Моделирование размера вторичных частиц, образующихся при быстром расширении пара Текст научной статьи по специальности «Физика»

Моделирование размера вторичных частиц, образующихся при быстром... УДК 621.375.826

К.В. Соломатин

Моделирование размера вторичных частиц, образующихся при быстром расширении пара

Распространение лазерного излучения высокой интенсивности (10=1О8 Вт/м2 и выше) через аэрозоль, состоящий из твердых тугоплавких частиц, приводит к резкому нагреванию материала частиц до температур при которых процессы испарения становятся определяющими. При этом испарение переходит от диффузионного режима к газодинамическому, давление насыщенных паров у поверхности частицы становится порядка атмосферного и более, а среднемассовая скорость разлета вещества начинает приближаться к местной скорости звука в паре [1].

Испаренное вещество от каждой точки поверхности частицы разлетается в телесный угол 2л и имеет при этом распределение по скоростям, в котором отсутствуют молекулы с направлением скорости обратно к частице. Но в ходе релаксации кинетических процессов происходит «мак-свеллизация» потока и устанавливаются новые значения параметров расширяющегося парогазового облака.

Характерным масштабом данного явления считается 2-3 длины свободного пробега. Граничные условия у поверхности частицы при этом должны переопределяться. Для случая плоской поверхности без учета противодавления [2] получается

Г = 0,657^, у = 0,82/,, р = 0,31р5. (1)

Здесь Т - температура, ] - поток испаренного вещества,р — плотность паровой фазы; значения без индекса относятся к облаку испаренного вещества непосредственно у поверхности, Т# — температура поверхности первичной частицы, ра - плотность пара, насыщенного при температуре Г , ^ — поток вещества с поверхности первичной частицы. При использовании поверхностей с радиусом кривизны намного превышающим длину свободного пробега молекулы вблизи поверхности (для первичных аэрозольных частиц, у которых для потока испаренного вещества число Кнудсена оказывается много больше единицы), получаются значения близкие (2).

Однако численные оценки (например, для паров углерода, железа и т.д.) показывают, что при этом итоговое пересыщение в потоке столь

велико, что должна происходить «мгновенная» конденсация даже по высокопороговому гомогенному механизму с образованием чрезвычайно мелкодисперной фракции твердой и/или жидкой фазы — вторичных частиц. Введем для характеризации неравновесности системы переохлаждение и степень пересыщения

где где Тр - температура пара, насыщенного при данной плотности, Рр - давление пара, насыщенного при данной температуре. В диапазоне температур 3500-4500” К эти величины оказываются равны (для углерода)

в = 0,30-г 0,28, 5 = 12+9, я = 12-И0, (2)

что подтверждает сказанное выше (здесь и далее д - число молекул в зародыше (ядре новой фазы) критического размера).

Это приводит к возможности еще одного переопределения граничных условий [3]. Такое переопределение облегчает дальнейшее решение задачи введением уже у самой поверхности частицы двухфазного потока, но ставит новую задачу определения приповерхностных значений параметров этого потока. Для строгого решения задачи об образовании и росте вторичных частиц требуется исследование кинетического уравнения [2] с корректными граничными условиями. Далее рассмотрим приближенное решение этой проблемы.

Скорость образования зародышей новой фазы чрезвычайно резко зависит от величины пересыщения пара. По достижении некоторого порогового значения количество образованных центров конденсации быстро возрастает за счет понижения числа молекул в зародыше критического размера. Выделяющаяся при фазовом переходе скрытая теплота и количественная убыль паровой фазы (вследствие конденсации пара на возникших центрах новой фазы) через малое время после достижения состояния с максимальным пересыщением приводят к уменьшению последнего до малых значений и нуклеация прекращается, как энергетически невыгодный процесс.

ФИЗИКА

Дальнейшее расширение облака (при не слишком значительном отклонении системы, разумеется, в достаточно малой области потока, от состояния термодинамического равновесия) приводит к конденсационному росту сверхкри-тических зародышей и распаду докритических.

Концентрация посторонних компонент у поверхности испаряющейся частицы практически равна нулю, микрочастиц субкритического размера также нет, поэтому конденсация может развиваться по гомогенному способу в однокомпонентном паре или гетерогенно на собственных ионах в паре. Электрический заряд существенно облегчает образование центров конденсации и начинает активно реализовываться при более низких значениях пересыщения.

При одновременном учете обоих механизмов приведем формулу для скорости образования центров конденсации (в расчете на одну молекулу)

т={\-у)1„{в)+у1е{в), (4)

где 1п(в), 1е(в) - скорости зародышеобразова-ния (также в расчете на одну молекулу) для незаряженного и заряженного комплексов соответственно, у - относительная концентрация ионов в паре. Для нахождения отличий скоростей /„(#), 1е(в) рассмотрим в сравнении энергию образования одного ядра конденсации по аналогии с [4].

Максимальное значение для приращения термодинамического потенциала системы (приравнивая к нулю значение его производной по числу молекул в кластере <1АО / dg = 0) позволяет связать изменения гиббсовской свободной энергии для двух типов агрегатов, полагая их свойства макроскопическими

[ЛС*]тю =[ДСя]щ*х (1+2(в«/г«*)3<4—Зг*/в0))- (5) Здесь а0 =(3©/4л-)1/3 - эффективный радиус иона в капле, а* = (е2 / 16/г)1/3 - постоянная, и е = ао - поверхностное натяжение, ~ размер нейтрального (заряженного) критического зародыша, со — объем молекулы.

Соотношение между размерами критического зародыша и переохлаждением имеет вид

Lr„ Lr„ \

обще все заряженные зародыши оказываются жизнеспособными. Критическое значение пересыщения в системе можно получить из соотношения максимума функции #(ге*), дифференцируя ее и записывая ddl dr' = 0 (для нашего случая в^= 0,157).

Согласно статистической теории вероятность образования кластера и, как следствие, скорость зародышеобразования [4]

/ ос ехр(— [aG],^ / кТ), (7)

где к - постоянная Больцмана. Тогда для полной скорости образования ядер конденсации (4) получим [5]

1(9) = const • ехр<-/?„(0))■ (1 + у(ехр(/}е(0)- Р„(в))-0), (8) где /?„(г) (в) = [ДО’п(е) ]тах 1кТ = Ыв2 - безразмерный параметр.

Для сравнения построим на рисунке 1 сообразно с соотношениями (6) отношение скоростей зародышеобразования для трех разных температур. При значениях соответствующих максимуму реально достигаемой скорости (0«O,l), различие составляет не менее пяти порядков.

Следует отметить, что ситуация может развиваться по аналогии с камерой Вильсона (случай использования всех ионов в качестве центров конденсации) и «ступенчатого», когда яд-рообразование происходит «длительное» время, пересыщение невелико, либо высока скорость разлета и используется только часть ионов.

Для нахождения соотношения между числом заряженных и нейтральных комплексов определим степень ионизации вещества. Образование ионов происходит в результате температурной ионизации и фотоионизации.

Фотоионизацию, приводящую при определенных условиях к образованию электронной лавины, при исследуемых плотностях мощности излучения (т.е. в отсутствие пробоя) можно не учитывать. Для температурной ионизации можно использовать формулу Саха, справедливую при малых степенях ионизации (в состоянии равновесия), представляющую собой заниженную оценку

\3/2

, (6)

где <т~ коэффициент поверхностного натяжения, Ь - удельная теплота парообразования.

Как следует из формы уравнения (7) при любом значении переохлаждения критический радиус заряженного зародыша меньше, и более того при некотором значении переохлаждения во-

1 -г

■ 28е

2лт

8п

•*£Ч-й-

(9)

Здесь ge, gn ~ статистические веса иона и нейтрального атома, соответственно, тп — масса электрона, Й - постоянная Планка, Р - давление газа, \У=11,264 эВ - потенциал однократной ионизации атома углерода. При температурах 35004500° К получаем

З^КГЧКГ4

(10)

Учитывая вышесказанное находим, что практически все зародыши оказываются заряженными, причем не все ионы оказываются задействованными. При разлете сильно нагретого вещества заряженными оказываются практически все вторичные частицы за исключением лишь порядка 10'4.

После образования вторичной частицы начинается ее конденсационное укрупнение. Для «среднестатистической» вторичной частицы уравнение роста [4]

82/*-пи

То (

——ехр---------

Т Я кТ))

(П)

причем это же выражение можно переписать для радиуса, использовав очевидное соотношение 4яа 1рс = Зgm0 , где рс - плотность твердого

углерода; п - концентрация молекул пара; и ~ средняя арифметическая скорость молекул пара.

Найдем решение уравнения (11) в частном случае — для изотермического равномерного случая расширения. Для этого рассмотрим N молекул в объеме У0 в расчете на один зародыш. Предположим, что пар разлетается с постоянной скоростью и. При этом считаем, что пересыщение в является очень большим, а температура Т остается постоянной и равна 4000° К, тогда величина и является константой. Тогда уравнение (11) примет следующий вид:

^к4т$и^2/3 п-х, (13)

ш

где X — числовой множитель порядка единицы, физический смысл которого вскроем ниже.

Концентрация молекул пара п является функцией времени I и числа молекул во вторичной частице g , так как концентрация молекул пара уменьшается по двум причинам: во-первых, разлет вещества в пространстве и во-вторых, молекулы, которые уже осели на поверхность вторичной частицы не участвуют в дальнейшем процессе. Таким образом, для концентрации молекул пара имеем

п = —-— = п0 ■

1-

рядка Ю-'ЧЮ’11), и0 ~ начальная концентрация пара. Для числа центров можно предложить выражение [5] Л^0 =(/(^т)-А^т) 1, где Д/т - эффективная длительность максимума пересыщения, в течение которого идет образование ядер.

Положим, что в области рассмотрения уравнения (11) система находится в состоянии близком к термодинамическому равновесию, с отличным от нуля значением переохлаждения. Тогда, переходя от переменной g к переменной а, уравнение приводится к виду

\-2

(14)

сіа

------« Пг\СО

сії 0

Г, (я/а0)Г и-Х' г1+“)

V и > к)

Считая течение «замороженным» полагаем скорость расширяющегося потока неизменной. Также произведем обезразмеривание параметров, входящих в уравнение (16), что позволяет существенно упростить как само выражение, так и его дальнейшее аналитическое исследование. Замена переменных (нормированные значения радиуса вторичной частицы и времени процесса):

«0

IX

я

(15)

Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

ск л \-23

— » А----------

СІТ Л • -'2 '

(1 + 0

(16)

ппагИ и _ где А =— .--------- безразмерная постоянная

а0л/^0 °

величина, определяемая отношением входящих «почти» постоянных величин.

Далее переменные в уравнении легко разделяются, и оно интегрируется

1п

73-1

(Г-1)3

+ л/з • arctg

2г + 1

Л

= С{

о'

6 А 1 + г ’

(17)

здесь С0 — постоянная интегрирования.

Начальное условие для дифференциального уравнения (16) определяется, исходя из критического значения пересыщения, и для рассматриваемых диапазонов температур и пересыщений составляет

(13)

где Д£ = •£ - число молекул осевших на все

зародыши (ДО,), приходящиеся на объем V; К -размер первичной частицы, ЛГ0 - число центров конденсации приходящееся на одну молекулу, оцениваемое из интеграла (оно составляет по-

(а/°о) *(2 + 4)-10“4.

(18)

Значение постоянной интегрирования определяется исходя из приведенного начального условия. Результаты численного решения уравнения представлены на рисунке 2.

Также можно переписать выражение (11) в виде более удобном для качественного анализа

4?

Л

где Л = -

2>[2 и

•Я2/3- 1 — ехр| -

10

кТ

(22)

1

- длина свободного пробега.

>/2- ж/2 ■п

Исследуем процесс стационарного роста, тем более что при таком росте имеет место устойчивый поток молекул пара на вторичную частицу, и пересыщение у самой поверхности становится медленно меняющейся функцией размера, причем сама задача конденсационного роста сводится к исследованию диффузионных потоков. Полагая пар не слишком разреженным, разлагаем в ряд экспоненту, стоящую в скобках, и получаем из соотношения (22) следующее уравнение:

2-Л-

Л

£

2/3 1-в - - 2/3 М

' кТ г, кТ

Л

(23)

«закалки», когда вследствие удаления молекул друг от друга они перестают сталкиваться с твердофазными вторичными частицами (что касается случая расширения в вакуум) или вследствие экранирования частиц конденсата буферным газом (при расширении в атмосферу). После наступления закалки конденсационный рост частиц прекращается.

Для радиуса расширения, соответствующего данному явлению, используем результаты работы [3]:

ла1я1р5-и

'кр

3—

ит\

'кр

"У

_Л_

ит\

(24)

Корректность термодинамического подхода в описании процесса ограничивается явлением

Разумеется, само соотношение применимо только для достаточно крупных первичных частиц, у которых различие между гкр и К намного превышает длину свободного пробега.

В заключение хочется отметить, что изменение скорости расширения влияет на оба параметра функции распределения: понижение скорости приводит к увеличению среднего размера и росту дисперсии.

Литература

1. Букатый В.И., СуторихинИ.А., Краснопевцев В.Н., Шайдук А.М. Воздействие лазерного излучения на твердый аэрозоль. Барнаул, 1994.

2. Анисимов С.И., Имас Я.А., Романов Г.С., Ходы-ко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М., 1970.

3. Букатый В.И., Соломатин К.В. О составе пара вокруг тугоплавкой частицы при лазерном воздействии // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т. 14. № 1.

4. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М., 1966.

5. Райзер Ю.П. О конденсации в облаке испаренного вещества, расширяющегося в пустоту// ЖЭТФ. 1959. Т. 37. Вып. 6(12).