CC BY
52
УДК 537.533
К. А. Никифоров, Н. В. Егоров
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ
И ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПЛОТНОСТИ ТОКА
ПОЛЕВОГО ЭМИССИОННОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО КАТОДА
1. Введение. Полевой эмиссионный катод является одним из перспективных источников электронов для ускорительной‘техники [1]. Отсутствие предварительного возбуждения электронов, отличающее полевую электронную эмиссию (ПЭЭ), делает спектр вышедших электронов достаточно узким и, как следствие, разброс по скоростям незначительным [2].
В то время как имеется большое количество работ по моделированию ионного ост-рийногс! эмиттера и его эмиссионных изображений [3], аналогичная модель полевого электронного катода в отечественной и зарубежной литературе представлена только разработками группы А. Л. Суворова [4]. В этой единственной из предложенных методик форма поверхности катода игнорируется, а острийный образец аппроксимируется некоторым абстрактным многогранником, не соответствующим реальной ситуации [5].
В настоящей статье предложены модель кристаллической структуры поверхности и построение кристаллографических граней с различными значениями работы выхода на вершине катода. Данная модель позволяет вычислить распределение плотности тока и площадь эмиссии напрямую, в отличие от традиционного подхода, использующего средневзвешенное значение работы выхода [6].
2. Физическая модель. Основная для ПЭЭ зависимость плотности тока от напряженности электрического поля, вызывающего эмиссию, теоретически рассчитывается при стандартных физических предположениях [7]:
1) энергетические зоны в металле описываются приближением свободных элек-
2) состояние электронного газа описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака;
3) абсолютная температура равна нулю;
4) поверхность металла является плоской и гладкой в атомных масштабах;
5) работа выхода электрона постоянна по эмиттирующей поверхности и не зависит от внешнего поля;
6) электрическое поле однородно над эмиттирующей поверхностью;
7) взаимодействие эмитированных электронов с поверхностью описывается классическим потенциалом изображения;
8) коэффициент прохождения потенциального барьера определяется по методу Венцсля-Крамерса -Бриллюэна.
В рамках стандартных предположений получено аналитическое выражение для плотности тока [8]
Здесь А и В - постоянные множители, £(у), и (у) - эллиптические функции Нордгейма, .Г - напряженность внешнего электрического поля, Ф - работа выхода материала, являющаяся мерой энергии связи электронов с твердым телом.
© К. А. Никифоров, Н. В. Егоров, 2006
тронов;
(1)
Плотность тока j и напряженность поля Р практически не измеряются опытным путем, а экспериментальные зависимости строятся обычно между полным током ПЭЭ I и напряжением V:
где 5 - площадь эмиссии; /? - геометрический фактор поля, зависящий от формы катода.
Основная трудность, возникающая при проведении количественного анализа измерений ПЭЭ, связана с неудобной формой эмиттера - эмиттирующая поверхность находится в области большой кривизны, чтобы при сравнительно небольших напряжениях создать необходимую для ПЭЭ напряженность поля. При радиусе вершины острия эмиттера около 10~6 4- 10~8 м и напряжении около 103 -г 104 В напряженность поля на вершине достигает необходимых значений - не менее примерно 106 4- 108 В/м. В результате нарушаются стандартные физические предположения - геометрический фактор поля /3 и значения работы выхода Ф изменяются по эмиттирующей поверхности, эмиттирующая поверхность 5 зависит от приложенного напряжения, становится невозможным прямое определение величин, входящих в (2).
Несмотря на то, что методика сопоставления результатов теории и эксперимента по формулам (1), (2) с подстановкой постоянных значений Ф и 5 является общепринятой, ее вряд ли можно считать достаточно корректной. При таком сопоставлении необходимо переходить от измеренных на опыте величин / и V к характеристикам и Р, что предлагается осуществить с помощью математического моделирования реальной конфигурации полевого электронного катода, поверхность вершины которого состоит из плоских областей, соответствующих хорошо определенным кристаллографическим граням.
3. Математическая модель.
3.1. Аппроксимация формы поверхности и распределение электрического поля катода. Форма поверхности катода и распределение макроскопического электрического поля у поверхности представляются моделью «сфера на конусе» [9].
Эквипотенциальная поверхность (рис. 1) электрического поля, которое создано заряженным ортогональным конусом со сферой на вершине, принимается за эмиттер, другая - за анод. Распределение потенциала дается в сферической системе координат выражением
В (3) R - расстояние до анода, а - радиус сферы, Рп - функция Лежандра первого рода порядка п, причем п находится из условия Pn(cos 9q) = 0, Vo - потенциал на аноде г « R/(Pn(cos#))1/", V = 0 на поверхности конуса и сферы.
Напряженность макроскопического электрического поля равна
(2)
'2n+1r-n-1)Pn(COSe).
(3)
= V0
(nrn + (п 4- 1 )a2n+1r п 1)2 (Pn(cos О))2
п— 1 ~|2
+
macro
R2nr2
+
(a2n+1r п 1 - rn)2(n + l)2(cos#Pn(cos#) — Pn+1(cos#))2 R2nr2 sin2 в
4
3
2
е.
а = 120 -10 9 м, радиус кривизны вершины эмиттера го = 239 ■ 10-9 м, Д = 0,04 м, п = 0,14 (в0 к 177°).
Рис. 1. Аппроксимация формы эмиттера при использовании модели «сфера на конусе».
0
-1
-т2
-3
-4
-10
■8
-6 -4-2 0 2
Роллтлпттл V 1 П ^ I
Расстояние, х10 м
Наличие на поверхности неровностей атомного масштаба приводит к тому, что локальное электрическое поле Р непосредственно у поверхности (на расстоянии примерно 2 • 10-9 м) часто бывает значительно больше макроскопического поля ^тосго [10]. Кроме того, макроскопическое поле реальной поверхности претерпевает изменения вдоль плоских кристаллографических граней.
Предлагается использовать единый интегральный параметр, характеризующий шероховатость поверхности на атомном уровне и учитывающий локальные изменения поля:
где коэффициент усиления локального поля 7 является подгоночным параметром модели.
3.2. Модель геометрии поверхности и кристаллографической анизотропии работы выхода. Кристаллографические грани, образующие поверхность эмиттера, определяются по расположению поверхностных атомов, каждый из которых в модели «локального атомного окружения» удовлетворяет соотношению
в котором N1 - число соседних атомов г-го порядка, Лтгтах - максимальное число соседей г-го порядка, М - максимальный порядок анализируемых соседей.
Координаты поверхностных атомов ищутся по алгоритму [11], использующему модель «тонкой оболочки» и модель «порванных связей» или «локального атомного окружения» в предположении идеальной кристаллической решетки. Исходными данными являются структура решетки кристалла, форма поверхности и ориентация кристалла.
В подходе «порванных связей» кристаллографическая анизотропия работы выхода линейно аппроксимируется по параметру Д£ = — Г*" [12], составляющие которого для
объемно-центрированной кубической решетки имеют вид
(4)
(5)
37г(/г + к + 1)
Ьсс- 8 <22(/г2 + к2 +12)3/2а’
(Г) Г 1, к + к + I — 2п, П6М,
^ ~ \ 2, к + к + 1 = 2п+1,пе®,
где 1г, к, I - индексы Миллера кристаллографической грани; а - параметр решетки. Коэффициент корреляции линейной регрессии по At для вольфрама приблизительно равен 0,9638.
Задача определения кристаллографических граней по расположению поверхностных атомов сводится к распознаванию элементарной ячейки и осложняется наличием кривизны поверхности катода. Более простое решение основано на том, что атомы, имеющие идентичное геометрическое окружение, равноудалены от разделяющей плоскости поверхности кристалла, как нетрудно показать. Идентичное геометрическое окружение означает наличие одинакового количества ближайших соседей любого порядка.
Для полусферических кристаллов радиусом около 1 • 103 параметров решетки с объемно-центрированной кубической структурой достаточно ограничиться соседями до пятого порядка включительно, так как учет соседей более высокого порядка вносит поправки менее 1% на атомную численность граней (рис. 2).
Каждая кристаллографическая грань обладает постоянным значением работы выхода, следовательно, при расчете по формуле (1) плотности тока эмиссии с грани снимается противоречие пятому стандартному физическому предположению.
4. Проверка адекватности модели на основе данных натурного эксперимента: вольт-амперные характеристики катода и площадь эмиссии. Общий ток эмиссии в сферических координатах определяется из формул (1), (2):
/. 2тг гтт/2 / фЗ/2 \
/(V) = у у ф^уехр 1^-В-у-"{у)) госо8 0япб<^мг0.
Здесь г о - радиус кривизны вершины эмиттера. Численное интегрирование производится методом квадратур Симпсона.
Параметр подгонки модели - коэффициент усиления локального поля 7 - определяется из сопоставления экспериментальных и моделируемых вольт-амперных характеристик катода. Для вольфрамового электронного эмиттера характеристики совпадают с погрешностью не более 5% при значении 7 ~ 1,5, соответствующем литературным данным [10].
Экспериментальное значение площади эмиссии А для вольфрамового катода получено из эмиссионного изображения (справа от кривой на рис. 3) согласно формуле
[6] '
А — А^т [ | ,
V г ш )
где радиус кривизны г вершины экспериментального острия оценивается из напряжения, необходимого для получения общего эмиссионного тока: 1=1- 10~5 А [13]; Ггт -расстояние между центрами (211) и (121) ( или (211) и (121)) на эмиссионном изображении, измеренное в пикселях; А- число белых пикселей на изображении.
На рис. 3 исходное эмиссионное изображение обработано следующим образом [6]: белая область включает множество точек изображения, яркость которых превышает уровень шума цифровой камеры, а все другие точки яркостью не более уровня шума воспроизведены как темная область.
1Г ■*- О О -Г- -г- -г- гм — с-4 СМ СО С4 т- С-4 СО т- 04 СО т- 04 *г-
ч-т-Оч-СОСО'^СМСОЮЮСО^СЧСОтГСОСЧ’Ч’О^-^Ют-СМ^ с>1 со -г- ^ ю ио со -г}- со со <о со с-4 ю г^- со ш со со г- |--- ю ел
Кристаллографические грани, индексы Миллера
Рис. 2. Численность кристаллографических граней катода в зависимости от порядка ближайших соседей, учитываемых при построении граней.
Показано расположение граней на единичном стереографическом треугольнике в приближении пятых ближайших соседей. Кристалл с объемно-центрированной кубической структурой, полусферической формы радиусом 722 параметра решетки.
Моделируемая площадь эмиссии рассчитывается так:
/*27Г /*7г/2
3(У) = 5(^)го соб 0 ят в с1рс16,
Jo J0
о/ЕЛ _ / (^) ^ Лшп,
в^-\о, т<^п.
Здесь _7т;п определяет уровень пренебрежимо малой теоретической плотности тока.
Распределение значений функции в(^) по поверхности катода является модельным аналогом указанного экспериментального эмиссионного изображения. На рис. 3 слева от кривой показаны распределения при различных напряжениях между катодом
и анодом, причем белая область соответствует значению 1, а черная - 0. На кривой рис. 3 приведены соответствующие значения моделируемой площади эмиссии 5'(РГ). Справа дано экспериментальное эмиссионное изображение. Наблюдаются удовлетворительное качественное совпадение экспериментально измеренного и моделируемого распределения и количественное соответствие экспериментальной и моделируе-
мой площадей эмиссии 3(У) и Л вольфрамового катода при напряжении V — 5115 В и Лпт = 3,3 ■ 102 А/см2.
5. Заключение. Математическая модель полевого эмиссионного металлического катода построена с целью более адекватного учета неоднородности работы выхода по поверхности. В отличие от традиционного подхода, использующего средневзвешенное
160 ООО ■
140 000 -120 000 -100 ООО 80 000 -60 000 -40 000 -20 000 -0 -
3700 3900 4100 4300 4500 4700 4900 5100
Напряжение, В
Рис. 3. Рассчитанные значения площади эмиссии в зависимости от напряжения между W-катодом и анодом (го = 239 • 10-9 м,
R - 0,04 м).
значение работы выхода для всей поверхности [6], в модели рассчитывается расположение кристаллографических граней на вершине катода с различными величинами работы выхода. В рамках предположения об идеальной структуре поверхности и применения интегрального параметра (4) для учета локальных изменений поля на микроскопических неоднородностях поверхности, модель адекватно описывает данные натурного эксперимента. Она позволяет перейти от интегрального тока эмиссии к распределению плотности тока, которое находится в полном количественном и качественном соответствии с экспериментально наблюдаемым эмиссионным изображением. Подход «порванных связей», используемый при моделировании структуры поверхности, дает возможность применить модель для случая адсорбции на эмиттере, требующего учета координационных чисел атомов поверхности [14].
Summary
Nikiforov К. A., Egorov N. V. The simulation of surface structure and current density calculation of a field emission metal cathode.
The computer model of a field electron emission metal cathode (radius of curvature near 100 nm) is proposed. Crystal surface is assumed to be ideal. Lattice geometry for given emitter shape is calculated in “thin shell” and “broken bonds” models. The model “sphere on cone” is used for cathode shape and macroelectric field distribution. Local field enhancement factor is the fitting parameter of a model. Local work function values are found in the “broken bonds” approach from atom packing density in the local area of the surface. Model current density, total emission current, emission area and simulated field emission images are compared with experimental results.
Литература
1. Егоров H. В., Карпов А. Г. Диагностические информационно-экспертные системы. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 472 с.
2. Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная спектроскопия / Пер.
с англ. Г. Н. Фурсея. М.: Наука, 1990. 320 с.
3. Suvorov A. L., Razinkova Т. L., Kuznetsov V. A. Computers in filed ion microscopy // Phys. Stat. Sol. 1980. Vol. 61A. P. 11-52.
4. Suvorov A. L., Razinkova T. L., Kuznetsov V. A. Computer simulation of field electron images // Surf. Sci. 1975. Vol. 52. P. 697-702.
5. Суворов А. Л. Структура и свойства поверхностных атомных слоев металлов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 296 с.
6. Plsek J., Zhukov D., Knor Z. The “average” work function and emission area in the Fowler-
Nordheim equastion // Czech. J. Phys. 2002. Vol. 52. P. 1335-1348.
7. Forbes G. R. Refining the application of Fowler-Nordheim theory // Ultramicroscopy. 1999. Vol. 79. P. 11-23.
8. Murphy E. L., Good R. H. Thermionic emission, field emission and transition region // Phys. Rev. В 1956. Vol. 102. P. 1464-1473.
9. Dyke W. P., Troian J. K., Dolan W. W., Barnes G. The Field emitter: fabrication, electron microscopy, and electric field calculations // J. Appl. Phys. 1953. Vol. 24. P. 570-578.
10. Forbes R. G., Edgcombe C. J., Valdre U. Some comments on models for field enhancement // Ultramicroscopy. 2003. Vol. 95. P. 57-65.
11. Никифоров К. А. Моделирование кристаллической структуры поверхности металлического катода // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXV науч. конференции факультета ПМ-ПУ. СПб., 2004. С. 244-247.
12. Surma S. A. Correlation of electron work function and surface-atomic structure of some d transitional metals // Phys. Stat. Sol. A. 2001. Vol. 183. P. 307-322.
13. Drechsler М., Henkel E. Feldemissions Stromdichten und Oberflachenfeldstarken bei Felde-missionsmikroskopen sowie Methoden zur Bestimmung des Spitzenradius, der Spitzenform, der Vergrofierung und des Auflosungsvermogens // Z. Angew. Phys. 1954. Bd 6. S. 341-346.
14. Рудницкий Л. А. О работе выхода электрона и донорно-акцепторных свойствах неидеальных или покрытых адчастицами поверхностей металлов // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1982. Т. 26. С. 1240-1246.
Статья поступила в редакцию 11 декабря 2005 г.
