МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ТРЕЩИНЫ НА ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (74) / 2021.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 519.6:539.3

©2021. Л.П. Вовк, Е.С. Кисель

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ТРЕЩИНЫ НА ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

Методом конечных элементов решена задача о распределении коэффициента интенсивности напряжений по фронту полуэллиптической продольной трещины, расположенной на внешней поверхности полого цилиндра, внутренняя поверхность которого подвержена давлению. Расчет выполнен в программном комплексе Л^УЯ. Получены зависимости механических характеристик от локализации трещины, в частности, угла ее наклона относительно оси цилиндра и схемы нагружения модели. Предложенный информационно-системный подход позволил получить достаточно точное распределение напряжений в области начального надреза на поверхности цилиндра по фронту трещины и в ее вершинах с учетом эффекта раскрытия, а также вычислить коэффициенты интенсивности напряжений при одноосном растяжении по фронту полуэллиптической краевой продольной трещины. Предложены практические рекомендации относительно геометрических параметров модели и схемы нагружения. Ключевые слова: метод конечных элементов (МКЭ), эллиптическая трещина, коэффициент интенсивности напряжений, фронт трещины, полый цилиндр.

Введение. Для описания поведения объектов, имеющих поверхностные дефекты в зонах конструктивных концентраторов напряжений, необходимо учитывать совокупность таких факторов, как распределение напряжений по толщине элемента, форма дефекта и значение коэффициента интенсивности напряжений (КИН) по контуру поверхностного дефекта. Известно, что КИН позволяет установить взаимосвязь между условиями нагрузки материала в вершине трещины, а также с геометрией и напряженным состоянием тела, содержащего трещину. Распределение КИН по фронту трещин позволяет оценить трещино-стойкость и живучесть модели. В этом случае можно применить силовой критерий разрушения Ирвина, что стало возможно в программном комплексе А^УБ [1].

Вопросам прочности областей с трещинами при нагружениях для трех классических типов трещин посвящено большое количество работ. Чаще всего для описания поведения модели с трещиноподобными дефектами применяют стандартные конечно-элементные комплексы, в которых имеется встроенная функция вычисления КИН. Например, в работе [2] для вычисления КИН по фронту полуэллиптической краевой трещины в трубе используется программно-информационная среда А^УБ. Часто при оценке трещиностойкости деталей исполь-

зуют аппроксимационные выражения для КИН. С ними можно ознакомиться в справочной литературе [3-6], а также в работе [7]. Однако не для всех случаев можно найти готовые решения. Следует отметить, что простым и в то же время обладающим приемлемой точностью методом определения КИН является метод сечений [8].

Анализ литературы показывает малое количество исследований об изменении формы поверхностных трещин, развивающихся в зонах концентраторов напряжений, и о критериях, описывающих эту кинетику. В частности, особенностью усталостных повреждений сварных соединений является существенное замедление скорости распространения развития сквозной трещины в глубину материала при выходе ее вершины из зоны концентрации напряжений [3].

Следует отметить, что в литературных источниках приводятся решения с использованием метода сечений в основном только для сквозных трещин, но в них не рассматривается распределение КИН по фронту трещины и в ее вершинах, которое имеет место для несквозных трещин.

Целью настоящей работы стало получение адекватных результатов компьютерного моделирования развития полуэллиптической краевой продольной трещины, расположенной на внешней поверхности цилиндра, вычисление КИН по ее фронту, исследование влияния на КИН угла наклона фронта трещины относительно оси цилиндра и условий нагружения, а также анализ и обобщение полученных результатов численного исследования. В основе алгоритма лежит метод сечений, реализованный в программном комплексе А^УБ 2019 И1.

1. Постановка задачи и методика эксперимента. Расчёты в механике разрушения - это сложные многоступенчатые прочностные расчёты, которые могут учитывать геометрическую нелинейность, пластичность, температурную нагрузку и нагрузку, приложенную к поверхности трещины.

В качестве объекта исследования рассматривается (рис. 1) полый цилиндр со следующими геометрическими и физико-механическими характеристиками [4]: длина цилиндра 6,е-002 м, больший радиус 3,е-002 м, меньший радиус 2,е-002 м; материал - сталь марки 08пс: модуль упругости 2,03-105 МПа; коэффициент

Рис. 1. 3П-геометрия полого цилиндра

Пуассона 0,3; предел текучести 175 МПа, плотность материала 7850 кг/м3. На-гружение осуществляется путем приложения давления Р=180 Па к внутренней поверхности полого цилиндра.

Задача решается с использованием программного комплекса ANSYS 2019 R1 и возможности автоматического создания полуэллиптической трещины (Semi-Elliptical Crack) в любом месте модели. Для задания трещины достаточно указать её положение и ориентацию. Ориентацию трещины определяет введенная вспомогательная система координат, ориентированная таким образом, что ось Х перпендикулярна фронту трещины. Большая и меньшая полуоси эллипса определяются следующим образом: а = 0,006 м, с = 0,002 м. Фронт трещины в данном расчете моделируется параллельно оси цилиндра, перпендикулярно направлению нагружения модели (рис. 2).

Разбиение геометрической модели конечно-элементной сеткой выполняется модулем Mesh дерева проекта для получения дальнейшего численного решения. Создается трехмерная модель цилиндрического образца с глобальной сеткой элементов и модель области трещины с локальной сеткой тетраэдрических элементов. Размер элементов глобальной сетки составляет 4-5 мм, локальной 0,2 мм. Конечно-элементная разбивка в окрестности трещины показана на рисунке 2. В настройках элемента Semi-Elliptical Crack указывается 6 контуров интегрирования. Следует отметить, что использование здесь регулярной радиальной сетки в объеме, окружающем фронт трещины, обеспечивает высокую точность вычисления энергетических и упругих характеристик в окрестности границы дефекта.

Рис. 2. Конечно-элементная сетка модели полого цилиндра в области трещины

Внешнее воздействие на конструкцию задается следующим образом. Закрепление предполагается на торцевой поверхности цилиндра, расположенной дальше от трещины. В данной задаче рассмотрим поверхностно распределенное давление по внутренней стенке полого цилиндра («Pressure», Applied By «Surface Effect»), величиной 180 Па.

В выводимые результаты включаются: общие перемещения (Total Déformation), эквивалентные напряжения (Equivalent Stress), коэффициент интенсивно-

сти напряжений stress-intensity factors, SIFs (Ki, Kii, Kiii). Моды Ki, Kii, К/ц соответствуют напряжениям, вызывающим раскрытие, поворот и кручение трещины соответственно. Число итераций указывается равным 20 [8].

Основным параметром, описывающим механизм разрушения и режим раскрытия трещины при указанном нагружении для данной модели, является К/. Величина Кц - коэффициента интенсивности напряжений при поперечном сдвиге поверхностей трещины, является вторичной для данной модели, однако может стать определяющей для трещины при возникновении деформации поперечного сдвига (например, несимметричности граничных условий и нагрузок, изменении ориентации трещины относительно оси цилиндра).

2. Анализ численных результатов. Анализ полученных результатов относится к случаю трещины, фронт которой параллелен оси цилиндра. Одним из основных результатов расчета НДС, проводимого с помощью МКЭ в модуле Static Structural, является получение эквивалентных напряжений (Equivalent Stress ) узлов КЭ-модели. Для данной модели максимальное напряжение равное 3,18 МПа наблюдается в вершинах трещины и на линии ее фронта, а минимальное 0,33 МПа на боковой поверхности цилиндра (рис. 3).

Рис. 3. Результаты расчета эквивалентных напряжений

Для построения конечноэлементных моделей конструкции с повреждениями, включая трещину, существуют несколько подходов. Первый заключается в существенном сгущении сетки элементов в вершине трещины, что очень усложняет моделирование сингулярного характера напряжений. Второй подход заключается в использовании специальных элементов, содержащих трещину. Они требуют предварительного знания коэффициентов интенсивности напряжений, которые обычно заранее неизвестны. Кроме того, характер изменения напряжений является заданным и не существует теоретического обоснования сходимости результатов.

Как наиболее корректный для решения данной задачи, в данном исследовании был выбран подход, заключающийся в применении специальных элементов, которые моделируют сингулярность напряжений и деформаций в вершине трещины (сингулярные элементы). Эти элементы отображают особенности НДС в

окрестности вершины трещины [9].

В механике разрушения мерой напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины является КИН. При использовании МКЭ для получения КИН можно применять, по существу, два способа. Один из них является прямым методом, согласно которому величина КИН определяется по полю напряжений или перемещений. Данный метод используется в данном расчете. Подробно он рассмотрен в работе [10]. Во втором методе величина КИН определяется косвенно - через соотношения с другими величинами, такими, как податливость, упругая энергия или ]-интеграл.

В результате вычислений получено значения КИН по контуру поверхностной трещины. На рисунке 4 представлены результаты распределения КИН (К/) по

Рис. 4. Расчет КИН (К1), МПа-м1/2 вдоль контура фронта трещины

линии фронта поверхностной трещины от метки (1) к метке (2). На данном рисунке сплошной линией обозначены контуры недеформированного цилиндра и области трещины. Под влиянием давления, приложенного к внутренней поверхности цилиндра, происходит деформация модели. Область раскрытой трещины оказывается выше своего исходного положения. Ее фронт представляет собой полуэллипс, обозначенный на рисунке метками (1)-(2).

Так, для эллиптической трещины КИН первого рода (К/) достигает максимума в наиболее удаленной по фронту точке, средней точке фронта трещины, а при выходе на поверхность К/ уменьшается. Наибольшее значение К/ - 30,283 МПа-м1/2. Наиболее напряженные элементы располагаются посредине берегов начального надреза; от них начинается распространение трещины. В финальной стадии раскрытия трещины её фронт становится близким к полуэллиптическому (рис. 4), а распределение наибольших главных напряжений -

более равномерным по контуру фронта.

Однако, как показывает практика, достаточно часто в моделях могут образовываться наклонные трещины, которые могу привести к разрушению по наклонным сечениям. Поэтому данный фактор необходимо также учитывать при анализе конструкционной прочности. Возникновение таких трещин как правило связано с главными растягивающими напряжениями, действующими по наклонным площадкам. Решение задачи о трещиностойкости модели по наклонным сечениям, которое было бы приемлемо в инженерной практике, остается актуальным вопросом. Поэтому представляет интерес задача распространения трещины при сложном смешанном нагружении, в котором присутствуют сдвиговые напряжения, вызывающие не только поворот (плоский сдвиг), но и кручение трещины (антиплоский сдвиг). Переход от двумерных задач к трехмерным требует учета только одной дополнительной моды КИН, что, однако, существенно усложняет задачу. В трехмерном случае поверхность трещины описывается не только углом поворота, как в плоском случае, но и углом кручения.

Поэтому в ходе исследований был выполнен численный эксперимент по оценке влияния угла наклона трещины на силовые параметры разрушения. Проведена серия вычислений, где угол наклона фронта трещины относительно оси цилиндра от изменятся от 0° до 90°. Так, на рисунке 5 представлена конечно-элементная сетка модели полого цилиндра, угол наклона фронта трещины составляет 30° с осью цилиндра.

Рис. 5. Конечно-элементная сетка модели полого цилиндра,угол наклона фронта трещины 30°

На рисунке 6 изображено изменение значения К в выбранных точках фронта трещины по 6-му контуру в зависимости от значения угла наклона трещины. Рассматривается точка, соответствующая одной из вершин трещины (точка А),

точка, отстоящая от нее на ] длины линии фронта (точка В) и точка, отстоящая на S длины (точка С). В приведенных точках фронта с ростом угла наклона отмечается рост значений КI. Для точки, определяющей максимальную глуби-

Рис. 6. Изменение значения К1 в выбранных точках фронта трещины по 6-му контуру

ну трещины, наблюдается увеличение значения КI в 30 раз. Данные результаты закономерны, т.к. основным параметром, описывающим механизм разрушения и режим раскрытия трещины при указанном нагружении для данной модели, является коэффициент интенсивности напряжений К.

На рисунке 7 изображено изменение значения Кц в выбранных аналогичным

О

-1

г / ч V

/ \ V

/ ' -/ ^ —* »

/X \

О 15 30 45 60 75 90

Угол наклона фронта, градусы

— ■* —С

Рис. 7. Изменение значения Кц в выбранных точках фронта трещины по 6-му контуру

образом точках фронта трещины по 6-му контуру в зависимости от значения угла наклона трещины. Поскольку коэффициент интенсивности напряжений Кц возникает при поперечном сдвиге поверхностей трещины, его минимальное зна-

чение наблюдается в случае, когда фронт трещины параллелен оси цилиндра, а максимальное - для точки, отстоящей от вершины на 1/4 длины линии фронта и случая, когда угол между фронтом и осью составляет 45°С.

Величина прикладываемой нагрузки оказывает значительное влияние на результаты расчета. Так, на рисунке 8 отображено изменение значения КI в выбранных точках фронта трещины по 6-му контуру при различных значениях прикладываемой нагрузки. Нагружение осуществляется путем приложения давления Р1=180 Па, Р2=400 Па, Р3=600 Па к внутренней поверхности полого цилиндра. Во всех случаях очевиден рост значений К1, причем тем сильнее, чем ближе к центру фронта трещины расположена точка. Для случая, когда угол между фронтом трещины и осью составляет 90°, К1 равен нулю.

Рис. 8. Изменение значения К1 в выбранных точках фронта трещины по 6-му контуру при различных значениях прикладываемой нагрузки

Выводы. Развитие техники создает условия для совершенствования методов расчета и проектирования на заданный ресурс, методов оценки технического состояния и ресурса в условиях эксплуатации конструкций, деталей машин, подвергающихся действию интенсивных переменных нагрузок. Это объясняется, в первую очередь, появлением прикладных компьютерных программ, с помощью

которых можно моделировать достаточно сложные объекты при любых видах нагружения. Метод конечных элементов дает возможность вычисления коэффициента интенсивности напряжений, J-интеграла или раскрытия вершины трещины. Однако для прямого определения этих величин требуется моделирование трещины и весьма детальный анализ локального напряженного состояния в области ее вершины. Это весьма неудобно при проектировании крупных конструкций, так как значительно усложняет и утяжеляет модель зонами мелкой сетки. Поэтому во многих случаях, получив общее напряженное состояние конструкции, рассчитывают критерии механики разрушения, используя известные решения для коэффициента интенсивности напряжений (КИН).

В данной работе с помощью метода конечных элементов в программе ANSYS Workbench реализовано моделирование полуэллиптической трещины в полом толстостенном цилиндре. Задача решена в линейно-упругой постановке без учета пластических деформаций. Анализ напряжений в вершинах трещины и вдоль ее фронта был выполнен в информационном комплексе ANSYS. Зонами локальной концентрации напряжений стали области, прилегающие к вершинам трещины и линия ее фронта. В рамках линейно-упругой механики разрушения исследовано влияние угла наклона фронта трещины относительно оси цилиндра и величины нагружения в толстостенной модели цилиндра на коэффициент интенсивности напряжений Kj, который использовался в качестве критерия для оценки прочности. На основании проведенных расчетов можно сформулировать следующие выводы:

1. С ростом угла наклона фронта трещины относительно оси цилиндра значение Kj уменьшается, на промежутке (15°; 75°) особенно быстро. При достижении значения 0°, т.е. когда фронт трещины параллелен оси цилиндра, Kj = 0.

2. Для данного вида нагружения модели, с ростом значения Р, происходит рост значений Kj, причем, тем стремительней, чем ближе к центру фронта находится исследуемая точка. наибольшее значение КИН Kj наблюдается в точке, определяющей максимальную глубину трещины.

3. Минимальное значение коэффициента интенсивности напряжений Kjj наблюдается в случае, когда фронт трещины параллелен оси цилиндра, а максимальное для точки, отстоящей от вершины на j длины линии фронта и случая, когда угол между фронтом и осью составляет 45°С.

Представляет интерес дальнейшее исследование зависимости КИН от локализации трещины в цилиндре, от геометрических параметров цилиндра.

Результаты работы могут стать основой исследования параметров механики разрушения для сборных сварных конструкций цилиндрических сосудов высокого давления, а также в задачах, где необходим учет упругопластического поведения материала. На основе предложенного метода исследования могут быть выявлены дополнительные факторы, влияющие на рассматриваемые вопросы прочностных расчетов динамического НДС автомобильных деталей. Данную методику целесообразно использовать на стадии проектирования конструкции при применении методов механики разрушения для проверки ее прочности и

долговечности с учетом влияния возможных трещин или трещиноподобных дефектов.

В нелинейных задачах механики разрушения рассматриваются произвольно ориентированные наклонные разветвляющиеся трещины, сочетающие в себе сразу несколько типов деформации и, следовательно, для одной модели иногда невозможно аналитически вывести формулы для расчёта коэффициентов интенсивности, с помощью которых и определяется прочность и предел стойкости конструкции. Поэтому перспективным направлением исследования является изучение влияния на распространение трещины при нагрузке по I типу коэффициента Кц, а также влияние смешанной нагрузки по I и II типам, толщины пластины.

1. ANSYS Help - Справочная система ANSYS. URL: https://www.ansys.com/academic/learning-resources

2. Глушков С.В. Сравнение результатов решения задачи механики разрушения для трубы с несквозной трещиной / С.В. Глушков, Ю.В. Скворцов, С.Н. Перов // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2014. - № 3. - C. 36-49.

3. Механика разрушения и прочность материалов / Справочное пособие под ред. В.В. Па-насюка: В 4 т. - Киев: Наукова думка 1988-1990. - Т.2 Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. - 620 с.

4. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. / Пер. с англ. под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 2. - 1016 с.

5. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения / Ю.Г. Матвиенко. - М.: Физматлит, 2006. - 328 с.

6. Сапунов В.Т. Прочность поврежденных трубопроводов: течь и разрушение трубопроводов с трещинами / В.Т. Сапунов. - М.: Ленанд, 2019. - 187 с.

7. Бочектуева Е.Б. Анализ трещиностойкости прокатных валков стана кварто / Е.Б. Бо-чектуева, В.Е. Рогов // Омский научный вестник. - 2017. - № 6(156). - C. 12-14.

8. Гооге С.Ю. Применение метода плоских сечений для определения коэффициентов интенсивности напряжений / С.Ю. Гооге, И.С. Таболин, Е.И. Ширяев, Л.Б. Шрон // Вестник КузГТУ. - 2012. - № 1. - C. 137-140.

9. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Ни-кишков. - М.: Наука, 1981. - 254 с.

10. Сиратори Т. Вычислительная механика разрушения / Т. Сиратори, Т. Миёси, Х. Мацу-сита. - М.: Изд-во Мир, 1986. - 334 с.

L.P. Vovk , E.S. Kisel

Modeling the propagation of a semi-elliptical longitudinal crack on the outer surface of a hollow cylinder.

The finite element method is used to solve the problem of the distribution of the stress intensity factor along the front of a semi-elliptical longitudinal crack located on the outer surface of a hollow cylinder, the inner surface of which is subjected to pressure. The calculation was performed in the ANSYS software package. The dependencies of the mechanical characteristics on the localization of the crack, in particular, the angle of its inclination relative to the cylinder axis and the loading scheme of the model, are obtained. The proposed information-system approach made it possible to obtain a fairly accurate stress distribution in the area of ??the initial notch on the cylinder surface

along the crack front and at its tips, taking into account the opening effect, and also to calculate the stress intensity factors for uniaxial tension along the front of a semi-elliptical edge longitudinal crack. Practical recommendations are proposed regarding the geometric parameters of the model and the loading scheme.

Keywords: finite element method (FEM), elliptical crack, stress intensity factor, crack front, hollow cylinder.

АДИ ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический универ- Получено 05.04.2021

ситет", Горловка

lv777@list.ru

e.s.kisel@gmail.com