CC BY
57
УДК 518.5.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАССОПЕРЕНОСА В НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОДИФФУЗИИ
© 2009 г. А.Г. Захаров, Ю.Б. Какурин, Н.А. Филипенко
Технологический институт Южного федерального университета, 347928, Ростовская область, г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, physics@egf.tsure.ru
Technological Institute of the Southern Federal University, 347928, Rostov region, Taganrog, GSP-17A, Nekrasov Lane, 44, physics@egf.tsure.ru
Представлены результаты моделирования процесса массопереноса в неоднородных металлических пленках с учетом электродиффузии. Получены зависимости распределения массы в тонких пленках алюминия от различных электродиффузионных параметров. Результаты исследований могут представлять интерес на этапе прогнозирования надежности функционирования элементов твердотельной электроники.
Ключевые слова: диффузия, электродиффузия, массоперенос, металлические пленки, алюминий, дефекты, неоднородность, надежность.
In this work results of modeling of the mass—transfer process in lumpy metallic film in view of electrodiffusion are presented. Dependencies of the sharing the mass in thin film aluminum from different electrodiffusion parameter are received. The results of the researches can be of interest in step of forecastings of reliability of the operation hard-body element of the electronics.
Keywords: diffusion, electrodiffusion, mass-transfer, metallic film, aluminum, defects, lumpy, reliability.
Одним из источников отказов элементов твердотельной электроники, сформированных на основе на-норазмерных гетероструктур, могут быть процессы неконтролируемого массопереноса в тонких пленках металла. Уменьшение размеров элементов может обусловливать увеличение значений плотностей токов в соединительных металлических проводниках и, следовательно, увеличение вероятности их отказов.
В тонкопленочных металлических проводниках массоперенос, стимулированный электродиффузией, может наблюдаться при более низких температурах по сравнению с массивными металлическими образцами, поскольку этот процесс во многом определяется наличием в тонких пленках границ зерен и дислокаций.
Известно [1, 2], что электродиффузия в тонких пленках может приводить к следующим эффектам: нарушению сплошности проводника вследствие образования пустот; локальному накоплению материала проводника в виде «бугорков» и «усов», которые приводят к замыканиям между проводящими слоями; образованию силицидов на границе раздела металл-кремний, а также образованию поликристаллической структуры кремния.
Перечисленные эффекты могут обусловливать деградацию электрофизических свойств элементов твердотельной электроники при протекании электрического тока большой плотности ( / ~ {о5 -10б^/см2) [1] и как следствие их постепенный отказ.
Таким образом, целью настоящей работы является моделирование процесса массопереноса в неоднородных твердых телах с учетом электродиффузии и теоретическая оценка влияния электродиффузионных параметров на процессы перераспределения массы в тонких металлических пленках.
Под неоднородным будем понимать твердое тело, содержащее локальные области с границами зерен или дислокациями, значения коэффициентов диффу-
зии атомов в которых отличны от значений в бездефектных областях.
Кроме того, процессы массопереноса рассмотрим для двух случаев. В первом случае будем считать, что размер поперечного сечения проводника d превышает характеристический размер области, в которой возможно перераспределение концентрации атомов вещества /, а во втором - с!<1.
Модель процесса электродиффузии в неоднородной тонкой пленке металла, содержащей область U и область ускоренной диффузии V шириной 2 со, показанной на рис. 1, можно построить на основе модифицированной задачи Фишера [3], добавив в исходные уравнения для ускоренной диффузии слагаемые, учитывающие действие на атом вынуждающей силы, обусловленной электрическим полем, а также слагаемое, моделирующее механизм боковой диффузии [4].
Рис. 1. Неоднородная тонкая пленка
Система уравнений в данном случае выглядит следующим образом: - в области и с коэффициентом диффузии Б
дСи dt
= D
f д2СГ1
дх2
д2Сг,
ду2
дСи дх
(1)
и
- в области V с повышенным коэффициентом диффузии Б1
дСу dt
= А
2 D дСт,
(2)
где ии и vV - скорости, приобретаемые атомами при электродиффузии в областях и и V и вычисляемые [1]
соответственно: о,, =
D_
кТ
\Чэфй •
Чэфй •
к -
постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; цэф - эффективный заряд мигрирующего атома; р -объемное удельное сопротивление металла; ] - плотность тока.
Система уравнений (1) - (2) решалась в первом приближении для случая неограниченного источника атомов металла на поверхности проводника, когда (случай толстой пленки), с использованием метода конечно-разностной аппроксимации [5]:
- с начальными
Сиу(х,у,0)=0 при х > 0; (3)
- и граничными условиями
Сиуф,у,1)=С~, (4)
Сиг(^У,0 = 0. (5)
При этом соблюдались условия непрерывности на границе раздела областей и и V у= ±ю, т. е.
Су X, у, 0= си X, У, О при y = ± СО,
дСу4, У, t
cy
= D
дСи4, У, t
1У=
y
(6) (7)
|уН
Для равномерной двумерной прямоугольной координатной сетки с шагом Ах=х+1~х{ и Ау=у^+1-у^ вопрос о численном решении краевой задачи (1) - (2) с учетом (3) - (7) сводится к вопросу о решении системы разностных уравнений:
-600
-200 0 200
600 у, нм
-600
-200 0 200
Г -Г
Ci, j,k+1 Ci, j,k
Ät
= D
^Ci+1, j,k 2Ci, j,k+Ci-l, j,k
Ci, j+1,k 2Ci, j,k +Ci, j-1, k
АУ 2
Г -Г
^ i+\,j,k i,j,k
Ax
Ci,j,k+1 Ci,j,k
t
D
СCi+1, j,k 2Ci, j,k +Ci-1, j,k
Ax 2
С
i, j 1,k
2С С
i,j,k C i,j~ 1,k
2
АУ
2D Ci, j+1,k~ Ci, j,k
Г -Г
^ i+1 j'J- i, j,k
Ax
2m
СШ =0 С1, j,k С0
с t ,k= 0;
'max,j, k
АУ <> 2-:
С
i, j,k
С
i, j,k
D1Ci, j+1,k De
+ DC
i, j 1,k
D D1
i, j- 1,k + DCi, j+1,k
> .
(8)
где At=tk+\-tk - шаг по переменной t.
Иллюстрацию процесса массопереноса с учетом электродиффузии рассмотрим на примере численного решения (8) для неоднородной пленки алюминия. Моделирование выполнено при следующих значениях электродиффузионных параметров: 20=0,3 мкм;
С1эф=+Ще\ [6]; /7=0,027-10 Ом-м; j
= 1010 А/м2
[1, 6];
600 у, нм
1
50 \ 1 \ 1 \ 1 50 \ 1 \ 1 \ 1
100 \ 1 100 1
2(У к 1 1 >i 2®
150 150 1 1
D 200 Di D 1 1 1 200 1 D 1 Di D
а / X, мкм б ' X, мкм
Рис. 2. Линии равной концентрации атомов алюминия: а - с учетом электродиффузии; б - без учета электродиффузии
£>=3-10~18 м2/с; А=2,3-10-12 м2/с [6, 7]; о„=1,6-10-10 м/с; и,- 1.3- И) м/с, соответствующих температуре 7-300 °С и длительности процесса t=1000 с. Сравнительный анализ концентрационных профилей, представленных на рис. 2, полученных для фрагмента проводника, представляющего собой систему чередующихся областей и - V - II, указывает на возможность существенного вклада процесса электромиграции в общий мас-соперенос вдоль границы зерна.
Для моделирования нарушения сплошности металлической пленки рассмотрим задачу о самодиффузии атомов металла в ней. С этой целью система уравнений (1) - (2) решалась при условии равномерного начального распределения атомов в проводнике, когда ё<1.
Результаты расчетов для аналогичного фрагмента алюминиевого проводника в случае равномерного по объему распределения атомов металла показаны на рис. 3. Видно, что в области с повышенным коэффициентом диффузии Б1 наблюдается интенсивный уход атомов алюминия в направлении действия внешнего электрического поля, что свидетельствует о возможности нарушения сплошности материала пленки в данной области вследствие образования пор.
2
и
CC0
800
Рис. 3. Перераспределение концентрации атомов алюминия в тонкой пленке, обусловленное протеканием электрического тока высокой плотности
Таким образом, показано, что электродиффузия в тонкопленочных проводниках может быть причиной их нарушений, связанных с возможностью формирования разрывов вследствие образования пор, размеры которых соизмеримы с величиной поперечного сечения пленки.
Представленная модель позволяет оценивать характеристические размеры локальных областей с нарушенной сплошностью, такие как диаметр поры, поперечный размер области, в которой возможно перераспределение
Поступила в редакцию_
концентрации атомов вещества, а также прогнозировать надежность элементов твердотельной электроники.
Литература
1. Физические основы надежности интегральных схем / под ред. Ю.Г. Миллера. М., 1976. 320 с.
2. Стриха В.И., Бузанева Е.В. Физические основы надежности контактов металл-полупроводник в интегральной электронике. М., 1987. 256 с.
3. Захаров А.Г., Какурин Ю.Б., Филипенко Н.А. Моделирование механизма отказа транзистора с металлической базой в результате массопереноса // Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов: материалы Междунар. науч.-техн. конф. Таганрог, 2006. С. 256-259.
4. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зерен и фаз / пер. с англ. Б.Б. Страумала; под ред. Л.С. Швиндлермана. М., 1991. 448 с.
5. Самарский А.А. Введение в численные методы. М., 2005. 352 с.
6. Тонкие пленки. Взаимная диффузия и реакции / под ред. Дж. Поута, К. Ту, Дж. Мейера; пер. с англ. под ред. В.Ф. Киселева, В.В. Поспелова. М., 1982. 576 с.
7. Влияние изменения плотности твердого тела на диффузионную подвижность атомов при облучении мощными наносе-кундными пучками заряженных частиц / Г.А. Блейхер [и др.] // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 3. С. 75 - 79.
_4 сентября 2008 г.
