CC BY
38
УДК 69
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗРУШЕНИЯ В ЦЕЛЬНОЙ И КЛЕЕНОЙ ДРЕВЕСИНЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
© 2017 Д. В. Авдяков1, А. В. Боев2, Д. С. Жиронкина3
1 канд. техн. наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства
e-mail: avd-77@mail.ru 2магистр кафедры промышленного и гражданского строительства
e-mail: temaboevl993@yandex.ru 3бакалавр кафедры промышленного и гражданского строительства e-mail: zhironkina.dasha@yandex.ru
Курский государственный университет
Статья посвящена моделированию процессов разрушения в цельной и клееной древесине методом конечных элементов. Основной целью данной работы является изучение процесса разрушения клееной и цельной древесины и изучение влияния анизотропии на материал.
Ключевые слова: трещиностойкость клееной древесины, деформирование древесины, клеевой слой, метод конечных элементов.
Основным постулатом анализа методом конечных элементов (МКЭ) является то, что сложные элементы могут быть дискретизированы и представлены сборкой более простых размерных элементов. Это позволяет описать глобальную проблему с помощью системы дифференциальных уравнений, учитывающих требования к межэлементной совместимости и граничным условиям.
МКЭ может использоваться для моделирования большого количества физических процессов, включая проблемы в областях механики сплошных сред, тепломассопереноса и потока жидкости. Концепции, основы и применение МКЭ описаны во многих источниках. Также существуют и другие численные методы, часто используемые в механике твердого тела, например, метод граничных элементов, но на данном этапе они не так хорошо развиты для моделирования разрушения древесины, как МКЭ.
Основным достоинством математического моделирования является то, что с его помощью можно прогнозировать с определенной степенью приближения те или иные процессы, протекающие в твердом теле путем экстраполяции вне диапазона экспериментальных данных (например, при изучении масштабного эффекта). Однако следует понимать: МКЭ и другие методы численного анализа никогда не могут быть полной заменой экспериментальных исследований, они являются лишь их мощным дополнением.
Обычно конечно-элементный анализ применяется для модели линейно-упругой механики разрушения (ЛУМР), в которой предполагается, что трещина распространяется линейно. Однако существуют примеры невыполнения этого требования у реальных материалов, как изотропных [Клевцов 2006; Бастун 2015], так и анизотропных [Аношкин 1999]. Кроме того, необходимо учитывать, что древесина не является на клеточном уровне однородным материалом. Поэтому применение ЛУМР для древесины в отдельных случаях может привести к значительным погрешностям,
поскольку древесина и древесные материалы часто олицетворяют неоднородность, которая может способствовать распространению или остановке роста трещины.
Поскольку древесина является ортотропным материалом, то для описания этого свойства принято шесть плоскостей возможного развития трещины, имеющих двойные буквенные обозначения (см. рис. 1). На практике чаще всего из-за низкого сопротивления древесины нагрузкам, действующим перпендикулярно волокнам, трещины прорастают в направлениях TL и RL (см.: [Barrett 1976; Leicester 1974; Nadeau 1979; Pearson 1974; Pellicane 1980].
Поведение древесины при кратковременном нагружении можно считать линейно-упругим [Parhizgar 1982; Triboulot 1984; Pizio 1991] и в этом случае применима линейно-упругая механика разрушения (ЛУМР). При длительном нагружении в зоне вершины трещины возникают пластические деформации, и в этом случае для расчета необходимо использовать подходы нелинейной механики разрушения (НЛМР) Johns 1982].
в)
Рис. 1. Основные направления распространения трещины в древесине: а - RL, б - TL, в - TR, г - RT, д - LR, е - LT
Рост трещины в древесине как однородном ортотропном материале (см.: [Paris, Sih 1965]) будет происходить при условии
K = Kc, (1)
где К - коэффициент интенсивности напряжений Kc - критический коэффициент.
Значения Kc считаются константами материала и определяются экспериментально.
Численные методы в ЛУМР обычно учитывают перемещения берегов трещины при ее открытии с помощью специальных элементов, моделирующих вершину трещины и/или с помощью энергетических методов. Гибридный конечный элемент, разработанный учеными [Atluri, Kobayashi, Nakagaki 1975], дает очень точные результаты, но сложность его формулировки ограничивает его применение. Специальные элементы с вершиной трещины содержат особенность поля деформаций в соответствии с теоретическими требованиями [Irwin 1957]. J.D. Barrett [1976, 1976а] и R.O. Foschi [1976] для моделирования поля напряжений в вершине трещины (см.: [Paris and Sih 1965], использовали изопараметрический квадратичный четырехугольный элемент. Этот подход был также применен к V-образным вырезам в ортотропных пластинах [Lum, Foschi 1988]. R.S. Barsoum [1976], R.D. Henshell и KG. Shaw [1975] независимо друг от друга продемонстрировали, что сингулярные характеристики в
вершине трещины, характерные для ЛМУР, могут быть вычислены с использованием двумерных (2D) восьмиузловых изопараметрических (Q8) конечных элементов с соседними узлами у вершины трещины, размещенными в ближних областях. Такая же логика применяется для SD-призмы. R.S. Barsoum [1976] показал, что треугольный элемент, образованный сглаживанием одной стороны элемента Q8, привел к гораздо лучшим результатам, чем образованный сглаживанием прямоугольный элемент. Было показано, что элемент, содержащий r -1/2 сингулярность, описывает поле напряжений с достаточной точностью [Saouma, Schwemmer 1984]. Этот элемент содержит жесткие перемещения тела и постоянные деформации и, таким образом, удовлетворяет необходимым условиям сходимости. Использование девятиточечного гауссовского интегрирования для плоских элементов и 27-точечного интегрирования для трехмерных элементов обеспечивает удовлетворительную оценку матрицы жесткости, что позволяет проводить вычисления напряжений в местах, очень близких к вершине трещины и, следовательно, точнее определять значения интенсивности напряжений.
В случае использования треугольных изопараметрических элементов Барсума решение для коэффициентов интенсивности напряжений имеет следующий вид:
(2)
где Li - длина элемента сингулярности (рис. 2)$
А - матрица, является функцией перемещений узлов (в двумерном случае она сводится к 4 uB-uc и 4 vb-vc),
[B]-1- содержит функции параметры поля перемещений, заданные для ортотропного тела [Paris, Sih 1965].
Значения u и v представляют собой узловые смещения в плоскости лицевой ADF
Для определения коэффициентов интенсивности напряжений стандартная программа конечных элементов с квадратичными изопараметрическими элементами может быть модифицирована путем выполнении следующих операций [Boone, Wawrzynek, Ingraffea 1984]:
1. Изменение матрицы жесткости элемента для включения ортотропных констант жесткости.
2. Размещение элементов четырехузлового элемента в вершине трещины.
3. Определение перемещений на поверхности трещины с помощью четырехузловых элементов.
4. Определение коэффициентов интенсивности напряжений по перемещениям.
Достаточная точность вычислений достигается в случае, когда элементы имеют правильную форму и равномерно распределены вокруг вершины трещины. Конечные элементы Барсума были успешно применены в ряде исследований с разрушением древесины, включая испытания на растяжение компактных CT-образцов [Stanzl-Tschegg, Tan и Tschegg 1995; Valentin 1992; Vasic, Smith, Landis 2002]. В этих случаях методика Барсума была успешно использована в качестве основы расчетов параметров ЛУМР (значения K, Kc и Gc).
t-1
13J
Рис. 3. СТ-образец
Скорость высвобождения энергии, значения G, может быть вычислена МКЭ с использованием J-интеграла (J). В условиях ЛУМР G = J. Райс [Rice 1968] предложил использовать J-интеграл как примерный метод, который обходит детальное решение краевых задач трещины. Он доказал, что расчет J не зависит от метода интегрирования, используемого во время анализа, причем метод охватывает область (элементы), окружающие трещины или надрезы. Средняя плотность энергии в J-интегральной формулировке не зависит от конкретного отношения напряжений и деформаций, и поэтому метод можно использовать на микроуровне, включая линейное упрочнение в эластично-пластичных материалах.
Другой вычислительный подход к ЛУМР представляет собой интеграл замыкания трещины [Irwin 1958]. Идея Ирвина состояла в том, что трещина распространяется при выделении небольшого количества энергии Ac, равной работе, требуемой для закрытия трещины до ее начальной длины. Определение интеграла замыкания трещины методом конечных элементов сводится к определению узловых усилий и соответствующих перемещений берегов трещины. Усилия в вершине трещины могут быть получены путем размещения жестких «пружин» в соответствующих узлах.
Другие возможные пути вычисления параметров ЛУМР:
- весовые функции для прямолинейно анизотропных тел [^n 1987];
- комбинирование весовых функций и технологии расширения виртуальной трещины [Sha, Yang 1985];
- метод возмущения энергии в устойчивых к повреждениям конструкциях [Sha, Chen, Yang 1988].
На данный момент ни одна из этих методик не была применена к проблемам разрушения древесины.
Насколько ЛУМР точно описывает процессы, происходящие в деревянных элементах с трещиной, - вопрос, требующий тщательного изучения. Тем не менее, исходя из постулатов механики упругого твердого тела и механики разрушения очевидно, что при соблюдении пропорциональности геометрических размеров конструкции отношение энергии деформации внутри элемента под нагрузкой к энергии, требующейся для раскрытия трещины, увеличивается при увеличении объема элемента. Это означает, что чем больше геометрические размеры деревянных, в том числе и клееных, конструкций, тем меньше влияние неоднородности материала или
наличия зон упрочнения в вершине трещины на значение минимальной нагрузки, требуемой для прорастания трещины [Smith, Vasic 2003]. Таким образом, постулаты ЛУМР с достаточной точностью могут описать поведение крупно-размерных деревянных, в том числе клееных, строительных конструкций.
Библиографический список
О влиянии характера деформационного упрочнения на длину пластической зоны у вершины трещины в трансверсально-изотропном материале / В.Н. Бастун // Доповвд Нащонально! академп наук Украши. 2015. № 11. С. 44-51.
Клевцов Г.В. Закономерности образования пластических зон у вершины трещины при различных видах нагружения и рентгеновская фрактодиагностика разрушения // Вестник Оренбургского ГУ №1 2006. С. 81-88.
Аношкин А. Н. Нелинейная механика процессов деформирования, повреждаемости и разрушения изделий из армированных пластиков : дис. .. д-ра. техн. наук. Пермь: Б. И., 1999, 358 с.
Barrett J.D. Fracture mechanics and the design of wood structures // Philosophical Transaction Royl Society of London, 1976. A.299. Р. 217-226.
Leicester R.H. Fracture strength of wood // Presented at 1st Australian Conf. Eng. Mater., Univ. of New South Wales, Sydney, Australia, 1974. Р. 729-742.
Nadeau J.S. Fracture mechanics: An overview // Proc. 1st Inter. Conf. on Wood Fracture, Banff, Alberta, Forintek Canada Corp., 1979. Р. 175-186.
Pearson R.G. Application of fracture to the study of the tensile strength of structural lumber // Holzforschung. 1974. №28(1). Р. 11-19.
Pellicane P.J. Ultimate tensile strength analysis of wood // Dept. of Forest and Wood Sci, Colorado State Univ., Ft. Collins, Colo, 1980. 357 р.
Parhizgar S., Zachary L.W., Sun C.T. Application of the principles of linear fracture mechanics to the composite materials // Int. J. Fract., 1982. №20. Р. 3-15.
Triboulot P. Validity of fracture mechanics concepts applied to wood by finite element calculations / P. Triboulot, P. Jodin, G. Pluvinage // Wood Sci. and Technol., 1984. №18. Р. 51-58.
Pizio S. Die Anwendung der Bruchmechanic zur Bemessung von Holzbauteilen, untersutcht am durchbrochenen und am ausgeklinkten / Trage Zurich: Baustatik und Stahlbau, ETH Honggerberg, Schweiz, Publikation. 1991. №91-1. Р. 185-201.
Johns K. Duration of load effects in lumber // K. Johns, B. Madsen // Part I: A fracture mechanics approach. Can. J. Civil Eng., 1982. №9(3). Р. 502-514.
Paris P.C., and Sih, G. C. (1965). In "Fracture Toughness Testing and Its Applications," STP 381, pp. 30--76. ASTM, Philadelphia.
Atluri S. N., Kobayashi A. S., and Nakagaki M., A Finite- Element program for fracture mechanics analysis for composite materials ASTM STP 593, American Society for Testing and Materials, 1975. Р. 86-98
Irwin G (1957), Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, Journal of Applied Mechanics 24. Р. 361-364.
Barrett J.D. Effect of crack-front width on fracture toughness of Douglas-fir // Eng. Fract. Mech, 1976. №8(4). Р. 711-717.
Barrett J.D. Fracture mechanics and the design of wood structures // Philosophical Transaction Royl Society of London, 1976. A.299 Р. 217-226.
Foschi R.O. Stress intensity factors in anisotropic plates using singular isoparametric elements / R.O. Foschi, J.D. Barrett // J. Numer. Meth. in Eng., 1976. №10(6). Р. 1281-1287.
Lum C., Foschi O. 1988. Arbitrary V-notches in orthotropic plates // J. of Eng. Mech. 114 (4): Р. 638-655.
Barsoum R.S. One use of isoparametric finite elements in linier fracture mechanics // International journal for numerical methods in engineering, 1976. 10. Р. 25-37.
Henshell,RD and Shaw,K.G. (1975). Crack tip finite elements are unnecessary // Int.J.Num.Meth.Engng. 9. Р. 495-507
Saouma, V.E., and Schwemmer, D., Numerical Evaluation of the Quarter Point Singular Element, International Journal of Numerical Methods in Engineering. Vol. 20. Р. 1629-1641, 1984
Boone T.J., Wawrzynek P.A., Ingraffea A.R Finite Element modellig of fracture propagation in orthotropic materials. Engineering fracture mechanics, 1987. Vol. 26. Р. 185201.
Stanzl-Tschegg, S.E., Tan, D.M. and Tschegg, E.K. (1995). New Splitting Method for Wood Fracture Characterization. Wood Sci. Technol., 29: Р. 31-50.
Hughes M. Determining the Fracture Toughness of Wood. CHEM-C2105: Wood and Wood Products. March 2016.
G. ValentinG. Adjanohoun Applicability of classical isotropic fracture mechanics specimens to wood crack propagation studies // Materials and Structures. January 1992, Volume 25, Issue 1, Р. 3-13
Vasw S, Smith I., Landis E. FRACTURE ZONE CHARACTERIZATIONMICRO-MECHANICAL STUDY // Wood and Fiber Science, 34(1), 2002, Р. 42-56
Yoshihara, Mizuno Mode I Critical Stress Intensity Factor of Medium-Density Fiberboard Obtained by Single-Edge-Notched Bending Test // DRVNA INDUSTRIJA. (2014). 65 (2) Р. 99-104
J. R. Rice, A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks // Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, Р. 379-386 Irwin GR (1958) Fracture // Handbuch der Physik, Vol. VI. Springer, Berlin Heidelberg New York
An D (1987) Weight function theory for rectilinear anisotropic body // Int J Fract 34: Р. 85-109
Sha GT, Yang CT (1985) Weight function calculations for mixed-mode fracture problems with the virtual crack extension technique // Eng Fract Mech 21(6): Р. 1119-1149
Sha GT, Chen JK, Yang CT (1988) Energy perturbation finite element technique for damage tolerant design applications // Eng Fract Mech 29(2): Р. 197-218
Smith I, Vasic S (2003) Fracture behaviour of softwood // Mech Mater 35: Р. 803-815
