Моделирование процессов принятия решений на основе выявления естественного гомоморфизма нечетких отношений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

11. [Lee-98] W. Lee, S. J. Stolfo, and K. W. Mok. Mining audit data to build intrusion detection model // Proceedings of the 4th International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining, New York, NY, August 1998. AAAI Press. - 1998.

12. [Lee-99] W. Lee and S. J. Stolfo, K.Mok. A Data mining Framework for Building Intrusion Detection Model // Proceedings of the IEEE Symposium on Security and Privacy, 1999. IEEE Computer Press. - 1999.

13. [Liu-Setiono-98]. H.Liu, R.Setiono. Scalable Feature selection for Large Sized Databases // Proceedings of World Congress on Expert Systems (Eds. F.Cantu, R.Soto, J.Liebowitz, and E. Sucar) v.2, Cognizant Communication Corporation, Mexico-New-York. - 1998. - C. 521-528.

14. [Matheus et al-93]. C.J.Matheus, P.Chan, and G.Piatetsky-Shapiro. Systems for Knowledge Discovery // IEEE Trans. On Knowledge and Data Engineering. - 1993. -5, № 6. - C. 903-913.

15. [Michalsky-83]. R.S.Michalsky. A Theory and Methodology of Inductive Learning // Artificial Intelligence, 20, Vol. 2. - 1983. - C. 111-161.

16. [Michalsky-90]. R.S.Michalsky. Learning Flexible Concepts: Fundamental Ideas and Methodology // Machine Learning: An Artificial Intelligence Approach. v.III. (Eds. Y.Kondratoff and R.S.Michalsky), Morgan Kaufmann Publishers. - 1990.

17. [Quinlan-83]. J.R.Quinlan. Inductive Inference as a Tool for the Construction of High- Performance Programs // In Machine Learning: An Artificial Intelligence Approach. (ed. R.S. Michalsky, J.G.Carbonell, T.M.Mtchell),-Palo Alto, Tioga Publishing Company. - 1983.

18. [Ouinlan-93] J.R.Quinlan. C4.5:program for machine learning // Morgan Kaufman, San Mateo, CA. - 1993.

19. [Skormin-97] V. Skormin, L. Popyack. Reliability of Avionics and "History of Abuse". A Prognostic Technique // In Proceedings ofICI&C '97, St. Petersburg. - 1997. - C. Lxxvi-lxxxii.

20. [Skormin-99] V.A. Skormin, V.I. Gorodetski, L.J. Popyack. Data Mining Technology for Failure Prognostics of Avionics // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 1999.

УДК 007:681.518.2

Л.С. Берштейн, А.Н. Целых

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ВЫЯВЛЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО ГОМОМОРФИЗМА НЕЧЕТКИХ

ОТНОШЕНИЙ

Принятие решений в условиях неопределенности, характеризующихся неполнотой и нечеткостью исходной информации, включает в себя решение задач поиска, рас, , . С информационной точки зрения принятие решений представляет собой последовательный процесс уменьшения неопределенности исходной информации, в основе которого лежит структурирование. Процедура структурирования позволяет получить в

явном виде математическую модель задачи принятия решений, т.е. логически упорядо-

, , -

ния поставленной задачи.

Методы построения моделей принятия решений определяются характером ре.

постановки конкретной задачи, причем для одной и той же задачи принятия решений,

как правило, можно использовать различные типы моделей [1].

, -

ний, ориентированных на решение задач экологического мониторинга, являются:

а) необходимость совместного анализа и обработки субъективных оценок, получаемых от экспертов в количественной или качественной форме и объектив-

ных значении параметров, полученных в результате проведения расчетов с использованием имитационных численных моделей;

б) необходимость привязки получаемых оценок и характеристик к географическим координатам, т.е. их отображения на числовую координатную систему.

С учетом указанных особенностей предметной области предлагается подход, основанный на формировании в процессе поиска решений гомоморфных отображений основных признаков и характеристик исследуемой предметной области на числовую систему с сохранением основных закономерностей и концептуальных отношений между ними.

Использование нечетких гомоморфных отображений позволяет оценивать совместно объективные и субъективные значения характеристик, формировать клас-,

решения на заданном множестве признаков.

Пусть имеется нечеткое отображение Г=(Х,У,¥} множества X в некоторое множество У, обозначаемое также Г: Х—У . На области отправления X отображения Г, в свою очередь, могут быть заданы нечеткие бинарные или многоарные , . Рассмотрим нечеткое отображение Г при ус ловии, что на м ножестве X зада но нечеткое отношение Я=(Х,Р}, а на множестве У - нечеткое отношение Б=(У^).

Отображение Г: Я— Б будем называть гомоморфным отображением или гомоморфизмом между нечеткими отношениями Я и Б, если для всех х,еХ, 1е1={1,2,...,1} выполняется

Г(Я (х)} ~Б(Г(х,}} (1)

где Г(х)еУ={< ЦГ (ук}, ук>}, кеК={1,2,...,ш} - множество нечетких образов

Г (х1}

элементов хеХ при отображении Г, а знак ~ является нечетким равенством отно-.

, -

новные свойства сохраняются и над нечеткими гомоморфными образами этих от,

перехода от одного отношения к другому будет являться нечетким гомоморфиз-

. Г,

отношений будет нечетким мономорфизмом, нечетким эпиморфизмом или нечет.

Нечеткое отношение Б будем называть отношением, индуцированным гомо-

Г Я Г.

Очевидно, что для нечетких отношений Я и Б при гомоморфном отображении Гдолжно выполняться соотношение [2]

х,- Я х ^Г(х) Б Г(х), (2)

где знак ^ является операцией не четкой эквивалентности, хеХ и х^еХ, Г(х} еУ и Г(х)еУ.

Нечеткий образ Г(х)=ук вершины х] еХ будем определять в виде

Г(х)={<^г(х)(ук}, ук>}, (3)

где ¡¿Г(х.} (Ук}= х"еХ ( Их(х)&№<х, ,ук>}.

Нечеткий образ Г(<х, х1>) ребра <х, х> отношения Я при отображении Гоп-ределяется из выражения

Г(<х, х>)= {< ¡ЛГ(%1 <Ук, У'>, <Ук, У>>>}, (4)

где /Г(х.х.}<Ук,У'> = и (и<х, х>&и<х,ук>&^р<х,у,>).

'' 1 <уь у, >еГ(х1)хГ(х])

Нечеткий образ петли можно определить, как

Г(<х, х,>)= {< Лг(х1 ,Х1) <Ук, Ук>, <Ук Ук>>}, (5)

где /ЛГ(х. <Ук, Ук>= и (лр<х, х>&/р<хи ук >).

" ' <Ук, Ук >^(х,)

Нечеткий прообраз Г'(<Ук, у,>) ребра <Ук, у> отношения при отображении Г определяется как

Г'(<Ук У,>) = {< ЛГ-(У1,У1) <х х1>, <х х1>>}, (6)

где Лг-1(ук у) <х, х> = и (Л<Ук, У'>&и<хц, ук>&Цр<х], у,>).

Г (Я) Я -

ет собой объединение нечетких образов всех ребер и петель графика Р нечеткого

Я , ,

Г(Я)= и Г(<х, х>) (7)

<х1, х] >еР

Рассмотрим некоторые свойства нечетких отношений, индуцированных нечеткими гомоморфизмами. Для этого приведем следующие определения [3]. Отношение Я=(Х,Р) является нечетко рефлексивным, если

а(Я)ге/= & лР<х',х'> >0,5 . (8)

Отношение Я=Х,Р) является нечетко симметричным, если

а(Я)&уш

& (Лр<хьх1^Лр<х,х>) >0,5 . (9)

х'х 1 <=Х х' *х]

Отношение Я=Х,Ю является нечетко транзитивным, если а(Я)г= & (( V (иР<хьх]>& /Лр<х],хк>)) —^ лр<хьхк>) >0,5. (10)

х' ,х1 ,хк еХ х1

х' *х 1 ,х 1 *хк ,х' *хк

Я ,

П(Я)=а(Я)ге/ & а(Я)ут & а(Я)> 0,5. (11)

Я ,

у(Я)=аЯ)г4&аЯ)ут >0,5. (12)

Отношение Я - нечеткий квазипорядок, если

к(Я)= а(Я)ге/&а(Я)> 0,5. (13)

Лемма 1. Если Г : Я— 5 является эпиморфизмом нечетких отношений Я=(Х,Р) и 8=(У&), то отношение 5 нечетко рефлексивно тогда и только тогда, коЯ.

Лемма 2. Если Г: Я— Б - эпиморфизм нечетких отношений Я=(Х,Р) и Б=(У^), то отношение Б нечетко симметрично тогда и только тогда, когда не-

Я.

Лемма 3. Если Г: Я— Б - эпиморфизм нечетких отношений Я=(Х,Р) и Б=(У,0), то отношение Б нечетко транзитивно тогда и только тогда, когда не-

Я.

Теорема 1. Если отображение Г: Я—Б является эпиморфизмом нечетких отношений Я=(Х,Р) и Б=(У^), то отношение Б является нечеткой эквивалентностью (нечеткой толерантностью, нечетким квазипорядком) тогда и только тогда, когда Я - соответственно нечеткая эквивалентность (нечеткая толерантность, нечеткий квазипорядок).

Доказательство. Справедливость теоремы следует из лемм 1-3 и выражений 11-13.

Теорема 1 позволяет предложить метод нахождения нечетких гомоморфных образов для различных типов нечетких отношений, а также устанавливать факт существования нечеткого гомоморфизма на отношениях, т.е. сохранения основных свойств нечетких отношений при гомоморфном отображении.

Метод выявления гомоморфизма нечетких отношений на основе построения их нечетких гомоморфных образов можно записать в виде следующего .

1.

1. Используя формулы (8)-(13), определить тип исходного отношения Я=(Х,Р).

2. Найти нечеткие образы всех ребер и петель графа Я при нечет ком отображении Г, пользуясь выражениями (4), (5) и нечеткий образ отношения Я с помощью выраженния (7).

3. Проверить сохранение свойств отношения Я=(Х,Р) при переходе к гомоморфному образу Б=(У^). Для этого необходимо определить тип нечеткого отношения Б и убе диться, что он совпадает с типом исходного отноше-

Я.

Пример 1. Рассмотрим нечеткое сюръективное отображение Г, заданное на нечетких множествах X и У , показанное на рис.1.

Х1 Х2 Х3 Х4 Х5

У1 У2 Уз У4

Рис.1 Нечеткое сюръективное отображение r=(X,Y,F). Пусть на множестве X отображения Г задано не четкое отношение эквивалентности R=(X,P), нечеткий граф кото poro показан на рис.2.

0.7 .Х2.

отношения эквивалентности Я=(Х,Р)

Необходимо построить нечеткий гомоморфный образ Б=Г(Я) и установить является ли отображение Г нечетким эпиморфизмом. Для этого необходимо и достаточно показать сохранение свойств отношения Я=(Х,Р) при переходе к его гомоморфному образу Б=(У^).

Вначале на основании выражений (4) и (5) найдем нечеткие образы всех ребер графа Я при нечетком отображении Г в виде Г(<х1, Х1>)={(0,7&0,8,<у1, У1>))=((0,7,<У1. У1>)}; Г(<Х2,Х2>)={(0,8&0,2,<У1У1>), (0,8&0,3,<у2у2>), (0,8&0,9,<у3: Уз>)}=((0,2,<у1,у1>), (0,3,<у2, У2>), (0,8,<у3шу3>)}; Г(<Х3, Х3>)=((0,8&0,7,<у2, у2>), (0,8&0,4,<у4у4>)}={(0,7,<у2, у2>),

(0,4,<у4 у4>)}; Х 2

Г(<Х4, Х4>)=((1&0,1,<у1 у>), (1&0,9,<у4, у4>)}={(0,1, <У1, у>), (0,9, <у4, У4>)};

Г(<Х5, х5>)={(0,9 &0,7, <у3, У3>)}={(0, 7, <У3, у3>)};

Г(<Х1,Х3>)={(0,7&0,8&0,7,<у1 У2>), (0,7&0,8&0,4,<у1, у4>)} =

{(0,7,<у1, у2>), (0,4,<у1, у4>)}; Г(<Х2,Х3>)={(0,4&0,2&0,7,<у1у2>),(0, 4&0,2&0,4,<у1у4>),

(0,4&0,3& 0,7, <у2, у2>), (0,4&0,3&0,4 ,<уг у4>), (0,4&0,9&0,7 ,<у3,' у2>),

(0,4&0,9&0,4 ,<у3,У4>)}={(0,2,<у1,у>), (0,2 ,<у,у>), (0,3 ,<у2,у2>), (0,3 ,<у2, У4>), (0,4 ,<у3, у2>), (0,4 ,<у3, у>)}; Г(<Х2,Х5>)={(0,8&0,2&0,7,<у1у3>),(0,8&0,3&0,7,<у2у3>), (0,8&0,9& 0,7,<у3, у3>)}={(0,2,<у1, у3>), (0,3,<у2, у3>), (0,7,<у3, у3>)}; Г(<Х3,Х1>)={(0,9&0,8&0,7,<у2у1>), (0,9&0,8&0,4,<у4у1>)}= ={(0,7, <у2, у1>), (0,4,<у4,у1>)};

Г(<Х3,Х4>)={(0,2&0,7&0,1,<у2у1>),(0,2&0,7&0,9,<у2у4>), (0,2&0,4& 0,1<у4 у1>), (0,2&0,4&0,9, <у4, у4>)}={(0,1, <у2, у1>), (0,2, <У2, у4>), (0,1, <У4,у{>), (0,2, <У4, у4>)}; Г(<Х5, Х1>) ={(0,2&0,7&0,8,<у3,у1>)}={(0,2,<у3,у1>)}; Г(<Х5,Х2>)={(0,6&0,7&0,2,<у3у1>),(0,6&0,7&0,3,<у3у2>), (0,6&0,7& 0,9, <у3, у3 >)}={(0,2, <у3, у1>), (0,3,<у3, у2>), (0,6, <у3, у3>)}; Г(<Х5,Х3>)={(0,3&0,7&0,7,<у3г у2>), (0,3&0,7&0,4,<у3, у4>)}= ={(0,3, <у3, у2>), (0,3,<у3,У4>)}.

, (7),

Q нечеткого образа Б=(У, Q) отношения Я,который имеет вид Я={(0,7,<у1_у1>, (0,7,<у2, У2>), (0,8,<у3, У3>), (0,9,<у4у4>), (0,7,<у1, у2>), (0,2,<у1, у3>), (0,4,<у1, у>), (0,7,<у2ш у>), (0,3,<у2_ У3>), (0,3, <У2, У4>), (0,2,<У3, У1>), (0,4,<У3, у>), (0,4 ,<у3_ у>),

(0,4,<у4 У1>)}.

Граф нечеткого отношения 5, являющегося нечетким образом отношения Я при нечетком отображении Г показан на рис. 3.

Для установления факта, что нечеткое сюръективное отображение Г является нечетким эпиморфизмом, необходимо и достаточно проверить сохранение свойств отношения Я=(Х,Р) при переходе к гомоморфному образу 5=(Уа), а

именно, убедиться, что отношение 5=(У,0) является нечетким отношением .

Вычислим степень рефлексивности отношения 5=(Та) по формуле

0,7

Рис.3. Граф нечеткого образа 8=(У,Я).

а(8)геГ & Лд<Уг,Уг> =

У'£Г

=0,7&0,7&0,8&0,9 = 0,7. Степень симметричности отношения 5=(У,Я) вычисляется как

а( 5)иут =

-- & (и а <Уг,У1> — ий <Ур

У'.У^У У' * У1

У>) =

=(0,7—0,7) & (0,2—0,2) & (0,4—0,4) & (0,3—0,4) =0,7 &0,8 &0,6 &0,7 = 0,6 . Степень транзитивности отношения Я=(У,а) будет равна а( 5)

& „ ((V (и а <у„ У1>& и а <У1, Ук>))— иа <у„ Ук>)

угу1'ук(=' У1

У'* УуУ'* Ук,У1 * Ук

=(0,7&0,3 —0,2)&((0,7&0,3 у0,2&0,4) —0,4)&((0,3&0,4у0,7&0,4)— 0,3)& &((0,3&0,4у0,3&0,4)—0,7) &(0,2&0,4—0,7) &((0,4&0,7у0,4&0,4)—0,2)& &((0,4&0,зу0,2&0,4)—0,4) &(0,2&0,7—0,4) &(0,7&0,2—0,3) = =0,7&0,7&0,6&0,7&0,8&0,6&0,7&0,8&0,8 = 0,6. Для степени эквивалентности отношения 8=(У,0) получим П(5)=а(8)гг}&а(5)ут&а(5)г = 0,7 &0,6 &0,6 = 0,6 .

Поскольку п(5) > 0,5 , то отношение 5 является нечеткой эквивалентностью. Следовательно, исходное нечеткое отображение Г является нечетким .

Теорема 2. Для всякого нечеткого сюрьективного отображения Г:Х—У существует такое нечеткое отношение Я=(Х,Р) на области отправления Х, что Я является нечеткой эквивалентностью, а область прибытия У отображения Г

- Х Я .

Теорема 2 позволяет предложить метод выявления нечетких эквивалент-ностей и формирования классов нечеткой эквивалентности на эпиморфных отображениях, который можно записать в виде следующего алгоритма. 2.

1. Для каждого укеУ найти нечеткие прообразы при отображении Г в виде Г-(ук)={< иГ-1(Ук) (Хп), Хп >}, где иГ-1(У ) (хп)= №<*„ ,у>).

2. Просматривая полученные нечеткие прообразы Г1(ук) найти в каждом из них элементы х, такие что иг~-(у ) (хг) -0,5 .

3. Для каждого элемента Х' из нечеткого множества Г1(ук), найденного в п. 2, записать значения его нечеткого образа в нечетком отношении Я=(Х,Р) в виде

Я (хг)={< иЩх,) (Хп), хп >}, где иЯ(х)(хп)= иГ-'(Ук)(хп), хп£Х, п=1,2,...,р.

4. Сформировать график Р нечеткого отношения Я=(Х,Р), включив в него следующие значения

Р = {< иР <х хп >, <х хп >>}, где иР <х,х„> = иЯ(х1) (хп).

Исследование свойств нечетких гомоморфных отображений и методов выявления естественного гомоморфизма нечетких отношений позволяют представить процесс принятия решений в виде последовательности формальных процедур, включающих:

1. -

,

концептуальных отношений между ними.

2.

представления в виде лингвистических переменных и нечетких множеств.

3. -ных оценок и отношений на числовую систему, позволяющих подвергать качественные суждения строгому количественному анализу с использованием формального математического аппарата.

4.

формирование классов нечеткого разбиения.

5. Выбор оптимальных решений на основе ранжирования сформированных классов нечеткой эквивалентности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. - Ростов-на-Дону: изд-во Ростовского университета, 1999. - 296с.

2. Мелихов А.Н., Мелихова OA. О логическом выводе в интеллектуальных системах на основе нечеткой логики // Изв. РАН, Техническая кибернетика. - 1995. - Вып. 5.

3. Мел ихов AM., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

УДК 681.324

А.В. Аграновский, MA. Болотин, А.А. Букатов

ОРГАНИЗАЦИЯ СЕТЕВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ МНОГОАГЕНТНЫХ СИСТЕМ

Потребность в распределенных вычислениях обусловлена тем, что данные, хранимые в одном месте, могут обрабатываться в нескольких других мес-. -

.

каждое из мест обработки по компьютерной сети. Этот подход реализован с сетевых файловых системах типа Sun NFS, Novell Netware, Microsoft Network и пр. Для этого подхода характерна большая нагрузка на сеть, связанная с необходимостью пересылки больших объемов данных. Следует, однако, отметить, что при реализации сетевых файловых систем фактически используется более сложный механизм работы с удаленными данными, основанный на удаленном вызове процедур (RPC - remote procedure call), обеспечивающий удаленное выполнение процедур на компьютере, на

котором хранятся данные с передачей по сети лишь входных и выходных параметров

.

вычислительным ресурсам (производительный процессор и большой объем опера, , .).

Следующим этапом в развитии распределенных вычислений стало создание

клиент-серверной модели вычислений. В данной модели один из компьютеров, назы-, ( ) -

ботчиком запросов на выполнение специфичных для данного сервера процедур доступа к ресурсам. Запросы на обработку могут поступать от одного или нескольких

, . -

хода являются клиент-серверные СУБД. В отличии от сетевых файловых систем кроме простейших функций полной передачи файлов клиенту сервер может выполнять достаточно сложные функции по поиску необходимых данных без пересылки используемых при поиске файлов на клиентские компьютеры. Объем результатов поиска может быть на порядки меньше объема указанных файлов, и это существенно