CC BY
32
УДК 539.3
Моделирование спиральных нанопленок с пьезоэлектрическими свойствами
А.А. Гирченко1, В.А. Еремеев12, Н.Ф. Морозов3
1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 344090, Россия
2 Южный научный центр РАН, Ростов-на-Дону, 344007, Россия 3 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199304, Россия
Проведен модальный анализ двухслойной нанопленки, обладающей пьезоэлектрическими свойствами. Найдены собственные частоты и построены соответствующие им собственные моды колебаний. Также показано влияние окружающей среды на величины собственных частот.
Ключевые слова: спиральная оболочка, собственные колебания, нанопленка, пьезоэффект
Modeling of spiral nanofilms with piezoelectric properties
A.A. Girchenko1, V.A. Eremeev1,2 and N.F. Morozov3
1 Southern Federal University, Rostov-on-Don, 344090, Russia
2 Southern Scientific Center RAS, Rostov-on-Don, 344007, Russia
3 St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199304, Russia
A modal analysis of a two-layer nanofilm with piezoelectric properties was carried out. Eigenfrequencies were determined and eigenmodes corresponding to them were constructed. The effect of the surroundings on the eigenfrequencies was analyzed.
Keywords: spiral shell, characteristic oscillations, nanofilm, piezoelectric effect
1. Введение
Уникальные свойства наноматериалов делают их
весьма привлекательными для приложений [1-3]. В частности, в последние десятилетия достигнут значительный прогресс в производстве пленок субмикронной и наноразмерной толщины. Тонкие пленки традиционно используются в планарной микроэлектронике, различных датчиках, системах магнитной и оптической записи и хранения информации, микро- и наноэлектромехани-ческих устройствах (MEMS/NEMS), оптике, триботехнике, для защиты от коррозии и высоких температур и в других областях. Механические аспекты использования таких пленочных элементов упираются в исследование их прочности и надежности, а также в определение их механических свойств. В этой связи можно
выделить несколько основных задач: корректное определение толщины, твердости и модуля Юнга тонких слоев, оценка внутренних напряжений в отдельных слоях и их адгезии друг к другу. Эти важнейшие характеристики системы определяют ее механические, трибологические, электрические, оптические и другие функциональные свойства, а также надежность изделий, содержащих эти структуры.
Одним из методов создания микро- и наноэлектро-механических устройств является использование многослойных пленок из полупроводниковых и пьезоэлектрических материалов в спиральных структурах (см., например, [4-13]). Спиральные нанооболочки используются как рабочие элементы сенсоров и актуаторов. Особый интерес представляет анализ многослойных
© Гирченко A.A., Еремеев B.A., Морозов Н.Ф., 2010
спиралей в случае наличия пьезоэлектрического слоя, материал которого обладает значительным коэффициентом электромеханической связи.
При моделировании нанообьектов элементами сплошной среды на первый план выступает проблема определения их физических и механических свойств. Некоторые аспекты этой проблемы могут быть решены путем сравнения результатов натурного и численного эксперимента. Определение нескольких собственных частот спиральной нанооболочки может служить способом определения изгибной жесткости пленки, из которой образована оболочка [14, 15].
Далее приведен статический и модальный анализ структуры, представляющей двухслойную пленку In014Ga0g6As/PZT-5H. Все тела моделировались как трехмерные, также учитывались пьезоэлектрические свойства материала. Ориентация пьезоэлектрического слоя задана так, что ось поляризации проходит по касательной к витку спирали. Данный случай описывает ситуацию, когда оболочка поляризована еще до формирования ее в виде геликоидального обьекта. Таким образом, учитывается криволинейная анизотропия оболочки.
2. Основные соотношения
Основные уравнения электроупругости в приближении электростатики при отсутствии массовых сил имеют вид [16-18]:
ри = Уст, = 0, (1)
ст = С •• е - е • Е, D = е • е + d • Е,
Е = 1/ 2 (V и + Уиг), Е = Уф, где и — вектор перемещения; Е — вектор напряженности электрического поля, выраженный через потенциал ф; ст — тензор напряжений; D — вектор электрической индукции; е — тензор деформации; р — плотность; С, е и d — соответственно тензоры упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных; V — оператор Гамильтона.
Систему (1) замыкают следующие краевые условия. Пусть поверхность тела Г состоит из двух частей: Г = Г1 иГ2 (Г пГ2 = 0). Пусть на части Г1 заданы перемещения и0, а на Г2 — нагрузка £ Соответствующие краевые условия задаются формулами
и| Г = и0> (2.1)
11 1
п -ст|Г = f. (2.2)
И 2
Здесь п — вектор единичной нормали к Г. Для пьезоэлектрика механические краевые условия (2) дополняются краевыми условиями электрической природы. Пусть Г = Г3 иГ4 (Г3 пГ4 = 0), где на Г3 задан электрический потенциал ф0, а на Г4 — поверхностный заряд q:
ф|Гз =ф0> (3.1)
п • ^ Г = <?. (3.2)
Г 4
Задача на собственные колебания сводится к решению однородной краевой задачи (1)-(3), т.е. при и0 = 0 f = 0, ф0 = 0, q = 0. При этом решение разыскивается в виде:
и(х, t) = и(хУ“, ф(х, t) = Ф(х)ег'“, где ю — частота колебаний. С практической точки зрения обычно интересно определение нескольких первых собственных частот.
3. Собственные колебания двухслойной оболочки
В качестве примера рассмотрим спираль с девятью витками (рис. 1) со следующими размерами: толщина первого слоя 1п01^а0 86As — 11 нм, толщина второго слоя PZT-5H — 16 нм, радиус — 2.02 мкм, высота витка — 4.7 мкм. Физические свойства материала оболочки для расчетов были взяты из базы данных ФТИ РАН им. А.Ф. Иоффе1.
Правый конец спирали жестко защемлен. Остальная поверхность свободна. Для потенциала ф рассматривались краевые условия второго рода (3.2). Также учтены локальная анизотропия (введенный материал является криволинейно анизотропным) и поворот оси поляризации пьезоэлектрической пленки. Для этого введена локальная система координат в каждом конечном элементе полученной триангуляции, задающая ориентацию пьезоэлектрического материала так, чтобы ось поляризации проходила по витку спирали. Другими словами, введенная на п-м шаге локальная система координат поворачивалась вместе с поворотом винта, так, чтобы ось г была нормалью к поверхности.
В ходе численного эксперимента был проведен сравнительный анализ собственных частот и соответствующих им собственных мод колебаний спиралевидной оболочки при заземлении одного или обоих торцов спирали. Сопоставление собственных форм спиралевидной нанооболочки представлено на рис. 2, собственные значения — на рис. 3 и в табл. 1. Анализ данных показал, что при заземлении обоих торцов спирали не возбуждается собственная форма, соответствующая собственному значению 4.60602 • 108 Гц.
Рис. 1. Спиральная нанооболочка
1 http://www.ioffe.ru/.
При конечно-элементном моделировании использованы призматические 8-узловые конечные элементы в гибридной формулировке (в обозначениях ABAQUS-C3D8E). Использованная конечно-элементная сетка со-
стоит из 13 104 элементов, что соответствует 34858 узлам и 94 418 неизвестным. Предварительные результаты конечно-элементного моделирования обсуждались в [19, 20].
Рис. 2. Собственные моды колебаний спиралевидной оболочки, соответствующие первым 15 собственным частотам при заземлении двух (I) или одного (II) концов оболочки (начало)
т
Рис. 2. Собственные моды колебаний спиралевидной оболочки, соответствующие первым 15 собственным частотам при заземлении двух (I) или одного (II) концов оболочки (окончание)
4. Учет внешней среды
Выше были исследованы собственные формы и со-
ответствующие им собственные значения спиралевидной
нанооболочки, образованной слоями !п0 ^а0 86As/Pzt-5H.
Рис. 3. Собственные частоты в зависимости от номера моды колебаний
Особый интерес вызывает частотный анализ с учетом влияния внешней среды и, в частности, внешних акустических воздействий с целью определения влияния внешней среды на собственные частоты. Интерес к подобному анализу связан с тем фактом, что наличие внешней среды может вызывать затухание колебаний за счет рассеяния электромагнитных волн на бесконечности. Кроме того, между витками пьезоэлектрической оболочки возможно взаимодействие вследствие электромагнитного взаимодействия.
Для этого была смоделирована следующая система: внутри внешнего тела вписана изучаемая двухслойная структура. Для проектирования максимально приближенной к реальным условиям системы, внутри внешнего тела создано сечение в виде поверхности спирали. Это необходимо для учета взаимодействия через среду и корректного использования некоторых опций конечноэлементного пакета ABAQUS (например для учета взаимодействия между поверхностью внешнего тела и поверхностями слоев спирали, создания триангуляции с согласованностью по геометрии и др.). В качестве внешнего тела рассматривался воздух при нормальном атмосферном давлении и при температуре 25 °С.
Таблица 1
Значения собственных частот
№ Правый торец Правый + левый Левый торец
1 9.12261 •Ю5 9.12259 • 105 9.12298 •Ю5
2 9.56037 •Ю5 9.56028 •Ю5 9.56043 • 105
3 6.03050 •Ю6 6.03048 •Ю6 6.03056 •Ю6
4 3.18345 • 107 3.18336 • 107 3.18345 •Ю7
5 3.32418 • 107 3.32417 •Ю7 3.32420 •Ю7
6 5.42619 •Ю7 5.42619 •Ю7 5.42627 •Ю7
7 1.42982 •Ю8 1.42982 •Ю8 1.42983 •Ю8
8 1.99708 •Ю8 1.99695 •Ю8 1.99709 •Ю8
9 2.09541 •Ю8 2.09537 •Ю8 2.09545 •Ю8
10 2.73498 •Ю8 2.09537 •Ю8 2.73500 •Ю8
11 4.22775 •Ю8 4.22775 •Ю8 4.22777 •Ю8
12 4.60602 •Ю8 5.86844 •Ю8 4.60751 •Ю8
13 5.87122 • 108 6.26688 •Ю8 5.87126 •Ю8
14 6.26694 •Ю8 6.32118 • 108 6.26696 •Ю8
15 6.32586 •Ю8 7.79363 •Ю8 6.32589 •Ю8
Данная задача имеет также непосредственное отношение к моделированию поведения наносенсоров, использующих изменение собственных частот при присоединении к оболочке других веществ, к применению спиральных оболочек в качестве нанодвижителей, основанных на возбуждении движения оболочки на частотах, близких к нужной собственной частоте.
Для описания связанных физико-механических процессов необходимо использование уравнений классических линейных теорий пьезоэлектричества, упругости и акустики.
Рассмотрим область Ц, представленную объединением областей
Цj = Црк, к = 1, 2, ..., Мр, j = к, со свойствами пьезоэлектрических материалов и набором областей
Ц j = Цет, т = 1, 2, ..., Ме, j = Нр + m, со свойствами упругих материалов.
Не нарушая общности, будем считать, что физикомеханические процессы, происходящие в средах Ц рк и Цет, можно полностью описать в рамках теорий электроупругости. Для пьезоэлектрических сред Ц - = = Црк выполняются полевые уравнения и определяющие соотношения (1)-(3).
Для сред Цj = Цет с чисто упругими свойствами учтены только механические поля, которым соответствуют аналогичные (1) полевые уравнения и определяющие соотношения в пренебрежении электрическими полями и эффектами пьезоэлектрической связности.
Учитывая, что пьезоэлектрическое устройство находится в акустической среде
= Ца1, 1 = 1, 2, ..., Ма , j = 1 + Мр + Ме ,
в данных областях введены уравнения акустики с учетом линейных диссипативных эффектов:
—Ц р + У-у, V = Уф, (4)
р с
р . V = V- ст, ст = —I + ЬЯу,
(5)
где р j — значение плотности; Cj — скорость звука; bj — диссипативный коэффициент для среды Ц- = = Ца1; р — звуковое давление; V — вектор скорости; ф — потенциал скоростей; ст—тензор напряжений; I — единичный тензор.
Для решения задач акустоэлектроупругости пакет ABAQUS использует метод конечных элементов в классической формулировке. Вводится конечно-элементное разбиение, заданное в областях Ц-, аппроксимирующих области Ц-. На данной сетке неизвестные функции и, ф и ф аппроксимируются как
и = МТ (х) • и (t), ф = Мф (х) • Ф(t), (6)
Ф = Мф (х) •’F(t), где Ми (х) — матрица функций формы для поля пере-
мещений и; Мф (х), Мф (х) — вектор-строки функций формы для полей электрического потенциала ф и потенциала скоростей в акустической среде ф; и((), Ф(0, Т(() — глобальные векторы соответствующих узловых степеней свободы.
Конечно-элементная аппроксимация задач акусто-электроники (1)—(3), принятая в пакете SIMULIA ABAQUS и включающая основные главные и естественные граничные условия, приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
М • а + С • а + К • а = Р,
6
М =
К =
Мии 0 ^иу 6 С ии 0
0 0 0 , С = ? КТ Ьdкuф 0 0
< 0 - Муу ; 0 -С ^уу
к кии к киф 0 7
кТ киф —к кфф 0 ,
0 0 —К куу
(7)
7
(8)
К, ?ф + рф,0
1=|_и, ф, ч]Т
где а — неизвестный вектор узловых степеней свободы;
),
где Мии и Кии — конечно-элементные матрицы массы и жесткости соответственно. Матрица Мии отражает инерционные свойства среды, матрицы Кии, Киф и Кфф отражают упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства соответственно. Векторы Ри, Рф формируются в результате механических и электрических воздействий на границе области.
В численном эксперименте найдены собственные значения консольно закрепленной по одному торцу спирали, вложенной во внешнее тело, имитирующее реальную структуру. Полученные собственные значения системы сопоставлены с полученными ранее собственными значения бислойной спиральной оболочки.
При конечно-элементном моделировании использованы призматические 8-узловые конечные элементы в гибридной формулировке. Для пленки, образованной пьезоэлектрическим материалом, конечные элементы выбраны с учетом наличия электрических степеней свободы (в обозначениях ABAQUS - C3D8E). Внешнее тело смоделировано при использовании конечных эле-
Таблица 2
Значения собственных частот
№ Биспираль-воздух, Г ц Биспираль, Гц
1 2.19384-105 9.12259-105
2 2.74099-105 9.56028-105
3 4.64475-106 6.03048-106
4 6.07333-106 3.18336-107
5 1.05502 -107 3.32417-107
ментов типа AC3D8 (8-узловых акустических конечных элементов). Ориентация пьезоэлектрического слоя задана так же, как и в предыдущем случае. Он описывает ситуацию, когда оболочка поляризована еще до формирования ее в геликоидальный объект.
Проведен модальный анализ структуры воздух-биспираль (табл. 2). Из таблицы видно, что учет окружающей среды приводит к существенному изменению собственных частот, а именно, к их уменьшению.
5. Заключение
Предложены две конечно-элементные модели для двухслойной спиральной нанооболочки из пьезоэлектрического материала. Первая описывает спиральную оболочку, а вторая — спиральную оболочку и окружающую среду. Модели реализованы с помощью конечноэлементного комплекса ABAQUS. Разработана методика расчета спиральных слоистых оболочек из анизотропного материала с учетом поворота осей анизотропии и пьезоэлектрических свойств. Проведен анализ полученных результатов для двух- и однослойных оболочек с пьезоэлектрическими свойствами и чисто упругих, а также для разных типов закрепления и краевых условий для потенциала. Результаты качественно совпадают с результатами модального анализа для упругих однородных спиральных оболочек [14, 15].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00459).
Литература
1. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Физическая механика деформируемых
наноструктур. - Т. 1. - СПб: Янус, 2003. - 194 с.; Т. 2. - СПб: Янус, 2005. - 352 с.
2. Springer Handbook of Nanotechnology / Ed. by B. Bhushan. - Berlin:
Springer-Verlag, 2007. - XLIV. - 1916 p.
3. Handbook of Nanoscience, Engineering and Technology / Ed. by W.A. Goddard, D.W. Brenner, S.E. Lyshevski, G.J. Iafrate. - Boca Raton: CRC Press, 2003. - 824 p.
4. Wen Y., Shen Z. Synthesis of regular coiled carbon nanotubes by Ni-catalyzed pyrolysis of acetylene and a growth mechanism analysis // Carbon. - 2001. - V. 39. - P. 2369-2386.
5. Pendry J.B. A ^iral route to negative refraction // Science. - 2004. -V. 306. - No. 5700. - P. 1353-1355.
6. Vasilescu R., Dancila D.S. Modeling and analysis of active flap using coiled bender piezoelectric actuators // J. Intell. Mater. Syst. Struct. -2004. - V. 15. - No. 9-10. - P. 783-792.
7. Golod S.V, Prinz VYa., Mashanov VI., Gutakovsky A.K. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - No. 3. - P. 181-185.
8. Prinz VYa. A new concept in fabricating building blocks for nano-electronic and nanomechanic devices // Microelectron. Eng. - 2003. -V. 69. - No. 2-4. - P. 466-475.
9. Zhang L., Deckhardt E., Weber A., Schonenberger C., GrutzmacherD. Controllable fabrication of SiGe/Si and SiGe/Si/Cr helical nanobelts // Nanotechnology. - 2005. - V. 16. - P. 655-663.
10. Принц В.Я., Голод C.B. Упругие нанооболочки на основе кремниевых пленок: формирование, свойства и практическое применение // ПМТФ. - 2006. - № 6. - С. 114-128.
11. Bell D.J., Sun Y, Zhang L., Dong L.X., Nelson B.J., Grutzmacher D. Three-dimensional nanosprings for electromechanical sensors // Sensors and Actuators A. Physical. - 2006. - V. 130-131. - P. 54—61.
12. Bell D.J., Dong L.X., Nelson B.J., Golling M., Zhang L., Grutzmacher D. Fabrication and characterization of three-dimensional InGaAs/ GaAs nanosprings // Nano Lett. - 2006. - V. 6. - No. 4. - P. 725-729.
13. Ghosh A., Fischer P. Controlled propulsion of artificial magnetic nanostructured propellers // Nano Lett. - 2009. - V. 9. - No. 6. -P. 2243-2245.
14. ИвановаЕ.А., МорозовН.Ф. Об одном подходе к экспериментальному определению изгибной жесткости нанооболочек // Докл. РАН. - 2005. - Т. 400. - № 4. - С. 475^79.
15. Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Обоп-ределении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. -С. 75-85.
16. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - М.: Мир, 1986. - 160 с.
17. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
18. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. - М.: Мир, 1991. - 560 с.
19. МорозовН.Ф., ЕремеевВ.А., ИвановаЕ.А., ГирченкоА.А. Исследование колебаний спиральных нанооболочек из многослойных пьезоэлектрических нанопленок // Тезисы докл. II Всерос. конф. «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях», Москва, МИФИ, 27-29.05.2009. - М.: Изд-во МИФИ. - C. 180-181.
20. Гирченко А.А., Еремеев В.А. Моделирование спиральных нанопленок с пьезоэлектрическими свойствами в программном комплексе SIMULIA ABAQUS // Математическое моделирование систем и процессов. - 2009. - № 17. - C. 42-46.
Поступила в редакцию 22.01.2010 г.
Сведения об авторах
Гирченко Анна Александровна, асп. НИИ МиПМ им. И.И. Воровича ЮФУ, girchenkoaa@mail.ru
Еремеев Виктор Анатольевич, д.ф.-м.н., доцент, зав. лаб. Южного научного центра РАН, проф. ЮФУ, eremeyev.victor@gmail.com Морозов Никита Федорович, д.ф.-м.н., академик РАН, зав. каф. СПбГУ, morozov@NM1016.spb.edu
