CC BY
37
ВЕСТНИК
7/2012
УДК 624.15 + 531
Г.В. Павлов, М.А. Кальмова
ФГБОУ ВПО «СГАСУ»
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ДИСКА-ГРУНТОУПЛОТНИТЕЛЯ ПО РЕОЛОГИЧЕСКОЙ БАЛКЕ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Решена новая задача о движении диска по реологической балке модели Кельвина. Движение механической системы «диск — реологическая балка» описывается гибридной системой дифференциальных уравнений, состоящей из интегродифференциального уравнения продольных колебаний балки с движущимся диском и уравнений Лагранжа первого рода, определяющих движение диска, а также системой уравнений, налагающих ограничения на скорости точек. Эти уравнения рассматриваются как уравнения неголономных связей и при их отсутствии постановка задачи будет неполной. Задача решена с учетом упрощающих предпосылок, априори определяющих режим движения диска. Рассмотрен режим равномерного движения диска, что дало возможность проинтегрировать уравнение колебаний балки независимо от системы уравнений, описывающих движение диска. Решение уравнения в частных производных найдено с помощью метода Фурье разделения переменных с последующим применением интегрального преобразования Лапласа. Решение задачи о вынужденных колебаниях находилось в виде ряда по собственным функциям однородной задачи с нулевыми начальными и граничными условиями.
Суждение об устойчивости движения диска составлено, следуя методу по первому приближению. Движение диска будет устойчивым. Анализируя графические зависимости деформаций балки во времени, сделан вывод о возможности реализации стационарного режима вынужденных колебаний реологической балки, поддерживаемый движущей силой и переменной обобщенной силой трения скольжения, обусловленной слабоупругим полем материала балки.
Ключевые слова: ядро релаксации, связь неголономная, уравнение нелинейное, уравнение Лагранжа первого рода, уравнение интегродифференциальное, функция Дирака.
Представляет интерес оценка влияния продольных деформаций невесомого стержня длиной Ь, материал которого моделируется релаксационным телом Кельвина, на динамику диска (рис. 1).
Л
/ / /
<г
5(0
5(0-«(/(0,0
Рис. 1. Движение тела вращения по стержню
Положение диска определим Лагранжевыми координатами ) и ф(/) [1—3], и (х, t) — абсолютная деформация определенной части стержня. Лагранжеву координату точки касания диска обозначим через /(О, определенную геометрическим соотношением
(1)
^ ) = I ^) + и (I ^), t).
Из (1) и равенства I ^) = Rф вытекает соотношение
Дф = 1(Ь )11+
ди (х,Ь) дх
х=1 (Ь)
(2)
0
60
© Павлов Г.В., Кальмова М.А., 2012
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
_МГСУ
представляющее неголономную связь. Уравнение движения реологического стержня постоянного сечения в проекции на ось х
d2u (x, t) t , , d2u (x, t) 1 d2u (x, t) 1 / . u ..
-W^Ai = 5(x-/(t))X(t), (3)
dx 0 dx c dt EF
где 5 (x -1) — дельта-функция Дирака; X (t) — реологическая сила реакции в точке
2 E
касания; c = —.
Р
Уравнения движения диска представим в форме уравнений Лагранжа первого
рода
mi(t) = H(t)-X(t), Iф(t) = X(t)R, (4)
где H (t) — активная движущая сил; R — радиус диска; I — аксиальный момент инерции диска. Поэтому без уравнений связи (1) и (2) постановка задачи будет неполной. Упрощая задачу, рассмотрим режим равномерного движения диска, принимая
i = ut, i = 0, X = H = const, (5)
где и — скорость центра масс диска. Для дальнейшего анализа удобно разложить дельта-функцию в ряд по малому параметру е
d2u (x, t) t , \ d2u (x, t) 1 d2u (x, t)
--jM(t-x)-dx--2-=
dx 0 dx2 c2 dt2
H d =-(5(x - vt) + eu(x, t) —5(x - vt)). (6)
EF x=vt dx
Запишем уравнение, описывающее свободные колебания реологического стержня
d2un (x, t) t / \ д2un (x, x) 1 д2un (x, t)
--Jw(t-x)-^^dx—j-= 0,
dx 0 dx c dt
(7)
с граничными
и (x, t)| =0 = 0, du (x, t)
dx
t = 0 x = L
du 0 ( x, t)
и начальные условия u о (x, t )| t=о = f ( x),-—- ^ = f2 (x).
Решение уравнения (7) разыскиваем в виде ряда
да
u0(x,t) = S Xm(x)Tm(t), (8)
m=0
и, применяя метод Фурье, приходим к уравнениям
^Xm^ + ymnXm (x) = 0, (9)
cía
d-Tm2(t) + p2m Tm (t) = p2m í *(t - r)Tm (r)dz ( m = 0,2,3........), (10)
dt 0
где pm = Xmc — частота свободных колебаний. С краевыми
dX i
Xm (x) x=0 = = 0, (m = 0,2,3.....) (11)
dTm (t) i
и начальными условиями Tm (t)^=0 = x), ———|t=0 = f2(x) найдем из полученных краевых задач (9), (11) собственные частоты Xm = (2m +1)П (m = 0,1, 2.......)
и собственные функции Xm (x) = Am sin(21)П x. Решение уравнения (10) найдем,
ВЕСТНИК
7/2012
применяя преобразования Лапласа. Тогда решение начально-краевой задачи (7) представим в виде
-8, / -8„. Л . (2т + 1)п
"0V
m=0
(x,t) = ¿ I bme 1 + cme 2 (cospmt + sinpmt) I sin
2L
(12)
: AmCm .
где Ьт = АтВт,
Значения коэффициентов Ь , с определим из начальных условий, используя свойство ортогональности собственных функций. Исследуя вынужденные колебания, будем искать решение в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
® (2к + 1)л
ин(х,i) = I ук(t)smv 7 X к=0 2L
(13)
и подчиним его нулевым начальным и граничным условиям. Приходим к интегро-дифференциальному уравнению
Л.
d Y к (t) „2 ,^,„2
d2 2 - < J ^(t - т) Y к (T)d Т + < Y к (t) = % (t)
d Y k (t).
с нулевыми начальными условиями y k (t) 11=o = 0, ^
Чк (t) = U(sinV + (C -cke~52'cos)sin2V)>
t=0
= o,
(14)
(15)
где
2c 2 H
(2 к +1) ли (2 к +1) пс
vk =-Wr-; ®k "
где е—малый положительный параметр, U =
EFL к 2L к 2L Частное решение ук (/) уравнения (14) с правой частью при нулевых начальных условиях (15) можно представить интегралом [3]
, Ч 5 1 \ , Ч Sj (/-Т) У к (г) =2 (т)'у
j=1 4 '(Sj ) o
J Чк (т)е
Л А"
d Т,
(16)
где Si = -§i, S2 = -82 + 1<$к, s3 = -S2 - /юк, s4 = -
i (2 к +1) ли
i (2 к +1) пи
2L 5 2L Суммируя решения (12), (16), найдем общее решение уравнения (3).
Сделаем замену ук (t) = n¿ (t) + 2, sin vkt и, применяя асимптотические ме-
®2 - vk
тоды, приходим к нелинейному уравнению
d nk (t) dt2
nk (t) =e ^ — (6ke Slt -cke §2t cos fflk*) sin 2Vkt
-©2 í«(t -T)(nk k 0
(T) +
2 2 -vk
Sin Vk T
(17)
d t].
Переходя к фазовым переменным, получим решение уравнения (17) в нерезонансном случае в первом приближении
П = K cos у, y = akt + ф0, (18)
dK
где —- = 0, dt
d у dt
( -п >
(Е - E)U п+ е ПкУк -1 nnk
V У
2пЕ
(19)
Уравнения первого приближения (19) показывают, что реологический стержень колеблется с постоянными амплитудами и равномерно вращающейся фазой.
Проведем численный анализ. Как следует из рис. 2, возможна реализация стационарного режима высокочастотных вынужденных колебаний реологической бал-
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
ВЕСТНИК
JVircy
ки, поддерживаемого периодической движущей силой, порожденной фильтрующим действием функции Дирака и переменной обобщенной силой трения скольжения, обусловленной слабоупругим полем материала балки.
ы(1), см 2-
1
-1| -2 -3-Я -4
t, с
Рис. 2. Фрагмент установления процесса, обусловленный затуханием свободных колебаний
Библиографический список
1. Горошко О.А. Неголономные системы с телами, что деформируются // Вестник Киевского университета. 1983. № 25. С. 51—55.
2. Горошко О.А., Катица С.Х. Аналитическая динамика дискретных наследственных систем. Киев : Изд-во университета у Нишу (на сербском языке), 2000. 429 с.
3. Dreizler R.M., Ludde C.S. Theoretical Mechanics: Theoretical Physics. Berlin, 2011.
4. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев : Наукова думка, 1965. 716 c.
5. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М. : ГИТТЛ, 1949. 248 c.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторах: Павлов Георгий Васильевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «СГАСУ»), 443011, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 194, 8 (846) 339-14-30;
Кальмова Мария Александровна — ассистент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «СГАСУ»), 443011, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 194, Kalmova@ibox.ru.
Для цитирования: Павлов Г.В., Кальмова М.А. Моделирование силового взаимодействия движущегося диска-грунтоуплотнителя по реологической балке с распределенной массой // Вестник МГСУ. 2012. № 7. С. 60—64.
G.V. Pavlov, M.A. Kal'mova
SIMULATION OF THE FORCE INTERACTION OF THE SOIL COMPACTING DISK MOVING ALONG A RHEOLOGICAL BEAM THAT HAS DISTRIBUTED MASS
The authors describe an original solution to the new problem of a soil compacting disk moving along a rheological beam (Kelvin model) in the proposed paper. The motion of the mechanical system that is composed of a disk and a rheological beam is described by a hybrid system of differential equations consisting of an integral-differential equation that stands for the interaction of the beam with a moving disk and Lagrange equations describing the pattern of the disk motion.
These equations are considered as equations of nonholonomic links. The problem is solved through the employment of simplifying prerequisites and by determining the operating condition of the disk.
Condition of uniform and uniformly variable motions is considered as an opportunity to integrate the equation of beam vibrations regardless of the system of equations describing the disk
ВЕСТНИК 7/2Q12
motion pattern. The solution to the equation in partial derivatives is found through the employment of the Fourier method of separation of variables coupled with the Laplace integral transformation method. The solution to the problem of constrained vibrations was implemented as a series of homogenous problems with zero initial and boundary conditions.
The equation describing changes in the time function is reduced to its standard form, and thereafter the solution is found through the employment of asymptotic methods. Disk motion stability is assessed through the employment of the first approximation method. The motion of the disk is stable. As a result of the analysis of patterns of dependencies between beam deformations and the time period, the conclusion of feasibility of a stable pattern of forced vibrations of a rheological beam, supported by a driving force and a variable friction force, caused by the slightly elastic field of the beam material, is made by the authors.
Key words: relaxation kernel, nonholonomic links, Lagrange equations of the first kind, integral-differential equation, Dirac function.
References
1. Goroshko O.A. Negolonomnye sistemy s telami, chto deformiruyutsya [Nonholonomic Systems That Have Bodies That Are Deformed]. Vestnik Kievskogo universiteta [Proceedings of the Kyiv University]. 1983, no. 25, pp. 51—55.
2. Goroshko O.A., Katitsa S.K. Analiticheskaya dinamika diskretnykh nasledstvennykh sistem [Analytical Dynamics of Discrete Hereditary Systems]. Kiev, Nishu University Publ., 2000, 429 p.
3. Dreizler R.M., Ludde C.S. Theoretical Mechanics: Theoretical Physics. Berlin, 2011.
4. Filippov A.P. Kolebaniya mekhanicheskikh system [Vibrations of Mechanical Systems]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1965, 716 p.
5. Rzhanitsyn A.R. Nekotorye voprosy mekhaniki deformiruyushchikhsya vo vremeni [Several Issues of Mechanics of Bodies Deformed in Time]. Moscow, GITTL Publ., 1949, 248 p.
About the authors: Pavlov Georgiy Vasil'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Samara State University of Architecture and Civil Engineering (SSUACE), 194 Molodogvardeyskaya St., Samara, 443011, Russian Federation;
Kal'mova Mariya Aleksandrovna — Assistant Lecturer, Samara State University of Architecture and Civil Engineering (SSUACE), 194 Molodogvardeyskaya St., Samara, 443011, Russian Federation; Kalmova@inbox.ru.
For citation: Pavlov G.V., Kal'mova M.A. Modelirovanie silovogo vzaimodeystviya dvizhushchego-sya diska-gruntouplotnitelya po reologicheskoy balke s raspredelennoy massoy [Simulation of the Force Interaction of the Soil Compacting Disk Moving along a Rheological Beam That Has Distributed Mass]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 4, pp. 60—64.
