CC BY
54
Черняев С.И.,
филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана в г. Калуге, профессор
Семененко М.Г.,
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации,
филиал в г. Калуге, доцент [email protected]
Кондратьева С.Д.
филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана в г.Калуге, доцент
Моделирование синергетических объектов с помощью облачных сервисов системы Mathematica
Аннотация
В статье рассмотрены примеры моделирования самоорганизующихся систем с использованием облачных сервисов системы Mathematica
Введение
Появление компьютеров изменило все области научного познания. В «докомпьютерную» эру наука была «линейной»,т. е., как правило, полученные уравнения рассматривались в линейном приближении. Поэтому получаемые результаты не давали полного представления об изучаемом явлении. Исследование нелинейных явлений привело к множеству интересных явлений, невозможных в рамках линейных представлений. Только нелинейные теории смогли описать солитоны и турбулентность в жидкости, цикличность экономического развития, взаимодействие народа и правительства и множество других естественных и социальных явлений. Подобные исследования привели к появлению новых терминов (например, введенных Б. Мандельбротом фракталов) и новой науки, названной Г. Хакеном синергетикой.
В настоящее время выходит множество книг, посвященных синергетике. Как правило, в этих книгах представлены непосредственные итоги самых разнообразных исследований, но не показано, как их можно получить на экране вашего персонального компьютера. В то же время современные системы вычислительной математики дают уникальную возможность специалисту в своей узкой области, отличной от вычислительной математики, повторить исследование, увидеть его результаты и, возможно, сделать собственные выводы и развить собственные идеи.
Ниже мы рассмотрим два классических примера
самоорганизующихся систем, моделирование которых можно провести, используя возможности мощной вычислительной системы Mathematica. На сайте wolfram.com размещены демо-версии некоторых программ, дающих представление о работе ресурса, а также интерактивные примеры, коллекция которых постоянно пополняется (demonstrations.wolfram.com). Эти примеры можно просчитывать, задавая различные параметры, загрузить файл на свой компьютер и работать с ним. Причем не обязательно на ПК должна быть установлена сама программа, поскольку в 2011 г. разработчик выпустил бесплатное приложение Wolfram CDF плеер, позволяющее запускать файлы Mathematica без установки программы. Плеер можно скачать с сайта по адресу http://www.wolfram.com/cdf-player/.
Брюсселятор
Брюсселятором называется одномерная модель протекания химических реакций [1, 2].Пусть вещества-реагенты А и В превращаются в продукты реакции D и Е в цепочке промежуточных превращений:
A^X , B + X^ Y + D , 2X + Y ^3X , X ^E .
Предположим, что протеканием обратных реакций в системе можно пренебречь, концентрации веществ А и В поддерживаются постоянными, а продукты реакции D и Е либо химически инертны, либо немедленно удаляются из системы. Если движение частиц происходит только вдоль некоторой оси х, а изменением концентраций в плоскости, перпендикулярной этой оси,можно пренебречь, то мы имеем так называемую одномерную систему. Тогда, согласно законам химической кинетики [3], концентрации промежуточных продуктов X и Y описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных:
-= + к±А — к2ВХ + k3X2Y — к4Х,
ot ох
— = Dy— + к.^ВХ- k2X2Y.
dt у дх2 £ J
Здесь ki-4- константы скоростей прямых реакций, а Dx и Dr-коэффициенты диффузии веществ X и Y соответственно. Большими буквами обозначаются концентрации соответствующих веществ.
В безразмерном виде написанную выше систему уравнений можно записать как
ЭХ _ л д2Х
= i'y г
дт л dz2
™ = А - (В + 1)Х + XZY,
IV—+ вх - ХЧ
Эт ■ dz2
Здесь т = Ь/к4, координата z = х/Ь, где Ь- характерный размер системы (например, длина сосуда, в котором протекает реакция), концентрации веществ X и Y измеряются в единицах (А4/Аз)1/2, а концентрация вещества А-в единицах (А^/А^Аз)172.
Рассмотрим стационарное состояние системы, в котором
концентрации X и Y однородны в пространстве и не меняются с течением времени. Приравнивая нулю частные производные по времени в левой части рассматриваемой системы уравнений, получаем значения равновесных концентраций: X = X) = Л,У = Уо = Б/Л.
Анализ системы уравнений [4] показывает, что начиная с некоторого критического значения В, пространственно-однородные решения становятся неустойчивыми. В этом случае по истечении определенного времени (времени релаксации) система может приближаться к стационарному состоянию в виде немонотонных пространственно-периодических структур (так называемые диссипативные структуры). При увеличении параметра В в рассматриваемой системе можно также наблюдать возникновение периодических колебаний концентраций. Такие автоколебания в химических системах называют реакцией Белоусова-Жаботинского, по именам ученых, впервые наблюдавших их экспериментально.
Соответствующий численный эксперимент реализован на сайте [5]. Пример реализации показан на рис. 1. В коде программы использована новая опция Manipulateв системе Mathematica8, с помощью которой можно создавать интерактивные движки. Причем при открытии программы в CDF-плеере можно изменять «в живую» значения параметров, даже если сама система на компьютере не установлена. Изменяя параметр Б, можно также наблюдать установление в системе равновесных концентраций.
Реакция Белоусова-Жаботинского
Драматическая история открытия химической колебательной реакции Белоусова-Жаботинского (известной в зарубежной печати как BZ-реакция) подробно описана С.Э. Шнолем в [6]. Если взять раствор, содержащий в определенных количествах и разведении лимонную кислоту, сульфат церия, бромат калия и серную кислоту, можно наблюдать чередующиеся изменения окраски раствора от бесцветной к желтой. Если вместо сульфата церия использовать железо-фенантролиновый комплекс, окраска раствора будет меняться с красного цвета на синий.
Колебательный цикл можно качественно описать следующим образом [7-8].Первая стадия реакции представляет собой цепную реакцию окисления типа
НВг02 4- НВг02 ^ 2Вг02 4- Н20, Вт О2 + 4- Н+ # 4- НВг02 .
Кислота НЬг02 играет роль автокатализатора. Ингибирование цепной реакции происходит при участии иона Бг . Когда концентрация М("+1)+ в системе достаточно велика, скорость образования Бг и его концентрация в растворе также высоки. В результате происходит торможение цепной реакции окисления Мп"+ и концентрация М("+1)+ начинает падать, достигая некоторого порогового значения. После этого начинает резко расти концентрация НБг02 , что приводит к ускорению цепной реакции и
концентрации М("+1)+ . Затем процесс циклически повторяется. Колебания концентраций окисленной и восстановленной форм катализатора сопровождаются колебаниями окраски раствора от бесцветной к желтой, если катализатор — ионы церия, или от голубой к красной в случае фенантролинового комплекса железа.
о
a IJ а 1.98
Ь Q а 5.537
Trajectciiy and coordinate functions of the solutions
Рис. 1. Периодические колебания концентрации в брюсселяторе Пример математического моделирования процесса можно найти на сайте [9]. Там же можно найти описание модели и код программы. Если система МаШетайсане установлена на компьютере, можно проводить моделирование с помощью CDF плеера.
The Belousov-Zhabotinsky Reaction
-О-'
я ЭИШ ШШ ы
Рис. 2. Моделирование реакции Белоусова-Жаботинского
Литература
1. Николс Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. Пер. с англ. М.: Мир, 1979. -512 с.
2. Пригожин И., Пленсдорф Г. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: УРСС, 2003. 280 с.
3. Физическая химия. Теоретическое и практическое руководство / Под ред. акад. Б. П. Никольского. Л.: Химия, 1987. 880 с.
4. Кунин С. Вычислительная физика. Пер. с англ. М.: Мир, 1992. 518 с.
5. Сайт корпорации Wolfram, Inc [Электронный ресурс]. - Режим доступа :http://demonstrations.wolfram.com/HopfBifurcationInTheBrusselator/, свободный
. - Загл. с экрана.
6. Шноль С. Э. Герои, злодеи, конформисты отечественной науки. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 720 с. (Наука в СССР: Через тернии к звездам).
7. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974. 178 с.
8.Сайт о химии[Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.xumuk.ru/encyklopedia/488.html , свободный. - Загл. с экрана.
9. Сайт корпорации Wolfram, Inc [Электронный ресурс]. - Режим доступа :http://demonstrations.wolfram.com/TheBelousovZhabotinskyReaction/, cвободный. - Загл. с экрана.
