CC BY
28
УДК 519.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-01-00516, и РЦПразвития вычислительных, телекоммуникационных и информационных ресурсов УрО РАН,
проект № РЦП-13-П4)
В.П. Федотов, д.т.н.., главный научный сотрудник, старший научный сотрудник; Л.Ф. Спевак,, к.т.н., доцент, зав. лабораторией; О.А. Нефедова, младший научный сотрудник (Институт машиноведения Уральского отделения РАН, ул. Комсомольская, 34, г. Екатеринбург, 620049, Россия, jedotov@mach.uran.ru, lfs@mcich.uran.ru, nefedova@mcich.uran.ru)
В работе представлен программный комплекс, моделирующий двухмерные процессы упругопластического деформирования в элементах конструкций. В основе модели лежит решение статической задачи упругопластического деформирования. Алгоритм построен на базе модифицированного метода граничных элементов. Решение рассматриваемой нелинейной краевой задачи производится итерационно. На каждой итерации решается неоднородная линейная краевая задача теории упругости. Неоднородность определяется неупругими составляющими деформации и соответствующими напряжениями, вычисленными на предыдущей итерации. Применяемый алгоритм решения линейных задач имеет высокую эффективность благодаря точному вычислению интегралов в методе граничных элементов по полученным авторами аналитическим формулам. В алгоритм заложено распараллеливание вычислений на каждой стадии решения. Предложенный подход обеспечивает высокую скорость и точность вычислений. Разработанный на основе алгоритма программный комплекс позволяет проводить расчет напряженно-деформированного состояния при упругопластической деформации в двухмерных областях любой геометрии, находящихся под статической нагрузкой. Комплекс реализован на суперкомпьютере «Уран» ИММ УрО РАН. Кроме расчетного модуля, он включает в себя графический редактор, предназначенный для построения расчетных областей и ввода параметров и граничных условий задачи. Границы области задаются прямолинейными и круговыми участками, разбиваемыми на граничные элементы. Зона внутренней области, в которой нужно рассчитать напряжения и перемещения, произвольно задается границей, состоящей из прямолинейных и круговых участков. Частота расчетной сетки также задается произвольно, пересчет не требует нового решения задачи. В качестве примера рассмотрена задача упругопластиче-ского деформирования прямоугольной пластины с круговым отверстием. Результаты расчетов показаны на графике.
Ключевые слова: параллельные вычисления, модифицированный метод граничных элементов, аналитическое интегрирование, упругопластические деформации.
ELASTIC-PLASTIC DEFORMATION PROCESSES SIMULATED BY THE MODIFIED BOUNDARY ELEMENT METHOD
Fedotov V.P., Dr. Tech. Sc., chief researcher, senior researcher;
Spevak L.F., Ph.D. Tech. Sc., associate professor, head of laboratory; Nefedova O.A., junior researcher (Institute of Engineering Science of the Ural Branch of the RAS, Komsomolskaya St., 34, Ekaterinburg, 620049, Russian Federation, fedotov@imach.uran.ru, lfs@mach.uran.ru, nefedova@imach.uran.ru)
Abstract. The paper presents a software package simulating two-dimensional processes of elastic-plastic deformation in structural components. The model is based on solving static problem of elasic-plastic deformation. The solution algorithm is based on a modified boundary element method. The solution of the nonlinear boundary value problem under consideration is iterative. The inhomogeneous linear boundary value problem of the theory of plasticity is solved at each iteration. The inho-mogeneity is determined by the non-elastic deformation components and corresponding stresses calculated at the previous iteration. The applied algorithm of solving linear problems is highly efficient due to the accurate computation of integrals with the boundary element method using our analytical formulae. The algorithm involves parallelized computations at each solution stage. The proposed approach provides high-speed and accurate computations. The software package based on the algorithm allows calculating the stress-strain state with elastic-plastic deformation in statically loaded two-dimensional regions of any geometry.
The package is implemented on the "Uran" supercomputer at the Institute of Mathematics and Mechanics, RAS (UB). It comprises not only a calculation module, but also a graphics editor to build computational domain and to input parameter and boundary conditions. The domain boundaries are specified by rectilinear and circular parts divided into boundary elements. The interior domain zone for calculating stresses and displacements is arbitrarily specified by a boundary consisting of rectilinear and circular portions. The computational grid frequency is also specified arbitrarily, and recalculation does not require a new problem solution.
The problem of elastic-plastic deformation of a rectangular plate with a circular orifice is considered as an example. The calculation results are plotted.
Keywords: parallel computations, modified boundary element method, analytical integration, elastic-plastic deformations.
Расчет напряженно-деформированного состояния в элементах конструкций является базой для оценки их надежности и долговечности. Наибольшее значение имеет исследование поведения находящейся под нагрузками среды в случае возможного появления необратимых пластических деформаций. В связи с этим разработка эффективных средств решения статических задач упруго-пластического деформирования является важной и актуальной задачей. Применение модифицированного метода граничных элементов (ММГЭ) для решения как линейных, так и нелинейных задач математической физики показало высокую эффективность разработанного авторами подхода [1]. Создание на его основе алгоритма и высокопроизводительного программного средства для решения двухмерных задач упругопластического деформирования - логичное и естественное распространение подхода на новую область. Основой разрабатываемых граничноэлементных алгоритмов является аналитическое вычисление граничных интегралов по полученным авторами формулам. Кроме этого, в сами алгоритмы заложено распараллеливание вычислений. Решение нелинейной задачи упругопластического деформирования производится итерационно. На каждой итерации решается неоднородная линейная задача теории упругости, при этом неоднородная часть содержит расчетные данные с предыдущего итерационного шага. Таким образом, все преимущества решения МГЭ линейных задач переносятся на случай нелинейной задачи.
Краевая задача упругопластического деформирования
Система уравнений краевой задачи в рамках теории малых упругопластических деформаций для двухмерной области О состоит из уравнений равновесия, записанных в компонентах тензора напряжений о/, соотношений Коши, записанных для компонент тензора деформаций £/, определяющих соотношений, характеризующих свойства материала, и граничных условий:
(1)
, )/2, (2)
о /,/=0
= ("/,у + МЛ г
, 2<у 0
(3)
, Т>1„
и=и на о/ п=/=/ на £/. (4)
Здесь и, - компоненты вектора перемещения; G=E/(2(1+v)) - модуль упругости при сдвиге, Е -модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона; 5/ -символ Кронекера; Т = ^^ ¡2 - интенсивность
касательных напряжений, ц=0у-0ккЬу/3 - компоненты девиатора напряжений; т^ - предел теку-
чести материала на сдвиг; о/(х) - напряжения, соответствующие упругим деформациям; О/0(х) -«начальные» напряжения, соответствующие неупругим деформациям; 5=5^5/ - граница области О; / - компоненты вектора поверхностных напряжений; п, - компоненты вектора внешней нормали к границе; /, ./=1,2, по повторяющемуся индексу производится суммирование; звездочкой отмечены известные функции. В задачу входит определение во внутренних точках области О компонент вектора перемещения, тензора деформаций и тензора напряжений.
Алгоритм решения
В формулировке с начальными напряжениями для любой внутренней точки ^е" справедливо
и ® =
= 1[/у (х)и'ц &х)-и (х)/; х)]ёБ(х) + (5)
+ 1 а1и*,у (^х) ёх) '
"пл
где и/*(4, х) и //*(4, х) - известные функции влияния; Опл - область пластического течения [2, 3].
Граничное интегральное уравнение в этом случае имеет вид
1 и (хо ) =
= \\_fj ( х) иУ( х0,х )- иу ( х) Л* ( хо,х)] ( х )+ (6)
+ | «у (хо>х) ёх)
"ил
где х0 - произвольная граничная точка.
Итерационная процедура, основанная на соотношениях (5) и (6), которая применялась при расчете напряженно-деформированного состояния при неупругой деформации, может быть схематично описана следующим образом.
1. На первой итерации решается задача теории упругости в предположении, что О/0(х)=0.
• Для некоторого разбиения границы £ на граничные элементы уравнение (6) сводится к системе линейных уравнений, решение которой дает неизвестные значения и,(1) и /Г) в граничных точках области О в первом приближении.
• Во внутренних точках области О в соответствии с формулой (5) и уравнением (2) по известным граничным значениям рассчитываются в первом приближении компоненты и/1-1, £/(1). При расчетах используются аналитические формулы интегрирования, полученные ранее с использованием ММГЭ [2]. По формуле (3) вычисляются компоненты тензора напряжений о/(е(1)), соответствующие упругим деформациям.
• Из условия текучести 7=т определяются точки границы £пл пластической зоны Опл области О.
• Внутри пластической зоны Опл рассчитываются начальные напряжения Су0(£(1)) в соответствии с уравнением (3).
2. На к-й итерации решается задача с учетом значений начальных напряжений с,/1(£(к"1)), полученных на предыдущем шаге.
• Из граничного интегрального уравнения (5) определяются неизвестные значения и/к) и в граничных точках области О. Для вычисления интеграла по Опл пластическая область разбивается на конечные элементы. Значения Су°(£(к"1)) предполагаются постоянными на каждом элементе и отнесенными к их серединам, тогда справедливы соотношения
I а1 (в(к_1))(X»х)ЛЦх) =
^пл
= Е -1])1 «к,, ( Хо, X У П( х ) =
т=1 ет
= Е(в(*_1)) I ил (х)(х)•
Здесь Жпл - число конечных элементов ет в области Опл; Бт - граница элемента ет; п - компоненты внешней нормали к границе £т.
• Во внутренних точках области О по извест-
ным граничным значениям рассчитываются u
да „ Vc(k>
(k)
£
°/(£W).
• Из условия текучести T=ts определяются новые точки границы
• Внутри области Опл рассчитываются новые начальные напряжения Gj°(£(k)).
3. Расчет продолжается, пока две последующие итерации u/k-1) и u/k) не станут достаточно близки.
Описание программы
На основе представленного алгоритма была разработана программа для ЭВМ, выполняющая расчет напряженно-деформированного состояния для произвольной двухмерной области, подверженной упругопластическому деформированию. Основная цель создания программы заключалась в том, чтобы с привлечением технологий параллельного вычисления максимально ускорить счет, а использованием в алгоритме ММГЭ повысить точность расчетов. Блок-схема программы представлена на рисунке 1.
Программа имеет простой и удобный в использовании интерфейс. Графический редактор написан на языке программирования Java. С помощью возможностей графического редактора можно построить произвольную плоскую область, аппроксимируя ее границу отрезками прямых или дуг окружности. Для целостного восприятия задачи экран ввода данных состоит из пяти окон. Первое окно - «Модель области» - это система координат для моделирования деформируемой области. Четыре других окна - таблицы для ввода входных
параметров задачи. В левой части экрана расположена таблица «Координаты граничных узлов», она содержит координаты граничных узлов прямолинейных и круговых участков границы. Справа вверху находится таблица «Расчетная область» с координатами узлов внутренней расчетной области. Под ней таблица с физическими параметрами процесса «Физические параметры». Внизу экрана расположена таблица «Граничные условия» с граничными условиями и количеством граничных элементов на каждом участке границы. Данные всех таблиц легко редактируются вручную. Можно перемещать таблицы по экрану, а также изменять их размеры. В левой верхней части экрана ввода размещены основные кнопки для работы с программой. С их помощью можно выполнять следующие действия: изменять масштаб координатной сетки, сохранять в файл геометрическую модель области и параметры задачи, открывать сохраненную ранее модель, очищать экран и таблицы параметров, отправлять задачу на счет, сохранять результаты расчета в файле Ехсе1. Выходные данные включают в себя компоненты вектора перемещения, тензора деформаций, тензора напряжений, а также инварианты тензора напряжений. Все величины рассчитаны для заданных внутренних точек области О. Использование таблицы Ехсе1 позволяет наглядно представить полученные расчетные данные, построить графи-
«Л2
dS <
(^Вывод: расчет закончен^)
Рис. 1. Общая блок-схема программы
ки на их основе, упрощает обработку и анализ результатов.
Расчетная часть программы написана на языке программирования С++ с использованием библиотеки MPI для распараллеливания [4]. Счет осуществлялся на кластере umt («Уран») Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург).
Пример
При использовании программы была решена задача упругопластического деформирования прямоугольной пластины размером l*d c круговым отверстием радиуса a, подверженной растяжению. Предполагалось, что в области пластического течения компоненты девиатора напряжений связаны с компонентами девиатора деформаций зависимостью
2T
sj =— ej
T=q+pr.
(7)
Здесь Г = ^2вуву - интенсивность деформаций
сдвига; е//=г//-гттЪ//3 - компоненты девиатора деформаций, значение параметра q определяется из условия непрерывности соотношений (3) при Гч^. После подстановки (7) соотношения (3) принимают вид
CTj =
1Г о. 2GV
2Ge.. H--e
J 1 - 2v
S.,
mm ij5
T <T
2G8J ^8mm -
-2 (G - P - fIsJ-! 8mmSiJ- ) ' T ""s '
где начальные напряжения вычисляются по фор-
1
е.. —e S..
ij ^ mm ij
муле = 2С - р - ^
В силу симметрии деформируемой области задача была решена для половины пластины при следующих значениях параметров: 1=20 м; ё=10 м; а=1 м; Е=2^10п Н/м2; v=0,28;/=2108 Н/м2; т,=2^108 Н/м2; ^=2 108 Н/м2. После введения физических и геометрических характеристик задачи с помощью разработанного графического редактора экран ввода данных имеет вид, представленный на рисунке 2. Результаты решения по предложенному алгоритму сравнивались с данными, полученными в пакете ANSYS. На рисунке 3 выполнено сравнение графиков, описывающих изменение компоненты тензора напряжений о22 вдоль оси Ох1.
На основании изложенного можно сделать вывод о том, что построенный алгоритм и разработанная программа для расчета характеристик напряженно-деформированного состояния материала при упругопластическом деформировании двухмерной области показали свою эффективность. Использование ММГЭ позволило свести
Рис. 2. Растяжение прямоугольной пластины c отверстием
123456789
Рис. 3. Изменение напряжения а22 вдоль оси Ох1.• --решение ММГЭ;----решение в ЛШУ£
решение задачи в области Q к решению на границе S и получать непрерывные деформации в любой точке рассматриваемой области. В области пластического течения учитывалось влияние пластической деформации на расчетные характеристики материала. Были снижены временные затраты на решение краевой задачи из-за возможности распараллеливания алгоритма.
Литература
1. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Модифицированный метод граничных элементов в задачах механики, теплопроводности и диффузии. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. 164 с.
2. Бенерджи П. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.
3. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.
4. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М.: МГУ, 2004. 71 с.
References
1. Fedotov V.P., Spevak L.F. Modifitsirovanny metod gra-nichnykh elementov v zadachakh mekhaniki, teploprovodnosti i diffuzii [A modified boundary element method in mechanics, trans-calency and diffusion problems]. Ekaterinburg, Ural Branch of RAS Publ., 2009, 164 p.
2. Banerjee P.K., Butterfield R. A boundary element method in engineering science. McGraw-Hill Inc. Publ., 1981, 452 p.
3. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. Boundary element techniques. Springer. Berlin, Heidelberg Publ., 1984, 526 p.
4. Antonov A.S. Parallelnoe programmirovanie s ispolzova-niem tekhnologii MPI [Parallel programming using MPI technology]. Moscow, MSU Publ., 2004, 71 p.
5UU
4UU
iUU
2UU
1UU
