Моделирование шума реактивных струй на основе уравнений RANS Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ШУМА РЕАКТИВНЫХ СТРУЙ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ЯА^

В.М. Грязев

Рассмотрены основные подходы к моделированию шума турбулентных реактивных струй и методы, основанные на решении осредненных уравнений Навье-Стокса, замкнутых с помощью параметрической модели турбулентности к-ер$. Представлены результаты численного моделирования и акустических расчетов.

Ключевые слова: аэроакустика, реактивный поток, модель турбулентности

к-ер$.

Введение. Проблема снижения уровня авиационного шума остается актуальной на протяжении более шести десятилетий с начала эксплуатации первых пассажирских самолетов. Современные турбореактивные двигатели стали значительно тише по сравнению с двигателями, созданными на первоначальном этапе развития гражданской авиации. Однако увеличение воздушных перевозок сегодня может значительно ухудшить экологическую ситуацию по шуму в окрестностях аэропортов. Также стоит отметить важность проблемы обеспечения конкурентоспособности создаваемых двигателей для пассажирских самолетов.

Таким образом, с начала прошлого десятилетия Международная организация гражданской авиации (ИКАО) постоянно ужесточает требования по авиационному шуму в целях соблюдения установленных норм и правил по эксплуатации шумных самолетов. Данные требования соответствуют долгосрочной перспективе развития авиастроения и двигателе-строения. В этой связи обеспечение требуемых акустических характеристик самолетов должно быть выполнено в ближайшие годы.

Одна из главных задач авиационных конструкторов - создание «тихого» самолета, поэтому особое внимание должно быть направлено на понимание механизма генерации шума. Снижение уровня шума современных пассажирских самолетов в некоторой степени было достигнуто путем компоновки самолетов двухконтурными двигателями. Увеличение степени двухконтурности двигателя позволяет снизить скорость в выхлопной струе и, следовательно, уровень излучаемого шума при обеспечении высокой тяги. Важно отметить, что возможности увеличения степени двухконтурно-сти ограничены, так как приводят к росту размеров двигателя, его массы, лобового сопротивления и т.п.

Механизм генерации и расчета шума. Несмотря на имеющийся прогресс, проведение практических расчетов на основе теории аэродинамического шума по сей день является сложной задачей [1 - 10]. Это может быть объяснено тем, что проблема турбулентности не нашла своего решения в XX веке, а именно турбулентность отвечает за генерацию шума реактивным потоком. Таким образом, моделирование течения в струях напрямую связано с фундаментальной проблемой моделирования турбулентности. Истечение турбулентного потока сопровождается образованием когерентных структур - вихрей, которые являются причиной образования и излучения шума. В турбулентном потоке крупные вихри отбирают энергию у течения и сохраняют ее некоторое время, пока она не перейдет к более мелким вихрям. Каскадный процесс передачи энергии в турбулентном потоке, использующий представление о существовании вихрей различного масштаба, завершается диссипацией кинетической энергии на самых мелкомасштабных структурах.

Точный расчет характеристик шума струйных течений является непростой задачей. Многие годы в рамках классической аэроакустики предпринимались попытки разработки волнового уравнения на базе линеаризованных уравнений Эйлера [1]. В середине XX века Джеймс Лайттхил в работе [2] предложил механизм излучения звука турбулентными струями.

Идея Лайттхила состояла в том, чтобы переписать уравнения На-вье-Стокса с целью получения следующего волнового уравнения, описывающего флуктуации плотности потока:

1 Э2р Э2р _ Э2рии] + Э2 ( 1 л

с2 Э?2 Эх Эх Эх Эх Э? , ,

о 1 } 1 } V о у

2-Р 'Г с2

(1)

Здесь члены в правой части уравнения являются источниками. Первый из них относится к импульсу потока и является доминирующим в изотермических струях; вторым членом можно пренебречь, если движение потока проходит при постоянной энтропии. Таким образом, основным источником являются флуктуации напряжений Рейнольдса.

312

Важным выводом из теории Лайттхила является то, что шум дозвуковых струй можно представить в виде интеграла или суперпозиции элементарных источников, а интенсивность излучения струи пропорциональна восьмой степени величины пульсаций скорости. Это означает, что акустическая мощность напрямую зависит от амплитуды скорости потока, т.е. уменьшая скорость потока можно уменьшить акустическую мощность, что, в свою очередь, оправдывает развитие двухконтурных двигателей.

Для расчета шума реактивной струи существуют модели различных уровней точности: от прямого численного моделирования и моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation) до акустических схем, основанных на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье - Стокса - моделей RANS (Reynolds-averaged Navier-Stokes equations), которые широко применяются в промышленности.

Несколько таких моделей были получены для холодных дозвуковых струй. Одна из наиболее общих схем приведена в работе М.Е. Голдстейна [1] по общей акустической аналогии. С помощью нескольких параметров калибровки, основанных на данных шума в дальнем поле или на характеристиках потока (полученных из эксперимента или с помощью моделирования крупных вихрей (LES)), данная модель может достаточно точно предсказать шум для более широкого диапазона углов наблюдателя.

Наиболее упрощенная полуэмпирическая модель для расчета шума у боковой линии наблюдателя была предложена C.K.W. Tam и L. Auriault в [3]. Основная концепция этой работы состоит в том, что шум, вызванный турбулентным смешиванием, состоит из двух отдельных источников: шума, генерируемого волнами Маха (крупномасштабные структуры) и распространяющегося вниз по потоку, а также шума, создаваемого мелкомасштабными структурами Колмогорова, которые являются доминирующими в окрестностях боковой линии. Поскольку акустический спектр генерируется крупномасштабными и мелкомасштабными структурами, должны быть применены две отдельные модели. Для того чтобы объяснить причину генерации шума мелкомасшабныыми турбулентными вихрями, в [3] использована кинетическая теория газов, с помощью которой можно связать генерацию шума струи и мелкомасштабную турбулентность. Подобие между хаотическим движением молекул газа и мелкомасштабной турбулентности согласно [3] состоит в том, что мелкомасшатбные структуры имеют схожее движение с молекулами в кинетической теории газов. Следовательно, мелкомасштабные структуры оказывают давление на окружающую среду. Флуктуации давления приводят к возмущениям, которые в акустике принято понимать как шум. Полуэмипирическая модель Tam и Auriault имеет стабильную точность в широком диапазоне частот и температур. Выбор данной модели предполагает, что турбулентная кинетическая энергия и скорость диссипации могут быть экстраполированы из численной модели.

Модель RANS. В моделях, основанных на осредненных уравнениях Навье - Стокса, должны быть сделаны некоторые приближения с целью закрыть акустическую модель. Например нужно связать осредненный поток и статические величины второго порядка, полученные из осредненных уравнений Рейнольдса, с такими величинами, как ковариация турбулентных напряжений Рейнольдса, необходимых для моделирования шума в дальнем поле.

Уравнения RANS получаются из полных уравнений Навье-Стокса путем разложения каждой переменной на среднюю и флуктуационную части (разложение Рейнольдса). Данные уравнения будут решены для поля средней скорости. Это означает, что мелкомасштабные структуры Колмогорова не включены в решение и, следовательно, они не моделируются.

Модели RANS широко используются в промышленности в результате их простоты и низких вычислительных затрат. Однако благодаря прогрессу вычислительной техники модели, основанные на моделировании крупных вихрей (LES), постепенно вытесняют модели RANS, поскольку являются более точными, хотя и являются ресурсозатратными.

Для того чтобы получить уравнения RANS, будем исходить из уравнения импульса в направлении оси x, записанного в консервативной форме:

Эu du2 d(uv ) Э( uw ) ] Эр f Э 2u Э 2u Э2

Р

Э? Эх

Эу

Эх

Эр Эх

u

Эх2 Эу2 Эх2

(2)

Применяя формулу разложения Рейнольдса, уравнение (2) можно предста-

вить в виде

Р

Э( u + u ) Э( u + u )2 Э( u + u)( v + v ) Э( u + u )( w + w' )

Э?

Эх

Эу

Эх

Эх

Э(р + р ) f Э2(u + u ) Э2(u + u ) Э2(u + u )Л

(3)

Эх

2

2

Эх

2

ЭУ - у

Воспользуемся следующими правилами усреднения:

u = u,

u + u ' = u + u = u,

u ■ u = u ■ u = 0,

Эu Эu

Эх Эх

u2 = u ■ u = u ■ u = u2.

(4)

и ■ V < 0.

Тогда усредняя и преобразовывая уравнение (3), находим уравнение ЯАКБ в направлении оси х:

Эи _Эи _Эи _Э и

— + U — + V — + w——

dt дх ау dz

дх

Э2 И д211 Э 2U

+

+

Эх2 ду2 dz2

-Р

дх

(5)

В осредненных уравнениях есть проблема замыкания напряжений Рейнольдса у—риV -pu'vJ ,-ри'2 ) , поэтому необходимо закрыть напряжения Рейнольдса в отношении средней скорости й.

Модель турбулентности. Для того чтобы решить RANS, необходимы два вспомогательных уравнения. Существуют разные эмпирические модели, которые используются для закрытия напряжений Рейнольдса, например, к-со и к-£. Tarn и Auriault предположили, что лучшая модель для расчета шума в дальнем поле от мелкомасштабной турбулентности является модель к-е.

Турбулентная модель к-£ является моделью из двух уравнений, где уравнение переноса решается для турбулентной кинетической энергии и скорости диссипации. После вычисления кинетической энергии и скорости диссипации можно найти масштаб длины, времени и скорости соответственно:

/ =

з к2

т — ■

и -

(6)

Модель к-£ является одной из наиболее часто используемых в промышленности, и в настоящее время она включена в каждый пакет СРБ. Данная модель состоит из следующих уравнений:

а) уравнения переноса для турбулентной кинетической энергии к;

б) уравнения переноса для скорости диссипации £;

в) турбулентной вязкости у( = С^к2 / £, где С = 0.09.

Уравнение переноса кинетической энергии турбулентности может быть получено путем вычитания уравнений ЯА^ из полных уравнений Навье-Стокса. Фактически полученные уравнения представляют значения флуктуации

Э (и') — Эи du Э Ы/ик - и'и'к) 1 Эр' + IL—l + IL-- + — -

dt

Эх,

Эх,

Эх,

р Эх,.

fvVV.

(7)

Умножив уравнение (7) на и' и усредняя его, получим уравнение переноса для турбулентности кинетической энергии

Э к — Эк — + ик — dt Эх,

Э IL

Эх,

и\ик

Эх,

1 , , , , / Эк

— Uli IL + DIL -V-

2 ' ' * F k Эх

+ v-

k у

du' du' dxk dxk

(8)

Первый член левой части уравнения (8) представляет собой конвекцию турбулентности среднего потока и изменения величины турбулентной кинетической энергии со временем. Второе слагаемое представляет собой продукт турбулентной кинетической энергии, которая генерируется с помощью среднего сдвига (произведения среднего градиента скорости с развернутыми напряжениями Рейнольдса).

Транспортная часть уравнения (8) представляет собой диффузию турбулентности в соответствии с предположением, что турбулентность распространяется из регионов с высокой турбулентностью в области с низкой турбулентностью. Последнее слагаемое представляет собой рассеивание турбулентности (которое происходит из-за вязкости). Действительно, известно, что турбулентность нуждается в механической энергии, поэтому если турбулентность не поддерживается, то член диссипации всегда положителен.

Если выразить замкнутую форму уравнения переноса для кинетической энергии, то получим

дк _ — + u -Vk dt

e

CP--V m к

v + -

s

Vk

к J

e,

в то время как уравнение для скорости диссипации имеет вид

de _ „ —+u -Ve dt

e

^ I "V

v+

v

s

Ve

e У

с e C" к •

Стандартный набор констант:

C = 0.09, Sk = 1.0, сл = 1.44,

C = 1.92, s= 1.3.

"e2

(9)

(10)

(11)

Турбулентная модель к -e проста в реализации, она хорошо изучена и, кроме того, является достаточно точной, особенно для 2Б-потоков с малыми градиентами давления и малой кривизной средних линий тока (простых геометрий).

Тем не менее, модели RANS не так точны, как LES или DNS, особенно для сложных течений, таких, как трехмерные потоки с рециркуляцией и изогнутыми профилями. Кроме того, пять констант, которые используются для запуска RANS-моделирования с моделью турбулентности к -e, были извлечены из простых потоков, полученных из DNS. Таким образом, это означает, что они не приспособлены для сложных течений.

В связи с тем, что установочные константы могут не соответствовать сложным потокам, Tam и Auriault [3] предложили для предсказания шума реактивной струи от мелкомасштабной турбулентности на основе их полуэмпирической модели выполнить моделирование RANS с моделью турбулентности к -e, но с модифицированными константами [4]:

Сц = 0.0874, а, = 0.324, Се1 = 1.40, Се2 = 2.02, ае= 0.377. (12)

Эти константы будут использованы в численном моделировании ЯА^, выполненном для прогнозирования шума струи, генерируемой от мелкомасштабной турбулентности. А.Т. ТЫеБ и С.К.Ш. Тат [4] утверждали, что турбулентность не является универсальной и зависит от конкретной задачи, особенно в случае больших структур турбулентности. По этой причине для повышения точности их полуэмпирической модели они указали на необходимость изменения эмпирических констант к — е модели турбулентности.

Расчет шума турбулентной струи. Авторами выполнены расчеты холодной струи, истекающей из осесимметричного сопла. Результаты представлены на рис. 1 и 2.

3.00e+02 2.80e+02 2.60e+02 2.40e+02 2.20e+02 2.00e+02 1.80e+02 1.60e+02 1.40e+02 1.20e+02 1.00e+02 8.00e+01 6.00e+01 4.00e+01 2.00e+01 0.00e+00

2.45e+03 2.28e+03 2.12e+03 1.96e+03 1.79e+03 1.63e+03 1.47e+03 1.30e+03 1.13e+03 9.78e+02 8.15e+02 6.52e+02 4.89e+02 3.26e+02 1.63e+02 1.15e-09

1.89e+08 1.76e+08 1.63e+08 1.51e+08 1.38e+08 1.26e+08 1.13e+08 1.01e+08 8.80e+07 7.54e+07 6.29e+07 5.03e+07 3.77e+07 2.51e+07 1.26e+07 7.61e-14

в

Рис. 1. Распределение продольной скорости струи (m/s) (а); турбулентной кинетической энергии (m2/s2) (б); турбулентной диссипации (m2/s3) (в) вдоль продольной оси

Рис 2. Спектр пульсаций давления в дальнем поле

Данные расчеты проводились на структурированной сетке с количеством ячеек 100000 (рис. 3).

Рис. 3. Расчетная сетка

В первую очередь, стояла задача нахождения компромисса между достаточным количеством ячеек и вычислительными затратами. Был использован адаптивный метод модификации сетки, позволяющим оптимизировать проведение численного моделирования за счет сокращения вычислительных затрат. При создании сетки крайне важно было идентифицировать критические зоны, где необходимо задавать мелкую сетку, которая позволит захватить физическое явление, развивающееся в этих зонах. В результате только для критических зон необходимы мелкие элементы, в то время как в других зонах могут использоваться более крупные ячейки.

Чтобы вычислить значения кинетической энергии турбулентности и скорости диссипации потока, необходимого для расчета акустического спектра, требуется задать начальные и граничные условия. Спецификация этих параметров имеет решающее значение для качества результатов. Кроме того, численные результаты необходимо сопоставить с эксперимен-

тальными данными в целях валидации численного решения. Основная сложность в данном случае состоит в том, что интенсивность турбулентности выше по течению не известна. Поэтому нужно вычислить возможный уровень турбулентности на входе, а затем исправить его, чтобы приблизиться к правильному значению.

Интенсивность турбулентности определяется как отношение среднеквадратичной скорости, колеблющейся со средней скоростью потока

/== (13)

и у

Если кинетическая энергия турбулентности известна, то флуктуирующая часть скорости может быть найдена по формуле

(14)

Интенсивность турбулентности можно разделить на три категории: высокую, среднюю и низкую турбулентности. Высокой турбулентности отвечает интенсивность турбулентного потока от 10 до 20 %, средней - от 1 до 5 % и низкой - менее чем 1 %. В данном случае расчет выполнялся с 5 %-ной интенсивностью турбулентности. В дополнение к интенсивности турбулентности, которая должна быть указана на входе в расчетную область, также необходимо задать физические параметры: плотность, давление, температуру, скорость потока газа и константы. Параметры, использованные для численного моделирования, представлены в таблице.

Параметры численного моделирования

г,к Р, kg/m3 А,>Ра М R, J/kgK 7

293,15 1,225 101325 0,882 287 1,4

RANS-расчет был выполнен на основе решения двумерных уравнений в случае осевой симметрии потока. На входе в расчетную область задавались полные параметры потока, а также параметры турбулентности. На выходе из расчетной области задавались статические параметры потока. Граничные условия, используемые для моделирования уравнений RANS, представлены в таблице. Расчеты проводились в программе ANSYS Fluent 17.

Выводы. Шум турбулентной струи остается одним из определяющих источников общего шума реактивных самолетов. В генерации шума важную роль играют тепловые процессы, протекающие в реальных газовых потоках, при которых эксплуатируется реактивный двигатель. Именно неоднородность энтропии приводит к появлению нового доминирующего

319

источника шума. Таким образом, следующим шагом в изучении проблемы генерации шума реактивной струей будет поиск обоснованной модели для расчета шума неизотермических реактивных струй, где также необходимо учитывать эффект рефракции звука однородным потоком. Полуэмпирическая модель Tam и Auriault хорошо подходит для струй холодной и умеренной температур. В то же время, если вычисляются акустические спектры горячих струй, то мы должны изменить уравнение, используемое для расчета акустических спектров и добавить для модели турбулентной вязкости еще один член, зависящий от давления. Для горячих реактивных струй, которые характерны для условий эксплуатации реального самолета, существует гораздо меньше доступных акустических моделей. Одним из таких примеров является модель Каварана [5], которая в дополнении к типичным источникам холодных струй (таких, как ковариантность турбулентных напряжений Рейнольдса) учитывает температурные колебания в качестве отдельного источника шума. Акустическая модель Каварана и Бриджеса имеет высокий уровень эмпиризма, поэтому автор намерен использовать данную модель в качестве основы для включения температурных эффектов в современные модели, такие, как модель Голд-стейна [1].

Список литературы

1. Goldstein M.E. A generalized acoustic analogy // Journal of Fluid Mechanics. 2003. V. 488. P. 315-333.

2. Lighthill M.J. On sound generated aerodynamically. I. General Theory. Proceedings of the Royal Society, A 211. London, UK, 1952.

3. Tam C.K.W., Auriault L. Jet mixing noise from fine-scale turbulence // AIAA Journal. 1999. V. 37. No. 2. P. 145-153.

4. Thies A.T., Tam C.K.W. Computation of turbulent axisymmetric and nonaxisymmetric jet flows using the k-e model // AIAA Journal. 1996. V. 34. No. 2. P. 309-316.

5. Khavaran A., Kenzakowski D.C., Mielke Fagan A.F. Hot jets and sources of jet noise // International J. Aeroacoustics. 2010. V. 9 (4, 5). P. 491532.

6. Теория турбулентных струй / Г.Н. Абрамович [и др.]; под общ. ред. Г.Н. Абрамовича. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1984.

7. Karabasov S.A. Understanding jet noise // Philosophical Transactions of the Royal Society. 2010. V. 368. P. 3593 - 3608.

8. Lighthill M.J. On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound. Proceedings of the Royal Society, A 221. London, UK, 1953.

9. Morris P.J., Farassat F. Acoustic analogy and alternative theories for jet noise prediction // AIAA Journal. 2002. V. 40. No. 4. P. 671 - 678.

10. Tam C.K.W. Jet Noise: Since 1952 // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 1998. V. 10. P. 393 - 405.

Грязев Василий Михайлович, асп., vasily.gryazevagmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет

JET NOISE MODELLING BASED ON RANS V.M. Gryazev

The main approaches to turbulent jet noise modelling based on the solution of the averaged Navier-Stokes equations closed by a parametric turbulence model k-eps are considered. Results of numerical simulation and acoustics calculations are presented.

Key words: aeroacoustics, jet noise, turbulence model k-eps.

Gryazev Vasiliy Michaylovitch, postgraduate, vasily.gryazev@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University