Моделирование процессов развития горения пожарной нагрузки с помощью конечных цепей Маркова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.021

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗВИТИЯ ГОРЕНИЯ ПОЖАРНОЙ НАГРУЗКИ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА А.И. Подрезова, В.А. Ловчиков, Ю.Д. Моторыгин, И.А. Пешков

В статье рассматриваются особенности различных видов классических математических моделей для расчета процесса развития горения. Отмечены их достоинства и недостатки. Показано, что для исследования процесса зажигания можно использовать стохастические или вероятностные методы описания процессов. Приведен пример, иллюстрирующий возможности использования конечных Марковских цепей для анализа процесса возникновения горения

Ключевые слова: моделирование, конечные цепи Маркова, динамика развития пожара

Современная система оценки пожарной опасности включает в себя различные методы стандартных испытаний для определения показателей пожарной опасности [1, 2] и методы исследования динамики горения при полномасштабных испытаниях. В последние годы получило развитие математическое моделирование процессов горения.

Наибольшее применение находят методы стандартных испытаний. Получить полную картину пожарной опасности таким способом не представляется возможным, так как испытания проводятся для определения одного показателя пожарной опасности, при этом используются строго фиксированные значения термических воздействий на материалы. Другие пожароопасные свойства оцениваются уже при иных условиях.

Полномасштабные испытания являются дорогостоящими и трудоемкими. Количество проведенных, на сегодняшний день, натурных испытаний единично. Провести натурные испытания даже основных пожароопасных ситуаций с применением различных видов пожарной нагрузки также не представляется возможным.

Интегральная модель пожара является наиболее простой и позволяет получить информацию, или сделать прогноз о средних значениях параметров состояния среды в помещении для любого момента времени развития пожара. При этом для того, чтобы сопоставлять среднеобъемные характеристики среды их предельным значениям в зоне пожара используются формулы, полученные на основе экспериментальных данных пространственного распределения температур, концентраций продуктов горения, оптической плотности дыма и так далее. Такой подход не всегда корректен, а в ряде случаев, в частно -

Подрезова Анна Игоревна - СПбУ ГПС МЧС России, соискатель, тел. (473) 264-56-86, e-mail: cosaug@mail.ru Ловчиков Владимир Александрович - СПбУ ГПС МЧС России, д-р хим. наук, профессор, тел. (812) 388-86-28 Моторыгин Юрий Дмитриевич - СПбУ ГПС МЧС России, канд. техн. наук, доцент, тел. (812) 388-86-28, e-mail udm@gema-peter.ru

Пешков Игорь Александрович - Главное управление МЧС России по Белгородской области, начальник управления материально-технического обеспечения, канд. техн. наук, тел. (473) 294-03-40 176

сти при неоднородности газовой среды, может давать большую погрешность. Интегральная модель пожара так же не позволяет описывать процессы горения, не достигшие стадии объемного распространения пламени или локальные пожары не получившие развития. Кроме того, в реальных условиях существенное влияние на развитие горения может оказывать состав и распределение пожарной нагрузки, конвективные потоки и особенности конструкций помещения.

Зонная модель позволяет получить информацию о размерах характерных пространственных зон, возникающи при пожаре в помещении и средних параметров состояния среды. В качестве характерных пространственных зон обычно выделяются припотолочная область пространства, область восходящего над очагом горения потока нагретых газов и область не задымленной холодной части пространства в начальный период пожара. При разработке таких моделей приходится делать большое количество допущений и упрощении основанных на начальных предположениях об изменениях границ выбранных зон. Модель позволяет исследовать пожары в помещениях с ярко выраженными границами конвективных потоков и с достаточно четкой однородностью среды, что оказывается часто недостаточным для решения задач обеспечения пожарной безопасности в зданиях и сооружениях.

В полевых моделях вместо одной или нескольких зон пространство разбивается на большое количество незначительных по величине объемов. Для каждого из этих объемов с помощью численных методов решается система уравнений в частных производных выражающих принципы локального сохранения энергетических и массовых характеристик процесса. Однако система уравнений, описывающая изменение во времени указанных параметров газовой среды внутри помещения чрезвычайно громоздка и под множеством цифр теряется сама физика происходящих процессов. Малейшая ошибка на каком-либо шаге вычислений может привести к большим погрешностям в конечном результате. Это не позволяет применять данное модельное описание достаточно широко.

Этим традиционно применяемым в пожарном деле детерминированным методам моделирования, основанным на уравнениях состояния, законах со-

хранения и сложных системах дифференциальных уравнений описывающих теплообмен при пожаре существует альтернативный подход - стохастические или вероятностные методы описания процессов. На сегодня они успешно применяются в самых разнообразных областях науки и техники. Среди них простотой и ясностью физического смысла выделяются модели, основанные на теории конечных цепей Маркова /4, 5, 6/. Конечной цепью Маркова называется процесс, который переходит из состояния в состояние с определенной вероятностью, так называемой вероятностью перехода. Число состояний конечно, а значение переходной вероятности полностью определяется тем, в каком состоянии находится процесс, то есть она является условной. Вероятности перехода образуют стохастическую матрицу Р номер строки которой указывает из какого состояния происходит переход, а номер столбца в какое состояние попадает процесс в результате перехода. Все возможные пути процесса описываются степенями матрицы переходных вероятностей - Рп [4]. Для переходной матрицы Р существует собственный вектор а, такой что

аР = а,

где а = (а1 а2 ап)

Здесь п - число состояний моделируемого процесса. Собственный вектор - строка а содержит такое же количество компонент, как и строка переходных вероятностей в матрице Р, а их физический смысл - среднее время нахождения процесса в состоянии п.

Параметры Марковской модели могут быть определены экспериментально или с помощью каких либо методов оценки переходных вероятностей. Для этого могут применяться экспертные методы или расчеты с помощью традиционных моделей.

В данной работе предлагается одна из возможных экспериментальных методик оценки параметров процесса горения.

Поскольку Марковская цепь событий представляет собой процесс перехода из состояния в состояние, то при ее разработке первой задачей является отождествление модельного состояния с состоянием процесса горения пожарной нагрузки. Так как горение в большой степени зависит от способа распределения горючего материала в пространстве, что по умолчанию предполагается во всех способах оценки пожарной опасности, то в качестве модельного объекта был выбран пустотелый куб. Используя кубы одинакового размера можно имитировать простейшее структурированное распределение горючего в пространстве. С технической точки зрения достоинством кубического модуля является постоянство удельной пожарной нагрузки для любого размера стороны куба. Это позволяет сохранять постоянным значение важного параметра при моделирования процессов горения.

Например, при исследовании простейшего случая - горения двух соприкасающихся модулей, следует различать время горения первого модуля т1 (рис.1.), модуля который поджигается извне, время

горения первого и второго модуля одновременно т2 и время горения только второго модуля т3.

Рис. 1. Временные характеристики процесса горения соприкасающихся модулей

Здесь: т1- время от начала горения модуля №1 до воспламенения модуля №2; т2 -время совместного горения модуля №1 и модуля №2; т3 -время горения модуля №2.

Для такого процесса существует матрица переходных вероятностей Р:

С р р л Р = 11 12

Р Р

V 21 22)

и собственный вектор матрицы а: а=(а1 а2),

такой что:

аР=а.

Здесь а1 вероятность нахождения процесса в первом модуле или состоянии, а2 во втором состоянии.

Для рассматриваемого процесса справедливо:

а \Р 11 + а1 Р12 +а 2Р 21 + а2 Р22 = 1,

1 1

т1 _ т2 _ т2 т3

2 2

Слагаемые а ~ т^ а2 Р22 ~ т3 и поскольку из свойств Марковской цепи известно, что

11

а1 Р12 = а 2Р 21 , то а1 Р12 ~ т2 , а а 2Р 21 ~ т2 .

22

Простые алгебраические преобразования приводят к следующему выражению:

Т +7г2

а!=-------------- ,

Т1 +Т2 + Т3

а для вероятности нахождения процесса во втором модуле справедливо:

а2=

т2 + Т3

Поскольку

а1 Р11 =

Т1 +Т2 + Т3

то

Р11 =

Аналогично для других вероятностей:

1

— т2

Р12 _ "

Т1 + ~Т2

т2 + Г3

Р 22----------

2Т2 +Т3

Следующей задачей является выбор оптимального размера модуля пожарной нагрузки. Для этого необходимо экспериментально исследовать зависимость времени горения от изменения размера куба.

В таблице приведены соответствующие экспериментальные данные, показывающие зависимость от размера ребра модельного куба а времени горения 1. В таблице также приведены данные о массе модельного кубика М, площади его основания 8, массовой скорости выгорания и и удельной массовой скорости выгорания V.

На рис.2 представлены табличные данные зависимости удельной массовой скорости выгорания от размера ребра модельного модуля пожарной нагрузки.

0,00300 п

0,00250

~ 0,00200 ш

| 0,00150 > 0,00100 0,00050 0,00000

I ♦

Ряді

10 15

а см

Рис. 2. Зависимость удельной массовой скорости выгорания от размера ребра модельного модуля

Из рисунка видно, существуют три области:

- для малых размеров характерно резкое падение удельной массовой скорости выгорания,

- для размеров следующей области наблюдаются практически стабильные значения скорости,

- при дальнейшем увеличении размера ребра удельная массовая скорость медленно падает.

Это позволило выбрать в качестве оптимального модельного куба модуль с размером ребра 7,5 см.

Рисунок 3 демонстрирует эксперимент горения двух совмещенных модулей. Два модуля с длиной грани 7,5 см устанавливаются вплотную друг к другу на теплоизоляционную платформу в металлическом вытяжном шкафу. На модуль №1 на высоте две

2

1

2

т

3

0

5

20

25

№ а М г Ь с 8 см. кв. и г/с V г/(с-см. кв)

1 2 0,56 61 4 0,00918 0,00230

2 2 0,55 52 4 0,01058 0,00264

3 2 0,59 71 4 0,00831 0,00208

4 2 0,56 57 4 0,00982 0,00246

5 2 0,54 50 4 0,01080 0,00270

6 4 2,23 109 16 0,02046 0,00128

7 4 2,25 102 16 0,02206 0,00138

8 4 2,22 109 16 0,02037 0,00127

9 4 2,23 104 16 0,02144 0,00134

1 0 6 4,9 100 36 0,04900 0,00136

1 1 6 4,85 100 36 0,04850 0,00135

1 2 6 4,73 98 36 0,04827 0,00134

1 3 6 4,8 90 36 0,05333 0,00148

1 4 9 10,26 102 81 0,10059 0,00124

1 5 9 10,27 103 81 0,09971 0,00123

1 6 9 10,59 110 81 0,09627 0,00119

1 7 9 10,39 97 81 0,10711 0,00132

1 8 1 2 17,76 105 144 0,16914 0,00117

1 9 1 2 17,87 110 144 0,16245 0,00113

2 0 1 2 17,92 107 144 0,16748 0,00116

2 1 1 5 27,92 110 225 0,25382 0,00113

2 2 1 5 27,9 117 225 0,23846 0,00106

2 3 1 5 27,63 125 225 0,22104 0,00098

2 4 1 5 27,85 118 225 0,23602 0,00105

2 5 1 5 27,61 113 225 0,24434 0,00109

2 6 2 0 48,62 165 400 0,29467 0,00074

2 7 2 0 48,52 149 400 0,32564 0,00081

2 8 2 0 48,65 157 400 0,30987 0,00077

2 9 2 0 48,61 162 400 0,30006 0,00075

третьих длины грани с помощью шприца наносится в виде пятна инициатор горения - автомобильное дизельное топливо, объемом 40 мкл. Инициатор горения поджигается при помощи открытого пламени. Наблюдается потемнение верхней грани модуля и последующее его горение. Развитие горения происходит во всех направлениях от места поджога. Через определенное время пламя переходит с модуля №1 на модуль №2, начинается совместное горение обоих модулей (рис.1.). Далее горит только модуль №2.

Прекращение горения отмечается по обрыву языка пламени.

Рис. 3. Горение двух совмещенных модулей

По полученным временам т1, т2, т3 были рассчитаны ориентировочные значения переходных вероятностей. Их усредненные значения приведены ниже

0.65 0.35^

0.43 0.57),

а =(0.56 0.44).

Таким образом в данной работе:

1. Предложены модели развития горения на основе конечных цепей Маркова.

2. Показано, что для этой цели могут быть использованы структурные модули в виде куба.

3. Установлено, что их удельная массовая скорость сложным образом зависит от размера ребра куба.

4. Проведена оценка значений марковских параметров модельного процесса горения пожарной нагрузки составленной из двух соприкасающихся модулей

Литература

1. ГОСТ 12.1.044-89 Пожаровзрывоопасность веществ и материалов. Номенклатура показателей и методы их определения.

2. ГОСТ 12.1.004-91 Пожарная безопасность. Общие требования. М.издательство стандартов 1992.-78с.

3. Кошмаров Ю. А. Прогнозирование опасных факторов пожара в помещении. Учебное пособие - М. Академия ГПС МВД РФ, 2000. -118с.

4. Кемени Д., Снелл Д. Конечные цепи Маркова М. Наука 1970. - 271 с.

5. Баруга-Рид. А.Т Элементы теории Марковских процессов их приложение М. 1969.-568с.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей ее приложению. М. -1984.-528с.

Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы МЧС России Главное управление МЧС России по Белгородской области

MODELLING OF DEVELOPMENTS OF BURNING OF FIRE LOADING BY THE MARKOV CHAINS WITH A FINITE STATE SPACE A.I. Podrezova, Y.D. Motorygin, V.A. L ovchikov, I.A. Pechkov

In article features of various kinds of classical mathematical models for calculation of process of ignition are considered. Their merits and demerits are noted. In work it is shown that for research of process of ignition it is possible to use stochastic or likelihood methods of the description of processes. The example illustrating possibilities of use of final Markov chains for the analysis of process of occurrence of burning is resulted

Key words: environment, research of ignition process, finite Markov chains