Моделирование стационарных марковских случайных процессов с заданной плотностью распределения методом авторегрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДОМ АВТОРЕГРЕССИИ

С.В.Г арбарь

Институт электронных и информационных систем НовГУ, Sergey.Garbar@novsu.ru

Предложены два способа нахождения функции плотности независимой случайной величины в алгоритме авторегрессии: решением интегрального уравнения и с использованием характеристических функций. Также предложен численный метод оценки погрешности при численном решении полученного интегрального уравнения.

Ключевые слова: модель авторегрессии, моделирование случайных последовательностей

Two approaches of finding the density function of independent random value in autoregressive algorithm are proposed: the first is by solving of integral equation, the other one uses the characteristic functions. The numerical method of error estimation when solving mentioned equation numerically is also given.

Keywords: autoregressive model, random sequences modeling

Постановка задачи

Поставим задачу моделирования стационарной последовательности У1,У2,.,Уп,... случайных величин с заданной функцией распределения g (у). Такие последовательности используются, например, для моделирования временных рядов, течение которых стабилизировалось и происходит в неизменных условиях. Они широко применяются в радиотехнике, теории связи, механике жидкости и газа, океанологии, метеорологии, экономике и т. д.

Обычно подобные последовательности моделируются с использованием алгоритмов авторегрессии. В случае, если задано значение автокорреляционной функции в точке 1, т. е. речь идет о марковском процессе, уравнение авторегрессии имеет вид ¥к = а¥к _1 + ЬХк,

и значит рассматривается процесс авторегрессии первого порядка.

Наложим на а и Ь ограничения а, Ь > 0, а + Ь = 1. В этом случае генерируемая последовательность стационарна, а автокорреляционная функция принимает значения R(n) = ап , т. е. имеет экспоненциальный вид [1].

Таким образом, задача моделирования последовательности сводится к нахождению вида независимой случайной величины Хк , которая используется при расчетах следующего члена ряда.

Нахождение вида прибавляемой случайной величины

Теорема 1. Функции плотности g (у) и /(х) случайных величин Yk _1 и Хк связаны зависимостью

-1-й.

^у )= |

у - Ьх

= | g|----I/(х)~.

а ) а

(1)

Доказательство. По условию случайные величины Yk_1 и Хк независимы. Плотность линейной

функции г = аХ* + ЬХ 2* (при а, Ь Ф 0 ) двух незави-

* *

симых случайных величин Х1 и X 2 имеет вид

К(г)= [ //^-^1/2 (х2 ^ ^

* V а у а

_ад

где /1 (х), /2 (х) — плотности распределений случай* *

ных величин Х1 и X 2 соответственно.

Записав соответствующее выражение для имеющегося уравнения авторегрессии, получим выражение (1).

Таким образом, задачу определения распределения случайной величины Хк можно свести к решению линейного интегрального уравнения Фред-гольма первого рода относительно функции плотности ее распределения. Данное уравнение может быть решено в том числе и численно.

Теорема 2. Функция плотности случайной величины Yk g(у) и характеристическая функция случайной величины Хк ) связаны соотношением

1 4 х1 = — I"е'

Ь V Ь ) 2п Л

)

у( at)

Л.

(2)

Доказательство. Пусть ф^) — характеристическая функция случайной величины Хк . Так как Хк и Yk_1 — независимые случайные величины, то характеристическая функция их линейной комбинации Yk = aYk_1 + ЬХк есть произведение характеристических функций случайных величин ЬХк и а^ _1.

Поскольку у(t) — характеристическая функция случайной величины Yk, то характеристической функцией случайной величины aYk_1 будет ), исходя из стационарности последовательности >хУк} и свойства однородности характеристической функции как функции случайной величины.

Таким образом, у^) = у( at) • ф(Ьt).

)

Соответственно ф(Ьt) =

у^)

Если перейти к плотностям распределения, получим в левой части плотность случайной величины

ЬХк , которая имеет вид 1 / [Х | :

, х +"

1 / х1=— I"

Ь V Ь ) 2п •!

■_¥(0_ у^)

Л,

т. е. получено выражение (2), что и требовалось показать. Используя это выражение — фактически, решение уравнения (1), — в ряде случаев удобно находить плотность случайной величины Хк .

Оценка погрешности

При моделировании случайных последовательностей можно говорить о двух типах погрешности: во-первых, коэффициент корреляции между соседними членами последовательности может отличаться от требуемого. Во-вторых, может быть смоделирована последовательность с отличным от требуемой плотностью распределения. Использование алгоритмов авторегрессии — метод, который не дает погрешности ни одного из этих двух типов.

Однако, если уравнение (1) решается численно, то отличие численного решения /*(х) от истинного решения /(х) повлечет за собой и изменение функции плотности g(у) моделируемой последовательности.

Подставив / *( х) в уравнение

+ад

* *1у )={ * •( х)/ *( ^ ) 1 *,

аналогичное уравнению (1), и решив его численно относительно **(у) (это уравнение Фредгольма второго рода), получим оценку плотности случайных величин, составляющих последовательность.

Значение интеграла модуля разности численного решения и требуемой функции плотности

+ад

*(х)_ (х)|dx можно использовать для оценки

_ад

отличия получаемой реализацией от требуемого вида моделируемой последовательности.

Получение отрицательного коэффициента корреляции в случае симметричной функции плотности

В случае, если функция плотности распределения *(у) симметрична относительно точки у0, взятие симметричного относительно этой точки значения (2у0 _ у) на каждом шаге алгоритма авторегрессии в качестве реализации случайной величины не поменяет вида распределения.

Коэффициент корреляции между Ук и Ук

к-1

из-

менит свой знак на противоположный:

с°гг(^_l,2уо _ ^) = _ согг(7к_^ ^).

Например, если функция плотности четна, в качестве реализации случайной величины следует брать

(_у).

Пример 1. Стандартное нормальное распределение

Характеристической функцией стандартной

_ ^

нормальной случайной величины является ф^) = е 2. Воспользуемся соотношением (2):

а2ґ2 2

2

Є

Проинтегрировав, получим соотношение

f ixi=-

і

bJb2

2(1-a 2)

'b J л/2лл/і - a2 Так как b = 1 - a, получим

f (x) = -

1

1-a

V2n.

1 + a 1 - a

что есть плотность нормально распределенной слу-

чайной величины Xk ~ NI 0.

1 + а 1 _ а

Пример 2. Экспоненциальное распределение

Пусть >хУк} — последовательность экспоненциальных случайных величин с параметром X, т. е. Yk ~ Ехр(Х), имеющих плотность

(Хе-Хх, если у > 0,

[о, если у < 0.

Решим интегральное уравнение вида (1):

g ( у,і) =

ї-u.

g( у Л )= |

у - bx

1

= I * I ------,Х I/(х) dx.

-1 V а у а

_вд

Заметим, что все возможные значения случайных величин Yk и Yk_1 лежат в промежутке [0,+да). Следовательно, все возможные значения случайной величины Хк также должны лежать в промежутке [0,+да), т. е. при х < 0 /(х) = 0 . Подынтегральная

у

функция равна нулю при условиях х < 0 , х > —. Со-

Ь

ответственно, в указанных интервалах интеграл обращается в нуль. При у > 0 уравнение примет вид

le-Ху = - I le

1J >

a

у-bx

f( x)dx.

Перепишем его в виде

Функция плотности имеет вид / (х) = а5( х) + Ь* (х,ХЬ).

Данная функция плотности является линейной комбинацией плотностей неслучайной величины (X = 0) и экспоненциальной случайной величины с

параметром ХЬ и легко моделируется на ЭВМ методом суперпозиции.

Проще этот же результат можно получить, воспользовавшись выражением (2). Характеристическая функция экспоненциального распределения имеет вид

и

W ) = |1 - і

Соответственно

+ад

1 f| xJ=~ ад

b У b J 2п J

b+a-

ita

1-

it

I

-dt = — 2п

+ад

J

1-

it

+a

dt.

В скобках под знаком интеграла находится постоянная а и характеристическая функция экспоненциального распределения, умноженная на коэффициент Ь. Поэтому

Ь/ VЬ )=Ч )+(хД).

Переходя к функции плотности / (х) и используя однородность 5-функции, получим требуемое выражение: / (х) = а5( х) + Ь* (х,ХЬ).

Что и требовалось показать.

Непрерывное равномерное распределение

Уравнение вида (1) для непрерывного равномерного распределения при а = —— решено в [3],

функция f (x) имеет вид

f (x) =

1

n +1

n +1

Z Si x - k

k=0

где п е Ж0, что соответствует функции плотности дискретной случайной величины, равномерно распределенной в п +1 точках на отрезке [0,1].

lb у lb

----—+—x

a b a

- lb^

f (x)dx = aXe b .

0

Это уравнение Вольтерры первого рода, которое с учетом наличия у функции g (y, X) разрыва в точке 0 будет иметь решение [2]:

lb lb v

—+• 1

іьу lb -lb

- albe b +---------ae b

a

v

у

где 5( x) — дельта-функция Дирака.

Бокс Дж., Дженкинс Г.Д. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 408 с.

Polyanin A.D., Manzhirov A.V. Handbook of Integral Equations. Boca Raton, USA: CRC Press, 1998. 787 р.

Гарбарь С.В. Авторегрессия первого порядка для равномерно распределенных случайных последовательностей // Вестник НовГУ. Сер: Техн. науки. 2010. №55. С.53.

Bibliography (Transliterated)

Boks Dzh., Dzhenkins G.D. Analiz vremennykh rjadov. Prognoz i upravlenie. M.: Mir, 1974. 408 s.

Polyanin A.D., Manzhirov A.V. Handbook of Integral Equations. Boca Raton, USA: CRC Press, 1998. 787 р.

Garbar' S.V. Avtoregressija pervogo porjadka dlja ravno-merno raspredelennykh sluchajjnykh posledovatel'nostejj // Vestnik NovGU. Ser: Tekhn. nauki. 2010. №55. S.53.

e

2

x

1+a

2

e

b

-itx

-itx

e

a

1.

2

3.

aa

+

2.

3