CC BY
69
----------------------------------- © В.М. Шек, П.С. Дранишников,
А.Г. Литвинов, Ю.Ф. Руденко, 2009
УДК 510.67
В.М. Шек, П.С. Дранишников, А.Г. Литвинов,
Ю. Ф. Руденко
МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрены способы моделирования сплошной среды с учетом ее анизотропии. Рассчитаны параметры вариантов построения оптимальной архитектуры системы из квазиизотропных блоков (дискритов) для моделирования анизотропной сплошной среды и выбран оптимальный.
Ключевые слова: анизотропия, призма, дискрит, сплошная среда, компьютерное моделирование, осадочные породы, изменчивость свойств, геологические модели.
Общеизвестно, что земная кора является сплошной средой с крайне неравномерной структурой как по архитектуре и составу слагающих её пород, так и по качественным характеристикам последних. Поэтому такая среда является анизотропной.
Однако последнее свойство является изменчивым в зависимости от используемого интегрального критерия определения этого свойства.
Например, если принять, что «Земная кора - это верхняя твердая оболочка Земли», то можно утверждать, что это квазиизотроп-ная среда «холодного» вещества (горных пород), располагающаяся между мантией Земли и её атмосферой. Можно определить её как модель земной коры с анизотропией нулевого уровня.
Далее, «вспомнив», что земная кора представлена в основном горными породами, а также заключает в себе свободную воду в различных состояниях, можно строить в этом случае модели с анизотропией первого уровня. Примерами таких моделей являются геологические карты и разрезы земной коры.
При рассмотрении месторождений полезных ископаемых осадочного типа модели пластов сложного строения (состоящих из пропластков) имеют анизотропию второго уровня.
При более углубленном изучении строения участков земной коры (пластов) с использованием петрографических характеристик используются модели с анизотропией третьего уровня.
Исследование отдельных тел (пластов) полезных ископаемых с определением количественных характеристик их элементарных
участков (содержание полезных элементов и примесей, физические свойства и др.) предполагает построение моделей с анизотропией четвертого уровня.
Построение микромоделей среды предполагает использование анизотропии более высоких уровней иерархии.
Из вышесказанного следует сделать вывод, что с усложнением целей досконального изучения сплошных сред (систем) увеличивается количество типов выделяемых элементов (объектов) и, соответственно, число элементов каждого типа, изменяется (увеличивается) множество характеристик этих объектов.
Моделирование сплошной среды проводится разными способами в зависимости от масштаба углубления в изучение объектов. Предлагается следующая классификация моделей сплошных сред в зависимости от тщательности (мощности) описания изменчивости свойств элементов исследуемой системы (табл. 1).
Существует множество способов построения моделей сплошных сред [1, 2 и др.]. В подавляющем большинстве - это математические дискретные модели, в которых исследуемая сплошная среда представляется множеством частей (дискритов), располагающихся в пространстве без зазоров (тесно соприкасающихся без проникновения вглубь смежных дискритов). Каждый дискрит соответствующей модели является элементарным объектом, имеющим персональные пространственные и атрибутивные (количественные и качественные) параметры.
С позиций математической логики такие объекты являются точечными и, соответственно, не имеющими внутренней изменчивости свойств. Другими словами, в таких моделях каждый дискрит (блок) является однородным по составу и свойствам. Поэтому в дискретных моделях сплошных сред каждый блок представляется как изотропная (квазиизотропная) среда. Это первый постулат в принципах построения таких моделей.
Отсюда возникает необходимость построения оптимальной архитектуры системы из квазиизотропных блоков (дискритов) для моделирования анизотропной сплошной среды.
Таблица 1
Классификация моделей сплошной среды
Класс Уровень Элементы Исследуемые Изменчивость
моде- изучения свойства модели
ли системы среды
0 Планета (Земля) Кора, мантия, ядро Рельеф поверхности, толщина слоя анизотропия нулевого уровня
1 Земная кора, месторождение Пласт, рудное тело Геометрическое описание, обобщенные показатели качества анизотропия первого уровня
2 Г еологическое строение пласта участка осадочной толщи Пропласт-ки, включения, нарушения Геометрическое описание, обобщенные показатели качества анизотропия второго уровня
3 Г еологическое строение пласта ПИ (угля) Макро- структура пласта, пропластка петрографические характеристики анизотропия третьего уровня
4 Геологическое строение пласта ПИ (угля) Элементарные участки пласта, пропластка качественные характеристики (содержание полезных элементов и примесей, физико-механичес-кие свойства и др.) анизотропия четвертого уровня
5 микромодели среды Микроэлементы системы Структура, взаимодействие и др. анизотропия более высоких уровней иерархии
Следует отметить, что модели с разными уровнями анизотропии будут иметь, как правило, различные архитектуры. При этом построению моделей с Ы-ным уровнем анизотропии обычно предшествует построение моделей с (Ы-1)-вым и ниже уровнями анизотропии. Так, для построения модели угольного пласта (2-й и выше уровень анизотропии) необходимо определить его пространственное положение с использованием модели участка земной коры (осадочной толщи) первого уровня анизотропии.
Модели первого уровня анизотропии для осадочных месторождений полезных ископаемых имеют слоевую структуру, где каждый блок (дискрит) представляет пласт (часть пласта) полезного ископаемого или вмещающей породы с естественными (истончение, выход под наносы, тектоническое нарушение и пр.) или искусственными (горный отвод) границами по простиранию. Сверху и снизу
он ограничен поверхностями соприкосновения со смежными надлежащим и подлежащим пластами (дискритами). Все пласты имеют строгий порядок следования снизу вверх в соответствии с геологическим возрастом.
Модели этого уровня анизотропии для участков земной коры с преобладанием магматических горных пород используют дискри-ты, которые представляют геологические тела из минеральной массы определенных типов, имеющих разнообразные конфигурации и размеры, сопоставимые во всех трех пространственных измерениях.
Построение описанных моделей как в «ручных», так и в компьютерных технологиях производится с использованием информации, получаемой с помощью геологоразведочных работ. Соблюдение правила квазиизотропности среды в каждом дискрите здесь достигается сравнительно легко. Дискретность моделей выражается в резком изменении свойств минеральной массы при переходе от дискрита одного пласта к дискриту смежного с ним пласта через граничную поверхность.
В простейших математических моделях каждый дискрит можно представить как материальную точку, имеющую определенный набор свойств (рис. 1). Тогда любое тело в сплошной среде можно представить как множество взаимосвязанных материальных точек (дискритов).
При переходе к «протяженным» пространственным моделям каждый дискрит следует представить как определенную часть сплошной среды со сферической границей, в которой любая пространственная частичка «повторяет» свойства центральной (определяющей) частицы. Это сферическое тело А является идеальной формой дискрита, имея граничный радиус влияния свойств определяющей частицы (материальной точки) на вещество окружающего пространства с допустимым пренебрежением анизотропии среды. Вокруг него располагаются соприкасающиеся с ним дис-криты (сферические тела B, ^ D и др.) со своими, отличающимися
Рис. 1. Представление анизотропной среды как системы взаимосвязанных точек
(вследствие анизотропии среды) дискрита свойствами, которые информационно привязаны к свойствам их соответствующих центральных определяющих частиц (рис. 2). Тогда модель участка сплошной среды будет состоять из множества дискритов, каждый из которых представляет квазиизотропную среду в окрестностях соответствующей определяющей точки пространства, а анизотропия реальной среды моделируется мгновенным (ударным) изменением соответствующих её свойств в модельной среде при переходе от одного дискрита к смежному.
Сферическая форма дис-критов позволяет моделировать сплошную среду с любым направлением главных осей анизотропии. Размер сфер должен подбираться в зависимости от масштаба изменчивости параметров, определяющих анизотропию среды.
При этом множество дискритов модели может иметь регулярную (со сферами одного радиуса, как на рис. 2), так и нерегулярную
структуру. При компьютерном моделировании удобнее использовать модели с регулярной структурой.
Случай 1. Наиболее «правильной», симметричной является модель, в которой центры смежных шаров находятся (рис. 2) в вершинах соответствующего квадрата (для плоских моделей) или куба (для объемных моделей). Однако в сплошной среде между шарами имеются зазоры, описание свойств вещества в которых требует дополнительных затрат.
Простое игнорирование последнего свойства приведет к значительному огрублению результатов моделирования, так как объем шара занимает около 0,5236 объема описанного куба, т.е. вокруг него остается соответственно 0.4764 «относящегося» к нему пространства в сплошной среде Vз (чуть меньше половины).
Случай 2. Более компактным будет структура модели, когда шары второго слоя (слоя) смещены на расстояние радиуса вбок и вперед (рис. 3). Тогда каждый последующий слой будет опускаться вниз на расстояние опускания каждого шара в выемку между тремя шарами предыдущего слоя.
В этом случае вокруг шара в описывающем кубе будет оставаться около 0,42823 «неохваченного» пространства ^. Хотя эта величина более чем на 10% меньше, чем в первом
Рис. 4. Размещение цилиндров по квадратной сетке
случае, но погрешность модели по наличию неохваченного дискри-тами пространства остается весьма значительной.
Поэтому необходимо использовать в моделях дискриты другой формы для уменьшения (ликвидации) зазоров между ними в среде.
Случай 3. Для толщи осадочных пород при создании модели пласта можно пренебречь изменчивостью свойств слагающего его вещества в направлении Ъ от почвы к кровле по сравнению с таковой в направлении X ^) по простиранию в связи с несопоставимостью размеров возможных перемещений в каждом из них. Поэтому здесь целесообразно принять круговую цилиндрическую форму для идеального дискрита с осью, совпадающей с направлением Ъ (рис.
4).
Если при этом верхние и нижние грани цилиндров будут совпадать с соответствующими участками поверхностей кровли и почвы пласта, то не включенное в тела дискритов пространство будет минимальным. Зазоры вокруг каждого дискрита V при их размещении по квадратной сетке (рис. 4) составят около 0,215 объема описанной вокруг цилиндра призмы с прямоугольным сечением. Эта величина почти в два раза меньше, чем при использовании дискритов шарообразной формы.
Рис. 5. Плотная упаковка цилиндров
Однако использование и этих моделей вносит большое искажение в описание реальных систем.
Случай 4. При более плотной упаковке круговых цилиндров со смещением их в каждом последующем ряду на расстояние радиуса (рис. 5) удельный объем зазоров Уз, приходящихся на каждый дискрит, составит 0,16125.
Но и это не дает достаточной точности расчетов при моделировании сплошной среды.
Для полного заполнения пространства между цилиндрами можно использовать описанные вокруг них призмы с основанием (сечением) в виде выпуклого многоугольника. Это может быть треугольник, квадрат, пяти- и шестигранник или фигура с большим числом граней. Следует выбрать наилучшую форму призмы для приближения её свойств в части моделирования квазиизотропной среды. Тогда мы получим наиболее адекватное модельное представление сплошной среды с выполнением условий плотного расположения дискретных объемных изотропных тел и максимальной передачи её анизотропии.
Случай 5. Простейшим регулярным элементарным телом может быть призма с сечением в виде равностороннего треугольника, наиболее равномерно (среди трехгранных призм) облегающая соответствующее цилиндрическое тело (рис. 6). На рисунке пред-
ставлен случай наиболее плотной упаковки вписанных в трехгранные призмы цилиндрических тел.
Рис. 6. Расстановка трехгранных призм
Здесь идеальные цилиндрические тела в одном ряду треугольных призм имеют расстановку, как в случае 4. Однако в следующем ряду призм расположение этих тел имеет зеркальное отражение относительно плоскости, проходящей между рядами треугольных призм. Поэтому общая упаковка идеальных тел в этом случае хуже, нежели в случае 4.
Объем «зазоров» вокруг каждого цилиндрического тела Vз равен разности объемов трехгранной призмы V™ и вписанного в неё цилиндра Vц. Удельная «пустота» вокруг каждого цилиндрического тела равна отношению объемов V™ и Vц , составляя в среднем 0,6541. Это более чем в 3 раза хуже, чем в случае 3, и более чем в 4 раза хуже, чем в случае 4.
Достоинством этого способа дискретизации сплошной среды является то, что используемые дискриты располагаются плотно, без зазоров заполняя объем последней.
Но изотропность среды в сечении тела не соблюдается, что является причиной отказа от такого способа представления дискритов для адекватного дискретного моделирования сплошной среды.
Погрешность, вносимую в представляемую модель за счет формы тела дискрита, можно оценивать по отношению объемов тел дискритов предлагаемой формы и идеальной цилиндрической. Назовем эту величину коэффициентом неравномерности
Рис. 7. Грид-модель слоя
(неизотропности) формы дискрита Кнф. Чем ближе этот коэффициент по значению к 1, тем большую изотропность будет иметь рассматриваемый дискрит.
Для случая 5 Кнф= V™ / Vц = 1,6541.
Это более чем полуторакратное искажение изотопных свойств дискрита, поэтому данная форма призм дискритов неприемлема. Если же треугольные основания рассматриваемых призм будут иметь неправильную форму, то значения Кнф будут еще больше. Поэтому использование моделей пластов с основаниями призм, построенных на поверхностях почвы в виде произвольной триангуляционной сетки, недопустимо.
Случай 6. Из четерехгранных призм наилучшую форму для квазиизотропного представления сплошной среды имеют призмы с сечением в форме квадрата (рис. 7).
Здесь, как и в случае 3, удельные «зазоры» вокруг цилиндрических тел Vз составляют 0,215. Коэффициент неравномерности формы Кнф= 1,2733 .
Это гораздо выше, чем в случае 5, и поэтому данный способ более предпочтителен для дискретного моделирования сплош-
Рис. 8. Раскрой плоскости правильными пятиугольниками
ной среды (грид-модели). Его можно использовать при создании моделей с анизотропией 1 и, в случае спокойного залегания месторождения, 2 классов. Случай 7.
Использовать призмы с основанием в виде правильного пятиугольника в качестве дискритов невозможно, так как в пространстве эти призмы сочленяются с зазорами (рис. 8): нарушается правило равенства суммы внутренних углов сечений многоугольников, прилежащих к одному узлу стыковки, 360°. Случай 8.
Выбор призм с сечением в форме правильного шестиугольника (рис. 9) удовлетворяет описанному выше правилу. Определим значение коэффициента неравномерности формы дискрита Кнф и удельный объем «зазоров» Уз вокруг вписанного в дискрит идеального цилиндрического тела Уц для данного случая.
Вычисления показали, что Уз=0,0931 и Кнф= 1,1027.
Из рассмотренных случаев этот самый наилучший по обоим показателям. Поэтому он рекомендуется как оптимальный для моделирования сплошных сред с анизотропией 1 - 4 уровней.
Случай 9.
По указанному выше правилу стыковки дискритов без зазоров следует, что построение дискритов с сечением в виде
„ „ „ , провальных выпуклых много-
Рис. 9. Дискрит в форме шестигран- _
ной призмы угольников с числом сторон бо-
лее шести невозможно.
Из сравнения всех рассмотренных случаев дискретизации сплошной среды следует, что оптимальной формой дискритов являются правильные шестигранные призмы с основаниями, являющимися частями поверхностей кровли и почвы пласта (пропластка, слоя).
Проведенные исследования позволили разработать метод оптимального построения дискретных моделей сплошной среды, который успешно реализован в программных комплексах «Недра» и «Гео+», предназначенных для создания и применения геологомаркшейдерских моделей месторождений полезных ископаемых.
---------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коган И.Д. Подсчет запасов и геолого-промышленная оценка рудных месторождений. М.: Недра, 1974 г.
2. Каждан А.Б., Гуськов О.И. Математические методы в геологии. М.: Недра, 1990. ВТШ
V.M. Shek, P.S. Dranishnikov, A.G. Litvinov, Y.F. Rudenko
THE CONTINUOUS MEDIUM MODELING
In the given work ways of modeling of the continuous environment, taking into account its anisotropy, are considered. Parametres of variants of construction of optimum architecture of system from quasiisotropic blocks (“the discrete ”) for modeling of the anisotropic continuous environment are calculated and the optimum is chosen.
Key words: Anisotropy, prism, “the discrete ”, continuous environment, computer modeling, sedimentary breeds, variability of properties, geological models.
— Коротко об авторах --------------------------------------------------
Шек В.М. - профессор кафедры АСУ Московского государственного горного университета, доктор технических наук, [email protected],
Руденко Ю. Ф. - технический директор ОАО СУЭК,
Дранишников П. С. - вед. инженер ООО «Газпромтранс»,
Литвинов А.Г. - кандидат технических наук, руководитель проектов ООО Геоинфосистем.
