CC BY
34
В.Л ТИМЧЕНКО, канд техн наук, доц НУК (м. Миколаїв,
0.0 УХІН, магістр НУК (м. Миколаїв,
0.0 МАХНОВА, магістр НУК (м. Миколаїв
МОДЕЛЮВАННЯ РОБАСТНИХ СТРУКТУРНО -ПЕРЕМИКАЛЬНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ ДИНАМІЧНИМИ ОБ’ЄКТАМИ
Розглянутспорядоксинтезуоптимальнижеруючих функцій в багатовимірнииіінійних системах на основі побудовиспеціальноїструктурноїконфігураціїперемикальнияворотнихзв’язків, яка забезпечуєзаданутраєкторію руху об’єкта керування При неповній апріорнійі нформаціїпро об’єкт на основіеталонномоделіруху формуєтьсжорегувальний<еруючий вплиз що забезпечує робастність системи керування Приведено результати моделювання що підтверджують забезпеченнязаданих показників точності керування при некоректно заданих параметрах реальногссб’єктатадії невимірнихзовнішніхзбуреньїл.: 7.Бібліогр: 9 назв
Ключові слова структурно-перемикальні системи керування еталонна моделі? робастність системи
Постановкап роблемкга аналізлітератури Необхідністькеруваннж невизначенихумовах та жорстких вимогах до використання обмежених запасівенергіїта ивидкодіїдлядосягненнюб'єктомкеруваннязаданогостану привело до таких основних напрямків сучасної теорії автоматичного керуванняяк ідентифікаціязистеад оптимальнеє робастнесеруванн^І - 3].
В тойжечаснеобхідновідзначитив проблеміоптимізаціїсистемзначну увагу сугубо математичнимдодаткаїуі які часто не знаходятьприкладного використання чи не мають можливості фізично реалізуватисв наслідок громіздкості [3]. Розробкаінженерних методів синтезу оптимальнихсистем автоматичногскеруванняі ередбачаеикористаннадостатньообфунтованих методів імітаційного моделювання та дослідницького узагальнення і систематизації для конкретного об’єкту керування в противагу строго математичномудоказу для довільної узагальненої моделі с подальшим суттєвим спрощенням для практичних задач Таким чином, створення інженерних методів синтезу оптимальнихсистем керування динамічними об’єктамиєнагальнокгіроблемокдля розвиткусучасноїтеоріїавтоматичного керування Однимз таких шляхів вирішеннязадачікеруванняе застосування принципу зворотної динаміки та динамічних зворотних зв’язків, що розглянуті зокремд в роботах[4 - 7]. До таких методів відноситьсяметод структурноперемикальнимворотнихзв’язків [8, 9], що забезпечувіобудову оптимальнопраєкторіїруху длязаданихграничнихумовта синтез керуючих функцій в зворотному зв’язку об’єкта керування на основі математичної моделі об’єкта В той же час реальні системи керування функціонуютьв умовахнеповноїапріорноїінформацігга невимірнихзовнішніх збурення* що потребуєрозробкиробастнижистемкерування
Мета статті - розвиток методу структурноперемикальнихзворотних зв’язків для вирішеннязадачкеруваннж умовахневизначеностга створення робастнижлгоритмівкеруваннябагатовимірнимщинамічнимиоб’єктами
Основніетаписинтезукеруваньметодоютруктурноперемикальних зворотнижв’язків Довільнуфазовуграєкторіюпереходузб'єкта іеруванняз початкового стану до заданого можна описати як сукупність відрізків траєкторію постійною похідною визначеногопорядку Плануванняфазової траєкторіїоб’єкта іеруванняцлязадани>вначальни>м кінцевих умов включає
- визначення необхідної кількості відрізків фазової траєкторії з постійнимизначеннямквідповіднихпохіднихвекторафазовижоординат
- обчислення/юментівперемиканнясеруваньв зворотнихзв’язках
Фазова траєкторія динамічного об’єкта, наприклад для векторах^ )
представимодля /-го відрізкут раєкторії за допомогоюр озкладенн5в ряд Тейлора
/+1 1 сЯ і 1! с/ґ2 У 2!
(1)
+ ^Х(0 (П')к +
де Х(9 = {х*(0, Ху(0, }ф)} - векторфазовокоординаті/руху по координатним осям/ = {х, у, #; Кр- вектор визначаючийостаточ ні члени ряду Тейлорд
01і = £,-+1 - £,■; £,■, £,-+1 - начальний к інцевий моменти часу руху об’єкта по
кожній з координатниюсейна і-ом відрізку.
Треба відзначите що представленняцовільного відрізку планованої траєкторії виразом (1) можливов загальномувипадку застосувати тому числі, длянелінійногонестаціонарногтб’єкта керування Вид траєкторіїруху визначаєтьсиаксимальнииіорядкомпостійної похідної фазовокоординати та значенням иіохідних
На основі енергетичного аналізу можливо сформувати принципи оптимальностд ля траєкторій виду (1) наступним чином траєкторія буде оптимальноюза швидкодією при русі з м аксимальноможливою кількістю похідних векгоракоординатта їх максимальними наченнями при цьому це буде траєкторіяз найбільшими витратами енергії Максимальнаможлива кількість похідних вектора координат а також величина їх значень визначаєтьсябмеженнямшаенергіюкеруючоговпливу
Розглянемаа гальнийпорядок синтезу керуючих функцій в зворотних зв’язках стаціонарногобагатовимірногооб’єкта п-го порядку що описується системокдиференційнирівняньввекгорноматричнійформі
*(ґ) = АХ(ґ) + Ви(ґ), (2)
де Х(0 - векгорфазовихзмінних (чи змінних стан^ розмірністюлхі; А, В -матрицікоефіцієнтівпхл; и(Ц -векторкеруючихфункцій л*1.
Для широкого класу динамічних об’єктів можна рахувати що компонентивектораХ(0 безперервнії диференційована юмпонентивекгора 11(0 - кусочно-безперервнш кусочно-диференційован(можливі розривив точках переключенні
Після диференціюваннрівняння(2)отримаємсдругу похідну
*(0 = А*(0 + ВЛ(0. (3)
а після повторенняіроцедурідиференціюванчяретю
Я^0 = А#(0 + ВЙР(0. (4)
При русі об’єкта з умовою Щі) = 0 після підстановки послідовно рівняння(2) в (3) та далі в (4) отримаємо
В§(ґ) = - А3Х(0- А2Ви(0- АВФ(0. Застосуванняіеретвореннйі апласаз урахування мначальногсзначення векторакеруючихфункцій и0 и векторнематричнихперетвореньзапишемо и(р) = -В-1(р2Е + рА + А2)-1[А3Х(р)- (рВ +АВ)ІІ0 - В&0)],
Де и0,1*0 - вектора начальниж ількісних значеньк еруючої функції; Е -одиничнаматрицяр- операторПапласа
Для загального випадку при котрому похідна/с- го порядку вектора фазовижоординатХ(0 дорівнюєнулю, отримаємсвираз
(к) (к-і) (*-і)
Х(0=А X (0 + в и (0 = 0.
В результаті відповідних векгорнематричних перетворень вектор керуючих функцій запишемсв вигляді
Щр) = - В"1(р*"1Е + Ак)"1[А*Х(р) - и0(р)],
к- 2 .
де матриця Ак = е р-'А*"-'"1; к =2.п; и0(р) - початковийвекгоркеруючої
у=0
функції, що визначається відповідностідо правилперетвореннйіапласа Структурна схема структурноперемикальної системи керування багатовимірним динамічним об’єктом (рис 1) включає блок ключів перемикання (БКП), що здійснює в розрахований на основі рішення алгебраїчнихрівняньї які описують фазові траєкторії руху з урахуванням заданих граничних умові моменту часу £п включення необхідного каналу керуванню ланцюзіз воротногозв’язку при цьому інші канали керування вимкнуті.
Си нтез керу юч ихфун кці й для форму ваннясорегувал ьногфи гналу
При побудові систем автоматичного керування динамічними об’єктами параметридинамічної моделі об’єкту, що покладенів основу синтезу в реальних системах відрізняються від розрахунковий силу неможливості фізично визначитига математичноописати всі чинники, які впливаютьна значення чи описуючу функцію параметру Наприклад коефіцієнт
гідродинамічногоопору морськогорухомогооб’єкта (МРО) залежитьв тому числі від формикорпусу МРО, якав процесівксплуатаціїможезмінюватись та густини водногосередовищазначенняякоготежне є постійним для рзних акваторій експлуатації МРО. Одним із ефективних шляхів усунення невизначеностіїараметрівдинамічноїмоделіоб’єкта при синтезі керуванняе створенняробастнихалгоритмівна основі еталонноїмоделі об’єкта Таким чином на основі методу структурноперемикальних зворотних зв’язків формуєтьсжталоннаї/іодельруху об’єкта керуванняз керуючимифункціямив зворотному зв’язку, сигнал з яких поступає на вхід реального об’єкту керування та далі формуєтьсжорегувальнийсигнал на основі порівняння сигналуз виходумоделіз сигналомз виходуоб’єкту керування
РозглянемавдномірнусистемуДляеталонномоделізапишемсрівняння
4(0 = о5„(0+ы<0
де хт -фазоваюординатамоделі
Реальниіоб’єктвиразимсматематичнФіаступнимчином
т)=ш*т)*им- (5)
Фактично це визначаесистемуз відомоюмоделлкреальногсоб’єкта, на виході якого вимірюється вихідний сигнал з шумом Помилка системи керування при цьому визначиться е(0 = хт(0- х(0, чи після диференціюванні) = 4(0 - ДО, що дрзволяєзаписати
в(0 = 4(0 - Щ) = а[хт(0 - х(0] - Ьие(0 = ае(0 - Ьі/е(0. Сформуємсвимогидозначеньпохибки в виглядівиконанняумови
%) + д1<КО = 0>
де у -ваговийкоефіцієнт
таматимемфівняннядлякорегувальногосигналукерування
(«2+д,а)«(р)+Ьч>(0)
Ь(р+а + о,)
де ие(0) -значеннжорегувальногасигналуу початковиймоментчасу
Для випад кувиконанняумовц що враховуєзначенняпохибки та двох її першихпохідних, запишемо
ОД+дДО + а^о,
де ^-ваговийкоефіцієнт
таматимемфівняннядлякорегувальногосигналукерування и ( ч = (а2+аа + д2)е(р) + Ьие(0) е ^р+а+а)
Якщо не враховувати ругу похідну п охибки, тобтр Щ) + д2е = 0, то корегувальниісигналприймевид
иМліт&. <в)
Треба відзначите ЩО самевибір вагових коефіцієнті вуї, Уг забезпечує робастністьсистеми Дійсно, з виразівдля корегувальнихсигналів (6), (7) та (8) слідує що при заданихзначення)фізичнихпараметрівсистемиа, б, можна підібрати вагові коефіцієнту які забезпечуютьінваріантність системи до некоректнозадани)епріорнихзначеньпараметрію, Ь.
Функціональна схема системи керування для загального випадку представленварис 2.
Для багатовимірногшб’єктудлявекгорупохибки запишемо
Й(0 = АБ(0-ВиБ(0.
Длявиконанняумовдлявекгорупохибоксистеми
в1Й(0 + і[0 = 0,
де в1 - позитивно визначена симетрична матриця вагових коефіцієнті^ матимемсдлявекгоракорегувальнихжналів
иБ(р) = В-1(рЕ + А+61Е)-1((А2+61А)Б(р) + ВиБ(0)).
При умові
бгБ(0+б,б(0+ІЕ0 = 0,
деС1, 02- матриціваговихкоефіцієнті? запишемсдлявекторакорегувальнижигнапів
и6(р) = В,(рЕ+А+61Е)и((А2+6,А+62)Б(р) + ВиБ(0)).
Рис 2. Функціональнасхемасистемисерування
Таким чином о тримані вирази керуючих функцій визначаютьзначення корегувального керуючого сигналу робастної системи керування багатовимірнипдинамічнимоб’єктом
Приклади моделювання Розглянемо систему керування (рис 3) об’єктом першого порядку щоописуєтьсярівнянням(5) з початковогостану х = 0; А=0 в заданий стан х-25, А=0 за умови №0. Параметри реальногооб’єкта визначаютьсячекоректнонаступним чином а* = - 0.5; Ь* = 0.5. Параметриеталонноїмоделі а = - 0.1; Ь = 0.1. Траєкторія руху об'єкта складається двох відрізків. Перший відрізок і = 0 0.5 с» &=100;
другий відрізок £ = 0.5+ 1.0с, ®с=-100. В моментчасу £ =0.5с здійснюється перемиканнжеруючих функцій Зовнішнєзбуренняпредставленсма рис 4. Корегувальниісигналмаєнаступнийвигляд иє(р) = 299В(р).
Система керування
Рис 3. Струю-урнасхемаробастно'системккеруванняз еталоннокмоделлю
Результатииоделюванняпредставленна рис. 4 - 7, демонструють що при некоректно заданий араметрахреальногооб’єкта та д ії зовнішнього збурення системакеруванняі риводитьоб’єкт керуванню задануточкуз високимипоказникамигочності (значенняюхибки дорівнює0.2%).В системі керуванняіри русі по планованійтраєкторіїформуєтьсянезначнезначення похибки, що не приводить до значних витрат енергії на формування корегувальногосигналу
Рис 6. Керуючий вплив Рис 7. Похибкасистеми
Висновок Розроблено метод робастного керування багатовимірним динамічним об’єктом на основі в икористаннж еруючого впливу на виході еталонної моделі руху об’єкта по оптимальній траєкторії сформовано'на основі структурноперем и кальних зворотних зв’язків, та корегувального керуючого впливу що синтезується при заданих показниках точності керування на основі порівняння вихідного сигналу еталонної моделі та реального об’єкта керування Таким чином досягаються при неповній апріорній інформації про параметри об’єкту керування задані значення похибки керування та її похідні, а також інваріантність керування по відношеннкадофізичнихзбурень
Список літератури 1. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С.Понтрягин- М.:Наука 1974.— 392 с 2 ЧакиФ. Современнаяеорияуправленигі Ф. Чаки
- М .:Мир, 1975. - 424с 3. ПолякБ.Т. Робастнаяустойчивостш у правление/ Б.Т. Поляк П.С Щербаков- М.: Наука 2002.— 303 с4.Справочникпотеорииавтоматическог<управления II Подред КрасовскогсАА. - М.: Наука 1987. - 711с 5. КрутькоП.Д. Обратныезадачи динамики управляемыхсистем / П.Д. Крутько - М.: Наука 1988.— 328 с. 6. ГабасовР. Реализацияэграниченнойэ братной связив нелин ей ной задаче регулирования/ Р. Габасо$ Ф.М. КирилловрЕ.А. РужицкаяН Кибернетикам системныйанализ-К. - 2009. -№ 1. -С. 108 -117.7. Ларин В. Б. Стабилизацижистемыобратнойсвязьюпо выходной переменной В.Б. Ларин Н Проблемьуправленияі інформатики-К. - 2004. -№2. -С. 5 - 18Я. Kondratenko Y.TOptimal feedback switching method for linear control systerVsR Kondratenko, V.L Timchenkdoystems and
Networks: Mathematical Theory and Applications (Mathematical Research). - Berlin: Academia Verlag, 1994. - Vol. 79. - P. 291 - 29Я.ТимченксВ.Л. Оптимальнодтравлениетинейнымобъектомна основеметодгструктурнопереключаемы»братныхсвязей/ В.Л. ТимченксІІ Вісник НТУ "ХПГ.
- Тематичними пуск "Інформатикега моделюванні -Харків. -2009. -№13. -С. 167 - 175.
СтатттредставленАт.н проф НУ К КондратенксЮ.П.
УДК 681.5
Моделирование робастных структурноперекпючаемых систем управления динамическимюбьектамгіТимченкоВ.Л., Ухин О.А, МахноваО.А. II ВестникНТУ "ХПИ". ТематическиРвыпуос Информатика! моделирование-Харьков НТУ "ХПИ". - 2010. -№21. -С. 173-181.
Рассмотренпорядоксинтезаоптимальньиуправляющизфункцийв многомерныхпинейных системахна основании! остроения специальной структурной конфигурации^ реключаемых обратныхсвязейкотораяобеспечиваезаданнуютраекторикэдвиженияобъект^правленияПри неполной априорной информации про объект на основании эталонной модели движения формируетсякорректирующееуправляющеевоздействиэ которое обеспечиваетробастность системыуправленияПриведенсрезультатьмоделированижоторыеподтверждаююбеспечение заданныхпоказателейточностиу правленияпри некорректно заданных параметрахреального объектаи действиинеизмеряемыинешнихвозмущенийИл.: 7. Библиогр: 9 назв
Ключевые слова структурноперекпючаемыесистемы управления эталонная модели робастностьсистемы
UDC 681.5
Modeling of robust structural-commuted control systems of dynamic objects /Timchenko V.L., Ukhin O.A., Makhnova O. A. Herald of the National Technical University "KhPI".
Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkiv: NTU "KhPI". - 20Ш.2А. - P. 173 -181.
The order of synthesis of optimum managing functions is considered in the multidimensional linear systems on the basis of construction of the special structural configuration of the commuted feed-backs, which provides the set trajectory of motion of management object. At a priori incomplete information about an object on the basis of standard model of motion correcting managing influence which provides robust control system is formed. Results are resulted designs which confirm providing of the set indexes of exactness of management at incorrectly preset parameter of the real object and action of immeasurable external indignations. Figs: 7. Refs: 9 titles.
Keywordsstructural-commuted control systems, etalon rnodbList control system.
Поступипт редакцик25.03.2010
