Моделирование расчета скорости автомобиля при свободном движении Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

-\-

УДК 656.021.2

Р.А. Баламирзоев, Н.Г. Фаталиев, А.Я. Алиев

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСЧЕТА СКОРОСТИ АВТОМОБИЛЯ ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ

В статье отмечается, что скорость транспортного средства является основным показателем дорожного движения и качества дорог. В связи с этим предлагаемая модель скорости автомобиля при свободном движении основана на исследовании системы "дорога - автомобиль - водитель". Основываясь на общем методе решения уравнения движения, предлагается расширение границ дифференцирования его для любого режима и ускоренной реализации на ЭВМ.

Ключевые слова. Дорога, движение, скорость, транспортное средство, уравнение, дифференцирование.

Введение. Вопросы повышения транспортно - эксплуатационных качеств дорог являются актуальными в течение многих лет. Последнее вызвано тем, что дорожное строительство весьма капиталоёмкое и возведение объектов на перспективу требует значительных единовременных затрат. Это обуславливает необходимость использования научных подходов к решению задач составной части автоматизированного проектирования -имитационной подсистемы, позволяющей видеть дорогу в действии, прогнозировать комплекс транспортно-эксплуатационных качеств дороги в процессе проектирования по результатам моделирования на ЭВМ движения автомобилей и автомобильных потоков.

Качество принимаемых проектных решений обеспечивается главным образом за счет многовариантного проектирования и целенаправленного поиска оптимального варианта, для выбора которого необходимо иметь комплекс оценочных показателей взаимодействий в системе: «Водитель - автомобиль - дорога - окружающая среда (ВАДС)». Данные оценочные показатели должны адекватно отражать требования к элементам и параметрам дорог и численно реализовываться средствами современной вычислительной техники с высокой точностью.

Одной из основных задач моделирования потока на двухполосных дорогах является задача установления режимов его движения.

Оценка возможности обгона типовыми автомобилями потока требует расчёта пути и времени обгона в различных дорожных условиях, расчёта средней скорости обгоняемых автомобилей. Эти скорости определяются плотностью распределения скорости в автомобильном потоке.

Моделирование свободного движения. Метод основан на исследованиях системы "дорога - автомобиль - водитель", определяющих влияние дорожных условий на выбор водителем режима движения автомобиля и характеристик этого режима. При проектировании дорог скорость служит основной характеристикой, в значительной степени определяющей весь комплекс показателей дорожного движения и транспортно-эксплуатационных качеств дорог. Поэтому для повышения достоверности этих показателей необходимо повысить точность расчёта скорости в различных дорожных условиях.

Общий метод решения уравнения движения для любого режима при широком изменении дорожных условий имеет вид:

dV

— = a + bV + cV2. (1)

dt

Достаточное для практических целей расширение границ дифференциального уравнения (1) может быть обеспечено таким его решением, которое пригодно для любого

режима движения автомобиля, что не очень громоздко и довольно быстро реализуется на ЭВМ.

Простое решение, отвечающее этим требованиям и дающее удовлетворительную точность, может быть получено следующим способом заменой

дУ_ дЯ ду_у дУ дг ~ дг' дЯ ~ дЯ

и

с 2с с

V ~ у ~ V

уравнение (1) приводим к виду

ЫУ 4 Г.ТГ л У

— = А + ВУ ; А = — дЯ 3

Ги 2с ^ Ь +—

У

с у

В=у

3

- а

У

V с

(2)

где У - средняя скорость автомобиля на участке длиной Я, км/ч; а, Ь, с - эмпирические

коэффициенты; 3 - коэффициент учёта вращающихся масс.

Интегрирование уравнения (2) даёт зависимость скорости от пути

А

А }

У=в - в /

-ВЯ

(3)

где У - начальная скорость.

_ „ дУ дЯ дУ дУ

Заменой — =---= У— уравнение (3) приводится к виду

дг дг дЯ дЯ

ЭУ

с

с

аУ + Ь + —

V V у

аУ2 + ЬУ + с V

(4)

Это уравнение не имеет точного решения в явном виде. Решение, отвечающее любой заданной точности, может быть получено разложением гиперболического члена в ряд по степеням У - Ус (здесь Ус - средняя скорость на участке длиной Б), т. е.

с=с-4 (у - Ус)+4 (У - Ус )2 - (У - Ус )3+••••

У У У24 с' Ус' У 44 с'

(5)

1сЮ 1к0 Уклон спуска Установившиеся скорости: 1, 2, 3, 4 Рис. 1 - Схема для установления режима движения на спуске.

с

-\-

После соответствующих преобразований получены уравнения

V = .

" , В Л ^ В

V02 + -В ; (6)

а) а

V =

V- - Ъ*ВТ* *$ -1 о

Формулы (6) и (7) в частном виде совпадают с формулами А.Е. Бельского и И.А. Хавкина для участков с постоянным уклоном. Таким образом, наиболее общим является уравнение (1) с решением в виде (3).

Расчёт начальных скоростей движения при построении эпюр скорости, при расчётах на ЭВМ в различных дорожных условиях показано на рис. 1.

Анализ статистических данных, показал, что эмпирическое распределение (рисунок 2) скорости свободного движения автомобилей не может быть описано любым из простых аналитических распределений с одним или двумя параметрами (нормальное, логарифмически-нормальное, гамма-распределение и т.п.).

Выбор для всего потока аппроксимирующего распределения с тремя или более параметрами не эффективен, т.к. такие параметры как коэффициенты асимметрии и эксцесса не обнаруживают устойчивой корреляции с дорожными параметрами (продольный уклон, ширина проезжей части и т.п.). В то же время распределения скорости свободного движения отдельных автомобилей удовлетворительно описываются достаточно простыми и хорошо известными распределениями: нормальным и гамма-распределением (кривая Пирсона). Их плотность вероятностей имеет вид

-(У-тУ0 )2

1 ^О2

/ (V) =-е " , (8)

а

v0

/ (V) = е ■ (9)

к1

где шуо - среднее значение скорости; а2У0 - дисперсия скорости; X, к - параметры гамма-распределения, связанные с параметрами шУ0 и а2У0 следующими зависимостями:

т т

л=-^2г; к = —±- -1- (ю)

а а

Исследованиями установлено, что общее распределение скорости всех автомобилей хорошо описывается функцией вида

п

/(V) = Е Р/ (V), (11 )

}=1

где Р] - доля ]-й типовой группы в потоке; /(у) - плотность скорости ]-й группы; /(у) -общая плотность скорости.

Существенное влияние на производительность, себестоимость перевозок, количество ДТП оказывает дисперсия (рисунок 3). С ростом дисперсии эти показатели ухудшаются.

Оценка дисперсии скорости, как одного из главных параметров распределения скорости, показала существенное влияние на ее величину скорости параметров дороги. Анализ статистических данных наблюдений скорости позволяет описать их распределение или нормальным законом, или гамма-распределением с некоторым преимуществом нормального закона и использовать эти распределения как исходную информацию для моделирования движения автомобилей в потоке.

0.14 0.12

¡3 0.10

® 0.0

0.06 0.04 0.02

/ \

1 \ Ъ

1 г \

х\ ч \

1 Л \

/ \ \\

и / \ \

130 125

120

115

110

105

Б

% % 100

95

90

100 85

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Скорость, м/сек

Рис.2. Функция плотности скоростей свободного движения автомобилей: 1 - МАЗ; 2 - ЗИЛ; 3 - ГАЗ

4 6 12 Среднее квадратичеекое отклонение, км/час Рис.3. Влияние среднеквадратичного отклонения скорости на её среднее значение, себестоимость перевозок, производительность автомобиля, количество ДТП

Методика составления дифференциальных уравнений с применением процессов Маркова. Основными характеристиками движения потока служат плотность распределения скорости ф(у) отдельных типовых групп - плотность ф](у), отдельных автомобилей - плотность у (у) и вероятность свободного движения Р(у), функцией распределения скорости свободного движения ¥(у). Указанные плотности скорости определяются выбираемой водителем скоростью свободного движения и дорожными условиями. Режимы движения автомобиля в потоке отражаются вероятностью свободного движения этого автомобиля.

Разобьем диапазон изменения скорости свободного движения на п групп с интервалом ¡V - рисунок 4. Наименование группы определим значением скорости в этой группе, т.е. к типу У] отнесем автомобили, которые при свободном движении имеют скорости в пределах У], Уj+¡v. Вероятность того, что автомобиль типа У] движется со скоростью свободного движения, обозначим через р(у ^).

Установлено (рис. 5), что плотность ф(у) с ростом интенсивности: сдвигается к началу координат вследствие снижения средней скорости потока; снижается с одновременным ростом вершины вследствие снижения дисперсии.

Функция распределения скорости всех автомобилей потока равна [1, 2]:

Ф(у) = | (у)^ = 1 - [1 - ^(у)]Р(у).

(12)

Частная плотность ф* (у) и распределение Ф и (у) скорости к-ой группы имеют вид:

фи (у)=/и №М-[1 - Л МРМ;

Ф* (у)=1 -[1 - Л (у)Р(у) . (13)

Вероятность свободного движения Р(у) и Рк(у) составляет

Р(у) = Р* (у) =

( ) 1-Р(у) . *( ) 1-Рк(у)

(14)

Результаты расчета эмпирических вероятностей по формулам (14) подтверждают гипотезу об уменьшении вероятности свободного движения с ростом скорости и интенсивности на двухполосных дорогах.

V

0

V

Скорость

Рис.4.К преобразованию плотности распределения скорости

16 20 Скорость, м/сек

Рис.5. Графические зависимости плотности P(v) автомобиля типа Vj от интенсивности потока (авт/ч) при стационарном режиме на горизонтальном участке.

В эмпирических методах исследования движения потока вероятность Р(V) рассчитывается по формуле (14). В аналитических методах исследования для определения этой вероятности можно использовать как непосредственный расчет вероятностей, так и метод процессов Маркова. Вероятность свободного движения Р(у) служит связующим звеном между характеристиками свободного движения и характеристиками движения автомобилей в потоке [3].

Режимы движения автомобилей в потоке отражаются вероятностью свободного движения этого автомобиля. Движение потока, состоящего из двух скоростных групп, характеризуется системой уравнений

V -

р0 (х + Ах) = р0 (х) + р1 (х)А'0 —1-— Ах + О(Ах)

р1 (х + Ах) = р1 (х) — р1 (х) А'0 —-— Ах + О(Ах).

(15)

После переноса р0(х) и р1(х) в левые части, деления правых и левых частей на Ах и устремления Ах к 0 система (15) превращается в систему дифференциальных уравнений вида

р—( х) = А'

V

0

1

V

0

VI

р1(х)

р1(х) = А'

VI

0

V,

V,

р1(х)

(16)

Решение этой системы не представляет затруднений, но так как автомобильный поток состоит из скоростных групп, число которых гораздо больше двух, то теоретический и практический интерес представляет система дифференциальных уравнений для п скоростных групп, причем п должно быть как угодно большим.

Для трех скоростных групп

р0 (х) = р\ (х)а 10 + р2 (х)а 20 р1 (х) = —р\ (х)а 10 + р2 (х)а 21 р 2( х) = —р 2 (х)( а 20 + а 21).

а

кг

А'

VI, — vr

(17)

(18)

V

V

■ч

Используя метод математической индукции, получаем систему

Po(x) = ^ Pi Сi О i =1

n

Pl( = ^ Pi (ii — Pi( i о

i =2

k —1 n

Pk С= —Pk Сki + ^ Pi Сik i=1 i =k+1

(19)

Pn (= ^^n (

i =0

Решение этой системы дифференциальных уравнений позволяет получить вероятности движения контрольного (исследуемого) автомобиля типа Уп с любой скоростью, т.е. со скоростями у0, VI,... Ук, ... Vn. Такое решение будет наиболее полным, но и громоздким. Для полного решения и вычисления всех характеристик движения потока и отдельного автомобиля (например, автомобиля уп) достаточно узнать вероятность свободного движения р(уа) как функцию скорости уп. Поэтому, заменив громоздкий метод исследования движения автомобилей в потоке моделью, которая основана на методе процессов Маркова, можно получить достаточно простые уравнения для вычисления только величины р(уп) без решения системы (19), состоящей из (п+1) уравнений.

Вывод. Разработан метод составления дифференциальных уравнений движения автотранспортных средств в потоке, обеспечивающий получение адекватных значений характеристик взаимодействия в потоке автомобилей общего назначения.

n

<

n

Библиографический список:

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1987.

2. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.-М.:Наука, 1965.

3. Скрыпников, А.В. Обеспечение безопасности на различных участках автомобильных дорог [Текст] / О.В. Рябова, А.В. Скрыпников // Изв. вузов Северо-Кавказ. регион. техн. науки. - 2004 - прил. № 9. - 5с

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 18, 2010.

-I-

R.A. Balamirzoev, N.G. Fataliev, A.Ya. Aliev

Modelling of speed of the car at free movement

In article it is noticed that speed of a vehicle is the basic indicator of traffic and quality roads. In this connection the offered model of speed of the car at free movement is based on system research "road - the car - the driver". Being based on the general method of the decision differentiation movements, expansion of borders of its differentiation for any mode and the accelerated realization on the computer is offered.

Баламирзоев Абдул Гаджибалаевич (р. 1958) профессор МФ МАДИ (ГТУ), доктор

технических наук (2006). Окончил МГУ (1984).

Область научных интересов - моделирование на автотранспорте;

Автор 80 публикаций.

Фаталиев Навруз Гусейнбекович (р. 1948) профессор МФ МАДИ (ГТУ), доктор технических наук (2003). Окончил Азербайджанский политехнический институт (1972) Область научных интересов - моделирование процессов; автомобилестроение; Автор 120 публикаций.

Алиев Али Ямудинович (р. 1947) доцент МФ МАДИ (ГТУ), кандидат технических наук

(2007). Окончил ГТУ им. Баумана (1973).

Область научных интересов - автомобилестроение;

Автор 18 публикаций