CC BY
6.., (+ Бу + + + Б)}) соответствует узлам (станциям), элементам подсистем управления, обеспечения, элементам резерва и воздействующим на них дестабилизирующим факторам, а отображение В множества А в А
(_Ва1 е А , г е I = |1,2,..., + Б}^ — линиям связи и воздействиям на них дестабилизирующих факторов.
Представим граф в{А, В) в виде двух частичных графов &(А, V) и Щ (рис. 1). При этом &(А, V) с в{А, В), Щ с в{А, В),
Г^ е А, I е I = {1, (£с + Бу + + + , где
множество Ь с мощностью | Ь | = + + +
| Ь = |1, ( Бс + Бу + + ) Ц составляют узлы
(станции), элементы подсистем управления, обеспечения, элементы резерва, а отображение
Щ множества X в X (Щ е Щ г е I = {¡^}) -линии связи, Ь с А, Vи Щ = В.
Сопоставим каждой вершине аг е А, А =
= ^ г = 1, (+ + + + Б)| графа в(А, В)
вес 0; из множества весов 0 = {0г|г=1, (+ . В результате получим мно-
+£у + + + Б
жество взвешенных вершин |аг-, 0г-| г = 1, (+ + + + Б) |. Каждому элементу
множе-
ства В = {Ъ(}, I = 1, т, где т — общее количество ребер графа в{А, В), поставим в соответствие
вес юг из множества весов О. = |шг- |г = 1, т|. В результате получим множество взвешенных ребер |ъг, шг |г = 1, т|. Данные множества взвешенных
узлов и ребер графа (¡{А, В) определяют в совокупности характеристики сети связи в виде функций в({А, 0}, [В, О}), определенных на узлах и ребрах графа. При этом веса вершин зададим матрицей:
&(в) =
т
®1 ®2 •" ®£с+ Я++£р •" ®£с++£р+Б
(1)
а веса ребер — квадратной матрицы порядка (¿л + Б):
П(0) = ||Ю, | (ш, = 0; 1,7 = 1, Л;, + Б). (2)
Элементы 0
1, •••
матрицы (1)
¿с + ¿у + ¿0 + ¿р
соответствуют характеристикам узлов (станций), элементов подсистем управления, обеспечения, элементов резерва, а элементы
++б - характери-
стикам дестабилизирующих воздействий. Ана-
Рис. 1. Морфологическое представление сети связи в условияхвоздействия дестабилизирующих факторов (вариант)
логичным образом представим элементы матрицы (2), характеризующие линию связи (элементы ш^-, г, у = 1,), и воздействующие на них дестабилизирующие факторы (элементы ю,, г = 1,5л; у = 5Л = 1, ... 5Л + Б и ю,, г =
= 5Л +1,5Л + Б\ у = 1,). При этом значения
к1 к2
.. к
5Г + +5л+5Т
К (О) = ... к
ш^- (г = 1,5Л ; у = +1,+ Б ) отражают характеристики разведзащищенности линии связи, а элементы ш^- (г = 5Л +1,5Л + Б , у = 1,) характеристики дестабилизирующих воздействий.
Основными характеристиками сети связи, определяемыми матрицами типа (1) и (2) графа (¡{А, Б), являются:
матрица координат местоположения узлов (станций), элементов подсистем управления, обеспечения, элементов резерва и источников дестабилизирующих воздействий:
5У , 505С+5у+50+5р+Б > (3)
матрица ресурсов узлов (станций), элементов подсистем управления, обеспечения, элементов резерва и источников дестабилизирующих воздействий:
К (С) =
т
к1 к2 •" к8„
50+5
... к
5,+50+5р+Б
(4)
матрица взаимного удаления между узлами (станциями), элементами подсистем управления, обеспечения, элементами резерва и между узлами (станциями), элементами подсистем управления, обеспечения, элементами резерваи источниками дестабилизирующих воздействий:
р (с) 41 й
(/ц = 0; ]=1,^+¿V + ^о + + я);
(5)
матрица связности узлов графа: 0(0) = | |о,||
(Оу = 0; у = 1, л; + л; + + + Б); (6)
матрица вероятностей связи с требуемой достоверностью:
) =
Д)
(/,]=1,; ^=1,о). (7)
Аналогично определяются матрицы, характеризующие параметры подграфов в (А, V) и Ш). Так, одной из важнейших характеристик подграфа Ш) является матрица пропускных способностей между узлами (станциями):
Н(С) = ||л..|| (/, ] = 1,^ ).
(8)
Представленная морфологическая модель сети связи в полном объеме описывает ее структуру и взаимные связи ее элементов, при функционировании в условиях сложной помеховой обстановки, что позволяет производить на этой основе структурный анализ и синтез конкретной сети связи.
2. Функциональное представление сети связи
Исследование сети связи, как сложной иерархической системы, предполагает построение не только ее морфологической, но и функциональной модели, позволяющей проанализировать процесс ее поведения при воздействии различных дестабилизирующих факторов.
При создании функциональной модели сети связи важное место отводится выбору математического аппарата ее построения, являющейся связующим звеном от концептуального к формальному описанию процесса функционирования сети связи в условиях сложной помеховой обстановки.
Рассматривая сети связи с позиций эталонной модели взаимодействия открытых систем (ЭМВОС) [5] как сложную иерархическую систему, заметим, что в настоящее время отсутствует единое математическое описание процесса функционирования сети связи на различных уровнях иерархии (от физического до транспортного).
Так, например, при описании процессов изменения уровней сигналов и помех в линиях
связи на физическом уровне в качестве основного математического аппарата используются стохастические дифференциальные и конеч-но-разносгные уравнения. При описании рассматриваемых на канальном уровне процессов вхождения в связь и восстановления связи в линиях связи в качестве математического аппарата широко используются дискретно-стохастические модели в виде вероятностных автоматов. На сетевом уровне при описании процессов передачи сообщений в качестве типовых математических схем используются непрерывно-стохастические модели систем массового обслуживания (СМО), а также стохастические разностные уравнения динамики очередей [6].
Вместе с тем, отсутствие единого формального описания элементов иерархической сложной системы, какой является сеть связи, существенно затрудняет создание общих методов ее исследования, а также определение единого подхода к анализу и синтезу сети связи. Кроме того, математическая модель сети связи должна позволять сочетать как аналитические, так и имитационные методы моделирования. Указанные обстоятельства должны найти отражение при выборе математического аппарата описания процесса функционирования сети связи. Формирование унифицированного математического аппарата, позволяющего описывать все уровни и элементы сети связи с единых позиций, является одной из основных проблем при построении ее функциональной модели.
В настоящее время наиболее универсальным подходом к формальному представлению сложных систем, элементы которых описываются различным математическим аппаратом, является подход, основанный на понятии агре-гативной системы, представляющей формальную схему общего вида [7, 8]. При этом агрега-тивные системы позволяют с единых позиций описать процессы функционирования объектов (систем) с различной сложной структурой. Причем сложная система декомпозируется на конечное число подсистем с сохранением всех связей, обеспечивающих взаимодействие этих подсистем, а процесс декомпозиции продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, удобные для математического описания с необходимой степенью их детализации. В результате такой декомпозиции исследуемый объект представляется в виде многоуровневой системы взаимосвязанных элементов.
Важным достоинством агрегативного подхода при его применении к построению функциональной модели сети связи, является возможность использования на различных уровнях иерархии сочетания методов аналитического и имитационного моделирования в рамках единой обобщенной функциональной модели сети связи. При этом, в качестве элементов агрега-тивной схемы выступают агрегаты Д, взаимодействующие между собой по определенным правилам, определяемым операторами сопряжения агрегатов Я.
В соответствии с этим подходом представим функциональную модель сети связи обобщенной агрегативной схемой (рис. 2). На рисунке модель сети связи представлена в виде совокупности агрегатов, отражающих ее уровни с позиций ЭМВОС.
Агрегаты Аф1(2) являются элементами физического уровня сети связи и моделируют процессы приема (передачи) первичных электрических сигналов через среду распространения радиоволн при воздействии различных дестабилизирующих факторов. Агрегаты АК1(2) отражают второй (канальный) уровень сети связи и моделируют процессы образования канала между корреспондентами. Агрегаты АЦ1(2) и^с1(2) моделируют процессы, протекающие на
сетевом уровне сети связи. Агрегаты Д-1(2) обеспечивают моделирование процессов транспортного уровня сети связи.
Воздействие на сеть связи внешней среды, представляющей совокупность подсистем системы внешних воздействий (случайные, преднамеренные помехи, различные ионосферные возмущения и изменения и т. п.), моделируется с помощью агрегата внешних воздействий Авв, оказывающего влияние на процесс функционирования сети связи через агрегат физического уровня Аф1. Агрегаты АУ1(2) моделируют процессы управления сетью связи на различных уровнях иерархии.
В свою очередь, каждый их представленных агрегатов также является сложной системой и рассматривается как совокупность агрегатов более низкого уровня. Так, например, агрегат Ащ представлен совокупностью агрегатов, описывающих процессы обслуживания сообщений на узлах связи (станциях) и их передачу по каналу связи (рис. 3). При этом агрегат Д^ моделирует процессы формирования очереди поступающих на узлы связи (станции) заявок, агрегаты Д^1 ^ — процессы обслуживания заявок на узлах связи (станциях), а агрегаты — процессы передачи сообщений по каналу. Агрегат А^ моделирует процессы управления узлом связи (станцией).
Рис. 2. Обобщенная функциональная модель сети связи в виде агрегативной схемы
Рис. 3. Обобщенная функциональная модель узла связи (станции) в виде агрегативной схемы
Используя предложенный в [8] агрегагив-ный подход к построению функциональной модели сети связи и ее элементов, определим каждый агрегат множествами Т, и, У, X, Zи случайными операторами переходов к и выходов где Т = (?г) — множество рассматриваемых моментов времени; и = (иг) — управляющее множество; У= (у) — выходное множество; X= =(хг) — входное множество; Z = ^) — множество состояний.
Для описания динамического процесса функционирования сети связи, модель которой представлена агрегативной системой, введем пространство параметров сети связи В = = (Рг). При этом переход агрегата из состояния в состояние определяется его параметрами Р(0 е В, а также выходными сигналами х(0 е Хи сигналами управления и{{) е и. Случайный оператор к реализует динамику переходов агрегативной системы из одного состояния в другое, а случайный оператор £ — динамику выходных сигналов.
Пусть П = (юг) — пространство элементарных случайных событий с вероятностной ме-ройр(юг), где ю; — элементарное случайное событие. Тогда динамика переходов агрегативной системы из состояние в состояние определяется зависимостью:
Z(*) = к|/0,Z(¡0, ю0), В(*0, Ю1), х£,
ш2, иР, га31, (9)
где ш0) — начальное состояние системы; В(?0, ю^ — параметры системы в момент хь 1 — возможный участок входного про-
V J
цесса X = Х(0, соответствующий интервалу ]¿0, t]; (7, и¥ — участок процесса управления и = £(0, соответствующий интервалу ]t]; ю0, ..., ю3 — элементарные случайные события, выбираемые изПв соответствии с вероятностными мерамир(ю0), ...,р(ю3). Это означает, что случайный оператор к переводит прямое произведение множеств (их В х X) в множество Z, зависящее от й £ А, а каждому йеО ставится в соответствие некоторый конкретный оператор к, реализующий отображение (и хВх X) При этом оператор к удовлетворяет следующим условиям [8]:
1) Щ е Т, ю0) е Д В(^, ю:) е В, (и хь )Т е
e{(t' хь )Т }> (t' иж )Т иж )Т }> (где {(t, хь )Т } и {(7, ир )Т | — множества возможных участков входного процесса и процесса управления соответственно) при t = ^ справедливо равенство:
к{?0, Z(*„, ю0), В(*0, ), (*, хь
ш2, ир ]£, ш3 } = Z(í0). (10)
2) ^ хы )Т > хы )Т > (t' иЕ 1 )Т > иЕ2 )Т > =
(t' хХ1 X = (t' х£210 . % 11 = %21 при
равенстве ю0, ..., ю3 процессов X1(t) иX2(t), и^) и и2(0 выполняется условие:
к{?0, z (ю0), в(?0, Ю1), (хп , ю2,
(*, ир! , Ю3 } = к{?0, Z (*„, Ю0 ), В(*„, Ю1),
Х12 , Ю2, (ир 2 , Ю3}. (11)
3) , ^,г2 еГ : г0 < ^ < г2 справедливо равенство:
к{?0, Z(*0, ю0), В(*0, ), (t, хр Ю2, (*, ир ю3} = к{^, ZЮ„), ),
(г, Х£ ю2, (г, ир Ш3}, (12)
где хь ]|2 — результат объединения участков (хх хх
С учетом того, что к{*0, Z(*0, ю0), В(*0, Ю1), хр,
и2, иРи3} = Z(13) равенство (12) приметвид:
к{?0, z(Ю0), В(), (*, хрЮ2,
(ир Ю3} = *2, к{?0, ^ Z(*„, Ю0 ),
В(), (г, хр ю2, иР ю3}>
В (Ь, ®!), (г, Х£ , Ю2, (г, иР ю 3}}. (14)
При этом выражения (13) и (14) позволяют представить процессы Х(0, Щ0, ге]г0,г2] со_ вокупностью процессов Х^'), Щ(О и X(?"), Щ(?"), г'е]^о,^], ] . Это дает возмож-
ность анализировать функционирование сети связи отдельно на участках ] и
] с их последующим объединением, что существенно упрощает описание сложных динамических процессов, протекающих при моделировании сети связи.
Случайный оператор выходов агрегативной системы £ представим в виде:
Г«) = с{?0, ь, z(*0, ш0), В(Ю1),
, , ) (15)
(г,ХЬ]; Ш2,(ир]®з}•
При этом области операторов £ и к совпадают:
С: {('„>')} * ^ *в* {'> ^ }т * {'> ^ }т > (1б)
к: {(?)}х Z хВх{?, хь }т х{?, иР }т ^ Z , (17)
а области их значений различны.
Так, если отображение (17), реализуемое оператором переходов к, имеет место при каждом значении г > г0, г е Т (т. е. сеть связи в каждый момент времени находится в одном из возможных состояний), то отображение (16), реализуемое оператором выходов может иметь место не в каждый момент времени.
В прямом произведении множеств Ух Zвыберем произвольную точку (у, Так как операторы ^ик имеют одинаковые области определения |(70, ?х Z хВх хь }т х ир }т , введем
оператор Н*:
(У, Z, г ) = н * {?0, z Ш0), в( Ю1),
(г, хь ю2, (г, ир ю3}, (18)
реализуем^1Й отображением:
{(*„, t)} х Z хВх хр }т х{/, иР }т х Z , (19)
и интерпретируем^1Й как оператор переходов с расширенным множеством состояний Ух Z. При этом оператор Н* является оператором функционирования сети связи и описывает динамику изменения состояний сети при представлении ее функциональной модели агрегативной системой. Процесс функционирования сети связи в условиях сложной помеховой обстановки при воздействии всего комплекса дестабилизирующих факторов представляется в этом случае отображением (у, z) = Н ), реализуемым оператором Н* при фиксированных значениях г0, Z( г0), В^0), (г, хр)т, (г, иР)т;
( у, z )е7 х Z.
Предложенная функциональная модель сети связи в виде агрегативной системы позволяет с единых позиций описать динамику функционирования подсистем и уровней сети связи, использовать сочетание методов аналитического и имитационного моделирования при анализе и синтезе сети связи, анализировать процесс функционирования сети связи в нестационарных условиях. Представленная модель может
быть положена в основу для разработки математических моделей сети связи на различных иерархических уровнях.
Заключение
Морфологическая модель сети связи представлена с точки зрения основных положений системного анализа, в основе которого положен системный подход. Предлагаемая модель достаточно полно показывает структуру сети связи, а также взаимные связи ее элементовв условиях воздействия различных дестабилизирующих факторов. Такой подход позволяет проводить на этой основе как анализ структуры сети, так и синтез определенной сети связи.
Агрегативный подход при разработке функциональной модели сети связи позволяет с единых системных позиций ЭМВОС описать нестационарный режим функционирования подсистем и уровней сети связи, используя при этом сочетание методов аналитического и имитационного моделирования.
В совокупности представленные морфологическая и функциональная модели сети связи позволяют осуществить:
синтез структуры сети связи и обоснованное определение оптимальных для нее параме-
тров применительно к конкретным условиям с учетом воздействия дестабилизирующих факторов;
определить качество функционирования сети связи по ее количественным характеристикам;
качественное и количественное сравнение проектируемых и (или) действующих сетей связи систем между собой, а также с теоретически оптимальной сетью связи;
прогнозирование поведения проектируемой или действующей сети связи в процессе ее эксплуатации.
Разработанная модель представляетследую-щие возможности:
до проектирования сети связи позволяет определить чувствительность основных характеристик к изменению отдельных параметров или их совокупности;
в ходе проектирования сети связи позволяет осуществить анализ или синтез различных вариантов ее построения и выполнить обоснованный выбор рационального варианта по заданному критерию эффективности;
в процессе эксплуатации сети связи может служить инструментом определения адаптационных механизмов, позволяющих максимально уменьшать последствия воздействий различного рода дестабилизирующих факторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коннов А. Л., Ушаков Ю. А. Методы расчета показателей производительности сетей ЭВМ с неоднородным трафиком. Монография. — Оренбург: ОГУ, 2013. - 139 с.
2.1^бко М. В. Математические модели оптимизации иерархическихструкгур. — М.: ЛЕНАД, 2006. — 264 с.
3. Петухов Г. Б., Якунин В. И. Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем. — М.: ACT, 2006. - 504 с.
4. Берзин Е. А. Элементарные решения неэлементарных задач на графах. Под ред. А. Н. Кудино-ва. - Тверь: ТГТУ, 2005,- 136 с.
5. ГОСТ Р ИСО/МЭК 7498-99. Взаимосвязь открытых систем. Базовая эталонная модель.
6. Мышкис А. Д. Элементы теории математиче-скихмоделей. — М.: КомКнига, 2007.— 192 с.
7. Новосельцев В. И. и др. Теоретические основы системного анализа. Под ред. В. И. Новосельцева. — М.: Майор, 2006.- 592 с.
8. Колесников А. А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. — М.: Энергоатомиздат, 1987.— 160 с.
