МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ: НОВЫЙ ПОДХОД Текст научной статьи по специальности «Математика»

19. Патент 195604 РФ. Стенд для автоматизированных испытаний асинхронного двигателя / В. В. Харламов, Д.И. Попов. Опубл. 03.02.2020. Бюл. № 4.

20. Попов Д.И. Гармонический анализ состава тока, потребляемого комплексами испытаний электрических машин / Д.И. Попов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. № 3. С. 632-638.

Попов Денис Игоревич, канд. техн. наук, доцент, popovomsk@yandex.ru, Россия, Омск, Омский государственный университет путей сообщения

DEVELOPMENT OF AN ALGORITHM FOR SELECTING A TEST SCHEME FOR INDUCTION MOTORS

BY THE METHOD OF MUTUAL LOADING

D.I. Popov

The article contains the results of research devoted to the development of an algorithm for selecting a variant of the induction motor test scheme by the alternating load method. The analysis of the existing schemes of mutual loading of induction motors is given. The types of schemes are identified according to a number of structural features. The main advantages and disadvantages of the selected types of schemes are noted. A block diagram of the developed algorithm is given.

Key words: selection algorithm, test complex, test scheme, induction motor, mutual load method, frequency converters.

Popov Denis Igorevich, candidate of technical sciences, docent, popovomsk@yandex.ru, Russia, Omsk, Omsk State Transport University

УДК 51.7

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-462-468

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ: НОВЫЙ ПОДХОД

В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков

В статье рассматривается актуальная проблема исследования сложных технических систем с последействием. Объектами рассматриваемого класса являются, в частности, механосборочное производство в целом и его подсистемы, в которых имеет место технологическое наследование, а также информационные и логистические системы. Предлагаемый в статье подход основан на применении полумарковских моделей с общим фазовым пространством и позволяет значительно упростить процесс моделирования, обеспечить высокую точность результатов.

Ключевые слова: техническая система, полумарковский процесс, аппроксимация.

Введение. Анализ структуры и процесса функционирования ряда сложных технических систем (СТС) показал, что при наличии в них последействия наиболее эффективным инструментом для их исследования являются полумарковские модели с общим фазовым пространством. Последействие в СТС широко распространено и может проявляться в виде отказов различного вида, среди основных причин которых, в частности, в механосборочном производстве, следует отметить технологическое наследование, в информационных системах - ошибки при хранении и передаче данных, в логистических системах - нарушения алгоритмов обработки объектов транспортирования и т.д. Исследование СТС с последействием является актуальной задачей и позволяет оценить влияние предшествующих этапов их жизненного цикла на последующие.

Моделирование полумарковских систем с общим фазовым пространством [1 - 6] является довольно сложной математической задачей. Для её упрощения в литературе [7 - 9] предложен алгоритм фазового укрупнения (АФУ), приводящий системы с общим фазовым пространством к системам с дискретными состояниями. Однако, использование данного алгоритма также представляет значительные трудности, поскольку требует определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова, для чего необходимо решать интегральные уравнения, содержащие функции от суммы и разности переменных. Следует отметить, что рассматриваемая задача в общем виде на настоящий момент не решена, известные публикации содержат только частные решения для отдельных случаев, что является недостатком данного метода.

Цель исследования. Разработка нового метода решения задач моделирования полумарковских систем с общим фазовым пространством состояний.

Основная часть. В [10, 11] авторами был предложен метод моделирования СТС рассматриваемого класса, основанный на аппроксимации функции распределения (ФР) разности двух случайных величин (СВ), при условии, что первая больше вычитаемой, по первому корреляционному моменту. Предложенный метод аппроксимации указанной функции базировался на равенстве математических ожиданий. Исследования показали, что его эффективность в ряде случаев приемлема для решения практических задач. Недостатком данного метода является аппроксимация только по первому корреляционному моменту, что ограничивает ее точность. Вместе с тем, точность указанного метода может быть существенно повышена, при приравнивании корреляционных моментов более высоких порядков.

Для случая, рассмотренного в [12], при приравнивании математических ожиданий получается следующая зависимость.

с» с

J F1 (t+y )f2 (y )dy _ J F1 (y )f2 (y )Ф F (t + r ) _ F (х )

0 0 1V хв! -ЛУ*в). (1)

^ F (хв)

J F1(y )f2 (y )y 0

Левая часть выражения (1) является смесью. В этой формуле выражение

(t + y)_ Fty)]

с

J F1 (t )f2 (t)

0

представляет собой зависящее от действительного параметра y>0 семейство функций распределения, а F2 (у ) - весовую функцию. Примем:

F2 (У ) = 1х (У) = ЮУ>, Х;

[0, y < х.

При этом f2 (y) = 5(y - х) , где 5(y - х) - дельта функция.

Подставив последнее в правую часть выражения в (1), получим:

сс

0 F1(t+ У)(У _ х)Ф _ J F1 (у)5 2(У _ x)dy F (t + х) _ F1 (х)

~ F1 (х)

J F1(y Жу _ х )dy 0

Рассмотрим вопрос о существовании решения позволяющего в выражении (1) заменить приближенное равенство точным.

1. Введём обозначения:

с с

J F1(t + уШу¥у _\F\(y)f2 (y)dy F1(t + хв ) + F1 (хв )

F (t)= 0_0_ F(t, хв) =-WT—-.

F , F1( хв)

J F1 (y f (y )y 0

2. Найдём плотность распределения (ПР) f^(t) и f (t, хв) .

Для f (t):

с

dFy (t) 0f1 ((+ У) ^

~dr = V-= f(t).

J F1 (y )f2 (y )y

0

Для f (t, хв ) :

dF (t, хв ) = f\ (t + хв )FX( хв ) = fxCt + хв ) = fi(t + хв )

dt F12( хв ) Fl(xв) 1 _ ^1(хв )

463

= f (t).

3. Найдем выражения математических ожиданий для Ру (t) и Р, хв ).

Для Ру ^):

$/1у + у)/2(у/у jt • $ку + у/у/л |у/2(у)р1(у)лу + $з/фш*)^

= 11 •

1У А ^

/ •> X

0

-Лх =

0 0

$ р1(у / (у )у

I Р1(у / (у /у

$ Р1(у )/ (у /у

(2)

- $У/2(у)Р1(у)Лу- $(у)Р2(*)Лу + М«1

:_о_о_

X

$ Р(у )/2 (у /у

Ма1 - М (^1 л«2)

X

$ Р(у )/2 (у )у

Для Р (t, хв ):

,П1 =Х+хв) Л = , 1

о

Р\( Хв ) Хв )

$ + Хв )Л =

в) 0 1

= $(У - хв Шу)лу.

Р1( Хв ) хв

(3)

Хв +1 = у, t = у - Хв Л = Лу

Как видно из (3), математическое ожидание зависит от параметра Хв е (0, х), которое позво-

ляет найти такое значение, что

ту = тхе.

4. Найдем выражения дисперсий дляРу (^) иР^, Хв ). Для Ру (t) :

$л( + у)2(у)лу $(t-)2 $/1 ((+ у)/2(у)ул

Бу = $ (t - )

2 0

Г х_

$ р (у )/2 (у /у

0

-Л = -

$ р (у )/2 (у /у

X X

$ t2 Л $ /1 ( + у)/2 (у/у - 2,у $ tdt $ /1 ( + у)/2 (у/у + ,у2 $ Л $ /1 ( + у//2 (у)лу

0 0

0 0

0 0

$ р (у ^./2 (у у/лу

X X

А = $ t2 dt $ /1 (( + У )/2 (у /у

0 0

X X

В = 2,у $ $ /1 ((+ у)/2 (у/у

0 0 X X

С = ту2 $ Л $ /1У + У )/2 (у /у 0 0

Рассмотрим числитель:

XX XX

А = $ $ /1У + у )/2 ш = $ /2 (у/у $ 12/1( + у/у =

А - В + С

$ Р (У )/2 (У /У

0 0

0

X

0

2

и = / , Ли = 2/Л/ V = + У) _

= $ /2 УШ_-2 рс+у) IX +2 $ т+у)щ=

= 2 $ /2 (у )Лу $ Х^« + У)Л/ =

00

0

> + у = * г = * - у

= 2 $ /2 (у )лу $(*- У)Р1 (*)Л* =

0 У

X

X

X

со

X

X

ж ж ж ж

= 21/2(у)Лу |sFl(s)ds - 21/2(у)у IЖу)Лу = 21^Л -0 у 0 у у

ж ж_ ж _ ж _ _ ж ж_

- 21у/2 (у)Лу 1F!(y)dy = 21 s)ds - 21^(у)Ё2(у¥у - 21у/2 (уу |ЖуМу

0 у 0 0 0 у

и = у, du = dy

ж ^ _ ж__'

21 sFl(s)ds + 21 у — [Т2(у) I Т1( у)Лу]Лу = 0 0 ^ у

V = Т2( у) I Т1( у¥у

у

= 21^(УЛ + 2[уТ2(у)IТ1(у)лу ж - IТ2(уМу |ТхСу)йу] = 21^(УЛ -0 у 0 у 0

ж__ж__ж ж__ж__ж_

- 21 Т2(у¥у I Т1(у¥у=21 dy I F1(y)dy - 21 Т2( у¥у I Т1( у)ЛУ =

0 у 0 у 0 у

ж ж

= 21 Т2( У)ЛУ I Т1( У)ЛУ,

0у

ж ж ж __ж

5 = 2даг IЛI /1( + у))2 (у)у = 2даг [ I у/2 (у)Т1 (у )Лу +1 / (^= 0 0 0 0 ж __ж _

= 2mr[-| у/2 (у) Т1 (у )Лу - I /1 (у) F 2 (¿)Щу + Ыщ ] = 00

= 2тг[Ы«1 - Ы («1 лщ>)],

ж ж ж_

с = тг21 л I/1((+у )/2 (у ^ = тг21Т1 (у )/2 (у№. 0 0 0 Окончательно выражение для дисперсии ^^ :

ж ж ж

21Т2 (у)Лу I(у)йу - 2тг [Ы«! -Ы(щ л «2)] + тг2 IFl (у)/2 (у/у

ог=-0-у-0-=

ж

I Т\(у )/2 (у л

0

21 Т2( у)лу I Т!( у)лу 2 Ы Ы тг11 Т!(у)/2 (у)Лу

0 у 2тг[Ыщ - Ы (щ л«2)] 0

|Fl(y)/2(y/У ^АуШУУУ ^(у/Ш

0 0 0 ж ж

21 F2( у)Лу I Fl( у)Лу 0 у 2

= --тг .

I Fl(y / (у Л

0

Запишем выражение дисперсии для F (£, хв ) :

ЯХв = 1 а - тХв )2 (+Хв) Л = =(—]а - тХв )2/1 (Г + Хв)Л = 0 ^1(хв) ^1(хв )0

ж

ж

ж

ж

ж

ж

00

00

00

1 X

(— $ ^2 - 2ШХ + тх 2 )/1 (t + Хв ^ = Р1(хв )0 в в

1 2 2 = ^т-т ( $ t2 /l(t + Хв № - 2,хв $ ^ + Хв )dt + $ Шхв 2 /l(t + Хв )Л) =

Хв ) 0 0 0

Р1( Хв )

Г Хв +1 = У, t = У - Хв

dt = Лу

1 X X X

-($(У - Хв)2/1 (У)ЛУ - 2тхв $(У - Хв )/1 (У)ЛУ+тхв 2 $/1 (У)ЛУ).

Р1(хв) Х Х Х

Лв Лв Лв

Дисперсия также зависит от параметра Хв. При равенстве математических ожиданий ту, тхв,

решение существует при выполнении условия

Бу > БХв .

В целом, можно утверждать, что решение существует при условии, когда Бу > Бхв., так как, в этом случае всегда существует хв, при котором выполняется условие Су у > Су Хв :

С = V Бу С = У БХв С > С

ту тХв

где Су у и Су Хв - коэффициенты вариации функций Ру ^) и Р (t, Хв ) .

В целом, можно утверждать, что в соответствии с методом моментов точность возрастает с добавлением числа моментов и при числе п ^ X достигается равенство функций.

На основании изложенного, авторами предлагается следующая лемма, позволяющая повысить точность аппроксимации. Предлагается в формуле (1) /2 (у) заменять ступенчатой функцией, содержащей п скачков.

/2(У)= У - Х1) + к25(У - Х2) + .. + кпЧУ - ХпЬ

где 5(у - х) - дельта функция.

Г1, у > х;

1х (У) = 1п <

[0, у < х.

Подставив последнее выражение в (1) получим:

X п =X X п =х

$Р1((+ у) Екп8(у-хп№Р1(у) Екп8(у-хп)лу

Ру((, х) = ^-Ц--^-1-'

' X_ п =х

$ Р1 (у) Е кп 5(у - хп )лу 0 1

Лемма об аппроксимации функции Ру^) остаточным временем наработки системы на

основе метода моментов.

Если мы имеем ФР Ру ((), получившуюся в следствие разности двух случайных величин, при

условии, что первая больше вычитаемой

X X

$ Р1У + у )/2 (у/У -$ ТУ )/2 (у )

Ру(( ) = *-X-0-,

$ р(у )/ (у /у 0

то можно утверждать что при п ^^ справедливо следующее равенство:

р У) = /, ''\У + Хв1)-Р1(хв1) + . '^\(/ + хв2)-Р1(хв2) + + Руу ) = к1-=--т-+ к2-=-(-г-+ ... +

Р1(хв1) Р1(хв2 )

+ . Р1(t + хвп )- Р1(хвп ) = пЕ к '1У + Хвп )- Р1 (хвп ) = Р (у х х ) п ( \ ~ ¿^ яп г-( \ — гв\1>хвЪ лв2'---'лвпр

Р1 Хвп 1 Р1 Хвп

где ^ ( + Хвп )_Fl (хвп ) является функцией распределения остаточного времени наработки системы,

^ (хвп )

п

причем £ кп = 11

Для удобства коэффициенты принимаются равными 1.

п

В соответствии с теоремой моментов, они, при равенстве корреляционных моментов с 1 до п-го порядка приближенно равны, а, в случае, при п ^ ж они совпадают. Необходимо выполнить следующие условия:

тГ = т хв,

^Г = ^хв,

М 3, г = М 3, хв,

Мn, j ~ Мn, хв.

где мз j, М3 хв — центральные моменты 3-го порядка функций Fj (t) и F(t, хв ) ; Мn j, Мn хв — Центральные моменты n-го порядка функций Fj (t) и F(t, хв ).

Число скачков выбирается в зависимости от необходимой точности аппроксимации. Таким образом, лемма позволяет определить вид функции распределения с точностью до констант хв, которые определяются численно.

Полученные результаты позволяют упростить процесс получения данных для моделирования технических систем с последействием, в т.ч. механосборочного производства и его подсистем.

Список литературы

1. Байхельт Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Ф. Байхельт, П. Франкен, пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

2. Райншке К. Оценка надежности систем с использованием графов / К. Райншке, И.А. Ушаков. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.

3. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. A.I. Peschansky. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.

4. Копп В.Я. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, А.И. Песчанский. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.

5. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. В.С. Королюк.Кибернетика, №4, 1981. С. 121 - 124.

6. Королюк В.С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.

7. Королюк В.С. Полумарковские процессы и их приложения. В.С. Королюк В.С., А.Ф. Турбин. К.: Наук. Думка, 1976. 181 с.

8. Korolyuk V.S, Limnios N 2005 Stochastic Systems in Merging Phase Space. World Scientific

9. Королюк В.С. Фазовое укрупнение сложных систем. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. К.: Вища школа, 1978. 112 с.

10. Копп В.Я. Разновидность фазового укрупнения полумарковских систем на примере моделирования синхронной автоматизированной линии. В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков. Интеллектуальные системы в производстве. 2018. Т.16 №3. С.97-102.

11. Kopp V.Ja The numerical nethod of the phase integration of non-regenerating semi-Markov systems. V.Ja. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov. Transaction of Azerbaijan National Academy of Science, Series of PhysicalTechnical and mathematical Science: Informatics and Control Problems, Vol. 38, №6, 2018. pp. 3-15.

12. Kopp V.Ya. Phase enlargement of semi-markov systems without determining stationary distribution of embedded markov chain. V.Ya. Kopp, M.V. Zamorenov, N.I. Chalenkov, I.A. Skatkov. SPIIRAS Proceedings, no. 3, vol. 19, 2020. pp. 539-563.

13. Kopp V.Y. Approbation of the Numerical Method of Phase Enlargement on the Example of Modeling the Process of Functioning of a System of N Series-Connected Elements. V.Y. Kopp, E.S. Vladimirova, N.I. Chalenkov, M.V. Zamoryonov, A.I. Peschansky. 2020 International Multi-Conference on

Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon), Vladivostok, Russia, 2020. P. 1-4. DOI: 10.1109/FarEastCon50210.2020.9271287.

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@mail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@smail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

MODELING OF TECHNICAL SYSTEMS WITH EFFECT: A NEW APPROACH V.Ya. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov

The article deals with the actual problem of studying complex technical systems with aftereffect. The objects of the class under consideration are, in particular, mechanical assembly production as a whole and its subsystems, in which technological inheritance takes place, as well as information and logistics systems. The approach proposed in the article is based on the use of semi-Markov models with a common phase space and makes it possible to significantly simplify the modeling process and ensure high accuracy of the results.

Key words: technical system, semi-Markov process, approximation.

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Zamorenov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryonoff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University

УДК 51.7

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-468-481

ПРИМЕНЕНИЕ НОВОГО ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков, Ю.Л. Рапацкий

В статье рассматривается применение нового подхода к решению проблемы исследования сложных технических систем с последействием. Объектами рассматриваемого класса является механосборочное производство в целом и его подсистемы, в которых имеет место технологическое наследование, а также информационные и логистические системы с последействием. Отличие предлагаемого в статье подхода, основанного на применении полумарковских моделей с общим фазовым пространством, в значительном упрощении процесса моделировании при высокой точности результатов.

Ключевые слова: технологическая ячейка, последовательное соединение, отказ ячейки, полумарковская система.

Авторами в предыдущих публикациях предложен новый подход к математическому моделированию различных технических систем с последействием, в т.ч. информационных и логистических систем, а также механосборочного производства и его подсистем, относящихся к различным иерархическим уровням. Подход основан на применении полумарковских математических моделей с общим фазовым пространством, эффективность которых подтверждена многими опубликованными исследованиями, в т.ч. [1...9]. В частности, авторами была доказана лемма об аппроксимации функции Fy (:) остаточным

временем наработки системы на основе метода, который может быть назван методом моментов.

Рассмотрим применение ранее полученных результатов [10.12] на примере исследования процесса функционирования системы, состоящей из п последовательно соединенных структурных элементов, например, технологических ячеек. Структурная схема СТС изображена на рис. 1.

468