CC BY
125
МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
2-й шаг: применить смешанную стратегию с).
3-й шаг: если на втором шаге алгоритма возникает исход С}) либо С3), то применить к выделенным полуоткрытым интервалам ранее рассмотренные стратегии непомехоустойчивых алгоритмов; если возник исход С2), то переходим на четвертый шаг.
4-й шаг: если на третьем шаге возникает исход типа С}) либо С3), то применить описанные стратегии непомехоустойчивых алгоритмов. Если возник исход С2), то применить смешанную стратегию к выделенному интервалу неопределенности и перейти к пятому шагу и т. д.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, нами показано, что схемы алгоритмов помехоустойчивого поиска точки с характерным признаком, правила выбора стратегии поиска (распределения точек эксперимента) и выделения нового интервала неопределенности позволяют методом индукции решить задачу синтеза помехоустойчивых алгоритмов поиска для любых значений параметров регулярного воздействия и параметров алгоритма и, тем самым, задать функционирование нового класса конечных автоматов с псевдослучайными переходами, являющихся генераторами шифров замены для символов входного алфавита.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Алипов Н.В. Дискретные автоматы с псевдослучайными переходами и подстановочные методы защиты информации на их основе // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 4. С. 95-98
2. Алипов Н.В. Помехоустойчивый поиск точки с характерным признаком и кодирование информации // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 4. С. 82-86.
3. Алипов Н.В. Охапкин А.А., Ребезюк Л.Н. Защита информации в дискретном канале на основе устойчивых к периодическим помехам алгоритмов поиска точки с характерным признаком // АСУ и приборы автоматики. 1999. Вып. 109. С. 108-115.
Надшшла 03.05.2004 Шсля доробки 19.11.2004
Будуються завадостшкг до симетричних регулярных вгртуальних послгдовних перешкод алгоритмы пошуку точки з характерною ознакою. Так алгоритми задають функцюнування дискретних автомат1в i3 псевдовипадкови-ми переходами з одного стану в тше. Подiбнi дискретш автомати використовуються в системах захисту iнфор-маци для генераци шифру захисту.
Built antinoise to symmetrical regular virtual consequent hindrances algorithms of searching spots with the distinctive sign. Such algorithms will assign an operation of discrete automatons with pseudorandom transition from one condition in the another. Similar discrete automatons are used in systems of protection information for generations of cipher of protection.
УДК 519.242
Ю.С. Афонин, В. И. Дубровин
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВОВ СМЕСЕЙ МЕТОДОМ СИМПЛЕКСНЫХ
РЕШЕТОК
Рассмотрена проблема проектирования и оптимизации многокомпонентных смесей. Исследована возможность применения для решения данной задачи метода симплексных решеток.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из актуальных технологических проблем является проектирование составов различных смесей, а также необходимость предсказания их характеристик и свойств, получаемых в результате смешения различных составляющих. Как правило, измеряемые характеристики зависят не от количества смеси, а исключительно от пропорций содержащихся в них ингредиентов [1-4]. При этом объектом исследования могут являться не только количественные характеристики, но и качественные. В качестве примера можно рассмотреть задачу о проектировании бетонных смесей.
МЕТОД СИМПЛЕКСНЫХ РЕШЕТОК
В данной работе рассматривается возможность компьютерного моделирования в задачах оптимизации составов смесей с применением симплекс-решетчатых планов.
Компьютерное моделирование свойств веществ позволяет решить большой комплекс задач по планированию эксперимента, получению и обработке опытных данных, а также провести оптимизацию по составу многокомпонентных смесей, что и явОляется основной целью этой работы.
Преимущество симплекс-решетчатых планов состоит в том, что, располагая результатами эксперимента, можно предсказать значение свойства для многокомпонентной смеси любого состава.
Основным условием для применения симплексного метода в задачах оптимизации составов смесей является то, что содержание всех компонентов в любой смеси составляет 100%, что можно продемонстрировать в виде [5]:
¿х = 1. (1)
1=\
Из ограничения (1) следует, что ковариационная матрица оказывается вырожденной, если в матрицу независимых переменных включить столбец, состоящий из единиц (свободный член модели). Эта же матрица является вырожденной, если в матрицу факторов включить квадраты и парные произведения факторов ( х^х^, х-).
60
ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2004
Ю. С. Афонин, В.И. Дубровин: МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВОВ СМЕСЕЙ МЕТОДОМ СИМПЛЕКСНЫХ РЕШЕТОК
С другой стороны, поверхность отклика в подобных задачах имеет сложную конфигурацию, поэтому для ее описания является целесообразным использование моделей высоких порядков.
Однако если прибегнуть к некоторым преобразованиям независимых переменных, то ограничение (1) можно превратить в преимущество. Рассмотрим это на примере квадратичной формы. Для трехкомпонентной задачи полная квадратичная форма имеет вид:
у = Ь0 + Ъ1х1 + Ь2 Х2 + Ь3х3 + Ь12 хх + + Ъ1зХ1Хз + Ъ23 Х2 Хз + Ъ\Х\ + Ъ22 Х2 + Ъзз Хз2. (2)
Произведя преобразования, получим следующий вид модели (2):
у = Ъ>1 Х1 + Ъ2Х2 + Ъ"Хз + Ъ2Х1Х2 + Ъ1 зХ1Хз + Ъ^зХ2Хз , (3)
где:
Ъ = Ъо + Ъ1 + Ъп; Ъ2 = Ъ0 + Ъ2 + Ъ22;
Ъз = Ъ0 + Ъз + Ъзз; Ъ12 = Ъ12 -Ъ11 -Ъ22;
Ъ1з = Ъ1з -Ъ11 -Ъзз; Ъ2з = Ъ2з -Ъ22 -Ъзз-
Для модели (3) ковариационная матрица не является вырожденной.
В общем случае для р-компонентов модели выглядят следующим образом:
1. Квадратичная модель
У = + Т^в}Х<Х}; (4)
1<г'< р 1<г<у <р
2. Неполная кубическая модель
У = + +
(5)
1<г<р 1<1<]< р 1<'<] <к <р
Для трехкомпонентных смесей диаграммы "состав-свойство" [6-7] представляют собой сеть изолиний на треугольнике концентраций. Для построения диаграмм требуется выполнить большой объем экспериментальных исследований. Например, для шага 5% при изучении трехкомпонентной смеси требуется провести 210 опытов. С целью уменьшения числа опытов при построении диаграмм было применено планирование эксперимента в виде симплекс-решетчатых планов, которые сокращают число опытов до семи на каждый план.
Экспериментальные точки располагаются на симплексах или симплексных решетках. В работе [8] предлагается восемь различных моделей: от линейной до модели четвертой степени. Выбор каждой модели определяется ее сложностью (наличием экстремумов функции - минимумов или максимумов и перегибов). Модели представлены на рис. 1. Модель 1 описывает плоскость, модели 2 и 3 позволяют учесть взаимное влияние факторов и получить неполные модели второго порядка с перегибами. Модели второго порядка, модель 4, позволяют описывать функции с одним экстремумом, модели
5 и 6 являются переходными к моделям третьего порядка и описывают функции с перегибами и несколькими экстремумами. Модель третьего порядка, модель 7, способна описать поверхность с помощью полинома третьего порядка, а модель четвертого порядка, модель 8, соответственно, полинома четвертого порядка, которая включает в себя экстремумы, седла и перегибы.
В таблице 1 представлено количество опытов в зависимости от числа компонентов смеси и степени полинома, описывающего поверхность отклика. Коэффициенты уравнений регрессии вычисляются по результатам экспериментов.
Таблица 1 - Количество опытов для построения моделей разных степеней
Число компонентов Степень полинома
вторая третья неполная третья четвертая
2 2 3 4 5
3 6 7 10 15
4 10 14 20 35
5 15 25 35 70
6 21 41 56 126
8 36 92 120 330
1 55 175 220 715
ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ
В работе была поставлена задача решить проблему проектирования составов бетона с заданными свойствами, определяющими как качество бетона и конструкций на его основе, так и технико-экономическую эффективность их изготовления.
Одним из важных свойств бетона в момент его производства является подвижность. Подвижность бетонной смеси определяет степень его удобоукладываемости [9], т. е. насколько полно будет заполнена та или иная форма, при помощи которой задаются геометрические параметры изделия.
Получение желаемой подвижности бетона при его производстве можно добиться разными путями: изменением соотношения песок/щебень/"цементное молоко" (под "цементным молоком" понимается смесь цемента и воды), добавлением различных добавок, изменением фракционности щебня или использование щебней разных фракций.
В данной работе рассматривается лишь один способ прогнозирования изменения подвижности, а именно изменение соотношения песок/щебень/"цементное молоко".
Выбор исследования именно этого фактора, влияющего на подвижность цементной смеси, обусловлен тем, что эти три составляющие (песок, щебень и "цементное молоко") являются основой любого бетона. Прежде чем искать более дорогие методики улучшения данной характеристики, наиболее целесообразно будет попытаться добиться максимального эффекта, используя только стандартные ингредиенты, а также их оптимальный состав без применения дорогостоящих добавок и использования различных щебней по фракциям.
МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Модель 1 - модель первого порядка
Модель 2 - модель первого порядка с центральной точкой внутри решетки
№ Доли компонентов
0 0
2 0 0
з 0 0 !
7 =Д ■ X, + в2
№ Доли компонентов
0 0
2 0 0
з 0 0
4 0,ззз 0,ззз 0,зз4
■ X, +Й2 ■ X 2 +1
'х 3 + в123 ■Х1 ■Х 2 ■х 3
Модель 3 - модель первого порядка с тремя точками внутри решетки
Модель 4 - модель второго порядка
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0
4 0,5 0,25 0,25
5 0,25 0,5 0,25
6 0,25 0,25 0,5
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0
4 0,5 0,5 0
5 0,5 0 0,5
6 0 0,5 0,5
7 =в ■ X, +в ■ X 2 +вз ■ Хз +Д,23-X,2 ■ X 2 ■ в1223 X1 ■ X2 ■ X3 + в1233 ^ ■ ](2 ■ ^
7 = в ■ X, ■ X2 +вз ■ Xз +в2 ■ X, ■ X2 +в,з ■ X, ■ X з +
в23' X2 ■ ^
Модель 5 - модель второго порядка с центральной _точкой внутри решетки_
Модель 6 - модель второго порядка с тремя точками _внутри решетки_
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0
4 0,5 0,5 0
5 0,5 0 0,5
6 0 0,5 0,5
7 0,ззз 0,ззз 0,зз4
7 =в, ■ X, + в2 ■ X2 + вз ■ Xз + в,2 ■ X, ■ X2 + в,3 ■ X, ■ Xз +
в23 ■ X2 ■ ^ + в23 ■ ^ ■ X2 ■ ^
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0
4 0,5 0,5 0
5 0,5 0 0,5
6 0 0,5 0,5
7 0,5 0,25 0,25
8 0,25 0,5 0,25
9 0,25 0,25 0,5
7 = X, + в ■ X2 +в3 ■ X3 + в2 ■ X, ■ X2 + в3 ■ X, ■ X3 + в23 ■ X2 ■ вИ23 ■ ^ ■X2 ■ X3 + в,223 ■ X1 ■ ■ X3 + в233 ■ X1 ■X2 ■ X3
Модель 7 - модель третьего порядка
Модель 8 - модель четвертого порядка
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0 ,
4 0,ззз 0,667 0
5 0,ззз 0 0,667
6 0 0,ззз 0,667
7 0,666 0,зз4 0
8 0,666 0 0,зз4
9 0 0,666 0,зз4
!0 0,ззз 0,ззз 0,зз4
7 = в ■ X, + в2 ■ Х2 +вз ■ Xз +в,2 ■ X ■ X2 +в,з ■ X, ■ Xз + в2з ■ X2 ■ Xз +П2 ■ X, ■ X2 ■ (X, -X2) + Яз ■ X, ■ Xз ■ (X, - X,) + У2з ■ X2 ■ ^ ■ (^ - X3 ) + в2з ■ Х[ ■ X2 ■ X3
№ Доли компонентов
0 0
2 0 , 0
з 0 0
4 0,5 0,5 0
5 0,5 0 0,5
6 0 0,5 0,5
7 0,25 0,75 0
8 0,25 0 0,75
9 0 0,25 0,75
Ю 0,75 0,25 0
П 0,75 0 0,25
,2 0 0,75 0,25
в 0,5 0,25 0,25
,4 0,25 0,5 0,25
,5 0,25 0,25 0,5
7 = в ■ X, + в2 ■ X2 +вз ■ Xз + в,2 ■ X, ■ X2 + в,з ■ X, ■ Xз + в2з ■ X2 ■ Xз +Й2 ■ X, ■ X2 ■ (X, - X2) + йз ■ X, ■ Xз ■ (X, - Xз) + Г2з ■ X2 ■ Xз ■ (X2 - Xз) +гп ■ X, ■ X2 ■ (X, - X2)2 +
¿[з ■ Х, ■ Xз ■ ^, - Xз) + ^2з ■ X2 ■ Xз ■ (X2 - +
7
X3 +
^ +
^ ■ X2 ■ ^ + в,22з ■ X, ■ X2 ■ X3 + в2зз ■ ^ ■ X2 ■ X3
62
Рисунок 1 — Планы экспериментов
1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2004
Ю. С. Афонин, В. И. Дубровин: МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВОВ СМЕСЕЙ МЕТОДОМ СИМПЛЕКСНЫХ РЕШЕТОК
Для исследования были выбраны такие составляющие: цементно-водная смесь - "цементное молоко", песок речной и щебень одной фракционности. Поскольку в данной работе рассматривается только подвижность бетона и не рассматриваются его прочностные характеристики, на которые большое влияние оказывает це-ментно-водное соотношение, то при проведении экспериментов количество и соотношение сухого цемента и воды были выбраны таким образом, чтобы использование минимального количества "цементного молока" не приводило к потере прочностных характеристик получаемого в результате бетона.
В результате такого выбора ингредиентов смеси получаем необходимое для использования метода симплексных решеток условие, что исследуемое свойство зависит только от состава смеси.
Для проведения опытов и построения модели было принято решение об использовании пятой модели, с помощью которой можно описать функцию, имеющую перегибы, а также несколько экстремумов.
Результаты проведения экспериментов представлены в таблице 2.
Таблица 2 — Матрица планирования эксперимента
Матрица планирования Результаты
№ Zi Z2 Z3 ^эксп
1 1 0 0 16,32
2 0 1 0 5,1
3 0 0 1 2,23
4 0,5 0,5 0 20,05
5 0,5 0 0,5 7,1
6 0 0,5 0,5 3,31
7 0,333 0,333 0,334 10,2
В таблице 2 21 - доли компонентов количества "цементного молока", 22 - доли компонентов количества песка, 23 - доли компонентов количества щебня, Уэксп -подвижность экспериментально полученного бетона.
По результатам проведенных экспериментов была построена модель, коэффициенты уравнения которой представлены в таблице 3.
Таблица 3 — Расчетные данные (коэффициенты уравнения)
ß A ß ß12 ß13 ß23 ß.23
-0.9330 -1.1014 -0.0052 0.0027 5.8086e-004 7.1566e-004 -1.5932e-006
Все эксперименты, поставленные в рамках данной работы, проводились сертификационной строительной лабораторией ООО "Будиндустрия ЛТД".
Для проверки адекватности полученной модели были проведены дополнительные четыре эксперимента в проверочных точках, результат приведен в таблице 4.
Проведенные эксперименты позволили провести проверку адекватности полученной модели. Погрешность модели составила 2,9%, что является удовлетворительным показателем для данной сферы строительной индустрии.
Таблица 4 - Проведение проверочных экспериментов
Матрица планирования Результаты
№ Z1 Z2 Z3 ^эксп ^расч
1 0,25 0,75 0 15,1 14,8
2 0,75 0,25 0 19,7 20,3
3 0,25 0 0,75 3,12 2,5
4 0,75 0 0,25 8,8 9,5
ВЫВОДЫ
Основным преимуществом метода, использованного в данной работе, является то, что для построения приемлемой модели некоторой смеси необходимо провести, сравнительно с другими методами, небольшое количество экспериментов, что значительно ускоряет построение самой модели, а также существенно снижает стоимость ее получения.
Располагая результатами эксперимента, спланированного с применением симплекс-решетчатых планов для трехкомпонентной системы, можно предсказать значение свойства для смеси любого состава с хорошей точностью.
Полученная математическая модель дает возможность не только прогнозировать свойства смеси, но и оптимизировать ее состав по желанию пользователя.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Дубровин В.И. Идентификация и оптимизация сложных технических процессов и объектов. - Запорожье: ЗГТУ, 1997. - 92 с.
2. Дубровин В.И., Зонов A.B., Харитонов Ф.Я. Оптимизация состава стеатитового материала. // Стекло и керамика, 1984. № 8. С. 23.
3. Дубровин В.И., Зонов A.B. Оптимизация технологического процесса изготовления установочной радиокерамики. // Теория и практика конструирования и обеспецения надежности и качества электронной аппаратуры и приборов: Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции. М.: Радио и связь, 1984. С. 72-73.
4. Дубровин В.И., Зонов A.B., Харитонов Ф.Я. Планирование эксперимента при разработке новых стеатитовых материалов // Научно-технический процесс в разработке и применении новых керамических материалов и изделий для электроники, в механизации и автоматизации технологических процессов и оборудования: Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического совещания "Керамика-86". - М: Информэлектро, 1986. С. 1-2.
5. Львовский E.H. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие. - М.: Высшая школа, 1982. - 224 с.
6. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. - М.: Высшая школа, 1978. - 319 с.
7. Курнаков Н.С. Собрание избранных работ. Т. 1. Л.: Хим-теоретиздат, 1938. - 560 с.
8. Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии (основные положения примеры и задачи). - Киев: Вища школа, 1976. - 184 с.
9. Дворкин О.Л. Многопараметрическое проектирование составов бетонов: Монография: - Ровно: РГТУ, 2001. -121 с.
Надшшла 03.05.2004 Шсля доробки 19.11.2004
Розглянуто проблему проектування i оптим1зацп бага-токомпонентних сумШей. Доcлiджено можлuвicть застосу-вання для eupi-шення дано'( задачi методу симплексних решiток.
The article considers design problem and optimization of multi-component composition. Investigate a question of use simplex lattice methodas applied to the given problem.
