Моделирование разброса параметров транзисторов в КМОП СБИС Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Компоненты и технологии, № 8'2003 Компоненты

Моделирование разброса параметров транзисторов

в КМОП СБИС

Приближение полупроводниковой технологии к фундаментальным физическим пределам приводит к тому, что размеры транзисторов уменьшаются быстрее, чем технологические допуски на эти размеры. В результате резко возрастает проблема выхода годных кристаллов, которая обостряется одновременным увеличением стоимости выполняемых проектов и стоимости комплекта фотошаблонов.

Однако сама по себе проблема не так страшна, как неумение моделировать ее последствия. В предлагаемом аналитическом обзоре описано современное состояние проблемы статистического моделирования интегральных схем.

Виктор Денисенко, к.т.н.

victor@RLDA.ru

Введение

Разброс параметров транзисторов в интегральных схемах является следствием пространственных и временных флуктуаций параметров технологического процесса, таких как плотность ионного пучка, поток окислителя при получении подзатворного окисла, температура разгонки примеси, аберрация оптической системы, шероховатость поверхности фоторезиста и т. п. В аналоговых микросхемах разброс параметров является основным фактором, определяющим соотношение «точность — быстродействие — потребляемая мощность» [1]. Для цифровых микросхем он является одним из барьеров, ограничивающих дальнейшее уменьшение размеров транзисторов.

Разброс параметров неизбежен даже для хорошо управляемых и стабильных техпроцессов. В конечном итоге он приводит к разбросу параметров интегральной схемы около номинальных значений, указанных в спецификации. Часть микросхем, параметры которых выходят за границы допустимых значений, уходит в брак (параметрический брак).

Целью моделирования эффектов, связанных со статистическим разбросом параметров, является:

• получение максимального процента выхода годных кристаллов (снижение доли параметрического брака) путем оптимального выбора размеров транзисторов и их взаимного расположения, а также электрической схемы, малочувствительной к разбросу параметров элементов;

• оптимизация параметров технологического процесса для получения максимального процента выхода годных кристаллов или улучшения их характеристик;

• получение максимальной параметрической надежности проектируемых ИС;

• снижение риска неоптимального проектирования.

Получение высокого выхода годных кристаллов при одновременно высоких технических характеристиках стало большой проблемой после преодоления технологического рубежа в 0,25 мкм [2]. В связи с этим резко возрос интерес к методам статистического моделирования, который продолжает расти по мере приближения технологии к фундаментальным физическим пределам. Причины этого состоят в следующем:

• Резко увеличился разброс параметров между идентично спроектированными транзисторами в составе ИС, поскольку размеры транзисторов уменьшились быстрее, чем технологические допуски на размеры и разброс параметров техпроцесса.

• Увеличилось относительное количество флуктуирующих атомов примеси в канале МОП-транзис-тора. Так, в транзисторе с эффективной длиной канала 0,1 мкм электрически активный объем канала содержит всего 500 атомов примеси, и их статистическая флуктуация приводит к флуктуации порогового напряжения и тока стока величиной около 4% [5].

• Возросла стоимость комплекта масок, которая для 0,1-микронной технологии достигла $1 млн [4]. Для устранения необходимости их повторного изготовления нужно, чтобы желаемые параметры ИС совпадали с математическим ожиданием фактически получаемых параметров изделий для первого же комплекта масок.

• Выросла чувствительность электрических цепей к разбросу параметров техпроцесса, что увеличило вероятность ошибочного проектирования. Цена же повторного проектирования стала выше из-за роста средней стоимости выполняемых проектов, что объясняется увеличением числа транзисторов на кристалле.

Компоненты и технологии, № 8'2003

• На процент параметрического брака стали заметно влиять межсоединения, контактные площадки и краевые эффекты, параметрами которых раньше можно было пренебречь и разброс которых сильно увеличился.

• Грубое моделирование эффектов технологического разброса с использованием больших допусков ведет к ухудшению характеристик микросхем по сравнению с потенциально возможными, к увеличению площади кристалла и, как следствие, к снижению конкурентоспособности изделия. Отсутствие надежных средств и методики

статистического моделирования приводит к необходимости деления лота на партии с применением метода проб и ошибок для каждой партии, что достаточно дорого.

Основные подходы к статистическому моделированию микросхем в литературе описаны давно [6], однако только в последние годы они получили широкое практическое применение и интенсивное развитие. Тем не менее, до сих пор еще не сформировались общепринятые, непротиворечивые и надежные методы статистического моделирования. Основная проблема состоит в противоречии между точностью статистических результатов и объемом вычислений.

В настоящее время большинство кремниевых мастерских имеют специально спроектированные тестовые кристаллы для измерения величины разброса параметров. Различают статистический разброс параметров транзисторов в пределах одного кристалла (локальный разброс или рассогласование параметров) и между транзисторами, расположенными на разных кристаллах (глобальный разброс).

Глобальный разброс делится на разброс между производственными линиями, между лотами, между пластинами и между кристаллами в пределах пластины (рис. 0.1). Разброс между лотами означает, что математическое ожидание некоторого параметра транзистора или техпроцесса, взятое для всех транзисторов в пределах одного лота, отличается от той же величины для другого лота. Этот вид разброса обычно контролируется в процессе производства.

Разброс между пластинами может быть пространственным и временным. Временной разброс связан с временным дрейфом пара----------------------www.finestreet.ru-

метров технологического оборудования, пространственный — с различным положением пластин в процессе групповой термической обработки лота. Современное технологическое оборудование имеет очень малый временной дрейф параметров.

Пространственный разброс в пределах пластины обычно является медленно изменяющимся в пространстве, гладким и сильно коррелированным. Линии равных параметров имеют часто радиальную симметрию или форму параллельных полос. Пример распределения по полупроводниковой пластине параметра AL, усредненного по партии пластин, показан на рис. 0.2. Для получения этого графика были выполнены измерения на большом числе пластин и затем взято математическое ожидание параметра для каждого положения транзистора на пластине. В соответствии с этим рисунком, если два транзистора расположены рядом, различие в их параметрах будет минимальным. При увеличении расстояния между транзисторами возрастает и это различие.

Локальный разброс обычно больше, чем глобальный, и часто вызван особенностями топологии и топографии кристалла, например, разбросом ширины металлических проводников или канала МОП-транзисторов. Локальный разброс может быть случайным и систематическим. Систематический разброс обусловлен пространственным градиентом характеристик технологического оборудования и может составлять 50% общего разброса [9]. Наибольшее влияние на характеристики ИС имеет систематический разброс эффективной длины канала МОП-транзистора [10]. Он связан с искажениями изображения вследствие оптической аберрации линзы вблизи предела ее оптического разрешения. Такой разброс параметров в на-нометровых структурах (с характерными размерами элементов 0,1 мкм и менее) намного превышает случайный компонент разброса. Поэтому моделирование с использованием представлений о разбросе параметров как о случайном процессе дает очень большую ошибку для нанометровых структур [10]. Однако систематический компонент локального разброса легко может быть скомпенсирован конструктивными мерами, чего нельзя сделать со случайным разбросом.

Случайный компонент локального разброса также связан, в первую очередь, с пространственным разбросом эффективной длины канала МОП-транзистора [10]. Второе по величине влияние оказывает пороговое напряжение Vtho и токовый множитель Д Причиной локального разброса Vtho является флуктуация общего заряда легирующей примеси в канале (Шл), а рассогласование по в определяется разбросом эффективной длины и ширины канала, который вызван неровностями его границ. Для длинноканальных транзисторов на разброс в влияет также флуктуация подвижности носителей заряда. Поскольку перечисленные причины являются пространственно-независимыми, то параметры Vtho и в оказываются статистически независимыми, если рассматривать только их локальный разброс.

Примером локального разброса служит разброс параметров транзисторов дифференциального каскада операционного усилителя, когда характеристики схемы определяются разностью параметров двух транзисторов, а не их абсолютным разбросом. В АЦП и ЦАП разброс порогового напряжения величиной в единицы милливольт или менее может существенно влиять на характеристики ИС или выход годных (рис. 0.3). Локальный разброс может быть уменьшен конструкторскими решениями, учитывающими взаимное расположение транзисторов и их геометрию.

Статистические методы, описанные ниже, предполагают, что технологический процесс стабилен (стационарен), то есть математиче-

Среднеквадратическое отклонение У^а

Рис. 0.3. Зависимость выхода годных кристаллов от рассогласования порогового напряжения транзисторных пар цифро-аналогового преобразователя[11]

Компоненты и технологии, № 8'2003

ское ожидание и ковариационная матрица его параметров не изменяются с течением времени. Предполагается также, что процесс управляем, то есть отклонения параметров от заданного математического ожидания являются случайными и могут быть описаны с помощью понятия среднеквадратического отклонения.

Для выполнения статистического моделирования должно существовать средство обмена статистической информацией между проектировщиками и кремниевой мастерской. Наиболее удобным средством в настоящее время являются параметры компактных моделей. Кремниевая мастерская путем экстракции статистически значимого количества параметров компактных моделей должна получить и передать проектировщикам ИС величины математического ожидания, дисперсии и ковариационную матрицу параметров компактных моделей.

1. Математическое описание разброса параметров

Основными понятиями, описывающими статистическое поведение транзисторов в ИС, являются математическое ожидание ц, среднеквадратическое отклонение а или дисперсия а2, а также ковариация соу или корреляция г параметров. Графически разброс параметров описывается гистограммой, показывающей частоту появления значений случайной величины. При увеличении числа опытных данных гистограмма стремится к непрерывной функции плотности вероятности (дифференциальной функции распределения, рис. 1.1).

Простейший путь к учету разброса параметров транзисторов состоял бы в том, чтобы обработать статистически значимое количество транзисторов и получить параметры функции распределения ц и а. Однако для современных задач проектирования такой подход слишком груб или содержит много избыточной информации. В реальности величина разброса параметров зависит от площади

ЫМО^ХУЛ-М/^б

(1=0,000268

о=0,00434

-0.02 -0.01 0.0 0.01 0.02 Разброс порогового напряжения ЛУ!Ьо, В

Рис. 1.1. Плотность вероятности и частота появления отклонений порогового напряжения МОП транзистора с длиной канала L=1/6 мкм и шириной W=5,4 мкм, — матожидание, — среднеквадратическое отклонение [11].

*600

о

о 560 а.

£ ф

5 520

§ 480 *

о

с

0.24 0.28 0.32 0.36

Пороговое напряжение,

Подвижность электронов, цОІ

(а) (б)

Рис. 1.2. Примеры сильной (а), г = 0,954 и слабой (б), г = -0,045 корреляции параметров; показана также линия среднеквадратической регрессии [14]

Таблица 1.1. Матрица корреляции параметров модели ВБ!М3

^канальный транзистор p-канальный транзистор

У,ь О Н,„Ь М У,Ь О Н,„Ь М

’1*. I 1 0,0819 0,469 -0,012 0,425 0,08 0,041 -0,01

I5 о 1 -0,646 0,142 -0,634 0,999 0,558 0,6

1 І ^ 1 0,036 0,675 -0,646 -0,523 -0,204

| м 1 -0,292 0,142 0,013 0,622

1 -0,636 -0,726 -0,504

с5 о 1 0,559 0,601

1 § ^ 1 0,073

к* | М 1

транзисторов и расстояния между ними. Кроме того, параметры транзисторов находятся в сильной корреляционной зависимости.

Если значения двух параметров, измеренные для множества транзисторов, указать на графике (рис. 1.2), то можно обратить внимание, что между этими параметрами имеется зависимость: при увеличении подвижности электронов на рис. 1.2 увеличивается и подвижность дырок. Однако зависимость эта является статистической. Экспериментальные точки могут группироваться очень близко к прямой линии, которая аппроксимирует эту зависимость, и тогда статистическая зависимость приближается к детерминированной. Степень отличия статистической зависимости от детерминированной характеризуют понятием ковариации соу(х, у) двух случайных величин:

Прямая линия, проведенная через экспериментальные точки таким образом, что сумма квадратов их отклонений от этой линии минимальна, называется линией среднеквадратической регрессии. Тангенс угла наклона этой линии называется коэффициентом регрессии.

Уравнение линии регрессии имеет вид

(1.3)

где Я — коэффициент регрессии. Он вычисляется через коэффициент корреляции гху и среднеквадратические отклонения ау и ах как

К = гхух-

(1.4)

соу(х, у) = м[(х - Цх) х(у - цу)]=

= ~~ТX(*«■ - ^х)х(уі -п ~1 >=1

(1.1)

где I — номер транзистора, для которого измерены значения параметров х и у, цх, цу — математические ожидания этих параметров; п — количество измерений; М[-] — математическое ожидание случайной величины, стоящей в квадратных скобках. Величина п в (1.1) уменьшена на единицу для получения «исправленной» оценки ковариации [13], поскольку мы рассматриваем только выборку из генеральной совокупности.

Если отклонения случайных величин в (1.1) от математического ожидания нормировать на величину среднеквадратического отклонения ах и ау, то получим коэффициент корреляции величин х и у.

СОУ (х,у)

■ху

аххоу

(1.2)

Коэффициент корреляции приобретает ясный физический смысл, если статистические переменные центрировать относительно математического ожидания и нормировать на величину среднеквадратического отклонения. При этом среднеквадратические отклонения нормированных величин равны единице и коэффициент корреляции становится равен тангенсу наклона линии среднеквадратической регрессии.

На рис. 1.2 показаны примеры сильной (а) и слабой (б) корреляции параметров [14].

Статистическая зависимость между параметрами в общем случае нелинейная, однако, поскольку отклонение параметров от среднего значения обычно невелико (5-15%), в этих пределах зависимость можно считать линейной (в разделе 5.6 будет показано, что в нано-метровых структурах это допущение выполняется не всегда).

Для отображения статистической зависимости между всеми параметрами модели вводят понятие ковариационной матрицы или матрицы коэффициентов корреляции.

Компоненты и технологии, № 8'2003

На пересечении 1-й строки и ;-го столбца ковариационной матрицы записывают ковариацию і-го и ;-го параметров соу(хг> х) Если параметры модели Хі, Х2, ... хр, каждый из которых в нашем случае является случайной величиной, записать в виде вектора х = (хі,

Х2, ... Хр)', где ’ — знак транспонирования вектора, то ковариационная матрица вектора х определяется как

С = соу(х)=м[(х-мх)х(х-мх)] (1.

5)

где цх — вектор математических ожиданий случайных величин х1, Х2, ... хр.

Как следует из определения ковариации (1.1), такая матрица является симметричной. Поэтому ее часть, расположенную выше или ниже диагонали, обычно не заполняют. Матрица коэффициентов корреляции определяется аналогично, с учетом соотношения (1.2). Диагональные элементы ковариационной матрицы равны соу(х;, х), то есть дисперсии параметра х, а диагональные элементы матрицы коэффициентов корреляции равны единице.

Если из результатов измерений параметров модели составить матрицу (матрицу наблюдений) X из п строк и р столбцов, где в строках г = 1,..., п записаны разные параметры х;>1, х;>2,...х;>р одного и того же транзистора, а в столбцах — значения одного и того же параметра для р разных транзисторов, то из определения ковариационной матрицы следует, что ее можно получить как

С = Х'хХ/(и-1),

(1.6)

где X — матрица наблюдений, состоящая из центрированных параметров транзисторов, то есть

~ -^.

хи =хи

Следует отметить, что некоторые авторы в качестве матрицы наблюдений используют матрицу X'.

В качестве примера в таблице 1.1 показана матрица корреляции параметров модели В81М3 [8].

2. Параметры моделей для статистического моделирования

Достоверные значения величин ц, а, соу можно получить, имея параметры статистически значимого количества транзисторов (обычно от нескольких сотен до нескольких тысяч). Классический подход к получению статистических параметров компактных моделей состоит в том, что по обычной методике, разработанной для каждой модели, выполняют экстракцию ее параметров (их количество для разных компактных моделей колеблется от 50 до 500), затем путем статистической обработки получают требуемые значения ц, а, соу.

Однако такой путь является очень трудоемким (несколько недель работы, включая измерения [15]) и требует для каждой модели несколько тестовых транзисторов разной геометрии. Кроме того, технологический

процесс на практике периодически подстраивается для получения максимального выхода годных кристаллов и полученная таким способом информация быстро устаревает.

Поэтому для статистического моделирования используют особые методики экстракции параметров. Упрощение методики возможно благодаря тому, что для статистического моделирования нужны не абсолютные

значения параметров Р, а только их диспер-2

сии аа р .

Существенным требованием к статистическим параметрам является их независимость от типа компактной модели и конкретной конструкции транзистора, а также тесная связь с технологией его изготовления. Такими параметрами являются толщина подзатвор-ного окисла Тох, технологическое отклонение длины AL и ширины АШ канала, концентрация примеси в подложке ШшЪ, напряжение плоских зон Vfb подвижность носителей в канале ц, удельное сопротивление областей истока и стока РА, глубина залегания р-п-пере-ходов LDD-области Ху. Применение таких (технологических) параметров позволяет предсказать изменение выхода годных ИС при изменении параметров техпроцесса, не прибегая к повторной идентификации параметров компактных моделей. Кроме того, технологические параметры слабо коррели-рованы, что позволяет отказаться от применения метода главных компонентов. Для сокращения трудоемкости статистического анализа часто используют не более 3-4 технологических параметров, оказывающих наибольшее влияние на характеристики транзистора, считая остальные параметры фиксированными.

Однако измерение разброса даже небольшого числа технологических параметров является достаточно трудоемким делом. В то же время в процессе производства всегда выполняется контроль состояния техпроцесса с помощью так называемых электрических тестов, которые являются рутинной и регулярно выполняемой процедурой. К электрическим тестам относится измерение РА, порогового напряжения Vth, тока стока 1д, который часто измеряют в режиме насыщения (1^а) и в под-пороговой области (1^), коэффициента влияния подложки у, крутизны входной характеристики gm, выходного сопротивления яоие Легко поддается измерению также напряжение затвор-исток Vgs при фиксированном токе стока. Поэтому желательно иметь процедуру, связывающую результаты электрических тестов с разбросом параметров компактных моделей. Такой способ получения параметров позволяет избежать трудоемкого этапа идентификации большого числа транзисторов и использовать свежие данные, которые всегда имеются в распоряжении технолога [16].

2.1. Экстракция параметров разброса из результатов электрических тестов

Существуют несколько различных методик экстракции параметров из результатов электрических тестов [17, 15, 18, 19, 20]. Они дают достаточно высокую точность моделирования статистических характеристик при высокой скорости обработки результатов (погрешность около 5% [15]).

Предположим, что мы нашли все параметры модели МОП-транзистора и следующим шагом требуется оценить их разброс при небольших изменениях техпроцесса. Для этого из полного набора параметров модели выделим только те, которые непосредственно зависят от характеристик технологического процесса. К ним относятся Тох, AL, АШ, N ииъ, Vfъ, ц, р^, X. Предположим, что в набор электрических тестов входят измерения величин 1йшР Vth, К Яте ЯоиГ 'Готд^ обозначив ИХ

вект°р°м Е = (4ар ^ Y, gm, Яои^ можно записать, что г-й компонент этого вектора связан с технологическими параметрами функциональной зависимостью Еу = ^(Р), где

Р = ^ А^ АШ ШииЫ ^ № Р* Х) — вектор технологических параметров. Далее, используя разложение функции Еу = ^(Р)в ряд Тейлора и отбрасывая члены выше первой степени, получим соотношение, связывающее малые отклонения электрических и технологических параметров:

п ЭР ■

Д£, = У ^хд/> 1 Др '

1=1 І

(2.1)

где п — длина вектора технологических параметров. Применяя оператор дисперсии к обеим частям этого равенства и учитывая, что технологические параметры имеют пренебрежимо малые коэффициенты корреляции, получим:

Ї=1

ад

л2

ха;

(2.2)

Поскольку разброс параметров а р зависит от площади и положения транзистора на пластине, перед применением описываемой методики мы должны исключить систематический компонент разброса, как это описано в разделе 4.2. Тогда, учитывая зависимость разброса от площади, даваемую законом Пелгрома (4.1), получим:

°і=

I

і=1

дР,

-ХАІ

(2.3)

где А р — коэффициент пропорциональнос-

Ч

ти параметра Рг в законе Пелгрома.

В процессе электрического тестирования наиболее оперативно можно измерять ток стока 1д, который позволяет также идентифицировать максимальное количество технологических параметров. Систему уравнений (2.3) для этого случая можно записать в виде, аналогичном полученному в работе [19]: Здесь о А — дисперсия тока стока 1^, полученная обработкой всех транзисторов с размерами (W1■L })при фиксированных напряжениях на их выводах, остальные дисперсии получены аналогично; ААШ, <А ? , и т. д. — эмпирические коэффициенты из закона Пелгрома для параметров А Ш, Тох и т. д. Если вектор слева от знака равенства в (2.4) содержит переменные, имеющие различные размерности, то нужно использовать их относительные значения.

Производные в выражении (2.4) можно найти, используя компактную модель, на-

Компоненты и технологии, № 8'2003

aI

Jd 1

°I

1d2

dn

ЭА W ) J ЭIdi 2 frT

к ЭА W ) ,э/м J ЦхЩ 31ц Wjb 2 LpWx 4*2 f Эц J

dl<n ЭАL

£2X^2

fro

эдж

3/<гз

fi>

Э^з

Эц

1зХ(Г3 £зХ(Г3 £3X^3

FPi

~Мц 'f ЭАL ) W2

Я* з ЭАL W,

ш

ЭЛГ„

1,хЖ,

dldi 1 dp,* J

L2XW2 , \2 а/<гз dp,ft

£3хЖ3 i3x»3

Ь1^

L2xW2

d,di эJv»,

ЭАЖ J

A,

Э/л

А,хЖ,

Jm.

A,xff,

Э/*Л f aj<fa

ЭА£ J 1 aprt J [ 3iysai

Ж, Lxff, A.XK

X

AL

PsA

(2.4)

пример, В81М3. Важно подчеркнуть, что набор указанных параметров выбран не случайно. Именно эти параметры являются первичными, то есть не выражаются через другие технологические параметры и поэтому слабо коррелируют; остальные параметры компактных моделей либо могут быть выражены через указанные, либо являются эмпирическими (подгоняемыми). Если, например, вместо У^ъ использовать пороговое напряжение УА, то оно будет коррелировать с Т0Х через коэффициент влияния подложки.

Систему (2.4) составляют для множества (обычно нескольких сотен [20]) различных комбинаций геометрий и напряжений на выводах транзистора для разных кристаллов. Полученная система уравнений в общем случае является переопределенной (число уравнений в ней больше числа неизвестных) и плохо обусловленной. Для улучшения обусловленности можно воспользоваться априорными знаниями о физическом смысле решаемой задачи идентификации [20]. Например, известно, что рл имеет большой коэффициент влияния на 1^ только для короткоканальных транзисторов в линейной области при больших У^, поэтому и уравнение для его идентификации в (2.2) надо строить для указанных условий. И наоборот, если попытаться найти рА, используя длинноканальный транзистор при малых У в режиме насыщения, то вся информация о р;к будет потеряна в ошибках измерения вследствие ничтожно малой величины рА в этих условиях эксперимента. Если в качестве наблюдаемой переменной выбрать Ул и пытаться из этих наблюдений найти рА, то эта попытка также не приведет к успеху, поскольку УА вообще не зависит от рА.

На основе описанной идеи построена методика идентификации статистических параметров в работе [18]. В ней из результатов электрических тестов находится разброс 5 параметров (О, Ыск, ЛЬ, Ык, ЛШ). В процессе электрического тестирования измеряются ток стока в режиме насыщения и пороговое напряжение для транзисторов с длинным, узким и коротким каналом. Для обеспечения хорошей обусловленности системы уравнений были использованы следующие физические представления. Предполагалось, что разброс параметров длинноканального транзистора происходит из-за вариации толщины окисла и концентрации примеси в под-

ложке, короткоканального транзистора — вследствие вариации длины канала и вариации в профиле HALO [3], для узкоканального транзистора — вследствие вариации ширины канала. Поэтому параметры tox и Nch идентифицировались по току стока в режиме насыщения и по пороговому напряжению для длинноканального транзистора, AL и Nk — по аналогичным данным для короткоканального транзистора и AW — для узкоканального. Поскольку параметры определяются из нескольких независимых систем уравнений малой размерности, удается избежать решения большой и плохо обусловленной системы уравнений вида (2.4). Однако эта методика дает удовлетворительные результаты только для цифровых ИС [18], когда не требуется очень высокая точность моделирования эффектов разброса.

Системы уравнений вида (2.4) решают относительно крайнего правого вектора методом наименьших квадратов или сингулярной декомпозиции.

Аналогичная методика, но с электрическими тестами, выполненными для параметров Vyho, If и Ion при неизвестном разбросе параметров AL, tox, Nsub, AW использована в работе [21]. Если не выполнять линеаризацию модели, то для решения аналогичной задачи необходимо использовать методы нелинейной оптимизации [15]. В качестве технологических параметров в работе [15] были использованы tox, AW, AL, Vtho.

Варианты различных геометрий приборов и режимов измерений могут быть выбраны с помощью методов теории планирования эксперимента, как в методе поверхности отклика (см. раздел 5.4).

2.2. Типовые значения разброса параметров

Ниже приведены некоторые типовые значения среднеквадратического отклонения параметров транзисторов, взятые из литературных источников для технологии 0,18 мкм и транзистора n-МОП [4, 23]:

Длина канала (мкм) — 0,18±8...15%; Толщина окисла (нм) — 4,50±10%;

Ширина спейсера (нм) — 82,50±15%; Глубина залегания р-п-перехода LDD-области (нм) — 50±5%;

Максимальный уровень легирования LDD-области (см3) — 4-1019±10%;

Легирование канала (см-2) — 5,65-1012±7,5%; Легирование HALO (см-2) — 1,5-1013±10%;

Глубина залегания пика HALO (нм) — 80±10%; Последовательное сопротивление (Ом-мкм) — 400±15%.

2.3. Применение программ физико-технологического моделирования

Зная разброс параметров технологического оборудования, с помощью программы физико-технологического (ФТ) моделирования и метода Монте-Карло можно получить множество вольтамперных характеристик транзисторов, позволяющих выполнить экстракцию статистических параметров компактных моделей [24, 25, 26]. Преимуществом применения программ ФТ-моделирова-ния является возможность параллельной разработки электрической схемы ИС и технологии ее изготовления, что сокращает срок выхода изделия на рынок. Знание оценки выхода годных ИС до разработки техпроцесса позволяет оптимизировать его на ранней стадии и тем самым увеличить выход годных кристаллов.

20,0

4,00

0,80

0,44

0,24

0,22

0,20

короткий большой

- + + 1 1 ч 1

1 1 - * 1 1 1 щ

- \ • 4

- f • 1

- * « Т ■

- малый узкий +

Ю "О 00 О Ю "О о о — CN CN СО N.O

о' о' о' о' о' о' ОСЧ

О

О

I, Цт

Рис. 2.1. Набор размеров тестовых структур для калибровки физико-технологической модели и экстракции параметров компактной модели; крестиками помечены дополнительные размеры, выходящие за границы проектных норм [25]

По поводу применения программ ФТ-мо-делирования распространен скептицизм, основанный на том, что нетрудно найти пример, когда даже коммерческие программы дают результаты, не согласующиеся с экспериментом [24]. Основной причиной несоответствий является отсутствие надежной метрологической базы для измерения двумерного профиля легирующей примеси. Кроме того, постоянное развитие технологии приводит к появлению новых материалов и физических эффектов (например, квантово-механических эффектов при моделировании тонкого подзатворного окисла, эффектов механического напряжения кремния и др.), что требует модернизации программ моделирования. К ограничениям этого метода следует отнести также проблематичность (или чрезмерную трудоемкость) моделирования трехмерных эффектов, без чего невозможно идентифицировать, например, математическую модель эффекта узкого канала.

Одним из самых узких мест в применении ФТ-моделирования является выбор входных параметров моделирующей программы. Применение параметров, полученных из электрофизических измерений, дает очень большие ошибки. Поэтому ФТ-программы мож-

-Q-

Компоненты и технологии, № 8'2003

но использовать только после итерационной подстройки параметров программы по результатам сравнения с экспериментом.

Калибровку модели технологического процесса выполняют по соответствию толщины слоев и профилей легирования реальной структуры и модели. Оптимизации подлежат коэффициенты диффузии легирующей примеси и параметры модели процесса ионной имплантации. Для этого результаты моделирования сравнивают с профилями примеси, полученными из электрофизических экспериментов. Дозу имплантации оценивают по измерению поверхностного сопротивления имплантированных слоев, энергию имплантации получают по напряжению, заданному на имплантационной установке. Набор режимов диффузионной печи может быть использован для определения разброса времени, температуры и потока газа на этапах диффузии и окисления. Измерения толщины слоев используются для определения технологического разброса на этапах окисления, получения поликремния и спэйсера [25, 2].

Программу ФТ-моделирования транзисторных структур калибруют по соответствию вольтамперных характеристик. Для этого используют набор тестовых структур с разной длиной и шириной канала (рис. 2.1), которые могут быть использованы одновременно как для калибровки ФТ-модели, так и для экстракции параметров компактной модели.

В набор тестовых структур включены транзисторы с длиной и шириной канала, которые лежат за пределами топологических норм проектирования (рис. 2.1). Они необходимы для моделирования разброса геометрических размеров, которые в реальных структурах также выходят за границы проектных норм.

Наиболее эффективным методом получения статистической информации с помощью ФТ-моделирования является метод Монте-Карло (выполняют 100-150 актов моделирования для каждой топологии транзистора [25]). Входными параметрами для моделирования являются разбросы параметров технологического оборудования. Для корректного применения паспортных данных оборудования необходимо очень глубоко понимать их смысл и методику измерения; при возможности желательно измерить их заново.

Для экстракции параметров компактных моделей из результатов ФТ-моделирования используют те же средства, что и при экстракции из экспериментальных данных [25]. Для этого вольтамперные характеристики, полученные после ФТ-моделирования, вводят в программу экстракции параметров компактных моделей точно так, как и экспериментальные данные, в соответствии со стратегией экстракции для конкретной модели. После экстракции параметров можно установить соответствие между разбросом параметров техпроцесса и компактной модели.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение толщины окисла, порогового напряжения и тока стока в режиме насыщения, полученные по описанной методике, могут отличаться от экспериментальных данных на 10% [25]. МШ

Литература

1. Kinget P., Steyaert M. Impact of transistor mismatch on the speed-accuracy-power tradeoff of analog CMOS circuits, in Proc. IEEE Custom Integrated Circuits Conf. (CICC). 1996.

2. Денисенко В. Проблемы схемотехнического моделирования КМОП СБИС // Компоненты и технологии. 2002. № 3-4.

3. Денисенко В. Особенности субмикронных МОП-транзисторов // Chip News. 2002. № 7.

4. Andrzej X. L., Antonelly S. M. Holistic yield improvement methodology. Semiconductor fabtech. 8-th Ed. 1998.

5. Zanzal A. Deep Sub-wavelength Reticles — A High Value-add for the Fabless/Foundry Model. FSA Fabless Forum. June 2001.

6. Беляков Ю. Н., Курмаев Ф. А., Баталов Б. В. Методы статистических расчетов микросхем на ЭВМ. М.: Радио и связь. 1985.

7. Tarim T. B. Kuntman H. H., Ismail M. Statistical Design Techniques for Yield Enhancement of Low Voltage CMOS VLSI. Proc. of the IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems. Monterey, California, USA. Vol. 2. May 1998.

8. Gneiting T. An Investigation into the Implementation of Advanced High Performance Integrated Circuits in Deep Submicron Process Generations. Ph.D. Thesis. Department of Electrical Engineering and Electronics Brunel University. June 1997.

9. SPAYN recent development. Silvaco Simulation Standard. Vol. 9. № 10. 1998.

10. Orshansky M., Milor L., Pinhong Ch., Keutzer K., Chenming H. Impact of systematic spatial intra-chip gate length variability on performance of high-speed digital circuits. Computer Aided Design. 2000. ICCAD-2000. IEEE/ACM International Conference.

11. Pelgrom M. J. M, Tuinhout H. P., Vertregt M. Transistor matching in analog CMOS applications. IEEE. IEDM 98.

12. James C. Chen. Mismatch Modeling For

Circuit Simulation: A Key To High

Performance Analog Design. FSA Fabless Forum. December 1999.

13. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Трубин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука. 1985.

14. Comparing Worst-Case Models Generated by SPAYN to Models Derived Using Traditional Methods. Silvaco Simulation Standard. Vol. 8. № 11. Nov. 1995.

15. Lee S.-H., Lee D.-Y., Kwon T.-J., Lee J.-H., Park Y.-K.. Kim B.-S., Kong J.-T. An efficient statistical model using electrical tests for GHz CMOS devices. 5th International Workshop on Statistical Metrology. 2000.

16. McAndrew C. C. Unified Statistical modeling for circuit simulation. Modeling and Simulation Microsistem. Workshop on Compact Modeling. 2002.

17. Chen J., Hu C., Wan C.-P., Bendix P., Kapoor A. E-T Based Statistical Modeling and Compact Statistical Circuit Simulation Methodologies. Proc. of IEDM. 1996.

18. Miyama M., Kamohara S., Okuyama K., Oji Y. Parametric yield enhancement system via

circuit level device optimization using statistical circuit simulation. Symposium on VLSI Circuits. Digest Technical Papers. 2001.

19. Drennan P. G. Device mismatch in BiCMOS technology. Proc. of the Bipolar/BiCMOS Circuits and Technology Meeting. 2002.

20. Drennan P. G., McAndrew C. C. Understanding MOSFET Mismatch for Analog Design. IEEE Journ. of Solid-State Circuits. Vol. 38. No. 3. March 2003.

21. Lim K. Y., Zhou X. Compact model for manufacturing design and fluctuation study. Worksop on Compact Modeling. 5-th Int. Conf on Modeling and Simulation of Microsystem. 22-25 April 2002.

22. Orshansky M., Chen J. C., Chenming H. Direct sampling methodology for statistical analysis of scaled CMOS technologies. IEEE Trans. on Semiconductor Manufacturing. Vol. 12. №. 4. Nov. 1999.

23. Zeitzoff P. M. Modeling the Statistical Variability and Optimal Process Control Requirements for a 0.18 m NMOS Transistor. Quality and Productivity Research Conference. The Thompson Center on the University of Texas campus. Austin, Texas, USA. 23-25 May 2001.

24. Duane M. The role of TCAD in compact modeling. Worksop on Compact Modeling. 5-th Int. Conf on Modeling and Simulation of Microsystem. 22-25 April 2002.

25. Rankin N. S., Ng C., Ee L.S., Boyland F., Quek E., Keung L. Y., Walton A. J., Redford M. Statistical SPICE analysis of a 0,18 m CMOS digital/analog technology during process development. Proc. IEEE 2001 Int. Conf. on Microelectronic Test Structures. Vol. 14. March 2001.

-Q-