019; принята к публикации 22.04.2019; опубликована онлайн 28.06.2019 Об авторах:
Власенко Виктор Дмитриевич, ученый секретарь, ФГБУН «Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук» (680000, Россия, г. Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, д. 65), кандидат физико-математических наук, ResearcherlD: E-2432-2019, ORCID: https:// orcid.org/0000-0001-7782-4532, [email protected]
Иванов Валерий Игоревич, заведующий, лаборатория электроискровых и термодиффузионных процессов, ФГБНУ «Федеральный научный агроинженерный центр ВИМ» (109428, Россия, г. Москва, 1-й Институтский проезд, д. 5), кандидат технических наук, ResearcherlD: H-4076-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4568-8553, [email protected]
Аулов Вячеслав Федорович, ведущий научный сотрудник, лаборатория электроискровых и термодиффузионных процессов, ФГБНУ «Федеральный научный агроинженерный центр ВИМ» (109428, Россия, г. Москва, 1-й Институтский проезд, д. 5), кандидат технических наук, ResearcherlD: E-4179-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6925-1260, [email protected]
Коневцов Леонид Алексеевич, научный сотрудник, ФГБУН «Институт материаловедения Хабаровского научного центра Дальневосточного отделения Российской академии наук» (680042, Россия, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, д. 153), кандидат технических наук, ResearcherID: H-4087-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7212-3953, [email protected]
Мартынова Елена Геннадьевна, аспирант, кафедра технического сервиса машин, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ResearcherID: С-5023-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6870-0498, [email protected]
Хасан Исмаил Халил, аспирант, кафедра физики твердого тела, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ResearcherID: С-5025-2019, ORCID: https:// orcid.org/0000-0002-4560-1016, [email protected]
Заявленный вклад соавторов:
В. Д. Власенко - разработка концепции и плана статьи, проведение теоретических исследований; В. И. Иванов - разработка алгоритма нахождения температурного поля, редактирование статьи; В. Ф. Аулов - анализ результатов; Л. А. Коневцов - формулировка выводов, написание текста; Е. Г. Мартынова - экспериментальные исследования, обзор и анализ литературы; И. Х. Хасан -участие в подготовке исходных данных.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Mikhailov V.V., Gitlevich A.E., Mikhailyuk A.I., Verkhoturov A.D., Belyakov A.V., Konevtsov L.A. Electrospark alloying titanium and its alloys: the physical, technological, and practical aspects. Part I. The peculiarities of the mass transfer and the structural and phase transformations in the surface layers and their wear and heat resistance. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2013; 49(5):373-395. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375513050074
2. Vlasenko V.D., Mulin Yu.I. Formation of wear- and heat-resistant coatings on the surface of Ti alloys by electro-sparking alloying. Fizika i khimiya obrabotki materialov = Physics and Chemistry of Materials Treatment. 2015; 1:79-84. (In Russ.)
3. Verkhoturov A.D., Gordienko P.S., Podchernyaeva I.A., Konevtsov L.A., Panin E.S. The formation of protective coating on tungsten-containing hard alloys by electrospark alloying with metals and borides. Inorganic Materials: Applied Research. 2011; 2(2):180-185. DOI: https://doi.org/10.1134/ S2075113311020213
4. Verkhoturov A.D., Konevtsov L.A., Shpilev A.M., Gordienko P.S., Panin E. S., Podchernyaeva I.A., et al. Contribution of the electrospark alloying to the oxidation resistance of hard tungsten alloys. Powder Metallurgy and Metal Ceramics. 2008; 47(1-2):112-115. DOI: https://doi.org/10.1007/s11106-008-0015-2
5. Wang W., Wang M., Sun F., Zheng Y., Jiao J. Microstructure and cavitation erosion characteristics of Al-Si alloy coating prepared by electrospark deposition. Surface and Coatings Technology. 2008; 202(21):5116-5121. DOI: https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2008.05.013
6. Kozyr A.V., Konevtsov L.A., Konovalov S.V., Kovalenko S.V., Ivashenko V.I. Research on heat resistance properties of coatings deposited by electrospark alloying on steel C45 by nickel-chromium alloys. Pisma o materialakh = Letters on Materials. 2018; 8(2):140-145. DOI: https://doi.org/10.22226/2410-3535-2018-2-140-145
7. Sun P.-F., Zhang L.-Q., Lin J.-P. Corrosion behaviour of Ti-45Al-8Nb coating on 304 stainless steel by electrospark deposition in molten zinc. Transactions of Materials and Heat Treatment. 2014; 35(2):151-156. Available at: https://www.researchgate.net/publication/289541667_Corrosion_behaviour_ of_Ti-45Al-8Nb_coating_on_304_stainless_steel_by_electrospark_deposition_in_molten_zinc
8. Wang W., Xie J., Zhang B., Ruan W., Han C. Fabrication of stainless steel microstructure surface by electro-spark deposition. Surface Technology. 2017; 46(5):159-164. DOI: https://doi.org/10.16490/j.cnki. issn.1001-3660.2017.05.026
9. Ivanov V.I., Verkhoturov A.D., Konevtsov L.A. The development of criteria for evaluating the effectiveness of the surface layer formation and its properties in the process of electrospark alloying. Part I. The state of the issue. Kinetic and functional criteria of the efficiency of a doped layer's formation. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2017; 53(3):218-223. DOI: https://doi.org/10.3103/ S1068375517030061
10. Ivanov V.I., Verkhoturov A.D., Konevtsov L.A. The development of criteria for evaluating the effectiveness of the surface layer formation and its properties in the process of electrospark alloying (ESA). Part 2. The criteria of the effectiveness of the ESA process and electrospark coatings. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2017. 53(3):224-228. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375517030073
11. Gordienko P.S., Zhevtun I.G., Panin E.S., Shabalin I.A., Verkhoturov A.D., Dostovalov V. A., et al. Electrophysical model of the erosion of electrodes under the energy pulse effect. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2011; 47(3):206-216. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068375511030045
12. Verkhoturov A.D., Podchernyaeva I.A., Ivanov V.I., Konevtsov L.A. On the problem of creating a new scientific school in the field of electric erosion machining: electrode material science. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2010; 46(5):523-533. DOI: https://doi.org/10.3103/ S1068375510050194
13. Verkhoturov A.D., Ivanov V.I., Dorokhov A.S., Konevtsov L.A., Velichko S.A. Effect of the nature of electrode materials on erosion and properties of doped lay-ers. The criteria for evaluating the effectiveness of electrospark alloying. Vestnik Mordovskogo universiteta = Mordovia University Bulletin. 2018; 28(3):302-320. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201803.302-320 (In Russ.)
14. Smagin S.I., Vlasenko V.D., Mulin Y.I. Parameters modelling for an electro-sparking alloying process for formation of functional surfaces. Vychislitelnyye tekhnologii = Computational Technologies. 2009; 14(3):79-85. Available at: http://www.ict.nsc.ru/jct/annotation/1303 (In Russ.)
15. Verkhoturov A.D., Ivanov V.I., Konevtsov L.A. Evaluation criteria of efficiency of process of electric-spark alloying. Trudy GOSNITI = Works of GOSNITI. 2011; 107(2):131-137. (In Russ.)
16. Xie Y.J., Wang M.C. Epitaxial MCrAlY coating on a Ni-base superalloy produced by electrospark deposition. Surface and Coatings Technology. 2006; 201(6):3564-3570. DOI: https://doi.org/10.1016/j.surf-coat.2006.08.107
17. Chang-Bin T., Dao-Xin L., Zhan W., Yang G. Electro-spark alloying using graphite electrode on titanium alloy surface for biomedical applications. Applied Surface Science. 2011; 257(15):6364-6371. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apsusc.2011.01.120
18. Muralidharan B., Chelladurai H., Singh P., Kumar M. Single spark analysis of electro-discharge deposition process. Materials and Manufacturing Processes. 2016; 31(14):1853-1864. DOI: https://doi.org/ 10.1080/10426914.2015.1127936
19. Beck J.V. Transient temperatures in a semi-infinite cylinder heated by a disk heat source. International Journal of Heat and Mass Transfer. 1981; 24(10):1631-1640. DOI: https://doi.org/10.1016/0017-9310(81)90071-5
20. Verkhoturov A.D., Kozyr A.V., Konevtsov L.A. [Scientific basis for the development and production of layered materials on the surface of hard alloys]. Vladivostok: Dalnauka; 2016. Available at: http:// www.im.khv.ru/metod/Science_basics_of_hard_materials.pdf (In Russ.)
21. Vlasenko V.D., Kolisova M.V. Modeling of the temperature field on the cathode's surface during electrophysical impact. Contemporary Engineering Sciences. 2016; 9(6):249-256. DOI: https://doi.org/10.12988/ces.2016.611
Received 11.02.2019; revised 22.04.2019; published online 28.06.2019
About authors:
Victor D. Vlasenko, Scientific Secretary, Computing Center of Far Eastern Branch RAS (65 Kim Yu Chen St., Khabarovsk 680000, Russia), Ph.D. (Physics and Mathematics), ResearcherID: E-2432-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7782-4532, [email protected]
Valery I. Ivanov, Head, Electric Technology Laboratory, Federal Scientific Agroengineering Center VIM (5 1st Institutskiy Proyezd, Moscow 109428, Russia), Ph.D. (Engineering), ResearcherID: H-4076-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4568-8553, [email protected]
Vyacheslav F. Aulov, Leading Researcher, Laboratory of Electrospark and Thermal Diffusion Processes, Federal Scientific Agroengineering Center VIM (5 1st Institutskiy Proyezd, Moscow 109428, Russia), Ph.D. (Engineering), ResearcherID: E-4179-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6925-1260, [email protected]
Leonid A. Konevtsov, Researcher, Institute of Materials Science of the Khabarovsk Scientific Center of Far Eastern Branch RAS (153 Tikhookeanskaya St., Khabarovsk 680042, Russia), Ph.D. (Engineering), ResearcherID: H-4087-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7212-3953, [email protected]
Elena G. Martynova, Postgraduate Student, Chair of Technical Service of Machines, National Research Mordovia State University (68/1 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), ResearcherID: C-5023-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6870-0498, [email protected]
Ismail H. Hasan, Postgraduate Student, Chair of Solid State Physics, Institute of Physics and Chemistry, National Research Mordovia State University (68/1 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), ResearcherID: C-5025-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4560-1016, [email protected]
Contribution of the authors:
V. D. Vlasenko - the development of concept and plan of the article, conducting theoretical research; V. I. Ivanov - the development of algorithm for finding the temperature field, edition of the article; V. F. Aulov - the analysis of the results; L. A. Konevtsov - the formulation of conclusions, writing the text; E. G. Martynova - experimental research, review and analysis of literature; I. H. Hasan - participation in the preparation of the initial data.
All authors have read and approved the final version of the paper.
